概念：微积分学分为微分学和积分学，是专指运用无穷小或无穷大等极限过程分析处理计算问题的学问. 发展简史：1、荫芽阶段：
(1)古希腊，欧多克斯(前408~前355)提出了穷竭法：一个量如减去大于其一半的量，再从余下的量中减去大于余量一半的量，这样一直下去，总可使某一余下的量小于已知的任何量.
(2)阿里士多德(前384~332)严格区分实无限和潜无限，且只承认潜无限.
(3)庄子(前355~前275)《天下篇》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。 (4)阿基米德(前287~212)在《抛物求积法》中用穷竭法求出抛物线弓形的面积。即，逐次作出与该弓形同底等高的三角形(如图)，然后将这些三角形面积加起来. 第n步时，这些三角形面积之和为：
11+…+)，A为第一个三角形的面积. 424n-1111114又指出：A(1++2+…+n-1+n-1)=A.
443434A(1++
14最后用穷竭法和反证法证明，抛物线弓形面积不能大于或小于A. 标志着积分学的萌芽.
(5)263年，刘徽为《九章算术》作注时提出“割圆术”用正多边形逼近圆周。“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合作而无所失矣”。
(6)1328年英国大主教布兰德瓦丁在牛津发表的著作中提到类似于均匀变化率和非均匀变化率的概念.
432、酝酿阶段：
(1)1615年开普勒在出版《新空间几何》中发展了阿基米德求面积和体积的方法，给出了92个阿基米德未讨论过的体积问题，并研究了酒桶的最佳比例。在天文学研究中得到公式：0sinθdθ=1-cosθ. (2)1635年卡伐列利出版了《不可分量几何学》，将面积的不可分量比作织成一块布的线，体积的不可分量比作一册书的各页，而不可分量的个数为无穷多，且没有厚薄和宽窄，已到达了积分学的边缘，且发现公式：0aθan1xdx=，n为正整数.
n1n(3)法国数学家帕斯卡(1623~1662)借助了略去高次项(即略去高阶无穷小)的方未能证明体积公式，并且注意到很小的弧和切线是可以相互代替的.
(4)法国数学家费马(1601~1665)在求极大极小值上取得了非凡的成功，为微积分开辟了道路。他注意到：在长为a的线段上取一段x，由x和a-x所矩形面积为A=x(a-x)，对一般的A，x可以有两个值，当A为极大值时，x只有一个值是. 费马的论证如下： 设A=x(a-x)，今取x+E，则A’=(x+E)(a-x-E). 作：A’-A=E(a-2x)-E2. 因极大值面积只有一个，故可认为A’-A=0，∴a-2x-E=0； 令E=0，得2x=a，即x=.
(5)英国数学家沃利斯(1616~1703)完成了相当于0(1-t2)ndx(n是正整数)的积分，并给出π的无穷乘积表示。他大胆地将有限推向无限，
xa2a2例如他从
011012101231=，=，=，… 112222233332断言，这个比对无限项成立，这将导致积分.
(6)英国数学家巴罗(1630~1677)给出求切线的方法，相当于现代以dx,dy,ds为边的直角三角形. 在他的几何学讲义中出现了微分三角形MNR(如图)，他在求PT的长时舍去了MR和NR的高次项. 3、形成阶段：
(1)1665~1666年间，23岁的牛顿利用二项式展开，观察一族相关的曲线：y=(1-x2)n. 对固定的整数n(n≥0)，将它作二项式展开得到有
a3-x,x,-x,x,…各项的多项式. 然后运用-x的下方图形面积是-，x4
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a5的下方图形面积是等已有知识，构造了一个系数表，横向按幂次
5排列，纵向按n=1,2,…排列，表内的值是(1-x2)n下方图形面积展开式中各个幂次的系数，构成一个巴斯卡方阵，再插入对应于n=的各幂项的系数，现称之为牛顿二项式定理. 利用这张表就能求出当时所知的代数曲线下的面积.
(2)1665年5月20日，在牛顿牛写的文件中开始有“流数术”的记载，标志着微积分的诞生。牛顿把曲线看作运动着的点的轨迹，想象用一条运动的直线扫过一个区域，来计算此曲线下的面积，这就是牛顿用运动的概念来叙述他的发现。他称连续变量为“流动量”，流动量的导数为“流动率”. x表示流动量x的流动率。如：
给定函数y-x=0，时间的刹那用0表示(即dt)，x,y的刹那用x0和y0
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dxdy表示(即dx=·dt，dy=·dt). 以x+x0及y+y0替代x,y代入方程
dtdt·
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得y+y0-(x+2xx0+x0)=0，∵y-x=0，∴y0-2xx0-x202=0， 全式除以0，得y-2xx-x0=0，略去x0，即得y=2xx(即
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dy=2x) dx(3)1684年，莱布尼茨在《教师期刊》上发表了第一篇论文，给出了一阶微分明确的定义，他说横坐标x的微分dx是任意量，而纵坐标y的微分dy则定义在它与dx之比等于纵坐标与次切距之比的那个量(即巴罗微分三角形中的TP(次切距)和MP(纵坐标)之比，正是切线的斜率).
