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【河北中考分布：河北2017T11考查正方形的剪切，河北2016T13考查平行四边形的折叠，河北2015T16考查矩形的剪拼】
◆类型一 折叠问题中求角度和长度 1．如图，将矩形ABCD折叠，AE是折痕，点D恰好落在BC边上的点F处，如果∠BAF＝50°，那么∠DEA等于( )
A．40° B．50° C．60° D．70°
2．(2017·舟山中考)已知一张矩形纸片ABCD，AB＝3，AD＝2，小明按如图所示的步骤折叠纸片，则线段DG的长为( )
A.2 B．22 C．1 D．2
3．(2017·河北模拟)如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH.若BE∶EC＝2∶1，则线段CH的长是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
第3题图 第4题图
4．如图，将矩形ABCD沿直线EF对折，点D恰好与BC边上的点H重合．如果∠GFP＝62°，那么∠EHF的度数为________．
5．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B＝45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB′E，AB′与CD边交于点F，则B′F的长为________．
6．(唐山乐亭县模拟)如图，正方形ABCD中，AB＝12，点E在边BC上，且BE＝EC，将
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△DCE沿DE对折至△DFE，延长EF交边AB于点G，连接DG，则BG的长是________．
7．(2017·定州期中)如图，把矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点F处，BF交AD于点E.
(1)求证：△BEA≌△DEF；
(2)若AB＝2，AD＝4，求AE的长．
◆类型二 特殊四边形的剪切与拼接
8．如图，把一张矩形纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的角的度数应为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
第8题图 第9题图
9．(河北中考)如图，将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n不可能是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
10．(河北中考)如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼成一个与原来面积相等的正方形，则( )
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A．甲、乙都可以 B．甲、乙都不可以 C．甲不可以、乙可以 D．甲可以、乙不可以
11．(2017·保定二模)如图，五个全等的小正方形无缝隙、不重合地拼成了一个“十字”形，连接A、B两个顶点，过顶点C作CD⊥AB，垂足为D.“十字”形被分割为了①、②、③三个部分，这三个部分恰好可以无缝隙、不重合地拼成一个矩形，这个矩形的长与宽的比为( )
A．2∶1 B.10∶1 C．3∶1 D．23∶1
12．(2017·廊坊文安县期中)请阅读下列材料：问题：现有5个边长为1的正方形，排列形式如图甲，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图(图中的每一个小正方形的边长均为1)中用实线画出拼接成的新正方形．
小东同学的做法是：设新正方形的边长为x(x＞0)，依题意，割补前后图形的面积相等，有x＝5，解得x＝5.由此可知新正方形的边长等于两个小正方形组成的矩形对角线的长．于是，画出如图乙所示的分割线，拼出如图丙所示的新的正方形．
请你参考小东同学的做法，解决如下问题：
现有10个边长为1的小正方形，排列形式如图丁，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：在图丁中画出分割线，并在图戊的正方形网格图中用实线画出拼接成的新正方形(直接画出图形，不需写过程)．
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13．★(2016·张家口宣化县模拟)如图，长方形纸片ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm，按下列步骤进行裁剪和拼图：
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第一步：如图①，在线段AD上任意取一点E，沿EB，EC剪下一个三角形纸片EBC(余下部分不再使用)；
第二步：如图②，沿三角形纸片EBC的中位线GH将纸片剪成两部分，并在线段GH上任意取一点M，线段BC上任意取一点N，沿MN将梯形纸片GBCH剪成两部分；
第三步：如图③，将MN左侧纸片绕G点按顺时针方向旋转180°，使线段GB与GE重合，将MN右侧纸片绕H点按逆时针方向旋转180°，使线段HC与HE重合，拼成一个与三角形纸片EBC面积相等的四边形纸片．
求拼成的这个四边形纸片的周长的最小值和最大值．
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参考答案与解析
1．D 2.A 3.B 4.56°
5．2－2 解析：∵在边长为2的菱形ABCD中，∠B＝45°，AE为BC边上的高，∴AE22
＝2.由折叠易得△ABB′为等腰直角三角形，∴BB′＝AB＋AB′＝22，∴CB′＝BB′－BC＝22－2.∵AB∥CD，∴∠FCB′＝∠B＝45°.又由折叠的性质知，∠B′＝∠B＝45°，
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∴△B′CF为等腰直角三角形，∴CF＋B′F＝B′C，即2B′F＝B′C，∴B′F＝2－2.
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6．8 解析：由折叠可知EF＝EC＝BC＝6，DF＝DC＝DA，∠DFE＝∠C＝90°，∴∠DFG2＝∠A＝90°.在Rt△ADG和Rt△FDGDA＝DF，中，∴Rt△ADG≌Rt△FDG(HL)，∴AG＝FG.
DG＝DG，
2
2
2
2
2
设AG＝FG＝x，则EG＝x＋6，BG＝12－x，由勾股定理得EG＝BE＋BG，即(x＋6)＝6＋(12
2
－x)，解得x＝4，∴AG＝4，∴BG＝8.
7．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠A＝∠C＝90°.由折叠得FD＝CD，∠AEB＝∠FED，
∠F＝∠C＝90°，∴AB＝FD，∠A＝∠F.在△BEA和△DEF中∠A＝∠F，
AB＝FD，∴△BEA≌△DEF.
(2)解：∵△BEA≌△DEF，∴BE＝DE＝AD－AE＝4－AE.设AE＝x，则BE＝4－x.在Rt△BAE33222222
中，由勾股定理得AB＋AE＝BE，∴2＋x＝(4－x)，解得x＝，∴AE＝.
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8．B
9．A 解析：如图，将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n可以为3，4，5，故n不可能为2.
10．A 解析：所拼图形如图所示，甲、乙都可以拼成一个与原来面积相等的正方形．故选A.
11．A 解析：如图，易知四边形ACBE是正方形，AB与CE是正方形的对角线，则CD 5
＝DE＝AD＝BD，则组成的这个矩形的长与宽的比为2∶1，故选A.
12．解：如图所示．
13．解：如图①为第三步剪拼之后的四边形M1N1N2M2的示意图．
N1N2＝EN1＋EN2＝NB＋NC＝BC，M1M2＝M1G＋GM＋MH＋M2H＝2(GM＋MH)＝2GH＝BC(三角形中位线定理)．∵M1M2∥N1N2，∴四边形M1N1N2M2是平行四边形，其周长为2N1N2＋2M1N1＝2BC＋2MN.∵BC＝6为定值，∴四边形的周长取决于MN的大小．如图②是剪拼之前的完整示意图，过点G，H作BC边的平行线，分别交AB，CD于P点、Q点，则四边形PBCQ是一个矩形，这个矩形是矩形ABCD的一半，∵M是线段PQ上的任意一点，N是线段BC上的任意一点，根据垂线段最短，得到MN的最小值为PQ与BC平行线之间的距离，即MN最小值为4；而MN的最大值等于矩形对角线的长度，即PB＋BC＝4＋6＝213.四边形M1N1N2M2的周长为2BC＋2MN＝12＋2MN，∴四边形M1N1N2M2周长的最小值为12＋2×4＝20，最大值为12＋2×213＝12＋413.故拼成的四边形纸片的周长的最小值为20，最大值为12＋413.
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