解三角形高考大题带答案

1. （宁夏17）（本小题满分12分）

如图，∠ACB90，BD交AC于E，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，

AB2．

（Ⅰ）求cos∠CAE的值； （Ⅱ）求AE．

解：（Ⅰ）因为∠BCD9060150，

D E A C CBACCD，

所以∠CBE15．

B

所以cos∠CBEcos(4530)（Ⅱ）在△ABE中，AB2， 由正弦定理

62． ···················································· 6分 4AE2．

sin(4515)sin(9015)故AE2sin30cos1521262462． 12分

2. （江苏17）（14分） 某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A、B及CD的中点P处，已知AB=20km，BC=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A、B与等间隔 的一点O处建立一个污水处理厂，并铺设排污管道AO、BO、OP，设排污管道的总长为ykm。

（1）按下列要求写出函数关系式：

①设∠BAO=θ(rad)，将y表示成θ的函数关系式； ②设OP=x(km)，将y表示成x的函数关系式；

（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。

P D C

【解析】：本小题考察函数的概念、

解三角形、导数等根本学问，考察数学建模实力、 抽象概括实力和解决实际问题的实力。

A （1）①由条件知PQ垂直平分AB，若∠BAO=θ(rad)，则OA故OBO B AQ10，

cosBAOcos10 cos10101010tan coscos又OP1010tan，所以yOAOBOP所求函数关系式为y2010sin10cos(04)

22②若OP=x(km)，则OQ=10-x，所以OAOB(10x)10所求函数关系式为yx2x220x200x220x200 (0x10)

10coscos(2010sin)(sin)10(2sin1)（2）选择函数模型①，y' 22coscos1令y'0得sin 0

246当(0,)时y'0，y是θ的减函数；当(,)时y'0，y是θ的增函数；

6641201021010310 所以当时，ymin632此时点O位于线段AB的中垂线上，且间隔 AB边3. （辽宁17）（本小题满分12分）

在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c2，C（Ⅰ）若△ABC的面积等于3，求a，b； （Ⅱ）若sinB2sinA，求△ABC的面积． 解：（Ⅰ）由余弦定理得，abab4， 又因为△ABC的面积等于3，所以22103km处。 3． 31······················· 4分 absinC3，得ab4． ·

2a2b2ab4，联立方程组解得a2，b2． ·············································· 6分

ab4，（Ⅱ）由正弦定理，已知条件化为b2a， ························································· 8分

a2b2ab4，2343联立方程组解得a，b．

33b2a，所以△ABC的面积S123absinC． ····················································· 12分 234．（全国Ⅰ17）（本小题满分12分）

设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosB3，bsinA4． （Ⅰ）求边长a；

（Ⅱ）若△ABC的面积S10，求△ABC的周长l． 解：（1）由acosB3与bsinA4两式相除，有：

3acosBacosBbcosBcotB 4bsinAsinAbsinBb又通过acosB3知：cosB0， 则cosB34，sinB， 551acsinB，得到c5． 2则a5． （2）由Sa2c2b2由cosB，

2ac解得：b25， 最终l1025．

5．（全国Ⅱ17）（本小题满分10分） 在△ABC中，cosA53，cosB．

513（Ⅰ）求sinC的值；

（Ⅱ）设BC5，求△ABC的面积．

512，得sinA，

131334由cosB，得sinB． ··········································································· 2分

5516所以sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB． ····································· 5分

6545BCsinB513． ·（Ⅱ）由正弦定理得AC·········································· 8分 12sinA3131113168所以△ABC的面积SBCACsinC5···················· 10分 ． ·

223653解：（Ⅰ）由cosA6. （上海17）（本题满分13分）

如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC．小区的两个出入口设置在点A及点C处，小区里 有两条笔直的小路AD，DC，且拐弯处的转角为120．已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长（准确到1米）． C

【解法一】设该扇形的半径为r米. 由题意，得

ACD=500（米），DA=300（米），∠CDO=60……………………………4分120 在CDO中，CDOD2CDODcos60OC,……………6分

220200O即500r3002500r300221r2,…………………….9分 2解得r4900445（米）. …………………………………………….13分 110【解法二】连接AC，作OH⊥AC，交AC于H…………………..2分 由题意，得CD=500（米），AD=300（米），CDA120………….4分

在ACD中,AC2CD2AD22CDADcos1200 125003002500300700,222CHA1200∴ AC=700（米） …………………………..6分

AC2AD2CD211cosCAD.………….…….9分

2ACAD14在直角14HAO中,AH350（米）,cosHA0∴ OAO11, 14AH4900445（米）. ………………………13分

cosHAO11222. （重庆17）（本小题满13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分.）

设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c.已知bca3bc，求： （Ⅰ）A的大小;

（Ⅱ）2sinBcosCsin(BC)的值. 解：(Ⅰ)由余弦定理，abc2bccosA,

222b2c2a23bc3故cosA,2bc2bc2

所以A6. (Ⅱ) 2sinBcosCsin(BC)

2sinBcosC(sinBcosCcosBsinC)sinBcosCcosBsinC sin(BC)

sin(A)1sinA.28. 在△ABC中,内角A,B,C对边的边长分别是a,b,c.已知c2,C⑴若△ABC的面积等于3,求a,b;

3.

⑵若sinCsin(BA)2sin2A,求△ABC的面积.