平面直角坐标系中点的坐标求法全解拔高1

平面直角坐标系中点的坐标求法全解拔高1

-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

坐标的应用（讲义）

知识点睛

yOx

平面直角坐标系知识回顾：

1、 数轴是规定了原点、正方向和单位长度的一条直线，当我们把两条

数轴如图放置，就能构成平面直角坐标系；它们有共同的原点，水平方向的数轴我们叫x轴或横轴，铅直方向的数轴我们叫y轴或纵轴；

2、 我们用有序实数对（a,b）来表示平面直角坐标系内的坐标；数轴

把平面直角坐标系分成四个部分，分别是第一象限，第二象限，第三象限，第四象限。每一个象限内的符号：（﹢，﹢），（﹣，﹢），（﹣，﹣），（﹢，﹣）；

3、 每一个点（a,b）的坐标由两部分组成：A、它的符号，由它在坐标

系中的位置决定；B、它的长度，a的绝对值表示点到纵轴的距离，b的绝对值表示点到横轴的距离，一般需做横平竖直的垂线； 4、 关于x轴对称的两个点，x相同，y相反；关于y轴对称的两个点，x

相反，y相同；关于原点对称的两个点，x、y都相反；于x轴平行的直线，y相同，x不同，可表示为y=b；于y轴平行的直线，x相同，y不同；可表示为x=a；

坐标系中求线段长的方法：如果两个点的连线平行于x轴或y轴，则其线段长等于大坐标－小坐标；如果不平行，则运用两点之间的距

22（y1－y2）离公式：L=（x1－x2）；

x1x2y1y2，22 5、牢记中点坐标公式：

2

6、平面直角坐标系中坐标的处理原则：

A、过点做平行于x轴、y轴的垂线； B、 坐标转线段长，线段长转坐标； 4) 点的存在性问题：

3 平行四边形中已知三点坐标确定第四点坐标： ； 4 等腰三角形中已知两点坐标确定第三点坐标： ． 精讲精练

1. 如图所示，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A（-1，0），B（0，4），顶点C，D在第二象限内，则C，D两点的坐标分别是_______，_______．

CyBD

（分别过C、D两点构造双垂直模型，正方形四边均相等，因此所构造的双垂直模型都是全等三角形。）

在平面直角坐标系中，四边形ABCD各顶点的坐标分别是A（-2，-3），B（5，-2），C（2，4），D（-2，2），求四边形ABCD的周长和面积．

yAOxOx

3

（构造直角三角形，将坐标转化为线段长，利用勾股定理求出各边长即可；将此四边形补成正方形，通过“补形以做差”，利用大正方形面积减去三个小直角三角形面积即可。）

9. 如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，2），B（3，0），C（3，

4）三点．

y432P1O123CABx（1）求△ABC的面积．

1（2）如果在第二象限内有一点P（m，2），是否存在点P，使四边

形ABOP的面积与△ABC的面积相等若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 总结提升：

1、此题需将坐标转化为线段长，方法是：如果两个点的连线平行于x轴或y轴，则其线段长等于大坐标－小坐标；如果不平行，则运用

22（y1－y2）两点之间的距离公式：L=（x1－x2）；

2、平面直角坐标系中，我们常使用“分割以求和”或“补形以作差”来计算面积。比如此题就可以OA为共同的底边分割成两个小三角形求四边形的面积。

18. 如图，在平面直角坐标系中，A（x1，y1），B（x2，y2），取线段AB的中点M，分别作A，B到x轴的垂线段AE，BF，取EF的中点N，则MN是梯形AEFB的中位线，故MN⊥x轴，利用梯形中位线的知识，我们可以得到点M的坐标是____________（用x1，y1，x2，y2表示）．

4

yMAOENBFx

（牢记中点坐标公式）

已知点M（-4，2），将坐标系向下平移3个单位长度，再向左平移3个

单位长度，则点M在新坐标系内的坐标为______．

（总结提升：牢记点的平移和坐标系的平移不同；坐标系的平移相当

于把点向反方向平移；） 34. 如图，35.

为（ ） A．（-a，-b）

B．（-a，-b-1）

C．（-a，-b＋1）

yB′OCABA′x将△ABC绕点C（0，36. -1）旋转180°得到△A′B′

C，37. 设点A的坐标38. 为（a，39. b），40. 则点A′的坐标41.

