穷 教法研究 ： ≈一～…………～ 一 ［摘要】对于约束半无限优化问题，由于约束个数的无限性和母（ｘ），妒。（ｘ）的不可微性，给数值求解带来很 多困难。对于这个问题，有很多人进行了研究，但是计算方法一般都比较繁杂。本文主要介绍利用最大熵原 理，把约束半无限优化问题转化为光滑函数的无约束优化问题，因此，可以直接利用现有的无约束算法求 解。 【关键词】约束半无限优化问题，—＝，Ｌ 最大熵原理解法 试 论 约 束 举寨 无 艮溪 湖南民族职业学院教育系 刘 瑾 约束半无限优化问题是个比较难解的问题，在 计算机辅助设计和工程设计中，经常遇到。对于这 密度函数。求解问题（４）的工程可看成是消除不确定 性的过程，而不确定性可用连续熵 糟 ） 一 地》 ， 标规划有密切关系： （５） 个问题，有很多人进行了研究，但是计算方法一般 都比较繁杂。笔者利用最大熵原理，把约束半无限 优化问题转化为光滑函数的无约束优化问题，因 此，可以直接利用现有的无约束算法求解。 优 ．一化 ● 一Ｉ●■●， 棼嚣 碧 题 禳 、 ／ 轳 来度量。由极大熵原理，问题（４）与下面的双目 ｆ黝 ｛ 拣 》 《 ￡ ） １．约束半无限优化问题：Ｉ 。（ｘ） ｌ觏《 龌Ａ （６） ｛【 ． （ｘ）≤０，／∈ ｘ 采用加权求和法处理问题（６），得 ｆ ｍ 一； 哺蝴《＿ 》母 《 （７） 其中Ｉ＝｛１，２，一，１），记Ｌ＝｛０）ＵＩ，对任何ｊ《Ｌ， 口器＝Ｉ’彝 举 ｘ）＝ｍａｘ ｉ基ｗ毋 （ｘ，Ｙｊ）。 其ｑｂｐ＞ｌ是常数。显然，问题（７）当Ｐ无限增大时可 任意接近问题（４），为简便，可考虑下面的规划问题 这里簪ｊ：Ｒ Ｘ Ｒ 一是连续可微函数，Ｙ；是Ｒ 中的 个紧子集，且ｖ（Ｙ．）≠Ｏ。 注：设Ｙ（ｚ，霉）＝｛ｙ龟Ｙ…ｙ—ｚ ｌｌ≤＃｝。今后对本文 ｆ 氆ｘ 轴 》串 嚣《 转》）’ ｌ ｇ ）螽巍 神 （８） 用到的紧子集Ｙ，做如下规定：对 《＞０及 ｚ氍Ｙ。 均有Ｖ（Ｙ（ｚ，霉））≠０。 去 对于问题（８），很容易地求出它的最优解为 ２．极大值函数的极大熵函数。 设毋：：Ｒ“×Ｒ Ｒ是连续可微函数，Ｙ是Ｒ 中的 一锄 磊 － 最优值为§ｌｌｎ≤矗 鼬 姆 ，令 个紧子集，且Ｖ（Ｙ）≠０。令 鼬， 矗－黼弘 ｝ ｆ｝≥锅 《 诋 鼬渤狮 （１） 由 站 （２） （３） 釉穗） ； ｛ （ｘ）的极大熵函数。 定理２．１．ｇ。（ｘ）≤ （ｘ）， ｇ （ｘ）也是连续可微的，且 群》 礓 ， （９） Ｘ乐Ｒ”。 称 （ｘ）为毋在Ｙ上的极大值函数。引入记号 其中Ｖ（Ｙ）为紧集Ｙ的体积，称ｇ （ｘ）为极大值函数 容易证明： 定理２．２．若蒂（Ｘ，ｙ）是连续可微的，则函数 引理２．１．对任何＾（ｙ）《＾， Ｃ（ｘ，＾（ｙ））≤ （ｘ）。 考虑下面的优化问题： ‘ 鼬 始 （１０） ｆ蕊馘眠 【爨 醚辨壤 舞雅 媳 （４） 上述定理２．２表明，当ｐ充分大时，光滑函数 ｇｐ（ｘ）可以很好地近似不可微函数 （ｘ）。 ３．约束半无限优化问题的解。 ． 