《工程高等代数》7第七章线性空间与线性变换习题解答

A 组

1．填空题

（1）向量组(1,1,0,1),(1,2,3,0),(2,3,3,1)生成的向量空间的维数是 ． 解 2．

（2）设全体三阶上三角形矩阵构成的线性空间为V，则它的维数是 ． 解 6．

（3）次数不超过2的多项式的全体构成线性空间Px2，其中的元素f(x)x2x1在基

1,x1,(x1)(x2)下的坐标是 ．

解 (3,4,1)T．

1011 （4）设10,21,31是向量空间V3的一个基，则向量1在该基下的坐标

1101是 ．

T111 解 ,,．

222 （5）二维向量空间R中从基1,是 ．

解 211112到另一个基1,2的过渡矩阵011223．

12 （6）三维向量空间中的线性变换T(x,y,z)(xy,xy,z)在标准基e1(1,0,0)，e2(0,1,0)，

e3(0,0,1)下对应的矩阵是 ．

110解 110．

0012. 选择题

（1）下列说法中正确的是 ． （A）任何线性空间中一定含有零向量；

（B）由r个向量生成的子空间一定是r维的；

（C）次数为n的全体多项式对于多项式的加法和数乘构成线性空间；

1

（D）在n维向量空间V中，所有分量等于1的全体向量的集合构成V的子空间． （2）下列说法中错误的是 ．

（A）若向量空间V中任何向量都可以由向量组1,2,个基；

（B）若n维向量空间V中任何向量都可以由向量组1,2,一个基；

（C）若n1维向量空间V中任何向量都可以由向量组1,2,是V的一个基；

（D）n维向量空间V的任一个基必定含有n个向量．

（3） 下列3维向量的集合中， 是R的子空间． （A）(x1,x2,x3)x1x2x30;x1,x2,x3R； （B）(x1,x2,x3)x1x2x31;x1,x2,x3R； （C）(x1,x2,x3)x1x2x3;x1,x2,x3R； （D）(x1,x2,x3)x1x2x3;x1,x2,x3R. （4）在V2中，下列向量集合构成子空间的是 ． （A）(0,0),(0,1),(1,0)组成的集合； （B）(0,0)组成的集合；

（C）所有形如(x,1)的向量组成的集合； （D）满足xy1的所有(x,y)组成的集合． （5）V2的下列变换 不是线性变换． （A）T(x,y)(0,0)；

（B）T(x,y)(axby,cxdy)，a,b,c,d是实数； （C）T(x,y)(xy,1)； （D）T(x,y)(0,xy)．

解 （1）A; （2）A; （3）C; （4）B；（5）C． 3．验证：

（1）主对角线上元素之和等于0的2阶矩阵的全体S1；

2

3,n线性表示，则1,2,,n是V的一

则1,2,,n线性表示，,n是V的

,n线性表示，则1,2,,n不

222（2）2阶对称矩阵的全体S2，

对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间，并写出每个空间的一个基．

解 (1)任取AS1,BS1，

caA,daebB，

fb其中a,b,c,d,e,f表示任意实数，则对于任意的k,R，有线性运算的封闭性成立：

kabkABkdf10S1的一个基是,010100,． 0010kceS1．

kab(2)任取AS2,BS2，对于任意的k,R，都满足运算成立：

(kAB)TkATBTkABS2．

100001S2的一个基是,,．

000110 4．验证：与向量(0,1,0)T不平行的全体3维数组向量，对于数组向量的加法和乘数运算不构成线性空间．

证明 与向量(0,1,0)T不平行的全体3维数组向量的集合记作V，(1,1,1)T,(1,0,1)TV，但(0,1,0)V，所以V不是线性空间．

5．设U是线性空间V的一个子空间，证明：若U与V的维数相等，则UV． 证明 设1,2,必定可被1,2,T,r是U的一个基，因为UV，所以1,2,,rV．对于任意的V，

,r线性表示，否则与“U与V的维数相等”矛盾．由的任意性知VU，从而

UV．

6. 判断R22的下列子集是否构成子空间，说明理由．

1a0a,b,cR(1) W1； 0bcab0Wabc0,a,b,cR(2) 1． 0c0解 (1)不构成．由于

3

100200 但 ABWAB1W1，

000000即W1对矩阵加法不封闭．

(2) 构成．任取

a1b10a2b2AW2,B0c010c2有

0W2， 0a1b1c10,a2b2c20，

aabbAB12120c1c2于是

0． 0a1a2b1b2c1c20，

aabbAB12120c1c20W2． 0ka1kb10对任意kR，kA，ka1kb1kc10，所以kAW2．

0kc01W2对矩阵加法和数乘运算封闭，所以W2构成子空间．

7. 判断R22的下列子集是否构成子空间，说明理由．

（1）由所有行列式为零的矩阵所组成的集合W1； （2）由所有满足AA的矩阵组成的集合W2． 解 (1) 不构成．取A2100010，，但是A,BW,BAB1,AB1,因

