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2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义

（第一课时）学案

【学习目标】

1、能说出平面向量数量积的物理背景，明确向量的数量积概念及几何意义； 2、能够运用概念求两个向量的数量积，并能根据条件逆用等式求向量的夹角； 2、明确由定义得到的数量积的5条重要性质，并能运用性质进行相关的判断和运算； 3、知道用平面向量数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，培养应用意识. 【学习重点】

1、数量积的概念； 2、数量积的性质. 【学习过程】 一．学习准备

我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？

★思考：通过前面的学习我们知道向量的运算有向量的加法、减法、数乘，那么向量与向量能否“相乘”呢？这种新的运算结果又是什么呢？ 二．学习探究

探究1：如右图，如果一个物体在力F的作用下产生位移s， 那么力F所做的功W= ，其中是 . 思考:这个公式的有什么特点？请完成下列填空：

F（力）是 量；S（位移）是 量；是 ；W（功）是 量；。 ★想一想：能否把“功”看成是力与位移这两个向量的一种运算的结果呢？ 新知1：向量的数量积（或内积）的定义

已知两个非零向量a和b，我们把数量 叫做a是a和b和b的数量积（或内

积），记作 ，即 .其中★特别提醒：①记法“a·b”中间的

的夹角 B b

”不可以省略，也不可

以用“ ”代替； ②“规定”：零向量与任何向量的数量积为零，即

0a0；③ 两个非零向量夹角的概念：非零向量a与b，作OA＝a，OB＝b， 则∠ＡＯＢ＝θ叫a与b的夹角（两向量必须是同起点的）.

aO θ A

●试一试：你能画出以下几组向量的夹角吗？：

1

(1) O A (4)

B

A

(2)

B

O C

(5)

O

B ＝ 时，a与b同＝ 时，a与bB

A

(3)

O

A

B

O ⊥b；

与b反向；

A

C

A

(6)

B

O

特别地：当θ 当θ

向；当θ

＝ 时，a垂直，记a★想一想：由上你可得出两向量夹角范围是

【巩固练习】：在ABC中，已知A=45°，B=50°，C=85°求下列向量的夹角：

（1）AB与AC

（2）AB与BC

（3）AC与BC的夹角。

探究2：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小因素有哪些？

线性运算的结果是 ；数量积的结果则是 ，这个数值的大小不仅和向

量a与b的 有关，还和它们的 有关。这个数的符号由 的符号所决定。 小组讨论，完成下表：

的范围 0°≤<90° =90° 90°<≤180° a·b的符号 新知2：向量的数量积（或内积）几何意义

（1）向量投影的概念：如图，我们把 叫做向量

叫做向量b在aa在

b方向上的投影；

方向上的投影.

bcos★特别提醒：①如图，OB1. 向量投影也是一个数量，

不是向量；②当为锐角时投影为 值；当为钝角时投影为 值；当 = 0时投影为 ；当＝900时投影为 ；当 = 180时投影为 作图： （2）向义：数

量的数量积的几何意

量积a·b等于

2

与

的乘积。

探究3：向量数量积的性质（垂直、夹角、模长公式应用相当广泛）

设a和b都是非零向量，是a与b的夹角，则

ab⑴当a与b垂直时，⑵当a与b同向时，90000，即ab ；

，ab= ；

0 当a与b反向时，180，ab= ；

；

⑶当ab，即aa= ，或aab⑷cos =

|a||b|a在b方向上的投影= =

方向上的投影= =

cos1，所以

b在a⑸因为

ab ab.

三、典型例题

例1 判断正误，并简要说明理由.

① a0＝0； ② 0a＝0；

③ 若a0，则对任意非零向量b，有ab0

a④ 如果ab0，那么与b夹角为锐角

aa//b⑤ 若，则·b＝ab

⑥ a与b是两个单位向量，则a2＝b2

⑦ 若ab = 0，则a 、b至少有一个为零 22

⑧ 对任意向量a，有a = |a| ★ 思路启迪：从数量积的定义及性质入手就可以了，注意一些小细节哟！ 解：

3

★ 解题回顾：数量积的定义及性质需要注意些什么？你有什么启发？

例2已知a5，b4，a和b的夹角为120，求ab？ ★思路启迪：数量积的定义是什么？如何顺、逆、变用？ 解：

★解题回顾：解决本题的关键是什么？你能根据此题自编变式题吗？ 变式

变式2：若a//b，求ab.

变式3：已知

变式4：已知

例3. 概念辨析，正确理解向量夹角定义

已知△ABC中，a＝5，b＝8，C＝60°，求→BC·→CA

★思路启迪：从向量夹角的定义入手，注意BC,CA的夹角与BC,AC，，aba5b4，，aba5b41：若ab，求ab.

=-10，求a与b的夹角.

=-10，求向量a在向量b的方向上的投影.

夹角相同吗？

解：

★解题回顾：解决本题的关键是什么？最易出什么错误？你有什么收获？

变式1：三角形ABC中，若BCCA0,判断三角形ABC的形状

解：

变式2：在ABCD中，已知解

4

0AB4,AD3,DAB60BC (2) AB·,求（1）AD·DA

四、小结

1、本节课我们学习了数量积的概念，它的公式是什么？有什么几何意义？ 2、数量积的性质有哪些？他们都有什么作用？ 【学习评价】 ●自我评价

通过本节课的学习，你获得了哪些知识与方法？还有哪些问题没有解决？ ●自主测评

1.在平行四边形ABCD中，AB4，BC2，BAD120，则ABAD为（ A.4 B.-4 C.8 D.-8 2. 设

，a12，b9ab542，则与ab的夹角为（ ）

A.45 B.135 C.60 D.120

3. 已知ABC，，，当ABaACbab0时，ABC为（ ）

A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等腰三角形 4. 已知

在b3，a方向上的投影为3，则b2ab= ；

5. 已知向量a满足a28，则a .

5

）