学业水平考试模拟测试卷 (一)
(时间：90 分钟 总分值：100 分)
一、选择题 (本大题共 15 小题，每题 4 分，总分值 60 分．在每 小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的．
)
－是z 的共轭复数，那么复平面内复数 z·－z －1 1．复数 z＝1－2i， z 对应的点所在象限为 (
A．第一象限 C．第三象限
)
B．第二象限 D．第四象限
－
－i＝5－i，那么复平
面内 剖析： 由于 z＝1－2i，因此 z·z －i＝| z| － 复数 z·z －i 对应的点为 (5，－1)，所在象限为第四象限．应选 D.
答案：D
2．数轴上到 A(1)，B(2)两点距离之和等于 1 的点的会集为 ( A．{0，3} B．{0，1，2，3} C．{1，2} D．{x|1≤x≤2} 剖析： 以以下图，
由于|AB|＝1，因此到 A(1)，B (2)两点距离之和等于 1 的点的集 合为线段 AB.
因此点的会集为 { x|1≤x≤2}，应选 D. 答案：D
)
2
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2021数学高中学业水平考试模拟试卷一
3．函数 f (x)＝
x
的单调增区间是 ( ) 1－x
B．(1，＋∞)
A．(－∞，1)
C．(－∞，1)，(1，＋∞) D．(－∞，－ 1)，(1，＋∞)
－〔1－x〕＋1
1
剖析：f( x)＝
1－x
＝－1＋
；
1－x
1
因此 f( x)的图象是由 y＝
x的图象沿 x 轴向右平移 1 个单位，
－
然
1
后沿 y轴向下平移一个单位获取； 而 y＝－
的单调增区间为 (－∞，0)， x (0，＋∞)；
因此 f( x)的单调增区间是 (－∞，1)，(1，＋∞)．应选 C. 答案：C
＋(y－3)＝5 的一条切线的方程为 y＝2x， 4．若是圆 C：(x－a) 那么 a 的值为(
)
22
A．4 或 1 B．－1 或 4 C．1 或－4 D．－1 或－4
|2a－3|
剖析： 由题意，圆心到直线的距离 d＝ 4＋1
＝ 5，因此 a＝－
1 或 4，应选 B.
答案：B
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5．以下函数中在区间 (0，＋∞)上单调递加的是 (
2
)
x 1
C．y＝log3x D．y＝
＝－x
第 2 2
页
A．y＝sin x B．y2021数学高中学业水平考试模拟试卷一
剖析：y＝sin x 为周期是 2π的周期函数，在(0，＋∞)上不只一， 故消除 A；y＝－x
2
在(0，＋∞)上单调递减，故消除 B；
y＝ 1
x 2
在(0，＋∞)上单调递减，故消除 D；y＝log3x 在(0，＋
∞)
上单调递加，应选 C.
答案：C
6．设向量 a＝(x－1，1)，b＝(3，x＋1)，那么 a 与 b 必然不是 ( A．平行向量 B．垂直向量 C．相等向量 D．相反向量 剖析： 由向量 a＝(x－1，1)，b＝(3，x＋1)， x－1＝3， 假设 a＝b，那么 无解，因此 a≠b，应选 C. 1＝x＋1， 答案：C
7．假设 a、b是任意实数，且 a＞b，那么以下不等式成立的是 (
b 1 a 1 b 2
＞b2
B.
3 ＜ 3
A．a ＜1 C．lg(a－b)＞0 D.
a
剖析： 由题意 a、b是任意实数，且 a＞b，
由于 0＞a＞b 时，有 a
2＜b2
成立，故 A 不对；由于当 a＝0 时， b
＜1 没心义，故 B 不对； a
由于 0＜a－b＜1 是存在的， 故 lg(a－b)＞0 不用然成立， 因此 C
)
)
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不对；
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x 1
由于函数 y＝ 是一个减函数，
3
a b 1 1
当 a＞b 时必然有 ＜ 成立，故 D 正确． 综上，D 选项是正 3 3
确选项．应选 D.
答案：D
8． sin x－
π 3
＝ 4 ，那么 sin 2x 的值为
( ) 5 7 7 25 C.
A．－
9 16 25 D.
25
2 3 π ＝
2 (sin x－cosx)剖析： 由于 sin x－
＝ ， 4
52 (sin x－cosx)＝ ，
3 2
因此 sin x－cos x＝ ，两边平方得， (sin x－cos x)
2
＝sin2x－
5
18 7
2sin xcosx＋cos ，那么 sin 2x＝
2
x＝1－sin 2x＝
25.应选 B.
