信号与系统中基于抽样定理的教学内容总结与分析

魏坤，余秋菊信息工程学院，陕西

西安

710065）

摘要：文章针对信号与系统中抽样定理的教学内容进行了较详细的总结和分析，补充和扩展了抽样定理的相关知识内容，增加了连续周期信号的抽样分析、窄带信号的抽样特性以及基于压缩感知的抽样等知识的讨论。

关键词：信号与系统；窄带信号；抽样定理；压缩感知中图分类号：G2.0

文献标志码：A

文章编号：1674-9324（2019）34-0255-02

一、引言

信号与系统有一个十分重要的知识点“抽样定[1-4]理”，它是连续信号和离散信号相互转换而使信息不丢失的理论依据，在数字信号处理、通信原理、数字图像处理等课程中有重要的应用，因而深入学习和掌握抽样定理是非常重要的。

二、时域抽样分析[2-4]令信号（ft）、抽样脉冲序列p（t）、抽样后信号f（）st的频谱分别为F（ω）、P（ω）和F（，抽样周期和频sω）率分别为Ts和ωs，抽样过程满足f（）=f（t）·p（t）。假设st1p（t）是周期为Ts的冲激序列δT（t），那么F（）=sω

Ts[2]s

T1、ω1。截取（ft）一个周期内信号f（），此时有（ft）=f（）0t0t*δT（t），其中δT（t）是周期为T1的冲激序列，F（ω）=

1

1

F（）·ω1·δω（ω），其中δω（ω）=∑δ（ω-nω1）。0ω

1

1

∞n=-∞∞∞ω1于是得到F（）=·F（）·（ω-nωs-nω1），∑∑δsω0ωm=-∞n=-∞Ts整个过程如图2所示。由图2（b）看出，如果F（ω）的最

若ωs≥2ωm，同样可设计滤波器恢复出高频率为ωm，

（ft）。设（ft）每个周期内抽样N个点，即T1=NTs，这时ωs=Nω1，再设ωm=nω1，见图2（c）所示。根据ωs≥2ωm，有n≤N/2，即（ft）的最高谐波分量只能取到ωm=Nω1/2。

（ω-nω）。∑F

n=-∞s∞1.f（t）为连续非周期信号时，由傅立叶变换可知

F（ω）也是连续非周期函数（如图1所示）。由图1可知，如果F（ω）有最高频率ωm，且抽样频率ωs≥2ωm，则F（是不会发生混叠的周期函数，这时可设计截止sω）

频率为ωm、幅值为Ts的理想低通滤波器进行滤波，提取出F（ω），再进行傅立叶反变换得到原信号（ft）。

2.f（t）为连续周期信号时，令周期、角频率分别为

图2连续周期信号的抽样与频谱

三、时域抽样定理分析与讨论

由第2小节的分析可以引出时域抽样定理：一个频域受限连续信号（ft），如果频谱只占据-ωm—ωm范围，对（ft）抽样时，若保证抽样频率ωs≥2ωm（或Ts≤π/ωm），那么可由（fnTs）恢复出（ft），即（fnTs）保留了（ft）的全部信息，称ωs=2ωm的频率为奈奎斯特采样频

图1连续非周期信号的抽样与频谱

率。下面对时域抽样定理（本小节简称抽样定理）进行

收稿日期：2018-10-26

基金资助：本文系西安文理学院2018年校级重点课程教学改革项目基金资助作者简介：魏坤，博士，讲师，研究方向：信号处理、嵌入式系统设计。

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2019年8月第34期教育教学论坛EDUCATIONTEACHINGFORUMAug.2019NO.34分析和讨论。

1.抽样定理反映了信号时域和频域的相结合。在第2小结，为了分析（ft）的抽样性，把f（）从时域变换成st频域，在频域进行分析，引出了抽样定理。在Ts≤π/ωm条件中，Ts和ωm分别是时域参数和频域参数，说明抽样定理结合了信号的时域和频域特性。这给出了分析信号的一个途径，当时域信号本身不易分析时，可以变换为频域，在频域分析完成后再进行反变换为时域。这是由于时域和频域相互转换具有唯一性，信号在时域确定后，频域就确定了，反之亦然。

