一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）
1. 设全集为R，集合𝐴={𝑥|𝑥2−9<0}，𝐵={𝑥|−1<𝑥≤5}，则𝐴∩(∁𝑅𝐵)=( )
A. (−3,0) B. (−3,−1) C. (−3,−1] D. (−3,3) 2. 函数𝑓(𝑥)=()−𝑥+2的零点所在的一个区间是( )
2
1𝑥
A. (0 ,1) B. (1 ,2) C. (2 ,3) D. (3 ,4)
3. 下列函数完全相同的是( )
A. 𝑓(𝑥)=|𝑥|，𝑔(𝑥)=(√𝑥)2
C. 𝑓(𝑥)=|𝑥|，𝑔(𝑥)=𝑥𝑥
1
2，𝑐=(1)2，则( ) 4. 设𝑎=33，𝑏=log133
1
2
B. 𝑓(𝑥)=|𝑥|，𝑔(𝑥)=√𝑥2
−9
，𝑔(𝑥)=𝑥+3 D. 𝑓(𝑥)=𝑥𝑥−3
2
A. 𝑏<𝑐<𝑎
5. 函数𝑦=
3−𝑥21+𝑥2
B. 𝑐<𝑏<𝑎 C. 𝑐<𝑎<𝑏 D. 𝑏<𝑎<𝑐
的最大值为( )
A. −3 B. −5 C. 5 D. 3
6. 若函数𝑓(𝑥)=lg(𝑥2+𝑎𝑥−𝑎−1)在区间[2,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A. (−3,+∞) B. [−3,+∞) C. (−4,+∞) D. [−4,+∞) 7. 已知函数
值范围是( ) A. (−1,0) B. (−∞,0) 8. 已知𝑥>0，函数𝑓(𝑥)=
(𝑒𝑥−𝑎)2+(𝑒−𝑥+𝑎)2
𝑒𝑥−𝑒−𝑥
，若函数𝑦=𝑓(𝑓(𝑥))+1有四个不同的零点，则实数a的取
C.
D. (0,1)
的最小值为6，则𝑎=( )
A. −2
9. 函数𝑓(𝑥)=
|𝑥|𝑥
B. −1或7
+𝑥的图象大致为( )
C. 1或−7 D. 2
A.
B.
C.
D. …
10. 函数𝑓(𝑥)=2+log2𝑥的零点为( )
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A. 1 B. (1,0)
C. (4,0)
1
D. 4
1
二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）
11. 设集合𝐴={1,2,3}，则A的真子集的个数为_______． 12. 函数𝑦=√−𝑥2+2𝑥+15𝑥−1
的定义域为______ ．
13. 已知函数𝑓(𝑥+1)=𝑥2−1，则𝑓(2)=____________________．
14. 从集合{3,4}到集合{5,6,7}可以建立不同的映射的个数为__________．
(3−𝑎)𝑥−3,𝑥≤7
15. 若函数𝑓(𝑥)={𝑥−6在R上单调递增，则实数a的取值范围是__________
𝑎,𝑥>716. 已知函数𝑓(𝑥)=|2𝑥−1|+|𝑥−2𝑎|.当𝑥∈[1,2]时，𝑓(𝑥)≤3恒成立，则实数a的取值集合为
_______．
17. 已知集合𝐴={1,2，3，}，𝐵={2,m，4}，𝐴∩𝐵={2,3}，则𝑚=____________ 三、解答题（本大题共5小题，共60.0分） 18. (1)()−(−2009)0−()+(3)−2；