25
答案：B
x－y＋1≤0， y
9．假设实数 x，y满x＞0， 那
的取值范围是
足 么
x≤2， ( )
x
3
A．(0，2) B．(0，2) C．(2，＋∞)
，＋∞
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D. 2
x－y＋1≤0，
剖析： 不等式组 x＞0， y
当获取点(2，3)时， 获取最小值
≤2，
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x
x2021数学高中学业水平考试模拟试卷一
为 3 3 ，因此答案为 ，＋∞
，应选 D. 2
2 答案：D
1
10．等差数列 {an}中，a1＝ ，a2＋a5＝4，an＝33，那么 n 等于(
3 A．48 B．49 C．50 D．51
剖析： 由于 a 1 2
2＋a5＝2a1＋5d＝4，又 a1＝
，因此 d＝ ， 3 3 1 2
因此 an＝a1＋(n－1)d＝ ＋(n－1) ＝33，因此 n＝50.应选 C.
3 3 答案：C
1 4
11． a＞0，b＞0，a＋b＝2，那么 y＝ 的最小值是 ( )
＋ a b
7 9 A. 2 D．5 2 B．4 C.
剖析： 依题意得
1 4
1 4 1
＋ ＋ ＝ a b a b 2
(a＋b)＝ 1 b 4a
2 5＋ ＋
≥
a b
a＋b＝2，
1 b 4a
9 b 4a 2 5＋2 × ＝
，当且仅当 ＝ ，
时，即 a＝
2
，a b 2
a b 3
a＞0，b＞0，
)
b 2021数学高中学业水平考试模拟试卷一
4 1 4 9 ＝
时取等号，即 ＋ 的最小值是 2 3 a b ，选 C.
答案：C
12．假设点 A 在点 C 的北偏东 3 0°，点 B 在点 C 的南偏东 60°， 且 AC＝BC，那么点 A 在点 B 的(
第 5 )
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A．北偏东15° B．北偏西 15° C．北偏东10° D．北偏西 10° 剖析： 如图． 答案： B
13．同时扔掷三枚均匀的硬币，出现均为正面的概率是 1
3
7
5
(
)
A. 8 C. 8 D. 8 8 B.
剖析：同时扔掷三枚均匀的硬币， 根本领件有 (正，正，正)，(正， 正，反 )，⋯ ，(反，反，反 )共 8 个，而出现均为正面的事件为(正， 1 正，正 )．故其概率为
8.
答案： A
2
＋b2＋c2≥
3〞 14． a，b，c∈R，命题“假设 a＋b＋c＝3，那a 么的否命题是 (
)
2
＋b＋c＜3
2
2
22
A．假设 a＋b＋c≠3，那a 么
2
＋b＋c＜3
B．假设 a＋b＋c＝3，那a 么
＋b2＋c2≥ 3 C．假设 a＋b＋c≠3，那a 么＋b2＋c2＝3 D．假设 a＋b＋c≥ 3，那a 么
剖析：a＋b＋c＝3 的否认是 a＋b＋c≠3，a＋b＋c≥ 3 的否认是 a 2
＋b2＋c2＜3.
答案： A
2
2
2
22
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满不足
等式组 第 6 x＋2y－5＞0，
2x＋y－7＞0，假设 x，y为整数，
x≥ 0，y≥ 0.
15．设 数实
x，y页
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那么 3x＋4y的最小值是 ( )
A．14 B．16 C．17 D．19
剖析： 线性地域界线上的整点为 (3，1)，因此最吻合条件的整点 可能为(4，1)或(3，2)，对于点(4，1)，3x＋4y＝3× 4＋4× 1＝16；对 于点(3，2)，3x＋4y＝3× 3＋4× 2＝17，因此 3x＋4y的最小值为 16.