000101此ABW1，加法不封闭．

1022(2) 不构成．取单位矩阵E，EE，EW2，但(2E)4E2E，所以2EW2，

01数乘不封闭．

8. 在R中求向量α(2,7,6)在基α1(2,0,1),α2(1,3,2),α3(2,1,1)下的坐标． 解 设所求坐标为(x1,x2,x3)，则

4

T3TTTT22x1x22x3703xx23， 6x2xx123解得(x1,x2,x3)T(1,2,1)T． 9．R中两个基为

31(1,1,1)T,2(1,0,1)T,3(1,0,1)T；

1(1,2,1)T,2(2,3,4)T,3(3,4,5)T，

求由基1,2,3到基1,2,3的过渡矩阵． 解 设(1,2,3)(1,2,3)P，则

111123234P(1,2,3)1(1,2,3)100234011．

111145100 10．在R中，取两个基

31e1(1,0,0)T,e2(0,1,0)T,e3(0,0,1)T；

1(1,0,0)T,2(1,1,0)T,3(1,1,1)T，

（1）求由基e1,e2,e3到基1,2,3的过渡矩阵；

11011，求1,2,3； （2）已知由基1,2,3到基1,2,3的过渡矩阵为A0001 （3）已知在基1,2,3下的坐标为(1,2,3)T，求在基1,2,3下的坐标．

111解 （1）因为(1,2,3)(e1,e2,e3)011，所以基e1,e2,e3到基1,2,3的过渡矩阵为

001111P011．

001 5

11111010011010，故 （2）由于(1,2,3)(1,2,3)A01100010010011(1,0,0)T,2(0,1,0)T,3(0,0,1)T．

x1 （3）设在基1,2,3下的坐标为(x1,x2,x3)T，则有(1,2,3)x2，又

x311(1,2,3)2(,,)A1232，

33从而

x1111011xA2011221． x3001333 11．在R中取两个基

3e1(1,0,0,0)T,1(2,1,1,1)T,TTe(0,1,0,0),22(0,3,1,0),  TTe3(0,0,1,0),3(5,3,2,1),e(0,0,0,1)T,(6,6,1,3)T.44 （1）求前一个基到后一个基的过渡矩阵；

（2）求向量(x1,x2,x3,x4)T在后一个基下的坐标； （3）求在两个基下有相同坐标的向量．

21解 (1) 因为(1,2,3,4)(e1,e2,e3,e4)1121阵为A110310532166． 130310532166，所以前一个基到后一个基的过渡矩13(2) 设向量(x1,x2,x3,x4)T在后一个基下的坐标为(y1,y2,y3,y4)，则

T 6

x1y1y1xy22(,,,)Ay2，

1234x3y3y3xy44y4所以，

y1x12y2A1x21y3x31yx4410310532166131x11292733x1x112923x12． 2x32790018x373x926x44(3) 设向量(x1,x2,x3,x4)T在两个基下有相同的坐标，则

