新型曲面三角形边界元法及其精细后处理研究 李亚莎，李晶晶，徐瑞宇 （三峡大学电气与新能源学院，湖北宜昌４４３００２） 摘要：为了精确计算三维静电场的电场强度和电位分布，提出了新型曲面三角形边界元。对边界进行二阶三角 形单元剖分，但只计算单元顶点节点上的函数值。根据二阶三角形曲面参数方程，采用面积比值法构造出与曲面 二阶单元上３个顶点相对应的形状函数。由于新型曲面边界元法采用曲面积分，其计算精度明显提高。虽然顶点 节点上函数值的计算精度提高了，但只能以平面单元的形式显示，与实际模型相差较大，在模型网格剖分粗糙时 尤为明显。为了进一步完善新型曲面三角形边界元法，提出了精细后处理方法。精细后处理方法是将新型曲面单 元进行细分得到新的节点和单元。再精细显示曲面和曲面上的电场。研究结果表明：在计算节点数相同的情况 下，与一阶平面三角形单元边界元相比，新型曲面三角形边界元的计算精度显著提高。经过精细后处理显示的边 界面比未处理的边界面更接近实际模型。 关键词：静电场计算；曲面三角形；面积比值法；形状函数；精细后处理；边界元法 中图分类号：ＴＭ１５１ 文献标志码：Ａ 文章编号：１６７３～７５９８（２０１３）０６—００６１—０４ Ｓｔｕｄｙ ｏｎ Ｎｅｗ Ｃｕｒｖｅｄ Ｓｕｒｆａｃｅ Ｔｒｉｌａｔｅｒａｌ ＢＥＭ ａｎｄ ｉｔｓ Ｆｉｎｅ—ｐ０ｓｔｐｒ０ｃｅｓｓｉｎｇ ＬＩ Ｙａ－ｓｈａ，ＬＩ Ｊｉｎｇ－ｊｉｎｇ，ＸＵ Ｒｕｉ－ｙｕ （Ｔｈｒｅｅ Ｇｏｒｇｅｓ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｙｉｃｈａｎｇ ４４３００２，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｎｅｗ ｃｕｒｖｅｄ ｓｕｒｆａｃｅ ｔｒｉｌａｔｅｒａｌ ＢＥＭ ｉｓ ｐｕｔ ｆｏｒｗａｒｄ ｉｎ ｏｒｄｅＦ ｔｏ ｃａｌｃｕｌａｔｅ ｔｈｅ ｅｌｅｃｔｒｉｃ ｆｉｅｌｄ ｉｎｔｅｎｓｉｔｙ ａｎｄ ｐｏｔｅｎｔｉａｌ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｏｆ ３－Ｄ ｅｌｅｃｔｒｏｓｔａｔｉｃ ｆｉｅｌｄ ａｃｃｕｒａｔｅｌｙ．Ｉｎ ｔｈｉｓ ｍｅｔｈｏｄ，ｔｈｅ ｂｏｕｎｄａｒｉｅｓ ａｒｅ ｍｅｓｈｅｄ ｉｎｔｏ ｓｅｃｏｎｄ ｏｒｄｅｒ ｔｒｉｌａｔｅｒａｌ ｅｌｅｍｅｎｔ，ｂｕｔ ｏｎｌｙ ｃａｌｃｕｌａｔｅ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｖａｌｕｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｅｌｅｍｅｎｔ’ｓ ｖｅｒｔｅｘ ｎｏｄｅｓ． Ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ｏｒｄｅｒ ｑｕａｄｒｉｌａｔｅｒａｌ ｓｕｒｆａｃｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｅｑｕａｔｉｏｎ，ｔｈｅ ａｒｅａ ｒａｔｉｏ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ｕｓｅｄ ｔｏ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔ ｓｈａｐｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ｏｒｄｅｒ ｅｌｅｍｅｎｔ’Ｓ ｔｈｒｅｅ ｖｅｒｔｅｘ ｎｏｄｅｓ． Ｔｈｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ａｃｃｕｒａｃｙ ｏｆ ｔｈｅ ｎｅｗ ｃｕｒｖｅｄ ｓｕｒｆａｃｅ ｔｒｉｌａｔｅｒａｌ ＢＥＭ ｗｉｌｌ ｂｅ ｉｍｐｒｏｖｅｄ ｏｂｖｉｏｕｓｌｙ ｄｕｅ ｔｏ ｕｓｉｎｇ ｓｕｒｆａｃｅ ｉｎｔｅｇｒａ１．