2.抽样定理具有理论性，现实只能近似实现。根据抽样定理，信号（ft）的频谱必须有最高频率ωm，但在实际中由于（ft）均为时间有限，根据傅立叶变换性质，其F（ω）为频率无限，不存在最高频率，但随着频率的增大，频谱呈递减趋势，因而使用时先给定ωm值，然后利用低通滤波器滤除信号大于ωm的高频部分，最后进行抽样，抽样频率一般远大于2倍的ωm。经过这样处理后，信号损失了高频部分，必然只能近似恢复原始信号，但可通过增大选取ωm值以及提高抽样频率ωs，使恢复信号逼近原始信号。

3.对窄带信号的抽样特性。考虑信号x（t）=a（t）cos

（t）），式中a（t）是一个低频的带限信号，频谱为（ω0t+渍A（ω），其最高频率ωm远低于频率ω0，渍（t）是余弦信号的初相位（假定是一个常数）。x（t）的频谱X（ω）是1蓘A蓡，（ω+ω0）+A（ω-ω0）如图3所示。2

其中r′是不超过r的最大整数。可见当ωB远小于ω0时，ωs远小于2ωB2。它称为窄带信号的抽样定理，在信号调制中有着重要应用。

4.基于压缩感知的抽样定理。抽样定理指出，信号的抽样频率需满足ωs≥2ωm。在现实中有一类信号，其幅值有大量的零值存在（或者对其进行变换，变换后的幅值有许多零值），把这类信号称为稀疏信号或可压缩信号。如果信号幅值中非零个数为K，称信号的稀疏度为K。针对稀疏信号，近年来提出了压缩感知（CompressiveSensing，CS）理论。此理论指出，可以以低于奈奎斯特采样频率对稀疏信号进行采样，但能很好地恢复出原信号。定理描述如下：若信号x（t）在时间［0，T］内可以在某变换域稀疏表示，其稀疏度为K，对x（t）抽样时，若保证抽样点数M≥cK（c为常数），那么可由xcs（n）高概率地恢复出x（t），即xcs（n）保留了x（t）的几乎所有信息。压缩感知在一定条件下突破了传统的抽样定理对抽样频率的，而且不需要在频域对信号有最高频率的。

四、频域抽样定理的分析

频域抽样定理和时域抽样定理具有对称性。从第2小节连续周期信号的抽样分析可以引出频域抽样定理。由图2看出，非周期的频域信号F（（其对应的时0ω）域信号为f（））经采样间隔为ω1的冲激序列采样后得0t到离散信号F（ω），F（ω）经逆变换得到时域周期信号（ft），若能由（ft）得到f（），f（）必须在（-tm—tm）范围外0t0t为零值，而且（ft）的周期T（需满足T1≥2tm，1即2π/ω1）也就是F（在频域采样间隔ω1需满足ω1≤π/tm（或0ω）者f1=2π/ω1≤1/2tm）。这就是频域抽样定理所要求达到的抽样条件。此定理同样具有理论意义，实际应用只能近似实现。

五、结语

抽样定理是信号与系统课程的一个核心知识点，理解并掌握该知识点对本课程及后续相关课程的学习非常重要。

图3低频信号和窄带信号的频谱

x（t）的有效带宽ωB=2ωm，远小于ω0，称x（t）为窄带信号。令ωB2=ω0+ωm，ωB1=ω0-ωm，r=ωB2/ωB。若根据抽样定理，x（t）抽样时需满足ωs≥2ωB2，一般ω0值相当高，这样ωs会非常大。经过分析推导[4]可得到使窄带信号不发生混叠的ωs满足的条件为ωs=2ωBr/r′，

参考文献：

[1]奥本海姆.信号与系统[M].第二版.刘树棠,译.西安交通大学出版社,1998.

[2]郑君里,应启珩,杨为理.信号与系统[M].第三版.北京:高等教育出版社,2011.

[3]吴大正.信号与线性系统分析[M].第四版.北京:高等教育出版社,2006.

[4]胡广书.数字信号处理———理论、算法与实现[M].第二版.北京:清华大学出版社,2007.

SummaryandAnalysisofTeachingContentsBasedonSamplingTheoreminSignalandSystem

WEIKun,YUQiu-ju

(SchoolofInformationEngineering,Xi'anUniversity,Xi'an,Shaanxi710065,China)

Abstract:Thispapersummarizesandanalyzestheteachingcontentofsamplingtheoreminsignalandsystemindetail,complementsandexpandstherelevantknowledgeofsamplingtheorem,andincreasesthesamplinganalysisofcontinuousperiodicsignal.Thesamplingcharacteristicsofnarrowbandsignalsandthesamplingbasedoncompressedperceptionarediscussed.

Keywords:signalandsystem;narrowbandsignal;samplingtheorem;compressionperception

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