4272(2)log25625+lg 0.001+ln√𝑒+2−1+𝑙𝑜𝑔23．
19. 已知𝐴={𝑥|𝑥2−2𝑚𝑥+𝑚2−1<0}．
(1)若𝑚=2，求A；
(2)已知1∈𝐴，且3∉𝐴，求实数m的取值范围．
9
12
8
23
20. 𝑓(𝑥)是定义在R上的奇函数，且当𝑥<0时，𝑓(𝑥)=𝑥2−𝑥，求当𝑥≥0时，𝑓(𝑥)的解析式．
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21. 已知𝑓(𝑥)为定义在R上的奇函数，且当𝑥≥0时，𝑓(𝑥)=𝑥2−(𝑎+4)𝑥+𝑎
(1)求实数a的值； (2)求𝑓(𝑥)的解析式．
22. 已知函数𝑓(𝑥)=−𝑥2+𝑎𝑥+2，𝑥∈[−5,5]．
(Ⅰ)若函数𝑓(𝑥)不是单调函数，求实数a的取值范围； (Ⅱ)记函数𝑓(𝑥)的最小值为𝑔(𝑎)，求𝑔(𝑎)表达式．
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-------- 答案与解析 --------
1.答案：C
解析： 【分析】
本题考查了集合的交、并、补集混合运算，由集合B求得∁𝑅𝐵={𝑥|𝑥≤−1或𝑥>5}，结合集合A可得到结果． 【解答】 解：∵𝑥2−9<0， ∴−3<𝑥<3， ∴𝐴={𝑥|−3<𝑥<3}， ∵𝐵={𝑥|−1<𝑥≤5}， ∴∁𝑅𝐵={𝑥|𝑥≤−1或𝑥>5}， ∴𝐴∩(∁𝑅𝐵)={𝑥|−3<𝑥≤−1}． 故选C．
2.答案：C
解析：
【分析】
本题主要考查零点存在性定理的应用，属于基础题． 根据函数零点的定题即可． 【解答】
解：由函数𝑓(𝑥)=(2)𝑥−𝑥+2，𝑓(𝑥)在R上单调递减， 所以𝑓(2)=(2)2−2+2=4>0, 𝑓(3)=()3−3+2=−<0，
2
8
1
7
1
1
1
则𝑓(2)⋅𝑓(3)<0，
根据零点的存在定理，可知函数𝑓(𝑥)=(2)𝑥−𝑥+2的零点所在的一个区间是(2 , 3)． 故选C．
1
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3.答案：B
解析：
【分析】
此题主要考察函数与导数>函数的概念及其表示>函数的基本概念，属于基础题． 【解答】
解：A．𝑔(𝑥)=(√𝑥)2 = x，𝑥≥0 ，两个函数的定义域不相同，不是同一函数． B.𝑔(𝑥)=√𝑥2= |𝑥| ，两个函数的定义域和对应法则都相同，是同一函数． C.𝑔(𝑥)=D.𝑓(𝑥)=
𝑥2𝑥
=𝑥，𝑥≠0，两个函数的定义域和对应法则都不相同，不是同一函数． =𝑥+3，𝑥≠3，两个函数的定义域不相同，不是同一函数．
𝑥2−9𝑥−3
故选B． 4.答案：A
解析： 【分析】
本题主要考查了指数对数函数的性质，考查了比较大小，属于基础题； 根据题意逐一判断a，b，c的大小即可得解． 【解答】
2<0，0<𝑐=()2<1， 解：因为𝑎=33>1，𝑏=log133
1
1
1
所以𝑏<𝑐<𝑎；
故选A．
5.答案：D
解析：解：令𝑡=𝑥2，则𝑡∈[0,+∞)，∴𝑦=1+𝑡， 𝑦′=
−1(1+𝑡)−(3−𝑡)
(1+𝑡)2
3−𝑡
=(1+𝑡)2<0，∴𝑦=
−43−𝑡1+𝑡