Ａｌｔｈｏｕｇｈ ｔｈｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｐｒｅｃｉｓｉｏｎ ｏｆ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｖａｌｕｅ ｏｎ ｖｅｒｔｅｘ ｎｏｄｅ ｉｓ ｒａｉｓｅｄ，ｂｕｔ ｗｅ ｃａｎ ｏｎｌｙ ｄｉｓｐｌａｙ ｔｈｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｓｕｒｆａｃｅ ｂｙ ｔｈｅ ｐｌａｎｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｆｏｒｍ，ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｌａｒｇｅ ｄｉｆｅｒｅｎｃｅ ｂｅｔｗｅｅｎ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ａｃｔｕａｌ ｍｏｄｅ１．Ｉｔ ｉｓ ｅｓｐｅｃｉａｌｌｙ ｏｂｖｉｏｕｓ ｗｈｅｎ ｔｈｅ ｍｏｄｅｌ ｉｓ ｍｅｓｈｅｄ ｒｏｕｇｈｌｙ． Ｔｈｅ ｆｉｎｅ ｐｏｓｔｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ｐｕｔ ｆｏｒｗａｒｄ ｔｏ ｎｌａｋｅ ｔｈｅ ｎｅｗ ｃｕｒｖｅｄ ｓｕｒｆａｃｅ ｔｒｉｌａｔｅｒａｌ ＢＥＭ ｂｅ ｆｕｒｔｈｅｒ ｐｅｒｆｅｃｔ．Ｔｈｉｓ ｍｅｔｈｏｄ ｓｕｂｄｉｖｉｄｅｓ ｔｈｅ ｎｅｗ ｃｕｒｖｅｄ ｓｕｒｆａｃｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｔｏ ｏｂｔａｉｎ ｎｅｗ ｎｏｄｅｓ ａｎｄ ｅｌｅｍｅｎｔｓ，ａｎｄ ｔｈｅｎ ｆｉｎｅ ｄｉｓｐｌａｙ ｔｈｅｍ。Ｔｈｅ ｆｉｎｄｉｎｇｓ ｉｎｄｉｃａｔｅ ｔｈａｔ ｗｈｅｎ ｔｈｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｎｏｄｅｓ ｉｓ ｅｑｕａｌ，ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｐｒｅｃｉｓｉｏｎ ｏｆ ｎｅｗ ｃｕｒｖｅｄ ｓｕｒｆａｃｅ ｔｒｉｌａｔｅｒａｌ ＢＥＭ ｉｓ ｏｂｖｉｏｕｓｌｙ ｉｍｐｒｏｖｅｄ ｉｎ ｃｏｍｐａｒｅｄ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｏｒｄｅｒ ｐｌａｎｅ ｔｒｉｌａｔｅｒａｌ ＢＥＭ．Ａｎｄ ｔｈｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｓｕｒｆａｃｅ ｗｈｉｃｈ ｈａｓ ａｆｔｅｒ ｆｉｎｅ ｐｏｓｔｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ ｄｉｓｐｌａｙｅｄ ｉｓ ｃｌｏｓｅｒ ｔｏ ｔｈｅ ａｃｔｕａｌ ｍｏｄｅ１． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｅｌｅｃｔｒｏｓｔａｔｉｃ ｆｉｅｌｄ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ；ｃｕｒｖｅｄ ｓｕｒｆａｃｅ ｔｒｉａｎｇｌｅ；ａｒｅａ ｒａｔｉｏ ｍｅｔｈｏｄ；ｓｈａｐｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ；ｆｉｎｅ－ｐｏｓｔｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ；ｂｏｕｎｄａｒｙ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ 域问题最理想方法 。而边界元法有一个缺点是最 Ｏ 引言 后的系数矩阵是满阵，因此，计算节点的多少直接决 定方程组是否能求解 。 