浙江省绍兴市绍兴一中2011学年第一学期高三期中考试试卷 数学(文)

学年 绍兴一中 2011 高三数学期中考试试题卷 第一学期

命题、 校对： 郦章华 蒋卫江

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知全集U=R，集合A＝{xx1x0}，则集合CUA等于 （ ）

A. {x1或x0} B. {x1或x0} C. {x1或x0} D. {x1或x0} 2．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2x，则f(2)等于（ ） A．

14 B．4 C．13ii14 D．4

3．已知z（i为虚数单位），则复数z在复平面上所对应的点位于 （ ）

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

A．第一象限

4．关于直线a、b、l及平面、，下列命题中正确的是 （ ） A．若a∥，b∥，则a∥b B．若a∥，b⊥a，则b⊥ C．若a，b，且l⊥a，l⊥b，则l⊥ D．若a⊥，a∥，则⊥ 5.已知xy0,ax,by,c12xy,dxy,则它们的大小关系为（ ）

A.bdca B.adcb C.acdb D.dbca

1 1 1 2 正视图 2 侧视图 6．已知一个空间几何体的三视图如图1所示，其中正视图、

侧视图都是由半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸 (单1 位:cm)，可得这个几何体的体积是（ ） A．πcm3 B． C．

5343cm3

cm3 D．2π cm3

俯视图

图1

27. 在△ABC中，角A、 B、 C所对的边分别为a,b,c若2acosBc，则-12cosA2sinB的取值范围是 （ ）

A．[2,2] B．(1,2] C．(1,2] D．[1,2]

8．有两盒写有数字的卡片，其中一个盒子装有数字1，2，3，4，5各一张，另一个盒子

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装有数字2，3，6，8各一张，从两个盒子中各摸出一张卡片，则摸出两张数字为相邻整 数卡片的概率是 （ ） A．

1415310720 B．

2 C． D．

xa22

9.已知抛物线y2px(p0)的焦点F与椭圆

yb221(ab0)的一个焦点重合，它

们在第一象限内的交点为T，且TF与x轴垂直，则椭圆的离心率为 （ ）

A．

12 B．

223 C．2 D．21

3x)f(x)，f(2)3，数列

10．已知定义在R上的函数f(x)是奇函数且满足f(2（其中Sn为{an}的前n项和）。则f(a5)f(a6) {an}满足a11，且Sn2ann，

（ ）

A．3 B．2 C．3

二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）

D．2

11.已知直线l1：若l1∥l2，则实数a的值是 ． l2：ax3y10，2x(a1)y10，12在某次法律知识竞赛中，将来自不同学校的学生的成绩绘制成如图2所示的频率分布直方图．已知成绩在[60,70）的学生有40人,则成绩在[70,90）的有_________人.

0.04 0.0350.03 0.025 0.020.015 0.010.005

频率组距开始 s0,n1n6否 是 n3 分数

sssin 输出s 结束 5060708090100图2

nn1图3

13．阅读如图3所示的程序框图，输出的结果S的值为 ． 14已知函数15. 点O在

内部且满足

的定义域为R,则k的取值范围是 ．

，则

的面积与凹四边形.

的

面积之比为________.

216. 已知函数f(x)axbx1（a,bR且a0）有两个零点，其中一个零点在区间

1,2内，则ab的取值范围为 ．

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2x31,x(,1]x12π17．已知函数f(x)，函数gxasinx2a2(a>0)，若存

6111x,x[0,]623在x1、x2[0,1]，使得f(x1)g(x2)成立，则实数a的取值范围是________.

三、解答题（本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18．（本小题满分14分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且b2+c2-a2=bc．向

xxx量m(3sin,1),n(cos,cos2)

222（Ⅰ）求角A的大小；

3（Ⅱ）设函数f(x)mn，当f(B)取最大值时，判断△ABC的形状．

2

19．（本小题满分14分）已知等比数列（I）求数列an的通项公式；

（Ⅱ）设bnlog3a1log3a2log3an，Tnn12{an}的各项均为正数，且

2a13a21,a39a2a6．

1b11b21bn

求使(72n)Tnk

n2(n1)恒成立，求实数k范围。

20. （本小题满分14分） 如图，已知AB平面ACD，DE平面ACD，△ACD为等边三角形，

ADDE2AB，F为CD的中点.