在𝑡∈[0,+∞)上单调递减，
3−0
∴当𝑡=0时，函数取最大值，即𝑦最大值=1+0=3 故选：D
令𝑡=𝑥2，则𝑡∈[0,+∞)，因此𝑦=1+𝑡，再求函数的导数，通过单调性探求函数的最大值． 本题主要考查函数的最值求法，如果函数的解析式较复杂，通常利用换元法使函数的解析式变得简单后再求最值． 6.答案：A
3−𝑡
解析： 【分析】
本题主要考查对数函数和二次函数的单调性，属于基础题． 【解答】
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−≤2
解：根据题意有{2，解得𝑎>−3，
4+2𝑎−𝑎−1>0
故选A． 7.答案：C
𝑎
解析： 【分析】
本题考查分段函数，复合函数的零点个数，属于较难题．
函数𝑦=𝑓(𝑓(𝑥))+1的零点个数，即为方程𝑓(𝑓(𝑥))=−1的解的个数，结合函数𝑓(𝑥)图象，分类讨论判断，求解方程可得答案．
【解答】
解：函数𝑦=𝑓(𝑓(𝑥))+1的零点，即方程𝑓(𝑓(𝑥))=−1的解的个数， (1)当𝑎=0时，
当𝑥>1时，当且仅当𝑥=√2时，𝑓(𝑓(𝑥))=−1成立， ∴方程𝑓(𝑓(𝑥))=−1有1解， 当0<𝑥<1，log2𝑥<0， ∴方程𝑓(𝑓(𝑥))=−1无解，
当𝑥≤0时，𝑓(𝑥)=1，𝑓(𝑓(𝑥))=0，
∴𝑓(𝑓(𝑥))=−1有1解，故𝑎=0不符合题意， (2)当𝑎>0时，
当𝑥>1时，𝑥=√2，𝑓(𝑓(𝑥))=−1成立，此时方程𝑓(𝑓(𝑥))=−1有1解√2， 当0<𝑥<1，log2𝑥<0，由图可知：此时方程𝑓(𝑓(𝑥))=−1有1解， 当−𝑎<𝑥≤0时，0<𝑓(𝑥)⩽1， 需𝑓(𝑥)=2时，𝑓(𝑓(𝑥))=−1， ∴此时𝑓(𝑓(𝑥))=−1有1解， 当𝑥≤−𝑎时，𝑓(𝑥)<0， 需𝑓(𝑥)=−𝑎时，𝑓(𝑓(𝑥))=−1， ∴此时𝑓(𝑓(𝑥))=−1有1解， 故𝑓(𝑓(𝑥))=−1有4解， (3)当𝑎<0时，
211
1
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当𝑥>1时，𝑥=√2，𝑓(𝑓(𝑥))=−1成立， ∴𝑓(𝑓(𝑥))=−1有1解，
当0<𝑥<1时，𝑓(𝑥)⩽0，𝑓(𝑓(𝑥))≥1，不成立， 当𝑥≤0时，𝑓(𝑥)⩾1，𝑓(𝑓(𝑥))⩾0， 此时𝑓(𝑓(𝑥))=−1无解，
故𝑓(𝑓(𝑥))=−1有1解，不符合题意， 综上：𝑎>0． 故选：C． 8.答案：B
解析：解：∵𝑥>0，
∴𝑒𝑥−𝑒−𝑥>0
∴𝑓(𝑥)=
(𝑒𝑥−𝑎)2+(𝑒−𝑥+𝑎)2
𝑒𝑥−𝑒−𝑥(𝑒𝑥−𝑒−𝑥)2−2𝑎(𝑒𝑥−𝑒𝑥)+2𝑎2+2
𝑒𝑥−𝑒−𝑥2𝑎2+2𝑒𝑥−𝑒−𝑥==(𝑒𝑥−𝑒−𝑥)+ −2𝑎≥2√2𝑎2+2−2𝑎，
∵函数𝑓(𝑥)=
(𝑒𝑥−𝑎)2+(𝑒−𝑥+𝑎)2
𝑒𝑥−𝑒−𝑥
的最小值为6，
∴2√2𝑎2+2−2𝑎=6，
解得𝑎=−1或7， 故选：B．
根据基本不等式即可求出函数的最值．
本题考查了函数的最值和基本不等式的应用，考查了转化与化归能力，属于中档题 9.答案：D
解析：解：𝑓(𝑥)=
|𝑥|𝑥
1+𝑥
+𝑥={
−1+𝑥𝑥>0
， 𝑥<0
则对应的图象为D， 故选：D．
根据绝对值的应用，将函数表示成分段函数形式进行求解判断即可．