在问题（４）中， （ｙ）可视为零（ｘ，ｙ）等于 （ｘ）的 ５ 谭箍 屯 Ｅ帮ＣＵＲＲＩＣＵｔ ｝磁ＲＥＳＥＡＲＣ疆 对问题构造如Ｆ的一个司微函数 （表）看出，该方法计算速度快，精度高。 表：例１一例３的计算结果 问题 初始点 １ 娥曲÷ 轰毛 锄 其中锋（嚣） 耋 ‘ １ 五 惭脚’ ＿ 定理３．１．假若函数学。（ｘ）有下界。设ｘ 为母 ， （ｘ）的霉一最优解，其中当ｋ－÷＋∞时，蓐 ＿０，ｐｋ一÷＋∞， ｑ 一÷＋ 。若ｌｉａｒ 一÷＋ Ｘｋ￣Ｘ＊，则ｘ 为约束半无限优化 问题的最优解。 计算解 ０．０００００００ Ｏ．５０００１Ｏ２ —０．０９５３２Ｏ１３ ＋０．０９５３１ １０２ —０．９９９９７８６ Ｏ．０００ＯＯ００ 精确解 迭代次数 Ｏ 例１ ２ １ Ｏ．５ 一Ｉｎ１．１ ３ 例２ １ ２ Ｉｎ１．１ —１ ４ 例３ —７ １ ０ 证明：由于ｘ 为啦Ｐ ， （ｘ）Ｎｅ 一最优解，则对任 Ｎｘ《Ｒ”， 荦ｐｋ， ｘ ）≤审ｐｋ， ｋ（ｘ）＋嚣 ， （１ １） 由定理２．１和式（１１）有 帆船（觎》≤ ∽牛 ｆ 碜。 一ｉ ｌ＋辅 勘～《 书 眦 ％ ｛ｓ．ｔ． ｌ 踹蠼一 ｌ 一ｓｈａｙ≤ ２】 因此，当ｘ甓 ＝（ｘＩ够 （ｘ）≤０，ｊ《Ｉ）时 龋㈧≤瓣妫斗 薹 》 （１２） 由（１２）知ｘ 是问题的可行解，否则，当ｋ－÷＋∞ 时，（１２）左边趋于＋ ，而右边有界，引出矛盾。另 一｛ｆ ｍｉａ ）＝羔 ｌ 一＋ 轴 嚣 。毋 ， 一 一 鞣≤ｏ＇ Ｙ 重ｉ． 方面， ， 震 壤㈥≤ 嘲㈥≤蕊 《嚣》母三蠡 对上式令有ｋ呻＋∞有妒∽≤蒜 《嚣） 弗 ｆ ｍｉｌｌ （ ）一避＋遗＋罐 ｌ器，毒 始 ∞一霹 留ｌ＋谑＋重）＋礅 瓣一露） 此即说明ｘ 是约束半无限优化问题的最优解。 由定理３．１可以看出，当Ｐ，ｑ充分大时，肇 （ｘ）的最 。 ｌ 币＿髫３ 渤＋谚串鞭）十１≤ ｌ】 ｙ拳 １】 优解即为问题约束半无限优化问题的近似解，因此 可把问题约束半无限优化问题化成一个可微函数的 无约束优化问题： 罂 肇”一 （１３） 参考文献： 这里Ｐ，ｑ充分大，对于问题约束半无限优化问 题，我们构造如下的算法。 第一步：给定充分大的正数ｐ，ｑ。 第二步：求ｒａｉｎ举Ｐ，ｑ（ｘ）的近似解Ｘｇｔ．ｘ＇Ｒ０为问 ［１】李兴斯．非线性极大极小问题的一个有效解法［Ｊ】．科学 通报，２００１，（４）． 【２】唐焕文．一类约束不可微优化问题的极大熵方法［Ｊ】．计 算数学，２００３，（８）． 学，２００５，（６）． ， 题约束半无限优化问题的近似解。下述例题中，各 参数分别取为ｐ＝１０ ，ｑ＝ｌＯ ， ＝１０一。从计算结果 ………＿．＿…＿＿．……＿．＿……－－＿………－………＿【３】唐焕文，张立卫．求解线性规划的极大熵方法［Ｊ】．计算数 －Ｉ－－Ｉ……一＿．．………………＿－．…＿．．…一 （上接第７１页） “ 社，２００３，（４）． 人与自然、人与社会密切结合，可持续发展的开放 性教育；一种能让师生都获得成就感的成功性教 育。 参考文献： 【２】陈晓平．新编职教数学应用篇［ｚ］．江苏省南通市教研 室，２００５，（６）． 【１】刘兼．数学课程标准解读［Ｍ】．北京：北京师范大学出版
