安徽省合肥市2018届高三第一次教学质量检测

数学理试题

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知i为虚数单位，则

2i34i2i（ ）

712712A．5 B．5i C．i D．i

55552.已知等差数an，若a210,a51，则an的前7项的和是（ ） A．112 B．51 C．28 D．18 3.已知集合M是函数y（ ）

11A．xx B．x4x

221C．x,yx且y4 D．

2112x的定义域，集合N是函数yx24的值域，则MNx2y24.若双曲线221a0,b0的一条渐近线方程为y2x，该双曲线的离心率是

ab（ ） A．5 B．3 C．5 D．23 25.执行如图程序框图，若输入的n等于10，则输出的结果是（ ）

11A．2 B．3 C． D．

236.已知某公司生产的一种产品的质量X(单位：克)服从正态分布N100,4.现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品，其中质量在98,104内的产品估计有（ ） （

附

：

若

X服从

N,2，则

PX0.6826，

P2X20.9544）

A．3413件 B．4772件 C．6826件 D．8185件

7.将函数ycosxsinx的图像先向右平移0个单位，再将所得的图像上每个点的横坐标变为原来的a倍，得到ycos2xsin2x的图像，则,a的可能取值为（ ） A．2,a2 B．3311,a2 C．,a D．,a 882228.已知数列an的前n项和为Sn，若3Sn2an3n，则a2018（ ）

20182018A．21 B．316 C．2201871 D．23201810 39.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）

A．518 B．618 C．86 D．106

10.已知直线2xy10与曲线yaexx相切(其中e为自然对数的底数)，则实数a的值是（ ） A．

1 B．1 C．2 D．e 211.某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件.甲、乙两种产品都

需要在A、B两种设备上加工，生产一件甲产品需用A设备2小时，B设备6小时；生产一件乙产品需用A设备3小时，B设备1小时. A、B两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为（ ） A．320千元 B．360千元 C．400千元 D．440千元

ex12.已知函数fx2xx,gx(其中e为自然对数的底数），若函数

x22hxfgxk有4个零点，则k的取值范围为（ ）

2121A．1,0 B．0,1 C．2,1 D．0,2

eeee第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13. 若平面向量a,b满足ab2,ab6，则ab ． 14.已

知

m是常数，

mx15a5x5a4x4a3x3a2x2 a1xa0，且

a1a2aa3a4a335，则m ．

15.抛物线E:y24x的焦点为F，准线l与x轴交于点A，过抛物线E上一点P(第一象限．．．．内)作l的垂线PQ,垂足为Q.若四边形AFPQ的周长为16，则点P的坐标为 ． ．

16.在四面体ABCD中，ABAD2,BAD60,BCD90，二面角ABDC的大小为150,则四面体ABCD外接球的半径为 ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，a2bcosCccosA0. （1）求角C；

（2）若c23，求ABC的周长的最大值.

18.2014年9月，国务院发布了《关于深化考试招生制度改革的实施意见》.某地作为高考改革试点地区，从当年秋季新入学的高一学生开始实施，高考不再分文理科.每个考生，英语、语文、数学三科为必考科目 并从物理、化学、生物、政治、历史、地理六个科目中任选三个科目参加高考.物理、化学、生物为自然科 学科目，政治、历史、地理为社会科学科目.假设某位考生选考这六个科目的可能性相等.

（1）求他所选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率；

（2）已知该考生选考的三个科目中有一个科目属于社会科学科目，两个科目属于自然科学科目.若该考生所选的社会科学科目考试的成绩获A等的概率都是0.8，所选的自然科学科目考试的成绩获A等的概率都是0.75,且所选考的各个科目考试的成绩相互独立.用随机变量X表示他所选考的三个科目中考试成绩获A等的科目数，求X的分布列和数学期望. 19.如图，在多面体ABCDEF中，ABCD是正方形，BF平面ABCD，DE平面ABCD，

BFDE，点M为棱AE的中点.

（1）求证：平面BMD//平面EFC；

（2）若DE2AB，求直线AE与平面BDM所成的角的正弦值.

20.在平面直角坐标系中，圆O交x轴于点F1,F2，交y轴于点B1,B2.以B1,B2为顶点，F1,F221,分别为左、右焦点的椭圆E，恰好经过点2. （1）求椭圆E的标准方程；

（2）设经过点2,0的直线l与椭圆E交于M,N两点，求F2MN面积的最大值. 21.已知fxln2x1aaR. x（1）讨论fx的单调性；

（2）若fxax恒成立，求a的值.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4：坐标系与参数方程

x3cos在直角坐标系xOy中，曲线C1: (为参数)，在以O为极点，x轴的正半轴为极

y2sin轴的极坐标系中，曲线C2:2cos0. （1）求曲线C2的普通方程；

（2）若曲线C1上有一动点M，曲线C2上有一动点N，求MN的最小值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数fx2x1.

（1）解关于x的不等式fxfx11；

（2）若关于x的不等式fxmfx1的解集不是空集，求m的取值范围.

试卷答案

一、选择题

1-5: ACBCC 6-10: DDACB 11、12：BD

二、填空题

13. 1 14. 3 15.4,4 16.