x1x1x1x1xxxx(e1,e2,e3,e4)2E2，(1,2,3,4)2A2，

x3x3x3x3xxx444x4x1x20，解得k(1,1,1,1)T,kR． 所以 (AE)x3x4xx 12．说明xOy平面上变换TA的几何意义，其中

yy (1) A1000； (2) A；

01010101； (4) A．

1010xyx10xx，关于y轴对称；

y01yy (3) A解 (1)TA(2)TAxyx00x0，投影到y轴；

y01yyxx01xy(3)TA，关于直线yx对称；

yy10yxxx01xy(4)TA，顺时针旋转90．

yy10yx 7

13．n阶对称矩阵的全体V对于矩阵的线性运算构成一个

n(n1)维线性空间．给定n阶矩阵P，以2A表示V中的任一元素，变换

T(A)PTAP

称为合同变换．证明合同变换T是V中的线性变换．

kR，证明 设A,BV，则ATA,BTB，所以(AB)TAB，从而AB(kA)TkA．

与kA是对称矩阵．又因为

T(AB)PT(AB)PPTAPPTBPT(A)T(B)，

T(kA)PT(kA)PkPTAPkT(A)，

所以T是V中的线性变换．

4603 14．设R中1,2,3是一个基，且线性变换T在此基下的矩阵为A350，

361 （1）证明123,3,212也是R的一个基； （2）求线性变换T在此基下的矩阵．

证明 （1）令1123,23,3212，可解得

31123, 221223， 32，

这说明了1,2,3和1,2,3可以相互线性表示，从而它们等价，所以1,2,3是R3的一个基．

（2）设线性变换T在基1,2,3下的矩阵是B，并设从基1,2,3到基1,2,3的过渡矩阵是

102120P，则BP1AP，由条件知P101，得P1121，从而 110110200BP1AP010．

0012x15．函数集合V3(a2xa1xa0)ea2,a1,a0R对于函数的线性运算构成三维线性空

间．在V3中取一个基1x2ex,2xex,3ex，求微分运算D在这个基下的矩阵． 解 因为

D(1)x2ex2xex12203， D(2)exxex0123，

8

D(3)ex01023，

100

所以微分运算D在这个基下的矩阵为210．

011

16．二阶对称矩阵的全体V3Ax1x2x2x,x,xR对于矩阵的线性运算构成三维线性空123x3间．在V3中取一个基A1100100,A,A23，在V3中定义合同变换

0010011011T(A)A，

1101求T在基A1,A2,A3下的矩阵．

解 因为

101110101111T(A1)A1A1A2A3，

110111000111101110011101T(A2)A2A22A3，

110111100112101110001100T(A3)A3A3，

110111010101100(T(A1),T(A2),T(A3))(A1,A2,A3)110，

121100所以T在基A1,A2,A3下的矩阵为110．

12117．设A是一个正定矩阵，向量(x1,x2,为,,xn),(y1,y2,n在R中定义内积 ,,yn)．

AT．证明在这个定义之下，Rn是一个Euclid空间．

AT(AT)TATTAT,．

T 证明 按定义证明满足以下四条性质即可． （1）对称性 , （2）线性加性 ,()A （3）线性齐性 k,

ATAT,,．

(k)ATk(AT)k,．

9

（4）非负性 由于A是正定矩阵，所以,AT是个正定二次型，从而,0，当且仅当0时,0．

18．设V是一个n维Euclid空间，0是V中一固定向量，证明：V1x的一个子空间．

证明 因为0V1，所以V1非空．再证V1对两种运算封闭．

任给x1,x2V1，即x1,α0,x2,α0，根据V的线性加性有x1x2,αx1,αx2,α

x,α0,xV是V000，从而可知x1x2V1．另一方面，由kx1,αkx1,α0可知，kx1V1．

此即证得V1xx,α0,xV是V的一个子空间．

10

B 组

1．求二阶矩阵构成的线性空间R22010110中元素A在基G1，G2，

2311111111G3，G4下的坐标.

0110 解 设Ak1G1k2G2k3G3k4G4，则

 k2k3k40,k kk1,134 k1k2 k42,k1k2k3 3,解得k10,k21,k32,k43，所求坐标为(0,1,2,3)T. 2．在二阶矩阵构成的线性空间R （1）求基

22中，

10010000E1,E2,E3,E4

00001001到基

21035366F1,F2,F3,F4

11102113的过渡矩阵；

（2）分别求向量Ma11a21a12在基E1,E2,E3,E4和基F1,F2,F3,F4下的坐标； a22 （3）求一个非零向量A，使得A在这两个基下的坐标相等． 解 （1）因为

F12E1E2E3E4， F20E13E2E30E4， F35E13E22E3E4， F46E16E2E33E4，

即

11

21(F1,F2,F3,F4)(E1,E2,E3,E4)11所以，基E1,E2,E3,E4到基F1,F2,F3,F4的过渡矩阵为

0310532166， 1321P11 （2）显然M0310532166． 13a11a12a11E1a12E2a21E3a22E4，得到M在基E1,E2,E3,E4下的坐

