西安二十三中中考数学模拟试卷带详细解答

2016年陕西省西安二十三中中考数学模拟试卷

一．选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1．三角形在方格纸中的位置如图所示，则cosα的值是（ ）

A． B． C． D．

2．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ） A．y=3x﹣1 B．y=ax2+bx+c

C．s=2t2﹣2t+1

D．y=x2+

3．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=88°，则∠BCD的度数是（ ）

A．88° B．92° C．106° D．136° 4．在△ABC中，∠C=90°，如果tanA=A．

B．

C．

D．

，那么sinB的值等于（ ）

5．抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是（ ） A．（﹣1，2）

B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2）

D．（1，2）

6．点O是△ABC的外心，若∠BOC=80°，则∠BAC的度数为（ ） A．40° B．100° C．40°或140°

D．40°或100°

7．⊙O的半径为5，圆心O的坐标为（0，0），点P的坐标为（4，2），则点P与⊙O的位置关系是（ ）

A．点P在⊙O内 B．点P的⊙O上

C．点P在⊙O外 D．点P在⊙O上或⊙O外

第1页（共21页）

8．在同一坐标系中，一次函数y=﹣mx+n2与二次函数y=x2+m的图象可能是（ ）

A． B． C． D．

9．某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格： x y … … ﹣2 ﹣11 ﹣1 ﹣2 0 1 1 ﹣2 2 ﹣5 … … 由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（ ） A．﹣11 B．﹣2 C．1

D．﹣5

10．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论：

①b2＞4ac；②2a+b=0；③a+b+c＞0；④若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2，

其中正确结论是（ ）

A．②④

B．①④ C．①③ D．②③

二、填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 11．直径所对的圆周角是 ．

12．圆心角为120°，半径为6cm的扇形的弧长是 cm．

13．将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位，在向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是 ．

14．等腰三角形腰长为2cm，底边长为215．圆内接正六边形的边心距为2

cm，则顶角为 ，面积为 ．

，则这个正六边形的面积为 cm2．

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16．如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交心，OC的长为半径作

于点E，以点O为圆

交OB于点D．若OA=2，则阴影部分的面积为 ．

17．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30﹣x）件．若使利润最大，每件的售价应为 元．

18．已知二次函数y有最大值4，且图象与x轴两交点间的距离是8，对称轴为x=﹣3，此二次函数的解析式为 ．

19．如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，∠ABC=30°，则∠CAD= 度．

20．已知二次函数y=x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 ．

三、作图题（共1小题，满分10分） 21．用尺规作圆内接正三角形．

四、解答题（本大题共50分） 22．计算： （1）（2）（3）

sin45°+sin30°•cos60°； +（）﹣1﹣2cos60°+（2﹣π）0． +1﹣3tan230°+2

．

23．超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100米的P处．这时，一辆富康轿车由

第3页（共21页）

西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得∠APO=60°，∠BPO=45°，试判断此车是否超过了每小时80千米的限制速度？（参考数据：

=1.41，

=1.73）

24．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于点E，与AB的延长线相交于点F． （1）求证：EF与⊙O相切； （2）若AB=6，AD=4

，求EF的长．

25．已知抛物线C：y=﹣x2+bx+c经过A（﹣3，0）和B（0，3）两点，将这条抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N． （1）求抛物线C的表达式； （2）求点M的坐标；

（3）将抛物线C平移到抛物线C′，抛物线C′的顶点记为M′，它的对称轴与x轴的交点记为N′．如果以点M、N、M′、N′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？为什么？

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2016年陕西省西安二十三中中考数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一．选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1．三角形在方格纸中的位置如图所示，则cosα的值是（ ）

A． B． C． D．

【考点】锐角三角函数的定义．

【分析】根据网格特点和勾股定理分别求出AC、AB，根据余弦的定义计算即可． 【解答】解：根据网格特点可知，AC=4，BC=3， 由勾股定理得，AB=则cosα=故选：D．

=，

=5，

【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．

2．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ） A．y=3x﹣1 B．y=ax2+bx+c 【考点】二次函数的定义．