D．（-a，-b-2）

（总结提升：由于旋转180°，根据旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，且又在一条直线上，所以我们可以利用中点坐标公式直接求出。） 42. 如图，已知A（2A．（4，23）

3，0），B（0，2），把△AOB绕点A顺时针旋转

60°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是（ ）

B．（23，4）

5

C．（y3，3）

B'

D．（23+2，23）

O'B

（总结提升：首先把坐标转化为线段长，可以得出三角形AOB是一个含有30°角的直角三角形，又由于旋转角是60°，所以A B′垂直于横轴，再把线段长转化为坐标即可。）

50. 如图，在平面直角坐标系中，已知A（4，1），B（0，3），请在x

轴上找一点P，使得点P到点A，B两点距离之和最小，则点P的坐标是_________．

y43B21O-1-2-31234OAxA5x

（总结提升：这是一个典型的奶站问题，做点B关于横轴的对称点，连接此对称点和A点，于横轴的交点就是所求的点。求出直线的表达式，然后求出和横轴的交点即可。）

62. 如图，把一个矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，其中A（2，

0），B（2，23），连接OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在A′的位置上，则点A′的坐标为________．

6

yCA'BOA

总结提升：欲求点A′的坐标，我们可以向横轴做垂线并交横轴于G点；根据折叠的轴对称性质，折叠是一种全等变换，则∠BOA=∠BOA′=60°，则∠A′OG也=60°，则我们构造的小直角三角形是一个含有30°角的直角三角形，根据三边关系比，可求出相应线段的长，然后转化为点的坐标即可。

74. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，A点坐标为

（0，2），E是线段BC上一点，且∠AEB=60°，沿AE折叠后B点落在点F处那么F点的坐标是________．

yBAxEFCOx

（总结提升：此题道理同上，我们过F点做横轴的平行线，与BC相交与

点H；根据折叠的轴对称性质，∠BEA=∠AEF=60°，则角

FEH=60°，我们构造的是一个含有30°角的直角三角形，根据其三边关系比，分别求出三边的长度，然后用2－BH即是F的纵坐标，2－HF的相反数就是F的横坐标。）

86. 已知A（-2，0），B（3，0），C（0， -1），以A，B，C三点为顶点作平行四边形，则第四个顶点的坐标为：

7

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．

y21-6-5-4-3-2-1O-1-2123456x

总结提升： 1、

这是一个典型的“三个定点、一个动点”平行四边形的存在性的问题。常用的处理模式是选择其中的一边既做边也做对角线，以便不重不漏，由于在平面直角坐标系中，我们选择横轴或纵轴上的线段，以方便计算； 2、

若以AB为边，根据平行四边形的对边平行且相等，我们过点C做AB的平行线，则有两种情况，分别过两个D点做此平行线的垂线，则可以构造两个小直角三角形，与相应的三角形对应全等，借助于其三边的关系即可求出点D的坐标； 3、

若以AB为对角线，根据平行四边形的对边平行且相等，分别做两边的平行线相交与D点即可，然后再过D点做横轴的垂线构造直角三角形解题即可。

97. 如图，在平面直角坐标系中，已知A（2，-2），在y轴上确定点P， 使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P坐标为：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．

8

y321O-1-2-3-412A3x

（总结提升：这是一个典型的“两个定点、一个动点”求等腰三角形的存在性的题目。我们常用的处理模式是：“一条线，两个圆”，也就是先做定线段OA的垂直平分线，与纵轴的交点即是其中的一个点，然后分别以两个定点为圆心，定长线段为半径画圆，与纵轴的交点即是其他的点。当然最终还要排除上述各点中有可能重合的点。） 如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（6，0），C（0，2），点M是OA的中点，点P在线段BC上运动，当△OMP是腰长为3的等腰三角形时，则P点的坐标为：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．

yCOPBMAx

总结提升：

1、 根据“两个定点、一个动点”求等腰三角形的存在性的解题模型，

我们先判断谁是定点，谁是动点，然后按照“一条线、两个圆”的模型解题；

9

2、 由于此题的特殊性，一条线不再使用，我们只考虑分别以两个定点

为圆心，定长线段为半径做圆，然后过这两个圆与BC的交点向横轴做垂线，构造直角三角形，运用勾股定理解题即可。总共三个点。 113. 如图，方格纸中的每个小方格是边长为1的正方形，A，B两点在

小方格的顶点上，位置分别用（2，2），（4，3）来表示，请在小方格的顶点上确定一点C，连接AB，AC，BC，使△ABC的面积为2个平方单位，则点C的位置有＿＿个．