21 3三、解答题

17. 解：（1）根据正弦定理，由已知得：sinA2sinBcosCsinCcosA0， 即sinAcosCsinCcosA2sinBcosC， ∴sinAC2sinBcosC，

∵ACB，∴sinACsinBsinB0， ∴sinB2sinBcosC，从而cosC∵C0,，∴C1. 23.

a2b2c21（2）由（1）和余弦定理得cosC，即a2b212ab，

2ab2∴ab2ab123ab3，

22即ab48 (当且仅当ab23时等号成立）.

2所以，ABC周长的最大值为43c63.

18. （1）记“某位考生选考的三个科目中至少有一个科目是自然科学科目”为事件M，

3C3119则PM131，

C62020所以该位考生选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率为（2）随机变量X的所有可能取值有0, 1，2，3. 111因为PX0,

54804111311PX1C2，

54544841313331PX2C2，

5445480439PX3，

5420222219. 20所以X的分布列为

所以EX011033361232.3. 8080808019.（1）证明：连结AC，交BD于点N， ∴N为AC的中点，∴MN//EC. ∵MN平面EFC，EC平面EFC， ∴MN//平面EFC.

∵BF,DE都垂直底面ABCD， ∴BF//DE. ∵BFDE，

∴BDEF为平行四边形，∴BD//EF. ∵BD平面EFC，EF平面EFC，

∴BD//平面EFC.

又∵MNBDN，∴平面BDM//平面EFC. （2）由已知，DE平面ABCD，ABCD是正方形.

∴DA,DC,DE两两垂直，如图，建立空间直角坐标系Dxyz. 设AB2，则DE4，从而B2,2,0,M1,0,2,A2,0,0,E0,0,4， ∴DB2,2,0,DM1,0,2，

设平面BDM的一个法向量为nx,y,z，

2x2y0nDB0由得.

x2z0nDM0令x2，则y2,z1，从而n2,2,1.

∵AE2,0,4，设AE与平面BDM所成的角为，则

sincosnAEnAEnAE45， 1545. 15所以，直线AE与平面BDM所成角的正弦值为

20.（1）由已知可得，椭圆E的焦点在x轴上.

x2y2设椭圆E的标准方程为221ab0，焦距为2c，则bc，

abx2y2∴abc2b，∴椭圆E的标准方程为221.

2bb1211,21，解得b21. 又∵椭圆E过点，∴2222bb2222x2∴椭圆E的标准方程为y21.

2（2）由于点2,0在椭圆E外，所以直线l的斜率存在.

设直线l的斜率为k，则直线l:ykx2，设Mx1,y1,Nx2,y2. ykx2（12k2)x28k2x8k220. 由x2消去得，y2y128k28k221由 0得0k，从而x1x2， ,x1x212k212k222∴MN1kx1x221k2224k212k3k1k222.

∵点F21,0到直线l的距离d，

k224k21∴F2MN的面积为SMNd3. 22212k令12k2t，则t1,2，

∴S3t12tt2t23t23213133132， 2t2ttt4824432613当即t1,2时，S有最大值，Smax，此时k.

3346t4所以，当直线l的斜率为632时，可使F2MN的面积最大，其最大值. 642a2x22axa1，fx21.（Ⅰ）fx的定义域为，. 222x1x2x1x2∵2x10,x20. gx2x22axa，则 令 11（1）若0，即当0a2时，对任意x,，gx0恒成立， 即当x,22时，fx0恒成立（仅在孤立点处等号成立）. 1∴fx在,上单调递增.

2（2）若0，即当a2或a0时，gx的对称轴为x①当a0时，

a. 2a110，且g0. 22211如图，任意x,，gx0恒成立， 即任意x,时，fx0恒成立，

22

1∴fx在,上单调递增.

2a11②当a2时，1 ，且g0.

222如图，记gx0的两根为x111aa22a,x2aa22a 22

1∴当x,x1x2,时，gx0；

211当,aa22a时，gx0. 221∴当x,x1x2,时，fx0，

2当xx1,x2时，fx0.

1∴fx在,x1和x2,上单调递增，在x1,x2上单调递减.

21综上，当a2时，fx在,上单调递增；

2111当a2时，fx在,aa22a和aa22a,上单调递增，

2221在aa22a2,1a2a22a上单调递减.

1（Ⅱ）fxax恒成立等价于x,，fxax0恒成立.

2a1令hxfxaxln2x1ax，则fxax恒成立等价于x,，

x2hx0h1 *.

要满足*式，即hx在x1时取得最大值. ∵hx2ax32ax22axax22x1.

由h10解得a1.

1x2x2x1当a1时，hx， 2x2x11∴当x,1时，hx0；当x1,时，hx0.

21∴当a1时，hx在,1上单调递增，在1,上单调递减，从而hxh10，符合

2题意. 所以，a1.

22. （1）由2cos0得：22cos0. 因为2x2y2,cosx，所以x2y22x0， 即曲线C2的普通方程为x1y21.

（2）由（1）可知，圆C2的圆心为C21,0，半径为1. 设曲线C1上的动点M3cos,2sin， 由动点N在圆C2上可得：MNminMC2∵MC2 当cosmin21.

3cos13时，MC25min24sin25cos26cos5 min45， 5∴MNminMC21451. 523.（1）fxfx112x12x11，

1111xxx或2或 2222x12x1112x2x1112x2x111111或xx， 24241所以，原不等式的解集为,.

4xm有解，则m2x12x1 （2）由条件知，不等式2x12x1 min即可. 12x2x112x2x12， 由于2x12x1 11当且仅当12x2x10，即当x,时等号成立，故 m2.

22所以，m的取值范围是2,.