高中数学：向量法解立体几何总结

向量法解立体几何

1、直线的方向向量和平面的法向量

l

⑴．直线的方向向量：

假设 A、B 是直线

上的任意两点，

那么

A为直线

B l

与 AB 平行的任意非零向量也是直线

的一个方向向量；

. l 的方向向量

⑵．平面的法向量：

假设向n 所在直线垂直于平面

量

，那么称这个向量垂直于平

面

，记作

n

，如果 n，那么向量n 叫做平面

的法向量 .

⑶．平面的法向量的求法 〔待定系数法〕：

①建立适当的坐标系． ②设平面的法向量为 n

(x, y, z) ．

③求出平面内两个不共线向量的坐标

a (a1,a2 , a3), b(b1, b2 , b3 )

0 0

.

．

n a n b

④根据法向量定义建立方程组

⑤解方程组，取其中一组解，即得平面

的法向量 .

2、用向量方法判定空间中的平行关系

⑴线线平行。 设直线

l ,l 的方向向量分别是

1

2

，那么要证、 明

l ∥ l ，只需证明 a ∥ b ，即

a b

1

2

a kb (k R) .

⑵线面平行。设直线 l 的方向向量是a，平面 的法向量是 u ，那么要证明l∥

，只需证明

a u ，即 a u 0 .

⑶面面平行。 假设平面 即证 u

的法向量为 u ，平面 的法向量为 v ，要证 ∥，只需证 u ∥ v ，

v .

3、用向量方法判定空间的垂直关系

⑴线线垂直。 设直线

的方向向量分别是

，那么要证、 明

l

1

l ，只需证明 a

2

b ，即

l1 ,l 2 a b

a b0 .

⑵线面垂直

①〔法一〕设直线 l 的方向向量是a ，平面的法向量是u ，那么要证明l，只需证明 a

...

...

∥ u ，即 a u .

②〔法二〕设直线

l 的方向向量是

a

，平面

内的两个相交向量分别为

、

，假设

m n

a m

0 0

,那么 l.

a n

⑶面面垂直。 即证 u v

假设平面

的法向量为 u ，平面 的法向量为 v ，要证 ，只需证 u v ，

0 .

4、利用向量求空间角

⑴ 求异面直线所成的角

a, b 为两异面直线，A，C与B，D分别是 a, b 上的任意两点，

那么

a, b 所成的角为

，

cos

AC BD AC BD

.

⑵求直线和平面所成的角

求法：设直线 l 的方向向量为a，平面 的法向量为u，直线与平面所成的角为 的夹角为

， 那么 为

， a 与 u

的余角或 的补角

的余角 .即有：sin

cos

a u a u

.

⑶求二面角

二面角的平面角是指在二面角

线 AO

l

的棱上任取一点 O，分别在两个半平面内作射

l , BO l ，那么 AOB 为二面角l的平面角 .

如图：

A

Bl

OB

O

求法：设二面角 二面角

A

l

的两个半平面的法向量分别为 ，那么二面

角

m、n ，再设 m 、n 的夹角为 ，

l的平面角为

为 m、n 的夹角

或其补角

.

根据具体图形确定

是锐角或是钝角：

如果

是锐角，那么 cos

cos

m n m n

， 即arccos

m n

；

m n

...

...

如果 是钝角，那么 coscos

m n m n

， 即arccos

m n m n

.

5、利用法向量求空间距离

⑴点 Q到直线l 距离

, P在直线l上，a为直线l的方向向量，b = PQ ，那么点Q到直线l

假设 Q为直线l 外的一点

距离为

h

的距离

1 (| a || b |)2 (a b)2

| a |

⑵点 A 到平面

假设点 P 为平

面

外一点， 点 M 为平面 内任一点， 平面

的法向量为 n ，那么P到平面

的距离就等于 MP 在法向量n方向上的投影的绝对值.

即 d MP cos n, MP

MP

n MP n MP

n MP

n

⑶直线 a与平面

之间的距离

当一条直线和一个平面平行时，

直线上的各点到平面的距离相等。

由此可知， 直线到平面

的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离。

即 d

n MP

n

.

⑷两平行平面,之间的距离

利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。即

d

n MP

n

.

⑸异面直线间的距离

设向量 n 与两异面直线 a, b 都垂直， M

即 d

a, P b, 那么两异面直线 a,b 间的距离 d 就是

MP 在向量n方向上投影的绝对值。

n MP

n

.

...