BA总结提升：

1、此题首先需要通过点的坐标确定原点的位置；

2、由于A、B两点是定点，而C是动点，我们先随意确定一个C点的位置，使得由此构成的三角形的面积是2；

3、根据平行线间的距离处处相等，为此我们过确定的C的位置做线段AB的平行线，这条平行线上的格点即是我们所求的点；

4、同时在线段AB的另一侧，也一定存在着另一条等距离的平行线，我们再看看有几个格点，两项相加，即是全部的点。 三、回顾与思考 【参考答案】 一、知识点睛

1．①坐标转线段长，线段长转坐标； ②过点作横平竖直的线． 2．①平移线段②一线两圆 二、精讲精练

1．（-4，5），（-5，1）

10

652．55525，2

13．（1）6；（2）存在，（-3，2）

x1x2y1y2，22 4．

5．（-1，5） 6．D 7．B 8．（3，0） 9．（-1，3） 10．（-1，23）

11．（1，1），（5，-1），（-5，-1）

12．（0，22），（0，-2），（0，-22），（0，-4） 13．（5，2），（3-5，2），（3+5，2） 14．7

坐标的应用（随堂测试）

1．如图，平面直角坐标系中有一矩形OABC，其中A（43，0），C（0，4），若将△AOB沿OB所在直线翻折，点A落在点D处，则D点的坐标是________．

11

yDCBOAx

2．如图，在平面直角坐标系中，其中A（2，0），∠ABO=30°，在y轴上取一点P，使△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P坐标为_______________．

yBOAx【参考答案】 1．（23，6）

232．（0，423），（0，3），（0，423），（0，23）

坐标的应用（作业）

4. 在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为（2，3），（5，-2），（-2，0），求△ABC的周长和面积．

12

yOx

（分割以求和，补形以作差）

10. 如图，已知A（0，4），B（2，0），把线段AB绕点A逆时针旋转90°，点B落在点B′处，则点B′的坐标是（ ） A．（6，4） B．（4，6） C．（6，5） D．（5，6）

yB'AOBx

（构造双垂直模型解题即可）

15. 如图，图形关于点D（0，-2）成中心对称，若点A的坐标是（2，3），则点Ｍ的坐标为 ．

yAOxDM

13

（运用中点坐标公式解题即可）

22. 在平面直角坐标系中，点C坐标为（0，3），点E坐标为（1，0），将△COE沿直线CE折叠，点O落在点D处，则点D的坐为 ． yCDOEx （过点D做横轴的垂线，构造含30°角的直角三角形，利用其三边关系比解题即可） 30. 在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为（0，0）， （0，-3），（-2，-1），以这三点为平行四边形的三个顶点，则第四个点的坐标为：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． y4321-3-2-1O-1-2-3-4123x 14

（按照“三个定点、一个动点”求平行四边形的村庄行解题模型解题即可） 36. 如图，在平面直角坐标系中，已知点P（2，1），点T是x轴上的一个动点，当△PTO是等腰三角形时，点T的坐标为：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． y321-3-2-1O-11P234x （根据“两个定点、一个动点”求等腰三角形的存在性解题模型解题即可） 41. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（5，4），点P为线段BC上动点，当△POA为等腰三角形时，点P的坐标为： ．

yPCBOAx

47. 把△ABC放在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（2，1），点C的坐标为（4，3），如果要使△ABD与△ABC

15

全等，则点D的坐标为：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．

y54321

（总结提升：由于待求全等三角形和已知三角形有共同的边AB，因此此题实质上是一个轴对称性质的题；由于AB平行于横轴，所以我们以AB为折痕，把原三角形翻折过去，对应的点就是D点的一个位置；再做出线段AB的垂直平分线，以之为折痕，把原三角形再翻折过去，对应点则是另一个D点的位置。最后把翻折得到的两个三角形中的任意一个再翻折一次就可以得到第三个D点的位置。利用中点坐标公式求即可。）

【参考答案】

291．34535，2

O123456x-6-5-4-3-2-1-1-2-3-4-52．B

3．（-2，-7）

332，2 4．

5．（2，-3），（-2，-7），（-2，3）

56．（4，0），（5，0），（4，0），（5，0）

16

57．（2，4），（3，4），（2，4）

8．（-2，3），（4，-1），（-2，-1）

坐标的应用(每日一题)

1.如图所示，已知边长为1 的正方形OABC在直角坐标系中，B，C两点在第二象限内，OA与x轴的夹角为60°，求点B的坐标．

（注意到此题中出现了含有30°角的直角三角形，过点A分别做横轴和纵轴的垂线，构造双垂直模型即可）

2.慧慧在一次数学课上，将一副30°，60°，90°和45°，45°，90°的三角板如图放在直角坐标系中，发现点A的坐标刚好是（933，0），求图中两个三角板的交点P的坐标．

（注意到此题中出现了含有30°角和45°角的特殊直角三角形，我们可以利用其三边关系比，先求出有关线段的长，然后过点P做横轴的垂线，设此垂线长为a，把OA表示为含有a的代数式，列方程解题即可。）

