圆周角知识总结及证明1

圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。

圆周角定理：

同弧或等弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。这一定理叫做圆周角定理。

定理证明

已知在⊙O中，∠BOC与圆周角∠BAC同对弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC.

证明：

情况1：

如图1，当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时：

1

∵OA、OC是半径

解：∴OA=OC

1

∴∠BAC=∠ACO（等边对等角）

∵∠BOC是△AOC的外角

∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC

情况2：

如图2,，当圆心O在∠BAC的内部时：

连接AO，并延长AO交⊙O于D

2

∵OA、OB、OC是半径

解：∴OA=OB=OC

∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等边对等角）

2

∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角

∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD

∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD

∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC

情况3：

如图3，当圆心O在∠BAC的外部时：

3

连接AO，并延长AO交⊙O于D

解：∵OA、OB、OC、是半径

∴∠BAD=∠ABO（等边对等角）,∠CAD=∠ACO(OA=OC）

3

∵∠DOB、∠DOC分别是△AOB、△AOC的外角

∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD

∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD

∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC

定理推论：

1.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；

2.圆周角的度数等于它所对的弧度数的一半；

3.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等。

4.半圆（直径）所对的圆周角是直角。

5.90°的圆周角所对的弦是直径。

注意：在圆中，同一条弦所对的圆周角有两个，一个是优弧所对的角，一个是劣弧所对的角

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