2019届海南省华侨中学高三第四次月考数学(理)试题(解析版)

一、单选题

1．计算sin600°的值是( ) A．0.5 【答案】D

【解析】【考点】运用诱导公式化简求值．

360°-120°分析：把原式的角度600°变形为2×，然后利用诱导公式化简，再把120°变为180°-60°，利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可求出值． =sin（2×360°-120°解：sin600°） =-sin120°=-sin（180°-60°） =-sin60°=故选D

2．若复数zai，aR，且A．第一象限 【答案】B

【解析】根据复数的四则运算以及纯虚数的理解，可得结果. 【详解】

3． 2B．0.5 C．3 2D．3 2z1 为纯虚数，则z在复平面内所对应的点位于（ ）

i1C．第三象限

D．第四象限

B．第二象限

ai1z1ai1a11 由于

i1i1i1i1i1即

z1aaz11i，又为纯虚数

i1i122所以a2,z2i,

其对应的点为2,1,在第二象限. 故选B. 【点睛】

本题考查复数的运算和分类，以及复数与之所对应的点，识记概念，简单计算，属基础题.

3．已知函数f(x)sinxxR,0的最小正周期为,为了得到函数4第 1 页 共 22 页

gxcosx的图象,只要将yfx的图象( )

A．向左平移

个单位长度 8个单位长度 4B．向右平移

个单位长度 8个单位长度 4C．向左平移【答案】A

D．向右平移

【解析】【详解】

由f(x)的最小正周期是，得2， 即f(x)sin(2x4)

cos2x

42cos2x

4cos2(x)， 8因此它的图象向左平移

个单位可得到g(x)cos2x的图象．故选A． 8【考点】函数f(x)Asin(x)的图象与性质． 【名师点睛】

三角函数图象变换方法：

4．函数y|2x1|在区间(k1,k1)内不单调，则实数k的取值范围（ ） A．(1,) 【答案】C

【解析】由于函数y=|2x-1|在(-∞,0)内单调递减,在(0,+∞)内单调递增,而函数在区间

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B．(,1)

C．(1,1)

D．(0,2)

(k-1,k+1)内不单调,所以有k-1<0esinxcosx在区间0,上的值域为（ ） 22

112B．,e

222C．1,e

D．1,e2 112A．,e

22【答案】A

【解析】试题分析：在区间0,



上，2

fx1x1esinxcosx+excosxsinxexcosx0,所以fx单调递221112fe,所以值域为,e2. 22221f0,,增2【考点】函数导数求值域．

6．在ABC中，已知abcabc3ab，且2cosAsinBsinC，则ABC必是（ ） A．等腰三角形 C．等腰或直角三角形 【答案】D

【解析】化简式子可得a2b2c2ab，根据余弦定理可得CB．直角三角形 D．等边三角形

3，然后对

2cosAsinBsinC使用两角和的正弦公式，可得AB，最后可得结果.

【详解】 在ABC中，C=-(B+C)

则2cosAsinBsinCsinAB, ∴2cosAsinBsinAcosBsinBcosA, ∴sinAcosBsinBcosA0, ∴sinAB0,∴AB, ∵abcabc3ab, ∴abc23ab, 即a2b2c2ab,

2第 3 页 共 22 页

a2b2c21由余弦定理可得cosC,

2ab2∵0cn,∴ABC故ABC为等边三角形, 故选D. 【点睛】

本题考查利用余弦定理判断三角形形状，熟练余弦定理、正弦定理的应用，属基础题. 7．已知等比数列an的前n项和为Sn，若a4，4S2，a5成等差数列，则公比q的值为（ ） A．2或 【答案】C

【解析】分情况讨论q1，q1，根据等比数列的前n项和公式以及通项公式，结合等差数列等差中项的应用，可得结果. 【详解】

当q1时,a4a1,4S28a1,a5a1不为等差数列;

B．2

C．2或-1

D．2或

, 31q24,a5=a1q,则当q1时,a4a1q,4S24a11q31q2a1qa1q8a1q38q210,

1q34故q=2或1. 故选：C 【点睛】

本题考查等比数列通项公式与前n项和公式，还考查等差数列等差中项的应用，熟练公式以及等差、等比数列的性质的应用，属基础题. 8．已知,0,，cos3cos2，则下列选项正确的是（ ） 2B．tantanD．tanA．tantan2 C．tan2tan 【答案】B