【分析】根据二次函数的定义，可得答案．

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C．s=2t2﹣2t+1 D．y=x2+

【解答】解：A、y=3x﹣1是一次函数，故A错误； B、y=ax2+bx+c （a≠0）是二次函数，故B错误； C、s=2t2﹣2t+1是二次函数，故C正确； D、y=x2+不是二次函数，故D错误； 故选：C．

【点评】本题考查了二次函数的定义，y=ax2+bx+c （a≠0）是二次函数，注意二次函数都是整式．

3．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=88°，则∠BCD的度数是（ ）

A．88° B．92° C．106° D．136°

【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．

【分析】首先根据∠BOD=88°，应用圆周角定理，求出∠BAD的度数多少；然后根据圆内接四边形的性质，可得∠BAD+∠BCD=180°，据此求出∠BCD的度数是多少即可． 【解答】解：∵∠BOD=88°， ∴∠BAD=88°÷2=44°， ∵∠BAD+∠BCD=180°， ∴∠BCD=180°﹣44°=136°， 即∠BCD的度数是136°． 故选：D．

【点评】（1）此题主要考查了圆内接四边形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．

（2）此题还考查了圆周角定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

4．在△ABC中，∠C=90°，如果tanA=

，那么sinB的值等于（ ）

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A． B． C． D．

【考点】锐角三角函数的定义．

【分析】先根据题意设出直角三角形的两直角边，根据勾股定理求出其斜边；再根据直角三角形中锐角三角函数的定义求解即可．

【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，tanA=∴设BC=5x，则AC=12x， ∴AB=13x，sinB=故选B．

【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．

5．抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是（ ） A．（﹣1，2）

B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2）

D．（1，2）

=

．

，

【考点】二次函数的性质． 【专题】压轴题．

【分析】直接利用顶点式的特点可写出顶点坐标．

【解答】解：∵顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k）， ∴抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是（1，2）． 故选D．

【点评】主要考查了求抛物线的顶点坐标、对称轴的方法．熟记二次函数的顶点式的形式是解题的关键．

6．点O是△ABC的外心，若∠BOC=80°，则∠BAC的度数为（ ） A．40° B．100° C．40°或140°

D．40°或100°

【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理． 【专题】分类讨论．

【分析】利用圆周角定理以及圆内接四边形的性质得出∠BAC的度数． 【解答】解：如图所示：∵O是△ABC的外心，∠BOC=80°， ∴∠A=40°，∠A′=140°，

第7页（共21页）

故∠BAC的度数为：40°或140°． 故选：C．

【点评】此题主要考查了圆周角定理以及圆内接四边形的性质，利用分类讨论得出是解题关键．

7．⊙O的半径为5，圆心O的坐标为（0，0），点P的坐标为（4，2），则点P与⊙O的位置关系是（ ）

A．点P在⊙O内 B．点P的⊙O上

C．点P在⊙O外 D．点P在⊙O上或⊙O外 【考点】点与圆的位置关系；坐标与图形性质．

【分析】根据点到圆心的距离与圆的半径之间的关系：“点到圆心的距离为d，则当d=r时，点在圆上；当d＞r时，点在圆外；当d＜r时，点在圆内”来求解．

【解答】解：∵圆心O的坐标为（0，0），点P的坐标为（4，2）， ∴OP=故选A．

【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．设点到圆心的距离为d，则当d=r时，点在圆上；当d＞r时，点在圆外；当d＜r时，点在圆内．

8．在同一坐标系中，一次函数y=﹣mx+n2与二次函数y=x2+m的图象可能是（ ）

=

＜5，因而点P在⊙O内．

A． B． C． D．

【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．

【分析】本题可先由一次函数y=﹣mx+n2图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=x2+m的图象相比较看是否一致．

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【解答】解：A、由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，n2＜0，错误；

B、由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，﹣m＜0，错误； C、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＜0，错误； D、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＞0，正确， 故选D．

【点评】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法，难度适中．

9．某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格： x y … … ﹣2 ﹣11 ﹣1 ﹣2 0 1 1 ﹣2 2 ﹣5 … … 由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（ ） A．﹣11 B．﹣2 C．1

D．﹣5

【考点】二次函数的图象．

【分析】根据关于对称轴对称的自变量对应的函数值相等，可得答案． 【解答】解：由函数图象关于对称轴对称，得 （﹣1，﹣2），（0，1），（1，2）在函数图象上， 把（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2）代入函数解析式，得

