不等式(组)的概念、性质及解法

不等式（组）的概念、性质及解法

知识讲解

不等式的概念

1.不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如： 52,a314,x10,a210,x0,3a5a等都是不等式．

2.常见的不等号有５种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”．

注意：不等式３≥２成立；而不等式３≥３也成立，因为３＝３成立，所以不等式３≥３成立． 3.不等号“”和“”称为互为相反方向的符号，所谓不等号的方向改变，就是指原来的不等号的方向改变成与其相反的方向，如：“”改变方向后，就变成了“”。

【例1】 用不等式表示数量的不等关系．

（1）a是正数 （2）a是非负数

（3）a的相反数不大于1 （4）x与y的差是负数 （5）m的4倍不小于8

（6）q的相反数与q的一半的差不是正数 1（7）x的3倍不大于x的

3（8）a不比0大

【巩固】用不等式表示：

12⑴x的与6的差大于2；⑵y的与4的和小于x；

35⑶a的3倍与b的

【巩固】用不等式表示：

1的差是非负数；⑷x与5的和的30%不大于2． 21 / 11

⑴a是非负数； ⑵y的3倍小于2； ⑶x与1的和大于0；⑷x与4的和大于1

不等式基本性质

基本性质１：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变．

如果ab，那么acbc 如果ab，那么3x2a(x1)

基本性质２：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．

如果ab，并且c0，那么acbc(或如果ab，并且c0，那么acbc(或

ab) ccab) cc

基本性质３：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．

如果ab，并且c0，那么acbc(或

ab) cc

如果ab，并且c0，那么acbc(或axb)

不等式的互逆性：如果ab，那么ba；如果ba，那么ab．

不等式的传递性：如果ab，bc，那么ac．

易错点：①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．

②在计算的时候符号方向容易忘记改变．

【例2】 ⑴如果ab，则2aab，是根据；

⑵如果ab，则3a3b，是根据； ⑶如果ab，则ab，是根据； ⑷如果a1，则a2a，是根据； ⑸如果a1，则a2a，是根据．

【巩固】利用不等式的基本性质，用“＜”或“＞”号填空．

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⑴若ab，则2a_______2b；⑵若ab，则4a______4b； 3⑶若x6，则x______4；⑷若ab，c0，则ac______bc；

2⑸若x0，y0，z0，则(xy)z_______0．

【巩固】若ab，用“”或“”填空

⑴a2_____b2；⑵a2_____b2 11⑶a______b；⑷a____b 33

【巩固】若ab，则下列各式中不正确的是（）

11A.a8b8 B.ab C. 12a12b D.a2b2

88

【例3】 已知ab，要使bmam成立，则m必须满足( )

A．m0 B．m0 C．m0 D．m为任意数

【巩固】如果关于x的不等式(a1)xa1的解集为x1，那么a的取值范围是（）

A.a0 B.a0 C.a1 D.a1

【巩固】若ab0，则下列不等式成立的是( )

A．

11

 B．abb2 C．a2ab D．|a||b| ab

【巩固】如果ab，可知下面哪个不等式一定成立( )

A．ab B．

11

 C．ab2b D．a2ab ab

11

正确的式子的个数共有 x2

【巩固】如果x2，那么下列四个式子中：①x22x②xy2y③2xx④

( )

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

【巩固】根据ab，则下面哪个不等式不一定成立( )

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A．ac2bc2 B．ac2bc2 C．ac2bc2 D．

ab 2c1c12

不等式的解集

1.不等式的解：

使不等式成立的每一个未知数的值叫做不等式的解．例如：4，2，0，1，2都是不等式x2的解，当然它的解还有许多．

2.不等式的解集：

能使不等式成立的所有未知数的集合，叫做不等式的解集．

不等式的解集是一个范围，在这个范围内的每一个值都是不等式的解． 不等式的解集可以用数轴来表示．

不等式的解与不等式的解集是两个不同的概念，不等式的解是指使这个不等式成立的未知数的某个值，而不等式的解集，是指使这个不等式成立的未知数的所有的值；不等式的所有解组成了解集，解集包括了每一个解．