1 21tan 2【解析】通过转换,2，根据两角和与差的余弦公

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式，并结合商的关系，将弦转化为切，可得结果. 【详解】

由,2 则coscos

即coscoscossinsin

cos2

则cos2coscossinsin 由cos3cos2

所以2coscos4sinsin

sinsin11，即tantan 所以

coscos22故选：B 【点睛】

本题主要考查两角和与差的余弦公式，熟练公式，细心计算，属基础题. 9．已知数列an满足a13，an13n1annN*，若nN*，使得nan3k4n0成立，则实数k的取值范围是（ ）

A．,1 4B．,0

C．,

38D．,27 【答案】D

n3【解析】化简式子根据等比数列定义可得an，然后分离参数并构造新数列n，

43记cnn，利用cn1,cn比较，判断数列的单调性，并得最值，通过最值与k比较，

4可得结果. 【详解】 ∵an1记bnn3n1anan1an*,∴, 3nNn1nnan, n第 5 页 共 22 页

则bn是以b13,q3的等比数列,

nn∴bn3,∴ann3,

n∵nN*,an3k40,

nn33*3kn 等价于nN，3kn，即44max3令cnn,

43则cn1cnn14n1n333n n444nn∴n3时,cn1cn;n4时,cn1cn. ∴c1c2c3c4c5c6L,

3n81c3c4∴n.

4max∴k2727,∴实数k的取值范围为,,

故选：D 【点睛】

本题考查根据递推关系得到等比数列，还考查使用分离参数的方法求解参数范围，掌握分离参数求参的方法，考查分析能力，属中档题.

10．等腰梯形ABCD中，已知AB//CD，且AB2CD，A60，若动点P满足

uuuruuuruuuruuuruuurPBPC0，设APADAB，则的最大值为（ ）

A．2 【答案】B

【解析】采用数形结合并建系，根据PBPC0，可知P在以BC为直径的圆上，利用圆的参数方程假设点P坐标，然后计算，结合辅助角公式，可得结果. 【详解】

以A为坐标原点,AB为x轴正方向建系,如图

B．

7 4uuuruuurC．

3 2D．

9 4第 6 页 共 22 页

3313D,B2,0,C, 2,2,22uuuruuur由PBPC0,则P在以BC为直径的圆上, 731, 则点P的轨迹方程：xy444227131设P42cos,42sin,

uuuruuuruuur132,, 则APADAB227112cos422, 即331sin422311cossin4443 化简可得11sin23∴513cossin 444即51sin 4267sin当1时，max.

64故选：B 【点睛】

本题考查建系的方法解决几何问题，难点在于P的轨迹以及坐标表示，通过建系将几何

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问题代数化，同时熟悉辅助角公式的使用，属中档题. 11．设函数fxx，若032时，fmcosf1m0恒成立,则实数m的取值范围是（ ） A．,1 【答案】A

【解析】根据函数的单调性与奇偶性，将不等式转化为mcosm10，在

B．,1 2C．,0 D．0,1

02恒成立，通过构建函数gtmtm1,tcos，结合一次函数的图像，

可得结果 【详解】

因为fxx为奇函数且在R上为单调增函数,

3∴fmcosf1m0

fmcosfm1

mcosm1

mcosm10恒成立,

令gcosmcosm1, 又02,∴0cosθ1,

又令tcos，则gtmtm1,

g00m10m1 ,即则有:g10mm10故选：A 【点睛】

本题考查利用函数的奇偶性以及单调性求解不等式，难点在于得到mcosm10，考验分析能力以及观察能力，属中档题.

1x1,x,212．设函数fx1，则函数gxxfx1的零点的个

fx2,x2,2数为( ) A．8 【答案】C

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B．7

C．6

D．5

【解析】通过等价转化的思想，可得函数yfx,y1图像交点的个数，根据x11x2,，fxfx2，可得f2n0,f2n1n1nN，作图

22可得结果. 【详解】

由题意：函数gxxfx1的零点的个数 等价于函数yfx,y1图像交点的个数 x1x1,x,2 由fx1fx2,x2,2所以f0f20,f11,f当x2,时,

131f, 222f411f20,f6f40,…, 22易得f4f6f8f2n0, 又f31111f1,同理f5f3, 222411f7f5,

28如图

显然零点共6个,其中左边1个,右边5个. 故选：C 【点睛】

本题考查函数零点个数问题，常常会利用等价转化的思想，函数零点个数等价于相应方程根的个数等价于函数图像交点个数，属中档题.