，

解得，

函数解析式为y=﹣3x2+1 x=2时y=﹣11， 故选：D．

【点评】本题考查了二次函数图象，利用函数图象关于对称轴对称是解题关键．

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10．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论：

①b2＞4ac；②2a+b=0；③a+b+c＞0；④若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2，

其中正确结论是（ ）

A．②④ B．①④ C．①③ D．②③

【考点】二次函数图象与系数的关系． 【专题】压轴题．

【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解答】解：∵抛物线的开口方向向下， ∴a＜0；

∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac， 故①正确

由图象可知：对称轴x=﹣∴2a﹣b=0， 故②错误；

∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上， ∴c＞0

由图象可知：当x=1时y=0， ∴a+b+c=0； 故③错误；

由图象可知：若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2，

第10页（共21页）

=﹣1，

故④正确． 故选B

【点评】此题考查二次函数的性质，解答本题关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．

二、填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 11．直径所对的圆周角是 直角 ． 【考点】圆周角定理．

【分析】由圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，即可得出结果． 【解答】解：直径所对的圆周角是直角； 故答案为：直角．

【点评】本题考查了圆周角定理；熟记直径所对的圆周角是直角是解决问题的关键．

12．圆心角为120°，半径为6cm的扇形的弧长是 4π cm． 【考点】弧长的计算． 【专题】应用题．

【分析】弧长的计算公式为l=

，将n=120°，R=6cm代入即可得出答案．

【解答】解：由题意得，n=120°，R=6cm， 故可得：l=

=4πcm．

故答案为：4π．

【点评】此题考查了弧长的计算公式，属于基础题，解答本题的关键是掌握弧长的计算公式及公式字母所代表的含义．

13．将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位，在向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是 y=（x﹣1）2+2 ．

【考点】二次函数图象与几何变换． 【分析】抛物线平移不改变a的值．

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【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向右平移1个单位，在向上平移2个单位后，那么新抛物线的顶点为（1，2）．可设新抛物线的解析式为：y=（x﹣h）2+k，代入得：y=（x﹣1）2+2．故所得图象的函数表达式是：y=（x﹣1）2+2．

【点评】解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．

14．等腰三角形腰长为2cm，底边长为2

cm，则顶角为 120° ，面积为 cm2． ．

【考点】解直角三角形；等腰三角形的性质．

【分析】作底边上的高，根据等腰三线合一的性质，也是底边上的中线，利用勾股定理求出底边上的高，然后代入面积公式求解即可． 【解答】解：如图，作AD⊥BC于D， ∴BD=DC=∴AD=∴∠B=30°，

∴顶角为180°﹣30°﹣30°=120°，三角形的面积=×2故答案为：120°；

cm2．

×1=

cm2．

cm，

cm，

【点评】本题考查解直角三角形问题，关键是利用等腰三角形三线合一和勾股定理求解．

15．圆内接正六边形的边心距为2【考点】正多边形和圆．

【分析】根据正六边形的特点，通过中心作边的垂线，连接半径，结合解直角三角形的有关知识解决．

【解答】解：如图，

，则这个正六边形的面积为 24 cm2．

第12页（共21页）

连接OA、OB；过点O作OG⊥AB于点G． 在Rt△AOG中，OG=2∵OG=OA•cos 30°， ∴OA=

=

=4，

cm2．

，∠AOG=30°，

∴这个正六边形的面积为6××4×2故答案为：24

．

=24

【点评】此题主要考查正多边形的计算问题，根据题意画出图形，再根据正多边形的性质及锐角三角函数的定义解答即可．

16．如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交心，OC的长为半径作

交OB于点D．若OA=2，则阴影部分的面积为

于点E，以点O为圆+

．

【考点】扇形面积的计算． 【专题】压轴题．

【分析】连接OE、AE，根据点C为OC的中点可得∠CEO=30°，继而可得△AEO为等边三角形，求出扇形AOE的面积，最后用扇形AOB的面积减去扇形COD的面积，再减去S空白AEC即可求出阴影部分的面积．