B E

(1) 求证：AF//平面BCE； (2) 求证：平面BCE平面CDE； (3) 求直线BF和平面BCE所成角的正弦值.

21．（本小题满分15分）已知函数

f(x)(xa)e,aR.2xA

C

F

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（1）求f(x)的单调区间；

（2）对任意的x(,1]，不等式f(x)4e恒成立，求a的取值范围； （3）求证：当a2，2t6时，关于x的方程有两个不同的解.

22．（本小题满分15分）已知抛物线L的方程为x22pyp0，直线yx截抛物线L所得弦长为2． （Ⅰ）求p的值；

（Ⅱ）若直角三角形ABC的三个顶点在抛物线L上，且直角顶点B的横坐标为1，过点A、C分别作抛物线L的切线，两切线相交于点D，直线AC与y轴交于点E，当直线BC的斜率在直线DE斜率是否存在最大值，[3，4]上变化时，若存在，求其最大值和直线BC的方程；若不存

在，请说明理由．

f(x)ex12(t2)在区间[2,t]上总

2学年 绍兴一中 2011 高三数学期中考试试题卷 第一学期

命题、 校对： 郦章华 蒋卫江

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知全集U=R，集合A＝{xx1x0}，则集合CUA等于 （C ）

A. {x1或x0} B. {x1或x0} C. {x1或x0} D. {x1或x0}

x2．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2，则f(2)等于（ B ）

A．

14 B．4 C．14 D．4

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3．已知z13ii（i为虚数单位），则复数z在复平面上所对应的点位于 （ D ）

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

A．第一象限

4．.关于直线a、b、l及平面、，下列命题中正确的是 （ D ） A．若a∥，b∥，则a∥b B．若a∥，b⊥a，则b⊥ C．若a，b，且l⊥a，l⊥b，则l⊥ D．若a⊥，a∥，则⊥ 5.已知xy0,ax,by,c12xy,dxy,则它们的大小关系为（ A ）

A.bdca B.adcb C.acdb D.dbca

1 1 1 2 正视图 2 侧视图 6．已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图、

侧视图都是由半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸 (单1 位:cm)，可得这个几何体的体积是（ C ） A．πcm B． C．

533

43cm

3

cm3 D．2π cm3

俯视图

27. 在△ABC中，角A、 B、 C所对的边分别为a,b,c若2acosBc，则-12cosA2sinB的取值范围是 （ C ）

A．[2,2] B．(1,2] C．(1,2] D．[1,2]

8．有两盒写有数字的卡片，其中一个盒子装有数字1，2，3，4，5各一张，另一个盒子 装有数字2，3，6，8各一张，从两个盒子中各摸出一张卡片，则摸出两张数字为相邻整 数卡片的概率是 （ A ） A．

1415310720 B．

2 C． D．

xa22

9.已知抛物线y2px(p0)的焦点F与椭圆

yb221(ab0)的一个焦点重合，它

们在第一象限内的交点为T，且TF与x轴垂直，则椭圆的离心率为 （ D ）

A．

12 B．

223 C．2 D．21

310．已知定义在R上的函数f(x)是奇函数且满足f(x)f(x)，f(2)3，数列

2{an}满足a11，且Sn2ann，（其中Sn为{an}的前n项和）。则f(a5)f(a6)

（ C）

A．3

B．2 C．3

D．2

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二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）

11.已知直线l1：ax3y10，l2：2x(a1)y10，若l1∥l2，则实数a的值是 -3 ． 12在某次法律知识竞赛中，将来自不同学校的学生的成绩绘制成如图2所示的频率分布直方图．已知成绩在[60,70）的学生有40人,则成绩在[70,90）的有___25______人.

0.04 0.0350.03 0.025 0.020.015 0.010.005

频率组距开始 s0,n1n6否 是 n3 分数

sssin5060708090100输出s 结束 图2

nn1图3 13．阅读如图3所示的程序框图，输出的结果S的值为 0 ．

14已知函数15. 点O在面积之比为____

54的定义域为R,则k的取值范围是 0k1 ．

内部且满足____.

，则

的面积与凹四边形.