在电力工程电磁场数值计算中，经常会遇到开 通常采用一阶单元剖分边界，边界单元取为平 域电场计算问题。精确计算电位和电场强度对电力 面三角形或四边形，积分在线性单元上进行。但是， 工程的安全运行具有重要意义。目前，主要的电磁场 剖分后的边界是实际边界面的近似，网格剖分越 计算方法有有限元法、边界元法和耦合法等ｌ１】。边界 粗，两者差别越大，计算误差也就越大。如果增加剖 元法只考虑边界，维数低、计算节点数少，是处理开 分单元的数量，虽然剖分后的边界向实际边界逼 ６１ 技 术 应 用 。—— ∽ 工 Ｃ ＿＜ 芝 ０ ’＜ ｏ Ｚ ０ 技术应用｝Ｊ一∽工ｃ、，乏。、，。ｚ。 近，但同时节点的数量也大幅增加．导致方程组求 解困难。提高计算精度的另一途径是采用二阶曲 面剖分单元＿７１。当前国内外研究显示，虽然．二阶剖 分单元更接近于实际边界，但由于二阶单元节点 数比一阶单元多，计算速度比同节点数量的一阶单 元慢得多１８１ 为了在计算节点数较少的情况下提高边界元 的计算精度，提出了新型曲面三角形边界元法。该 方法用二阶单元剖分边界面，以二阶曲面单元的３ 个顶点节点为计算节点，这区别于传统边界元法。 但由于只能以平面线性单元的形式显示边界面，与 实际边界面相差较大，所以提出精细后处理方法 该方法利用新型曲面的参数方程将边界曲面精细 显示出来，利用顶点节点上的函数值和面积比值法 构造的形状函数把曲面上的函数值分布精细显示 出来 １ 新型曲面三角形边界元原理 １．１ 二阶曲面三角形单元 为了提高计算精度。对边界面进行二阶三角形 剖分，得到的二阶三角形单元有３个顶点节点和３个 边中点节点的坐标信息，如图１所示。 图１ 曲面细分图 二阶三角形单元在面积坐标系（“， ， ）下的形 状函数如下： Ｎｌ＝（２ｕ－Ｉ）“ Ｎ２＝（２ｖ一１） Ｎ３＝（２ｗ－１） Ｎ４＝４ｕｖ （１） Ｎ５＝４ｖＷ Ｎ６＝４ｗｕ Ｕ， ，Ｗ≥０，ｕ＋ｖ＋ｗ＝ｌ 利用二阶曲面单元的６个节点坐标信息和二阶 三角形单元的形状函数进行插值，可以获得曲面单 元上任意一点在 整体坐标系下的坐标信息。如式 （２）所示，式（２）即为新型曲面的参数方程。 ６２ ：∑ （“， ， ） ６ ：∑Ｎｉ（Ｍ， ，加） （２） 仁ｌ ６ ：∑ （ ， ） １．２构造曲面三角形的形状函数 为了不增加计算节点数，新型曲面三角形边界 元法以曲面三角形单元的３个顶点节点为计算节点， 因此，需要构造对应于这３个顶点节点的形状函数。 参照一阶单元形状函数的定义，此处用面积比值法 定义曲面三角形单元的形状函数ｌ ９ ＿在曲面三角形上任意取一点 为细分点，将曲 面三角形细分为３个小单元．如图ｌ所示 用高斯积分 求出对应顶点ｌ、２、３的小单元面积Ａ 、４ 、Ａ ，定义曲 面三角形单元３个顶点的形状函数为： Ｎ１一＿＿Ⅲ／ｔｌＡ Ａ ＝了２１ ２＝， ， Ａ 竿 （３） 式中：Ａ为曲面总面积，Ａ＝Ａ ２＋Ａ 。 １．３新型曲面三角形边界元方程 三维静电场的边界积分方程…为： 丢 ）＝ 』ｆ ＋ ）１（４） 式中：ｒ为边界上的场点；ｒ 为边界上的源点； （ｒ）为 场点电位； （ｒ ）为源点电位；尺为源点到场点的距 离，Ｒ＝ｒ—ｒ ； 为源点到场点的矢量； 为边界外法线 方向；５为求解区域的边界。 １．４精细后处理方法 用新型曲面三角形边界元法计算３个顶点节点 的函数值后，如果将顶点节点上的函数值直接导入 模型中，虽然顶点节点上的函数值计算比较精确，但 只能以平面线性单元的形式显示，与实际边界面相 差较大，不能详细反映函数值在整个曲面单元上的 变化规律，当网格剖分粗糙时尤为明显。要想精确显 示曲面单元上函数值的变化规律，首先必须把曲面 单元显示出来，其次要把曲面单元上各点处的函数 值显示出来，这就需要求解后的后处理技术。 根据曲面的参数方程可以方便地确定曲面上任 一点的位置。如果曲面参数方程的２个参数按一定步 长增加，则等参数线在曲面上形成一张网。步长越 小，网格也就越小，表示的曲面也就越精细 如果网 格及其结点以单元和节点的形式显示出来，必须对 所有网格和结点重新编码，最后形成新的单元和节