【解答】解：连接OE、AE， ∵点C为OA的中点， ∴∠CEO=30°，∠EOC=60°， ∴△AEO为等边三角形， ∴S扇形AOE=

=π，

∴S阴影=S扇形AOB﹣S扇形COD﹣（S扇形AOE﹣S△COE） =

﹣

﹣（π﹣×1×

）

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=π﹣π+=

+

．

故答案为： +．

【点评】本题考查了扇形的面积计算，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式：S=

．

17．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30﹣x）件．若使利润最大，每件的售价应为 25 元． 【考点】二次函数的应用． 【专题】销售问题．

【分析】本题是营销问题，基本等量关系：利润=每件利润×销售量，每件利润=每件售价﹣每件进价．再根据所列二次函数求最大值． 【解答】解：设最大利润为w元，

则w=（x﹣20）（30﹣x）=﹣（x﹣25）2+25， ∵20≤x≤30，

∴当x=25时，二次函数有最大值25， 故答案是：25．

【点评】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．

18．已知二次函数y有最大值4，且图象与x轴两交点间的距离是8，对称轴为x=﹣3，此二次函数的解析式为 y=﹣（x+7）（x﹣1） ． 【考点】待定系数法求二次函数解析式．

【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的两个交点坐标，然后把顶点坐标（﹣3，4）代入函数解析式y=a（x+7）（x﹣1）求得系数a的值．

第14页（共21页）

【解答】解：∵该函数图象与x轴两交点间的距离是8，对称轴为x=﹣3， ∴抛物线与x轴的两个交点坐标是（0，﹣7）、（0，1）． 故设该抛物线解析式为y=a（x+7）（x﹣1）（a≠0）． 把顶点（﹣3，4）代入得到：4=a（﹣3+7）（﹣3﹣1）， 解得a=﹣1．

则该二次函数解析式为：y=﹣（x+7）（x﹣1）． 故答案是：y=﹣（x+7）（x﹣1）．

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式．根据题意得到抛物线与x轴的两个交点坐标和顶点坐标是解题的关键．

19．如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，∠ABC=30°，则∠CAD= 60 度．

【考点】圆周角定理．

【分析】根据圆周角定理可得出两个条件：①∠ACD=90°；②∠D=∠B=30°；在Rt△ACD中，已知了∠D的度数，即可求出∠CAD的度数． 【解答】解：∵AD是⊙O的直径， ∴∠ACD=90°；

∵∠CDA=∠ABC=30°，（同弧所对的圆周角相等） ∴∠CAD=90°﹣∠CDA=60°．

【点评】熟练运用圆周角定理及其推论是解答本题的关键．

20．已知二次函数y=x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 m≥﹣1 ．

【考点】二次函数的性质．

【分析】根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于1列式计算即可得解． 【解答】解：抛物线的对称轴为直线x=﹣

=

，

第15页（共21页）

∵当x＞1时，y的值随x值的增大而增大， ∴

≤1，

解得：m≥﹣1． 故答案为：m≥﹣1．

【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，熟记性质并列出不等式是解题的关键．

三、作图题（共1小题，满分10分） 21．用尺规作圆内接正三角形．

【考点】作图—复杂作图；正多边形和圆． 【专题】作图题．

【分析】在⊙O上依次截取AB=BC=CD=DE=EF=圆的半径，则△ACE满足条件． 【解答】解：如图，△ACE为⊙O的内接正三角形．

【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．

四、解答题（本大题共50分） 22．计算： （1）（2）（3）

sin45°+sin30°•cos60°； +（）﹣1﹣2cos60°+（2﹣π）0． +1﹣3tan230°+2

．

【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．

第16页（共21页）

【专题】计算题；实数．

【分析】（1）原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果；

（2）原式第一项利用算术平方根定义计算，第二项利用负整数指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果； （3）原式利用特殊角的三角函数值及二次根式性质计算即可得到结果． 【解答】解：（1）原式=

×

+×=1；

（2）原式=2+2﹣2×+1=4﹣1+1=4； （3）原式=

+1﹣3×+2×（1﹣

）=

+1﹣1+2﹣

=2．

【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

23．超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100米的P处．这时，一辆富康轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得∠APO=60°，∠BPO=45°，试判断此车是否超过了每小时80千米的限制速度？（参考数据：