答案：B
二、填空题 (本大题共 4 小题，每题 4 分，总分值 16 分．) 16．课题组进行城市空气质量检查， 按地域把 24 个城市分成甲、 乙、丙三组，对应的城市数分别为
4，12，8，假设用分层抽样抽取 6
个城市，那么丙组中应抽取的城市数为 ________．
剖析： 由得抽样比为
6 1
＝ ，因此丙组中应抽取的城市数为 24 4
1 8×
＝2. 4
答案：2
17．某中学为认识学生数学课程的学习情况，在
3 000名学生中
随机抽取 200 名，并统计这 200 名学生的某次数学考试成绩， 获取了 样本的频率分布直方图 (如图)．依照频率分布直方图推测，这 3 000 名学生在该次数学考试中成绩小于 60 分的学生数是 ________．
剖析： 依照样本的频率分布直方图，成绩小于
60 分的学生的频
率为＋＋0.012)× 1 0＝，因此可推测 3 000 名学生中成 绩小于 60 分的人数为 600 名．
答案：600
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1 22
作圆 x＋y 18．假设椭x y 2
2＋ 圆
2＝1 的焦点在 x 轴上，过点 1， a b
2 2
＝1 的切线，切点分别为 A，B，直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和 上极点，那么椭圆方程是 ________．
1
剖析： 由题可设斜率存在的切线的方程为 y－
＝h(x－1)( h 为切 2
|－2k＋1| 3
线的斜率)．即 2kx－2y－2k＋1＝0，由 ＝1，解得 h＝－ ，
2 4 4k＋4
2
＋4
3x＋4y－5＝0，求得切点
因此圆 x
2
＋y＝1 的一条切线方程为
2
3 4
A
，5 ，易知另所有点 B(1，0)，那么直线 AB 的方程为 y＝－2x＋2. 5 令 y＝0 得右焦点为 (1，0)，令 x＝0 得上极点为 (0，2)．故 c＝1，b ＝2.
2 2 222
因此 a＝b＋c＝5，故所求椭圆x y
＋ 方程为
＝1. 222
＝b＋c＝5，故所求椭圆方程为
5 4
2 2
x y 答案：
＋
＝1 5 4
19．向量 m＝(cos ωx＋sin ωx， 3cos ωx)，n＝(cos ωx －sin ωx，2sin ωx)，其中 ω＞0.设函数 f(x)＝m·n，且函数 f(x)的
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最小正周期为 π，那么 ω的值为________．
剖析： 由于 m＝(cos ωx＋sin ωx， 3cos ωx)， n＝(cos ωx－sin ωx，2sin ωx)， 因此 f (x)＝m·n＝cos
2
ωx－sinωx＋2 3cos ωxsin ωx
2
＝cos 2ωx
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＋ 3sin 2ωx＝2sin 2ωx
π
＋
.
6
因此 f( x)＝2sin 2ωx π
. ＋
6 2π
由于函数 f( x)的最小正周期为π，因此 T＝ ＝π，因此 ω＝1.
2ω 答案：1
三、解答题 (本大题共 2 小题．每题 12 分，总分值 24 分．解答 须写出文字说明、证明过程和演算步骤． )
20．(12 分)△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c，asin A＋csin C－ 2asin C＝bsin B.
(1)求 B；
(2)假设 A＝7 5° ，b＝2，求 a、c. 解：(1)由正弦定理得 a2
＋c2
－ 2a c＝b2
. 由余弦定理得 b
2＝a2＋c2
－2accosB.
故 cosB＝
2
，又 0° ＜B＜180° ，因此B＝45°. 2
(2)sin A＝sin(30° ＋45°)＝sin 30°cos 45° ＋cos 30°sin 45° 2＋ 6
2＋ 6
sin A
＝1＋ 3， 4
.故 a＝b·
2
sin B
＝
＝ 2021数学高中学业水平考试模拟试卷一
sin
60° sin C c＝b· ＝2· ＝ 6.
sin B
sin 45°
21.(12 )以以下图，PA⊥矩形 ABCD 第 9 页
所在平面，M，N 分分
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别是 AB，PC 的中点．
(1)求证：MN⊥CD；
(2)假设∠PDA＝45° ，求证： MN⊥平面 PCD . 证明：(1)如图，连接 AC，AN，BN， 由于 P A⊥平面ABCD，
因此 P A⊥AC，在 Rt△PAC中，N 为 PC 中点， 1 因此 AN＝
2PC.由于 PA⊥平面ABCD， 因此 P A⊥BC，又 BC⊥A B，PA∩AB＝A， 因此 BC⊥平面PAB，因此 BC⊥PB，
从而在 Rt△PBC 中，BN 为斜边 PC 上的中线，
1
因此 BN＝2PC.因此 AN＝BN，因此△ABN 为等腰三角形，又 M 为底边的中点，因此 MN ⊥A B，又由于 AB∥CD，因此 MN ⊥CD.
(2)连接 PM、MC，由于∠PDA＝45° ，P A⊥AD，因此 A P＝AD. 由于四边形 ABCD 为矩形，因此 AD＝BC，因此 P A＝BC. 又由于 M 为 AB 中点，因此 AM＝BM .而∠PAM＝∠CBM＝ 90° ，因此PM＝CM.
又 N 为 PC 的中点，因此 MN⊥PC.
由(1)知，MN⊥CD，PC∩CD＝C，因此 MN ⊥平面PCD.
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