(4)1687年，牛顿的“流数术”才在《自然哲学之数学原理》中以几何形式发表出来。《流数术》本身则直到1736(牛顿去世后9年)年才公开发表。
(5)牛顿完整地提出微分和积分是一对逆运算，并和莱布尼茨分别指出了换算的公式，即牛顿—莱布尼茨公式，或微积分学基本定理. 而莱布尼茨的记号dx和∫运用起来便利. 4、大争论阶段：
(1)荷兰哲学家尼文太(1654~1718年)反对莱布尼茨的高阶微分和略去无穷小量.
(2)泰勒(1685~1731)用差分去解释流数，没有成功.
(3)麦克劳林(1698~1746)试图从瞬时速度的理解上证明微积分理论的严密性，成效不大.
(4)1734年，爱尔兰主教贝克莱公开质疑微积分理论的严密性。
(5)达朗贝尔(1717~1783年)将微积分的基础归结为极限，认为极限是“一个变量趋近于一个固变量，走近的程度小于任何给定的量”，未完成.
(6)欧拉(1707~1783年)以微积分为工具解决了大量天文、物理、力学的问题，开创了微分方程、无穷级数、变分学等诸多新学科。 (7)1748年，欧拉发表了世界上第一本完整的有系统的分析学《无穷小分析引论》.
(8)数学家阿贝尔(1802~1829年)指出：“在高等分析中，只有很少几个定理是用逻辑上站得住脚的形式证明的。人们到处发现从特殊跳到一般的不可靠的推理方法。” 5、成熟阶段
(1)1821年，法国数学家柯西在《分析教程》一书中，给极限定义为“若代表某变量的一串数值无限地趋向于某一数值，其差可任意小，则该固定值称为这一串数值的极限。”并由此出发建立起一个微积分体系。
(2)德国数学家魏尔斯特拉斯(1815~1897年)采用了ε-δ的表示方法，摆脱了几何直观所带来的概念含糊问题. (3)1854年黎曼给出了有界函数可积性的定义.
(4)1859年，李善兰和伟烈亚力合译了《代数积拾级》，成为第一部微积分著作的中译本，书中首用微分，积分等译词.
(5)柯西认识到“无理数是有理数迫近的极限”，但极限又要用到实数的循环论证.
(6)1872年，梅莱、海涅、康托尔用柯西收敛准则的想法将无理数看成柯西列，为建立实数理论打下了基础.
(7)戴德金(1831~1916)用有理数的分划定义所有实数，被誉为“不依赖空间与时间直观的人类智慧的创造物”，并最终使无理数摆脱了“不可公度线段”之类的几何直观. (8)海涅在1870年提出一致连续性.
(9)1872年魏尔斯特拉斯给出了处处连续而不可微的函数例子. (10)1885年，布达给出了有界函数可积的充要条件.
(11)1895年，博雷尔运用海涅的一个性质，将一致连续性上升为有限覆盖定理.
6、现代微积分的发展：
(1)20世纪初，勒贝格开创了可列可加测度的积分论，即实变函数论，也称实分析.
(2)概率论和随机过程论被称为现代分析. (3)复变函数论继续向纵深发展，形成复分析.
(4)以函数空间为背影的泛函和算子理论开始了泛函分析的历程。 (5)三角级数论发展成各种各样的傅里叶分析。
(6)处理高维空间中曲线曲面，多变量函数的整体性质等，需要用拓扑学知识及代数工具，形成流形上的分析，使微分几何学、偏微分方程、多复变函数论等学科相结合，形成当代数学的主流方向。
(7)研究多元函数的反函数，多元积分的外微分形式，逐渐成为分析学的基础知识.
(7)分析学基本上解决了线性空间的线性算子(线性微分方程)的课题，目前非线性分析已成为最活跃的数学分支之一。
(8)1960年，罗宾逊将实数系R扩充为超实数系R*，无穷小量作为R*中的数，使极限过程的表示显得更为简单，这称为非标准分析. (9)泛函分析的产生使分析学跃上新的高度，希尔伯特空间，巴拿赫空间，广义函数论已成为数学家和物理学家的常识。 7、未来的任务：
(1)无限维空间上的微积分学尚未诞生。 (2)黎曼积分的推广仍未完成。
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