的

216. 已知函数f(x)axbx1（a,bR且a0）有两个零点，其中一个零点在区间

（-1,+) ． 1,2内，则ab的取值范围为

17．已知函数f(x)1,x(,1]x121311,x[0,]622x3，函数gxasinxπx2a2(a>0)，若存6在x1、x2[0,1]，使得f(x1)g(x2)成立，则实数a的取值范围是________.[，]

2314三、解答题（本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18．（本小题满分14分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且b+c-a=bc．向

xx2x量m(3sin,1),n(cos,cos)

2222

2

2

（Ⅰ）求角A的大小；

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3（Ⅱ）设函数f(x)mn，当f(B)取最大值时，判断△ABC的形状．

2解：（Ⅰ）在△ABC中，因为b2+c2-a2=bc，

由余弦定理 a2= b2+c2-2bccosA 可得cosA=分) ……3分

∵

0312．(余弦定理或公式必须有一个，否则扣1

， （或写成A是三角形内

角） ……………………4分

∴A． ……………………5分

x26x21x2（Ⅱ）f(x)3sincoscos232sinx12cosx12 ……7分

sin(x)∵A∴∴

3263 ∴B(0,6656223， ……9分

)

B （没讨论，扣1分） …10分

，

即

B3当B2时，f(B)有最大值是

． ……………………12分

又∵A3， ∴C3

∴△ABC为等边三角形． ………14分

19．（本小题满分14分）已知等比数列（I）求数列an的通项公式；

（Ⅱ）设bnlog3a1log3a2log3an，Tnn1{an}的各项均为正数，且

2a13a21,a39a2a62．

1b11b21bn

求使(72n)Tnkn2(n1)恒成立，求实数k范围。

解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由

q1a9a2a623得

a9a3324q219．

所以

由条件可知q>0，故

3． （3分）

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由

2a13a21得

2a13a2q11，所以

a113．（6分）

故数列{an}的通项式为an=3． （7分） （Ⅱ ）

bnlog3a1log3a2...log3ann

(12...n)n(n1)2 （9分）

2n(n1)1bn2(1n1n1)1故

1b1bn （10分）

13)...(1n1n1))2nn11b2...1bn2((112)(12 （11分）

{}所以数列设cn2n7的前n项和为n1。化简得k对任意nN*恒成立 n22n2n72n，则cn1cn2(n1)72n12n72n92n2n1

当n5,cn1cn,{cn}为单调递减数列，当1n5,cn1cn,{cn}为单调递增数列

116c4c5332,所以, n5时, cn取得最大值

n332332

…………14分

所以, 要使k

2n72*对任意nN恒成立，k20. （本小题满分14分） 如图，已知AB平面ACD，DE平面ACD，△ACD为等边三角形，

ADDE2AB，F为CD的中点.

B E

(1) 求证：AF//平面BCE； (2) 求证：平面BCE平面CDE； (3) 求直线BF和平面BCE所成角的正弦值.

方法一：

(1) 证法一：取CE的中点G，连FG、BG.

C

D A

F

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∵F为CD的中点，∴GF//DE且GF12DE.

B E

∵AB平面ACD，DE平面ACD，

∴AB//DE，∴GF//AB.

H 2∴四边形GFAB为平行四边形，则AF//BG. ∵AF平面BCE，BG平面BCE，

C

∴AF//平面BCE. F 证法二：取DE的中点M，连AM、FM.

∵F为CD的中点，∴FM//CE.

∵AB平面ACD，DE平面ACD，∴DE//AB.

1又ABDEME，

2∴四边形ABEM为平行四边形，则AM//BE. ∵FM、AM平面BCE，CE、BE平面BCE， ∴FM//平面BCE，AM//平面BCE.

又FMAMM，∴平面AFM//平面BCE. ∵AF平面AFM，

∴AF//平面BCE. （ 5分） (2) 证：∵ACD为等边三角形，F为CD的中点，∴AFCD.

∵DE平面ACD，AF平面ACD，∴DEAF. 又CDDED，故AF平面CDE. ∵BG//AF，∴BG平面CDE. ∵BG平面BCE，

∴平面BCE平面CDE. (5分) 解：在平面CDE内，过F作FHCE于H，连BH. ∵平面BCE平面CDE， ∴FH平面BCE.

∴FBH为BF和平面BCE所成的角.

设ADDE2AB2a，则FHCFsin45BFABAF22又AB1DE，∴GFAB.

G A M

D 22a，

a(3a)2a，

FHBF2422R t△FHB中，sinFBH.

24∴直线BF和平面BCE所成角的正弦值为.（4分）

方法二：

设ADDE2AB2a，建立如图所示的坐标系Axyz，则

A0，0，0,C2a，0，0,B0,0,a,Da,3a,0,Ea,3a,2a.