二、填空题

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13．ABC中，已知a【答案】30o

2,b2,B45，则A为__________．

【解析】在ABC中，由正弦定理得

abasinB2sin45 ，所以sinAsinAsinBb21，又ab，因此A45，所以A30。答案：30°。 23214．设函数f(x)axb（a0），若f(x)dx3f(x0)，x00，则

0x0__________．

【答案】3 【解析】fxaxb, fxdx3fx0，

2301332axbdxaxbx0=9a+3b， 30则9a+3b=3ax+3b， ∴x=3,解得：x0=3， 故答案为3. 223rrrrrrr315．已知向量a，b满足a3，b4，a在b上的投影为.若向量c满足

2rrrrrrc2acb0，则ca的取值范围是______.

【答案】1,3

ruuurruuurruuurrr【解析】计算a与b夹角，记aOA,bOB,cOC，然后采用建系，可得点C满足

的方程x23可得结果. 【详解】

由题可知：acos所以2rry11，然后计算dAM，根据cadr,dr，

2r33, cos226.以O为坐标原点建系如图,

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则Ar3,0,B23,2,设cx,y

x2rr3,yx23,y20

2则x23∵ca2y11,圆心M23,1,r1

x3y表示C到A的距离,

所以dAM312,

2222rr故cadr,dr1,3.

故答案为：1,3 【点睛】

本题考查利用建系的方法解决向量的问题，向量是代数与几何的一个纽带，熟悉使用建系的方法，化繁为简，考验对问题的分析能力，属中档题. 16．已知点P在曲线y围是__________． 【答案】4上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范xe13,. 44ex4ex44yx【解析】∵yx，∴(e1)2e2x2ex1ex12.

e1ex∵ex>0，∴ex11x2e，当且仅当，即x＝0时等号成立． exex3π,π. 4∴y′∈[−1，0)，∴tanα∈[−1，0)．又α∈[0，π)，∴α∈

三、解答题

17．设函数fx43sinxxcos2cosx. 22第 11 页 共 22 页

（1）求函数fx在x,的单调递增区间.

（2）若函数hxfxk，kR在区间0,上的无零点，求k的取值范围. 【答案】（1）2,；（2）k4或k2 33【解析】（1）利用二倍角的正弦公式以及辅助角公式，可得fx4sinx后计算x，然66的范围，根据正弦函数的性质，可得结果.

（2）根据（1）的结论，计算fx的值域，根据fx的值域与k比较，可得结果. 【详解】

（1）由fx43sin11xcosx2cosx 22所以fx23sinx2cosx4sinx. 6fx4sinx,x,,

6所以x57,, 666,单调递增 22由函数ysinx在则令2x622x, 332,. 33故函数fx的单调递增区间为（2）当x0,时,

函数hxfxk4sinxk, 6由x7,4sinx,所以2,4, 6666所以当k4或k2时,hx无零点. 【点睛】

本题考查正弦型函数的应用，掌握基本的正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质，

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考验计算能力，属基础题.

18．已知ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且

cosAa2b. cosCc（1）若三角形的三边a，b，c构成公差为2的等差数列，求a的值; （2）若点D在边AB上，且满足DBDC,AD3BD，求tanA的值. 【答案】（1）a3；（2）3 5【解析】（1）根据正弦定理将边化角可得C2，利用a，b，c构成公差为2的等3差数列，可知ba2,ca4,最后利用余弦定理，可得结果.

（2）根据DBDC，可知DBCBCD，然后可得ACD，最后使用正弦定理以及弦化切，可得结果. 【详解】 （1）由

cosAa2bsinA2sinB, cosCcsinC∴cosAsinCsinAcosC2sinBcosC,

∴sinAC2sinBcosCsinB2sinBcosC, ∵sinB0,∴cosC∵0C,∴C1, 22. 3由三边a，b，c构成公差为2的等差数列 设三边长为a,a2,a+4,

21aa2a4 则cosC22aa222所以a3或a2（舍） 综上,a3. （2）如图,

设A,则B60,由DBDC, ∴BCD60,故ACD60, 在ACD中,由正弦定理,

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ADCD3CDCD,

sinACDsinAsin60sin则3sinsin60 ∴3sinsin6031cossin, 22∴tan【点睛】

3. 5本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，掌握三角形中正弦定理、余弦定理以及面积公式，考验分析问题能力，属中档题 19．设数列an满足a12a24a3L2和为Sn.