本题主要考查函数图象的识别和判断，求出函数的解析式是解决本题的关键． 10.答案：D
解析：令2+log2𝑥=0得𝑥=4，所以函数的零点为4．
1
1
11.答案：7
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解析： 【分析】
本题考查集合的真子集的个数求解，属于基础题目．
由集合A的元素个数n，得出真子集个数为2𝑛−1个得出即可． 【解答】
解：∵集合𝐴={1,2,3}中有3个元素， ∴集合A的真子集个数为23−1=7． 故答案为7．
12.答案：[−3,1)∪(1,5]
解析：解：由题意得：
−𝑥2+2𝑥+15≥0且𝑥≠1， 解得：−3≤𝑥≤5且𝑥≠1，
故函数的定义域是[−3,1)∪(1,5]， 故答案为：[−3,1)∪(1,5]．
根据二次根式的性质求出函数的定义域即可．
本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题． 13.答案：0
解析： 【分析】
本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用． 由𝑓(2)=𝑓(1+1)，利用函数𝑓(𝑥+1)=𝑥2−1，能求出𝑓(2)． 【解答】
解：∵𝑓(𝑥+1)=𝑥2−1，
∴𝑓(2)=𝑓(1+1)=12−1=0． 故答案为0．
14.答案：9
解析：3有三种对应方式，4有三种对应方式，共有3×3=9种.
15.答案：[4,3)
解析： 【分析】
本题考查分段函数的应用，指数函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．【解答】 (3−𝑎)𝑥−3,𝑥⩽7
解：∵函数𝑓(𝑥)={单调递增，
𝑎𝑥−6,𝑥>7
由指数函数以及一次函数的单调性的性质，可得3−𝑎>0且𝑎>1． 但应当注意两段函数在衔接点𝑥=7处的函数值大小的比较，
9
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即(3−𝑎)×7−3≤𝑎，可以解得𝑎≥4，综上，实数a的取值范围是[4,3)． 故答案为[4,3)．
9
99
16.答案：{1}
解析：
【分析】
本题考查了含有绝对值不等式的恒成立问题，属于中档题．
由题意，𝑓(𝑥)≤3，𝑥∈[1,2]，得|𝑥−2𝑎|≤4−2𝑥，解绝对值不等式即得a的值． 【解答】
解：∵𝑓(𝑥)=|2𝑥−1|+|𝑥−2𝑎|，且𝑓(𝑥)≤3， ∴|𝑥−2𝑎|≤3−|2𝑥−1|； 又∵𝑥∈[1,2]，
∴|𝑥−2𝑎|≤4−2𝑥，
即2𝑥−4≤2𝑎−𝑥≤4−2𝑥，
∴3𝑥−4≤2𝑎≤4−𝑥对𝑥∈[1,2]恒成立，
当1≤𝑥≤2时，3𝑥−4的最大值2，4−𝑥的最小值为2， ∴𝑎=1. 故答案为{1}. 17.答案：3
解析：解：由𝐴∩𝐵={2,3}知：3∈𝐴且3∈𝐵 ∴𝑚=3 故答案是3
18.答案：解：(1)原式=2−1−9+9=2．
(2)原式=2−3+2+2×3=1．
1
1
3441
解析：本题考查了指数幂的运算性质和对数的运算性质，属于基础题． (1)根据指数幂的运算性质计算即可， (2)根据对数的运算性质计算即可．