∵F为CD的中点，∴F32a,a,0.

2333 (1) 证：AFa,a,0,BEa,3a,a,BC2a,0,a，

22 第 9 页 版权所有@中国高考志愿填报门户

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1∵AFBEBC，AF平面BCE，∴AF//平面BCE.

2a,a,0,CDa,3a,0,ED0,0,2a，

22∴AFCD0,AFED0，∴AFCD,AFED. ∴AF平面CDE，又AF//平面BCE，

∴平面BCE平面CDE.

 (3) 解：设平面BCE的法向量为nx,y,z，由nBE0,nBC0可得：

 x3yz0,2xz0，取n1,3,2.

(2) 证：∵AF3333 又BFa,a,a，设BF和平面BCE所成的角为，则

22BFn2a2 sin. 42a22BFn∴直线BF和平面BCE所成角的正弦值为

21．（本小题满分15分）已知函数 （1）求f(x)的单调区间；

24.

f(x)(xa)e,aR.2x

（2）对任意的x(,1]，不等式f(x)4e恒成立，求a的取值范围； （3）求证：当a2，2t6时，关于x的方程有两个不同的解. 解：

（Ⅰ）f(x)＝2(x－a)ex＋(x－a)2ex＝(x－a)[x－(a－2)]ex．…………………………2分

令f(x)＝0，得x1＝a－2，x2＝a． 当x变化时，f(x)、f(x)的变化如下：

x (－∞，a－2) a－2 f(x) f(x) 所以

f(x)的单调递增区间是(－∞，a－2)，(a，＋∞)，

单调递减区间是(a－2，a)．………………………………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得[f(x)]极大＝f(a－2)＝4ea－2．

（1）当a≤1时，f(x)在(－∞，1]上的最大值为f(a－2)或f(1)，

＋ ↗ 0 (a－2，a) a － 0 (a，＋∞) ＋ f(x)ex12(t2)在区间[2,t]上总

2极大值 ↘ 极小值 ↗ 第 10 页 版权所有@中国高考志愿填报门户

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a≤1，

由f(a－2)＝4ea－2≤4e，解得－1≤a≤1； f(1)＝(a－1)2e≤4e，

（2）当a－2≤1＜a，即1＜a≤3时，f(x)在(－∞，1]上的最大值为f(a－2)， 此时f(a－2)＝4ea－2≤4e3－2＝4e；

（3）当a－2＞1，即a＞3时，f(1)＝(a－1)2e＞4e，f(x)≤4e不恒成立． 综上，a的取值范围是[－1，3]．…………………………12分 （III）f(x)x(x2)ex,x22x令g(x)x22x12(t2)

12(t2)在[2,t]与x轴有两个

12(t2)

2从而问题转化为证明当2t6函数g(x)x2x不同的交点，而g(2)0,g(t)0,g(0)0，,所以g(x)0在[2,t]上有解,且有两解。

（ 15分 ）

22．（本小题满分15分）已知抛物线L的方程为x22pyp0，直线yx截抛物线L所得弦长为2． （Ⅰ）求p的值；

（Ⅱ）若直角三角形ABC的三个顶点在轨迹M上，且直角顶点B的横坐标为1，过点

A、C分别作轨迹M的切线，两切线相交于

点D，直线AC与y轴交于点E，当直线BC的斜率在[3，4]上变化时，直线DE斜率是否存在最大值，若存在，求其最大值和直线BC的方程；若不存在，请说明理由？

(Ⅰ) 解：（1）x2pyp12,所以x22，

y…………………………(5

分)

(Ⅱ) 解: B(1,1)，设Ax1,x12，Cx2,x22，kACx1x2x1x222x1x2

设BC的斜率为k,则y1k(x1) 2xkxk10,2xyk4k40，

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又1xck,xck1，C(k1,(k1)2), A(kACx1x2k1k2，

1k1k1,(1k1)),

2直线AC的方程为y(k1)2(k12)x(k1)，

令x0,yk1,所以E0,k kk2AD:yx12x1(xx1)y2x1xx1 同理CD:y2x2xx2，联立两方程得D2212(k1k2),1k kkEDk12kkk 441211111k2k1(2k)(2k)2k2k2kkkk2k2111令u1kk,则u在3,4上递减，所以，当k4时，kED最大为607

所以，BC的方程为即y4x3……………(15分)

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