=1.41，

=1.73）

【考点】勾股定理的应用．

【分析】首先利用两个直角三角形求得AB的长，然后除以时间即可得到速度． 【解答】解：由题意知：PO=100米，∠APO=60°，∠BPO=45°， 在直角三角形BPO中， ∵∠BPO=45°， ∴BO=PO=100m 在直角三角形APO中， ∵∠APO=60°， ∴AO=PO•tan60°=100∴AB=AO﹣BO=（100

﹣100）≈73米，

第17页（共21页）

∵从A处行驶到B处所用的时间为3秒，

∴速度为73÷3≈24.3米/秒=87.6千米/时＞80千米/时， ∴此车超过每小时80千米的限制速度．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，从复杂的实际问题中整理出直角三角形并求解是解决此类题目的关键．

24．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于点E，与AB的延长线相交于点F． （1）求证：EF与⊙O相切； （2）若AB=6，AD=4

，求EF的长．

【考点】切线的判定． 【专题】证明题．

【分析】（1）连接OD，由题可知，E已经是圆上一点，欲证CD为切线，只需证明∠ODF=90°即可．

（2）连接BD，作DG⊥AB于G，根据勾股定理求出BD，进而根据勾股定理求得DG，根据角平分线性质求得DE=DG=

，然后根据△ODF∽△AEF，得出比例式，即可求得EF的长．

【解答】（1）证明：连接OD， ∵AD平分∠CAB， ∴∠OAD=∠EAD． ∵OD=OA， ∴∠ODA=∠OAD． ∴∠ODA=∠EAD． ∴OD∥AE．

∵∠ODF=∠AEF=90°且D在⊙O上， ∴EF与⊙O相切．

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（2）连接BD，作DG⊥AB于G， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∵AB=6，AD=4∴BD=∵OD=OB=3，

设OG=x，则BG=3﹣x，

∵OD2﹣OG2=BD2﹣BG2，即32﹣x2=22﹣（3﹣x）2， 解得x=， ∴OG=， ∴DG=

=

，

， =2，

∵AD平分∠CAB，AE⊥DE，DG⊥AB， ∴DE=DG=∴AE=∵OD∥AE， ∴△ODF∽△AEF， ∴

=

，即

=

，

，

=

，

∴=，

∴EF=．

【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，切线的判定等知识点的应用，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力，两小题题型都很好，都具有一定的代表性．

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25．已知抛物线C：y=﹣x2+bx+c经过A（﹣3，0）和B（0，3）两点，将这条抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N． （1）求抛物线C的表达式； （2）求点M的坐标；

（3）将抛物线C平移到抛物线C′，抛物线C′的顶点记为M′，它的对称轴与x轴的交点记为N′．如果以点M、N、M′、N′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？为什么？

【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质．

【专题】压轴题；分类讨论．

【分析】（1）直接把A（﹣3，0）和B（0，3）两点代入抛物线y=﹣x2+bx+c，求出b，c的值即可；（2）根据（1）中抛物线的解析式可得出其顶点坐标；

（3）根据平行四边形的定义，可知有四种情形符合条件，如解答图所示．需要分类讨论． 【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣3，0）和B（0，3）两点， ∴

，解得

，

故此抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；

（2）∵由（1）知抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3， ∴当x=﹣

=﹣

=﹣1时，y=4，

∴M（﹣1，4）．

（3）由题意，以点M、N、M′、N′为顶点的平行四边形的边MN的对边只能是M′N′， ∴MN∥M′N′且MN=M′N′． ∴MN•NN′=16， ∴NN′=4．

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i）当M、N、M′、N′为顶点的平行四边形是▱MNN′M′时，将抛物线C向左或向右平移4个单位可得符合条件的抛物线C′；

ii）当M、N、M′、N′为顶点的平行四边形是▱MNM′N′时，将抛物线C先向左或向右平移4个单位，再向下平移8个单位，可得符合条件的抛物线C′． ∴上述的四种平移，均可得到符合条件的抛物线C′．

【点评】本题考查了抛物线的平移变换、平行四边形的性质、待定系数法及二次函数的图象与性质等知识点．第（3）问需要分类讨论，避免漏解．

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