a21a22标为(a11,a12,a21,a22)T．设M在基F1,F2,F3,F4下的坐标为(y1,y2,y3,y4)T，则

a11y1y1ayy2122M(E1,E2,E3,E4)(F1,F2,F3,F4)(E1,E2,E3,E4)P， a21y3y3ayy2244得

111111441aaaa21229911312399ay1a11111412314123a11a12a21a229327a12279327y2P1a1227．

y3a2112a211200aa2211ya33a22334227711261126a22a11a12a21279327279327 （3）解方程

1114aaaa21229113129a1114123a11a12a21a229327a1227，

a2112a11a22a332271126a22a11a12a21932727得a11a12a21a22，所以

12

11Ak,k0．

113. 设T是四维线性空间V的线性变换，T在V的基1,2,3,4下的矩阵为

12222652 A00120026求T在V的基11,212,323,434下的矩阵.

解 (1,2,3,4)(1,2,3,4)P，其中

11000110, P00110001所求矩阵

121BPAP004. 设1,2,(1) 证明1,3400001200. 34,n是Rn的一个基．

12,123,,12n也是Rn的一个基；

,12n的过渡矩阵；

，

(2) 求由基1,2,,n到基1,12,123,,n下的坐标(x1,x2,(3) 求向量在基1,2,,xn)T和在基1，12，123，

12n下的坐标(y1,y2,,yn)T间的变换公式.

1101,n0011， 1 解 (1) 因为

1,12,123,,12n1,2, 13

1101所以P0011，P10，P可逆，从而向量组1，12，123，1,αn等价，而1,2,，

12n与向量组α1,α2,，12,n是Rn的一个基，所以1，12，

123，n也是Rn的一个基．

，12(2) 由基1,2,,n到基1，12，123，n的过渡矩阵为

1101P00(3) 坐标变换公式为

11． 100000000x10x2． 0xn11y1x111y2P1x201ynxn0011001111x10011x20001xn0000001100105. 设1,2,且1,2,,n是V的一个基，,n1,2,证明1,2,,nA，

,n是V的一个基的充分必要条件是矩阵A为可逆矩阵．

证明 由于1,2,,n线性无关，注意到

k1k,n21,2,knk1k,nA2，

knk11k22knn1,2,可得

1,2,,n是V的一个基1,2,,n线性无关

knn0时，必定有k1k2kn0

k11k22 1,2,k1k,nA20时，必定有k1k2kn14

kn0

k1k20时，必定有k1k2Aknkn0

齐次线性方程组Ax0只有零解 A0 A是可逆矩阵．

6. 设V1,V2是线性空间V的两个不同的子空间，且V1V，V2V，证明在V中存在向量，使得

V1,V2同时成立．

证明 由于V1V，V2V，于是在V中存在向量,，使得V1,V2成立． 若V2，则即为所求． 若

V2，则对任意数k，有kV2．否则，由于V2和kV2，可得

(k)kV2，与假设矛盾．

于是，取k1k2，则k1V1与k2V1不能同时成立，否则

(k1)(k2)(k1k2)V1，

有V1，矛盾．

故k1V1与k2V1至少有一个成立，不妨设k1V1，又k1V2，因此k1即为所求． 7. 设1,2,,n与1,2,,n是n维线性空间V的两个基，证明

（1）在两组基下坐标完全相同的全体向量的集合V1是V的子空间； （2）设基1,2,,n到基1,2, ,n的过渡矩阵是P，若R(EP)r，则dimV1nr；

（3）若V中的每个向量在这两个基下的坐标完全相同，则11,22, 证明 （1）设,V1，即

,nn．

x11x22xnnx11x22ynny11y22xnn， ynn．

y11y22则

15

(x1y1)1(x2y2)2(xnyn)n(x1y1)1(x2y2)2kxnnkx11kx22kxnn，

(xnyn)n，

kkx11kx22即，k在这两个基下的坐标也完全相同，于是V1，kV1，从而V1是V的子空间．

（2）设是V1中任一向量，则

x11x22xnn(1,2,x1x,n)2，

xnx1x,n)P2．

xnx11x22xnn(1,2,x1x,n)2(1,2,xn于是，在两个基下的坐标存在关系

xPx，x(x1,x2,,xn)T，

即(EP)x0．由于R(EP)r，故此齐次线性方程组的解向量的全体构成nr维空间，从而的全体即V1的维数是nr． （3）i(i1,2,为0），即

,n)在基1,2,,n下的坐标为(0,0,,0,1,0,,0)T（第i个分量为1，余皆

i01而由条件，i(i1,2,0i11i0i10n， i1,2,,0,1,0,,n．

,n)在基1,2,,n下的坐标也是(0,0,,0)T，即

,n，

i01从而有ii，i1,2,0i11i0i10n，i1,2,,n．

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