在数轴上表示不等式的解集(示意图)：

不等式的解集 在数轴上表示的示意图 不等式的解集 在数轴上表示的示意图 xa ax xa ax xa ax xa ax 【例4】 下列说法中错误的是（）

A.不等式2x8的解集是x4； B.40是不等式2x8的一个解 C.不等式x6的正整数解有无数多个 D.不等式x6整数解有无限个

【例5】 在数轴上表示下列不等式的解集：

⑴x1；⑵x2；⑶x2或x1；⑷2x1

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113【巩固】在、1、2、0、3、、中，能使不等式x32成立的有（）

222A.4个 B.3个 C.2个 D.1个

【巩固】下列不等式：①76；②aa；③a1a；④a0；⑤a210，其中一定成立的有（）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

一元一次不等式的解法

1.一元一次不等式：

经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后，能化为axb或axb的形式，其中x是未知数，a,b是已知数，并且a0，这样的不等式叫一元一次不等式．

axb或axb(a0)叫做一元一次不等式的标准形式．

2.解一元一次不等式：

去分母→去括号→移项→合并同类项(化成axb或axb形式)→系数化一(化成x

【例6】 求不等式x

【巩固】解不等式：

【巩固】解不等式

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bb或x的形式) aa3(x1)x5的解集． 1825x192x3x11 2362x110x15≥x5，并把它的解集在数轴上表示出来． 3

【巩固】解不等式2(x1)3x4(x1)5

【巩固】当x为何值时，代数式

【例7】 求不等式

【巩固】不等式x3【巩固】不等式

【巩固】求不等式

x12x1的非负整数解． ≥23y131x的负整数解是_______． 2y1y1的正整数解为__________． ≥262x135x的值？ 1的值不小于434x5＜1的正整数解． 12一元一次不等式组的解法

1.一元一次不等式组和它的解法

一般地，几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集

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2.解一元一次不等式组的一般步骤：

①求出这个不等式组中各个不等式的解集：

②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即可求出这个不等式组的解集 注意：

①利用数轴表示不等式的解集时，要注意表示数的点的位置上是空心圆圈，还是实心圆点； ②若不等式组中各个不等式的解集没有公共部分，则这个不等式组无解 3.由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集的情况有如下四种：

不等式组（ab） xa xb图示 解集 口诀 abxb 同大取大 xa xbabxa 同小取小 xa bbab axb 大小，小大中间找 xa xbab空集 小小，大大找不到 3x14【例8】 解不等式组，并把它的解集表示在数轴上．

2xx2

2(x2)4x3①【巩固】求不等式组的整数解．

2x5＜1x②

【例9】 解不等式：1

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32x2； 2

【巩固】解不等式：

11x14x10x10； 【例10】 解不等式组：x37x22x312x1 42

3x23(1x)【巩固】解不等式组：x1x2

1x23

2(20x)203(3x4)25x【例11】 解不等式组：2x1x6

32

34x7x3425【巩固】解不等式组：

5x5(4x)2(4x)3

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x12x1x1x①236【例12】 解不等式组。

21[x4x1]≥4x②3

【巩固】如果2m、m、1m这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，求m的取值范围．

同步练习

1.如果ab，可知下面哪个不等式成立( )

A．ab B．

2.比较下列各对代数式的值的大小：

11⑴已知xy，则x1______y1；

2211

 C．ab2b D．a2ab ab

⑵已知23x23y，则x_____y。

313.解不等式：1(2x1)(12x)2x

72

x1x1x4.解不等式组：32

3(x2)82x

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5.求同时满足6x

54x7和8x34x50的整数解 7课后练习

一、填空

1． 不等式x3.8的负整数解为

2． 不等式2x13的非负整数解是

3． 不等式2x30的最小整数解是

4． 不等式72x1的正整数解是

5． 关于x的方程2xk10的根是正数，则k的取值范围是

x126． 不等式组的解集是

3x6

x127． 不等式组的解集是

73x1

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2x408． 不等式组12(x8)20的解集是，这个不等式组的整数解是

x4(x2)109． 不等式组2x1的解集是51x

10． 不等式组52(1x)1的整数解的和是 3x23x

二、解答题

1． 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来

23x8⑴ 1⑵2x1x12x502x11x84x1⑶x

 2(x1)0

⑸3x15x2(xx3(2x1)42(x1)6x⑹1)4x2 3(x1)5x7⑺ 13x22x1

11 / 11

⑷2(x2)5x3x62x8

x⑻11x22x(x1)(x3)(x3)