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3.如图所示，A（-3，0），B（0，1）分别为x轴，y轴上的点，△ABC为等边三角形，点P（3，a）在第一象限内，且满足2S△ABP = S△ABC，求a的值．

总结提升：

1、首先根据题目中提供的条件，计算出等边三角形的面积； 2、我们利用“坐标系中求三角形面积的模型”来求三角形ABP的面积；先求出直线AP的表达式，设其与纵轴的交点是H，然后用“大坐标－小坐标”求出BH的长，则三角形ABP就被我们分隔成了分别以BH为共同底边的两个小三角形，左边小三角形的高是A点横坐标的绝对值，右边小三角形的高是P点横坐标的绝对值，据此列方程解题即可。

4.如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴上，点A在第一象限，OE是△AOB的中线，已知OB＝OE＝5，S△AOB＝15．求A、E两点的坐标．

（总结提升：

1、为了求点E的坐标，我们过点E做横轴的垂线，根据等底同高的两个三角形面积相等，则三角形OEB的面积等于大三角形面积的一

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半；然后根据三角形面积公式求出高即是E点的纵坐标，然后再用勾股定理求出其横坐标即可；

2、为了求点A的坐标，注意到点E是AB两点的中点，代入中点坐标公式求解即可。）

5.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为平行四边形，其中O为坐标原点，且点B（4，4），C（1，3），OB，AC相交于点D. 求A，D两点坐标； 求四边形OABC的面积.

总结提升：

1、 根据平行四边形的性质，对角线互相平分，因此D点是O、B

两点的中点，先利用中点坐标公式求出点D的坐标，再根据点D也是A、C两点的中点，代入中点坐标公式求出点A的坐标即可；

22（y1－y2）2、 利用两点之间的距离公式：L=（x1－x2），分别求出

有关线段的长，可以判定此平行四边形是菱形，根据菱形面积公式=两条对角线乘积的一半，分别计算出两条对角线的长度即可求出。 【参考答案】 1.解：

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过点B作BE⊥y轴，垂足为E ∵OA与x轴的夹角为60° ∴∠AOE=30°

在Rt△AOD中，OA=1，∠AOD=30°

233∴AD=3，OD=3，∠ADO=60°

∵AB=1

3∴BD=1-3

3在Rt△BDE中，BD=1-3，∠BDE=60°

1331∴DE=26，BE=2 31∴OE=OD+DE=2∵B在二象限

1331∴点B的坐标为（2，2）

2.解：

20

过点P作PD⊥x轴，垂足为点D 设AD=x， 在Rt△AOB和Rt△AOC， ∵∠AOB=30°，∠OAC=45° ∴PD=AD=x，OD=3x， ∵A（933，0）， ∴OD+DA=933，即x+3x=933 ∴x=33 即OD=9，PD=33 ∴点P的坐标为（9，33） 3.解： 过点P作PD⊥x轴，垂足为点D ∵A（-3，0），B（0，1） ∴OA=3，OB=1 由勾股定理得AB=2 ∵△ABC为等边三角形

3223∴S△ABC=4 ∵S△ABP= S△AOB+S梯形BODP-S△ADP

111333a31(1a)3(33)a222=2=

∵2S△ABP = S△ABC ∴333a3 21

∴a=3 4.解：设A，E两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）

15由题意知：B点坐标为（5，0），S△AOB＝2OB y1＝2y1＝15

∴y1＝6

∵OE是△AOB的中线 ∴E是AB的中点 y10∴y2＝

2＝3

∵OE＝5，即：x22y22=5

∴x2=4

x15∵2=4

∴x1=3

∴A，E两点的坐标分别为（3，6），（4，5.解：（1）∵四边形OABC为平行四边形 ∴D是线段OB中点 ∵O（0，0），B（4，4） ∴D（2，2）

又∵D是线段AC中点，C（1，3） ∴A（3，1） （2）法一：

∵C（1，3），B（4，4），A（3，1）

∴OC=123210，OB=424242 OA=123210 即OA=OC

又∵四边形OABC是平行四边形 ∴四边形OABC是菱形 ∴OB⊥AC

22

3） 在Rt△ODC中，

1∵OD=2OB=22，OC=10 22由勾股定理得，CD=OCOD=2

∴AC=2CD=22 1∴S四边形OABC=2OBAC=8

法二：

∵B（4，4），C（1，3）

2222(01)(03)10(41)(43)10 ∴OC= ，BC=又∵四边形OABC是平行四边形 ∴四边形OABC是菱形 ∵A（3，1）

22(31)(13)22 ∴AC= 22(04)(04)42 又∵OB= 1∴S四边形OABC=2OBAC=8

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