（1）求an的通项公式； （2）设bnn1ann12n1，且数列an的前n项

anan+1，记数列bn的前n项和为Tn.证明:对于任意nN*，都有2SnTn4.

【答案】（1）annnN*（2）答案见解析 ；

n2【解析】（1）计算a12a24a3L2得结果.

an1n22n11，然后联立原式，可

11，然后裂项求和的方法可得Tn，最（2）根据（1）的结论，可得bn42nn12后可得结果. 【详解】 （1）由题可知：

a12a24a3L2n1ann12n1,①

当n1时,a11, 当n2时,

a12a24a3L2n2an1n22n11,②

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①-②得2n1ann2n1,即annn2,

经验证a11符合上式, 所以annnN*.

(a1an)nnn1, 22（2）由题意：Sn1anan+142n11bn242, 222Snnnn1n1111 ∴Tnb1b2Lbn4122L222n114 所以Tn41n12【点睛】

本题考查数列的综合应用，熟练Sn,an之间的关系以及常用的数列求和的方法，比如：错位相减，裂项相消，公式法等，属中档题.

20．已知函数fxxcosx，gxsinx，x0,（1）求证:fxgx； （2）若axgxbx在0,. 2上恒成立，求a的最大值与b的最小值. 2【答案】（1）答案见解析；（2）a最大值为

2,b的最小值为1. hxhxxcosxsinx【解析】（1）构建函数，通过导数研究函数在0,单调

2性并计算最值，可得结果.

（2）构造函数Mxsinxcx，通过分类讨论的方法，c0，c1和0c1，利用导数判断函数Mx的单调性，并计算最值比较，可得结果. 【详解】

（1）由hxfxgxxcosxsinx 所以h'xcosxxsinxcosxxsinx.

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x0,，h'xxsinx0, 又2所以hx在区间上0,单调递减. 2从而hxh00,fxgx. （2）当x0时,

“axgx”等价于“sinxax0” “gxbx”等价于“sinxbx0”. 令Mxsinxcx,则Mxcosxc,

'当c0时,

Mx0对任意x0,恒成立.

2当c1时, 因为对任意x0,',Mxcosxc0, 2所以Mx在区间0,



上单调递减.

2

从而MxM00对任意x0,当0c1时, 存在唯一的x00,恒成立. 2'，使得Mxcosxc0. 2Mx与M'x在区间0,上的情况如下:

2x 0,x0  ↗ x0 x0, 2M'x Mx

0  ↘ 第 16 页 共 22 页

因为Mx在区间0,x0上是增函数, 所以Mx0M00. 进一步,“Mx0对任意x0,恒成立” 2当且仅当M综上所述： 当且仅当c21c0,, 0c即222时,Mx0对任意x0,恒成立; 2当且仅当c1时,Mx0对任意x0,恒成立. 2xaxgxbx所以，若对任意0,恒成立,

2则a最大值为【点睛】

本题考查导数的综合应用，关键在于构建函数，化繁为简，同时掌握分类讨论的思想，考验分析问题的能力以及计算能力，属中档题.

21．已知函数fxxlnx，其图象的一条切线为yax1. （1）求实数a的值；

（2）求证:若0ba，则fxx1bxlnx.

22,b的最小值为1. 【答案】（1）1；（2）答案见解析

【解析】（1）假设切点，根据曲线在某点处导数的几何意义，以及已知的切线方程，可得lnx0x010，然后研究hxlnxx1可得x0，最后代值计算，可得结果. （2）构建函数gxxlnxlnxx1bx，计算gx，并利用二阶导判断

2'g'x的单调性，根据g'x的值域来判断gx的单调性，进一步求得gx0，可

得结果. 【详解】

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（1）函数定义域为0, ∵fxxlnx,∴f由题可知：

'xlnx1.

fx在点x0,x0lnx0处的切线为yax1,

则alnx01且x0lnx0ax01,

∴x0lnx0lnx01x01,即lnx0x010. 令hxlnxx1x0, 则hx'11x. 1xx当0x1时,

h'x0,hx在0,1单调递增;

当x1时,

h'x0,hx在1,单调递减.