19.答案：解：(1)由题知𝐴={𝑥|𝑥2−2𝑚𝑥+𝑚2−1<0}， ∴当𝑚=2，即𝐴={𝑥|𝑥2−4𝑥+3<0}，
∴𝐴={𝑥|(𝑥−1)(𝑥−3)<0}={𝑥|1<𝑥<3}， 故A={𝑥|1<𝑥<3}； (2)已知1∈𝐴，且3∉𝐴，
则1−2𝑚+𝑚2−1<0且9−6𝑚+𝑚2−1≥0， ∴0<𝑚<2，
故实数m的取值范围为(0,2)．
解析：本题考查元素与集合的关系，集合关系中的参数取值问题，考查分析与计算能力，属于基础题．
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(1)若𝑚=2，解一元二次不等式即可求A；
(2)已知1∈𝐴，且3∉𝐴，则1−2𝑚+𝑚2−1<0且9−6𝑚+𝑚2−1≥0，即可求实数m的取值范围．
20.答案：解：当𝑥>0时，−𝑥<0， ∴𝑓(−𝑥)=(−𝑥)2−(−𝑥)=𝑥2+𝑥， ∵𝑓(𝑥)是定义在R上的奇函数， ∴𝑓(−𝑥)=−𝑓(𝑥)=𝑥2+𝑥， ∴𝑓(𝑥)=−𝑥2−𝑥， 又∵𝑓(0)=0，
−𝑥2−𝑥,𝑥≥0
∴𝑓(𝑥)={2．
𝑥−𝑥,𝑥<0
解析：由函数是奇函数，𝑓(𝑥)=−𝑓(−𝑥)，从而求函数的解析式． 本题考查了函数解析式的求法，利用了函数的奇偶性，属于基础题． 21.答案：解：(1)∵𝑓(𝑥)为定义在R上的奇函数， ∴𝑓(0)=𝑎=0，
(2)由(1)得：𝑥≥0时：𝑓(𝑥)=𝑥2−4𝑥， 设𝑥<0，则−𝑥>0，
则𝑓(−𝑥)=𝑥2+4𝑥=−𝑓(𝑥)， 故𝑥<0时：𝑓(𝑥)=−𝑥2−4𝑥， 𝑥2−4𝑥,𝑥≥0
故𝑓(𝑥)={2．
−𝑥−4𝑥,𝑥<0
解析：本题考查了函数的奇偶性问题，考查求函数的解析式，是一道基础题． (1)根据函数的奇偶性得到𝑓(0)=0，求出a的值即可；
(2)令−𝑥>0，得到𝑥<0，根据函数的奇偶性求出函数的解析式即可．
22.答案：解：(Ⅰ)𝑓(𝑥)=−(𝑥−2)2+
∵函数𝑓(𝑥)不是单调函数， ∴−5<
𝑎2
𝑎
𝑎24
+2，其对称轴为𝑥=2.(2分)
𝑎
<5，(5分)
(说明：本步若取等号，扣1分) ∴−10<𝑎<10，
∴实数a的取值范围为(−10,10).(6分) (Ⅱ)①当2≤0，即𝑎≤0时，(7分)
∴𝑓(𝑥)𝑚𝑖𝑛=𝑓(5)=−25+5𝑎+2=5𝑎−23，即𝑔(𝑎)=5𝑎−23.(9分) ②当2>0，即𝑎>0时，(10分)
𝑓(𝑥)𝑚𝑖𝑛=𝑓(−5)=−25−5𝑎+2=−5𝑎−23，即𝑔(𝑎)=−5𝑎−23.(12分) 5𝑎−23,𝑎≤0
.(14分) 综上所述，𝑔(𝑎)={
−5𝑎−23,𝑎>0
𝑎
𝑎
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解析：(Ⅰ)函数𝑓(𝑥)不是单调函数，判断对称轴在已知的区间内，即可求实数a的取值范围； (Ⅱ)讨论对称轴的位置，然后求解函数𝑓(𝑥)的最小值为𝑔(𝑎)，求𝑔(𝑎)表达式．
本题考查二次函数闭区间上的最值的求法，函数的单调性的应用，考查计算能力以及分类讨论思想的应用．
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