第4讲 数阵图之蔡仲巾千创作
时间：二O二一年七月二十九日
一、知识要点
在神奇的数学王国中,有一类非常有趣的数学问题,它变动多端,引人入胜,奇妙无穷.它就是数阵,一座真正的数字迷宫,它对喜欢探究数字规律的人有着极年夜的吸引力,以至有些人留连其中,用一生的精力来研究它的变动.
那么,究竟什么是数阵呢？我们先观察下面两个图：
左上图中有3个年夜圆,每个圆周上都有四个数字,有意思的是,每个圆周上的四个数字之和都即是13.右上图就更有意思了,1～9九个数字被排成三行三列,每行的三个数字之和与每列的三个数字之和,以及每条对角线上的三个数字之和都即是15,是不是很奇妙！
上面两个图就是数阵图.一些数依照一定的规则,填在某一特定图形的规定位置上,这种图形,我们称它为“数阵图”,数阵图的种类繁多,绚丽多彩,这里只介绍两种数阵图,即开放型数阵图和封闭型数阵图.
二、精讲精练
例1：把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中,使得横行三数之和与竖列三数之和都即是9.
解析：中间方格中的数很特殊,横行的三个数有它,竖列的三个数也有它,我们把它叫做“重叠数”.也就是说,横行的三个数之和加上竖列的三个数之和,只有重叠数被加了两次,即重叠了一次,其余各数均被加了一次.因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都即是9,所以
(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9,
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重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3.
重叠数求出来了,其余各数就好填了(见右图). 练习1：
1、把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中,使得横行三数之和与竖列三数之和都即是8和10.
2、将1～7这七个自然数填入左下图的七个○内,使得每条边上的三个数之和都即是10.
例2：把1～5这五个数填入下页左上图中的○里(已填入5),使两条直线上的三个数之和相等.
解析：与例1分歧之处是已知“重叠数”为5,而不知道两条直线上的三个数之和都即是什么数.所以,必需先求出这个“和”.根据例1的分析知,两条直线上的三个数相加,只有重叠数被加了两遍,其余各数均被加了一遍,所以两条直线上的三个数之和都即是
[(1+2+3+4+5)+5]÷2=10.
因此,两条直线上另两个数(非“重叠数”)的和即是10-5=5.在剩下的四个数1, 2, 3, 4中,只有1+4=2+ 3=5.故有右图的填法.
练习2：
1、将 10～20填入左下图的○内,其中15已填好,使得每条边上的三个数字之和都相等.
例3：把1～5这五个数填入右图中的○里,使每条直线上的三个数之和相等.
解析：例1是知道每条直线上的三数之和,不知道重叠数；例2是知道重叠数,不知道两条直线上的三个数之和；本例是这两样都不知道.但由例1、例2的分析知道,
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(1+2+3+4+5)+重叠数=每条直线上三数之和×2,所以,每条直线上三数之和即是(15+重叠数)÷2.
因为每条直线上的三数之和是整数,所以重叠数只可能是1,3或5.
若“重叠数”=1,则两条直线上三数之和为(15+1)÷2=8. 若“重叠数”=3,则两条直线上三数之和为(15+3)÷2=9. 若“重叠数”=5,则两条直线上三数之和为(15+5）÷2=10. 填法见右下图.
由以上几例看出,求出重叠数是解决数阵问题的关键.
(1)若已知每条直线上各数之和,则重叠数即是(直线上各数之和×
直线条数-已知各数之和)÷重叠次数.如例1.
(2)若已知重叠数,则直线上各数之和即是(已知各数之和+重叠数×
重叠次数)÷直线条数.如例2.
(3)若重叠数与每条直线上的各数之和都不知道,则要从重叠数的可
能取值分析讨论,如例3. 练习3：
1、将
3～9这七个数分别填入下图的○里,使每条直线上的三个数
之和即是20.
2、将1～11这十一个数分别填入右上图的○里,使每条直线上的三个数之和相等,而且尽可能年夜.
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:
例4：将1~6分别填在图内的数的和都即是9.
解析：因为1＋2＋3＋4＋5＋6 = 21,而每条边上的三个数的和为9,则三条边上的和为9×3 = 27, 27－21 = 6,这个6就是由于三个极点都被重复算了一次.所以三个极点的和为6,在1-6中,只能选1、2、3 填入三个极点中,再将4、5、6填入另外的三个圈即可.
a. b. c.
2 6 1 3 4 5 5 1 6 6 5 3 4 2 2 6 5 1 2 4 3 中,使每条边上的三个○
3 2 1 3 4 f. d. e. 2 3 练习4：4 3 5 6 1 1 5 6 4 1、把1-8个数分别填入○中,使每条边上三个数的和相等.
例5：把20以内的质数分别填入下图的一个○中,使得图中用箭头连接起来的四个数之和都相等.
解析 ：由上图看出,三组数都包括左、右两真个数,所以每组数的中间两数之和肯定相
等.20以内共有2,3,5,7,11,13,17,19八
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个质数,两两之和相等的有5＋19＝7＋17＝11＋13,于是获得下图的填法.
练习5：
1、将1~8个数分别填入图中,使每个圆圈上五个数和分别为20,21,22.
例6：在右图的六个○内各填入一个质数（可取相同的质数）,使它们的和即是20,而且每个三角形（共5个）极点上的数字之和都相等.
解析：因为年夜三角形的三个极点与中间倒三角形的三个极点正好是图中的六个○,又因为点上的数字之和相等,所以每上的数字之和为20÷2＝10.10
之和只能是2＋3＋5,由此获得右图的填法. 练习6：
1、把1~9,填入下图中,使每条线段三个数和及四个极点的和也相等.
2、把1~12这十二个数,填入下图中的12个○内,使每条线段上四个数的和相等,两个同心圆上的数的和也相等.
每个三角形极个三角形极点分为三个质数
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三、课后巩固
1、把1~8这8个数,分别填入图中的方格内(每个数必需用一次),使“十一”三笔中每三个方格内数的和都相等.
2、把1~9个数分别填入○中,使每条边上四个数的和相等. 3、把1~10填入图中,使五条边上三个○内的数的和相等. 4、把4~9填入下图中,使每条线上三个数的和相等,都是18. 5、将1~9这九个数分别填入图中○内,使每条线段三个数相等. 6、 把1~8这8个数填入下图,使每边上的加、减、乘、除成立.
- ÷ = × = + = = 7、把0~9填入10个小三角形中,使每4个小三角形组成的年夜三角形的和相等.
8、图有五个圆,它们相交相互分成9个区域,现在两个区域里已经填上10与6,请在另外七个区域里分别填进2、3、4、5、6、7、9七个数,使每圆内的和都即是15.
10 6 9、把1~8,填入图中,使每条线及正方形四个极点上的数的和相等. 10、将1-12这十二个数分别填入图中的十二个小圆圈里,使每条直线上的四个小圆圈中的数字之和26.
11、将1~10这十个数分别填入下图中的十个○内,使每条线段上四
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个○内数的和相等,每个三角形三个极点上○内数的和也相等.
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