当0x1时,hxh10; 当x1时,hxh10.

∴x01,alnx011.故实数a的值为1. （2）令gxfxx1bxlnx

2即gxxlnxlnxx1bx

2则gxlnx1'12x1b. x12xb x1令mxlnx2xb,

x即gxlnx'112x2x1, 则mx222xxx'∵2x2x10恒成立,

∴mx在0,单调递减,即gx在0,单调递减.

'又gln'1e122ebe1b0, eee第 18 页 共 22 页

g'1ln112bb10,

'∴x0,1,使得gx00.

1e∴当x0,x0时,gx0;

'当xx0,时,gx0,

'故gx在0,x0单调递增,在x0,单调递减. ∴gxgx0x0lnx0lnx0x01bx0.

2'又gx00,即lnx012x0b0, x0∴b2x0lnx01, x02gx0x0lnx0lnx0x01bx0

12gx0x0lnx0lnx0x0x02x0lnx0x0

x012gx0lnx0x0x01x0,1.

e2令nxlnxxx1,x,1.

e112x2x1. 则nx2x1xx'∵2x2x10恒成立,

'∴nx0,故nx在,1单调递增.

1e∴gx0g1ln111110, 故gxgx010,

即fxx1bxlnx0.

2∴当0b1时,fxx1bxlnx.

2【点睛】

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本题考查导数的综合应用，第（2）问中，难点在于需要用二阶导来判断原函数的单调情况，考验对问题的分析能力以及逻辑思维能力，属难题.

22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l过点P2,1且倾斜角为，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，若曲线C的极坐标方程为直线l与曲线C相交于A,B两点.

（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程； （2）若PA3PB，求直线l的直角坐标方程.

2cos，且sin2x2tcos(t为参数)；【答案】（1）（2）C的直角坐标方程y2x,l的参数方程为y1tsin2x2或2xy30.

xx0tcosxcos(t为参数)，【解析】（1）根据直线参数方程的形式以及，

yytsinysin0可得结果.

（2）将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，可得关于t的一个一元二次方程，结合韦达定理，进行计算，可得结果. 【详解】

（1）由直线l过点P2,1且倾斜角为, 得直线l的参数方程为由x2tcos(t为参数);

y1tsin2cos22，则sin2cos, 2sinxcos, 因为ysin所以曲线C的直角坐标方程y2x.

2x2tcos （2）将直线l的参数方程为y1tsin代入曲线C的直角坐标方程y2x 得sin22t22sin2cost30,

记A,B所对应的参数分别为t1,t2,

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由PA3PB得t13t2,

2sin2costt12sin2 因为3tt12sin22sin2cos2t2sin2所以消去t2

33t22sin24sincos, 得433sin2化简得cos22sincos, 则cos20或tan2,

故直线l的直角坐标方程为x2或2xy30. 【点睛】

本题考查参数方程、极坐标方程、普通方程的转换，熟悉公式参数方程中参数的几何意义，属中档题.

23．若不等式xx1ax1x对于任意xR都成立. （1）求a的值；

（2）若正实数m，n满足4m3na，求证:【答案】（1）a1；（2）答案见解析

【解析】（1）根据绝对值三角不等式ababab，可得结果.

（2）根据（1）的结果以及变形式子，可得3mnm2n1，利用基本不等式结合“1”的形式，可得结果. 【详解】

（1）由绝对值三角不等式可得

xcos，以及直线

ysin114.

3mnm2nxx1x1x1,1x1xx1x,

即1a1,当且仅当x1时取等号. 所以a1,

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（2）由（1）得4m3n1,

11114m3n3mnm2n3mnm2n11113mnm2n

3mnm2n3mnm2nm2n3mn2224,

3mnm2n当且仅当3mnm2n时,即n【点睛】

本题考查绝对值三角不等式以及基本不等式的应用，掌握绝对值不等式以及基本不等式的用法，同时注意取等号的条件，属基础题.

11,m时取等号. 510第 22 页 共 22 页