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高考数学二轮：专题复习教教案：专题一三角
江苏 新高考
新高考取，对三角计算题的考察一直环绕着求角、求值问题，以和、差角公式的运用
为主，可见三角式的恒等变换比三角函数的图象与性质更加重要
.三角变换的基本解题规律
是：找寻联系、除去差别
.常有角变换、函数名称变换、次数变换等 简称为：变角、变名、
变次
备考取要注意累积各样变换的方法与技巧，不停提升剖析与解决问题的能力 三角考题的花式翻新在于条件变化，大概有三类：第一类是给出三角式值
.
见 2014 年
，
三角解答题
，第二类是给出在三角形中 见 2011 年、 2015 年、 2016 年三角解答题
而 2012 年三角解答题则是二、三类
第三类是给出向量
见 2013 年、 2017 年三角解答题
的混杂 .
第 1 课时
三角函数 (基础课 )
[常考题型打破 ]
三角恒等变换
[必备知识 ]
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)＝ sin αcos β±cos αsin β；
(2)cos(α±β)＝ cos αcos β?sin αsin β；
(3)tan( α±β)＝
tan α±tan β 1?tan αtan β
.
2． 二倍角的正弦、余弦、正切公式
(3)tan 2 α＝
(1)sin 2α＝ 2sin αcos α；
(2)cos 2α＝ cos2α－ sin2α＝ 2cos2α－ 1＝ 1－ 2sin2α；
2tan α
2 .
1－ tan α
[题组练透 ]
π
1
1． (2017 ·苏高考江 )若 tan α－ 4 ＝ 6，则 tan α＝ ________.
π π
分析： tan α＝ tan
α－ 4 ＋ 4
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π1
＋ 1 tan α－ π ＋ tan
7
4 4 ＝ . ＝ ＝6
π π
1 5
1－ tan α－ 4 tan4 答案： 7 5
1－ 6
π
，若 sin α＝
3 π 5 2
π
＜ α＜ π，则
2．已知 f(x)＝ sin x＋ 6
3π
分析： ∵ sin α＝
f α＋ 12 ＝ ________.
＜ α＜ π ，
∴ cos α＝－ ，
4
5 2
5 π
π π
∴ f α＋ 12 ＝ sin α＋ 12＋ 6 答案： － 2
10
2 3 4 2
－.＝ sin α＋ 4 ＝ 2 (sin α＋ cos α)＝ 2 × 5 5 ＝－ 10
π 2
π3π3． (2016 全·国卷Ⅰ )已知 θ是第四象限角，且 sin θ＋ ＝ ，则 tan θ－ ＝ ________.
4 5 4
π 3 θ是第四象限角， 分析： 由题意知 sin θ＋ 4 ＝ 5
ππ42所以 cos θ＋ ＝ 1－ sin θ＋ ＝ .
，
4
tan θ－
4
π
π π ＝ tan θ＋ － ＝－
4
2
4 5 π π sin 2－ θ＋ 4
π
π
cos 2－ θ＋ 4
π
cos θ＋ 4 4 5 4 ＝－ ＝－ × ＝－ .
sin θ＋ π 5 3 3 4
4
答案： －3
4．在△ ABC 中， sin(C－ A)＝ 1， sin B＝，则 sin A＝________.
3 分析： ∵ sin(C－ A)＝ 1，
1
∴ C－ A＝ 90°，即 C＝ 90°＋ A，∵ sin B＝
1
∴ sin B＝ sin(A＋C)＝ sin(90 °＋2A)＝ cos 2A＝ ，
3 即 1－ 2sinA＝，∴ sin A＝ .
33
2
3， 1
13
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答案：
3 3
[方法概括 ]
三角恒等变换的 “四大策略 ”
(1) 常值代换： 特别是 “1”的代换， 1＝ sin2θ＋ cos2 θ＝ tan 45 等°；
(2) 项的拆分与角的配凑：
如 sin2α＋ 2cos2α＝ (sin2α＋ cos2α)＋ cos2α， α＝ (α－ β)＋ β等；
(3) 升次与降次： 正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；
(4) 弦、切互化： 一般是切化弦．
三角函数的图象与分析式 [必备知识 ]
函数 y＝ Asin(ωx＋ φ)的图象
(1) 五“点法 ”作图：
设 z＝ ωx＋ φ，令 z＝ 0， ，π，
π 2
3π 2
，2π，求出 x 的值与相应的
y 的值，描点、连线可得．
(2) 图象变换：
向左
φ＞ 或向右 φ＜ 平移|φ|个单位
y＝ sin x――――――――――→ y＝ sin(x＋ φ)
――――――――――――→y＝ Asin(ωx＋ φ)．
纵坐标变成本来的 A A＞
横坐标不变
倍
[题组练透 ]
1．(2016 全·国卷Ⅲ )函数 y＝ sin x－ 3cos x 的图象可由函数
少向右平移 ________个单位长度获取．
y＝ sin x＋ 3cos x 的图象至
分析： 因为 y＝ sin x＋ 3cos x＝ 2sin x＋ ，y＝ sin x－ 3cos x＝ 2sin x－ π ，所以把 y
3 3
2π π π
＝ 2sin ＋ 的图象起码向右平移 个单位长度可得 y＝ 2sin － 的图象．
x x
3 3 3
答案： 2π
3
π
2.已知函数 f (x)＝ Acos(ωx＋ φ)(A＞ 0，ω＞ 0,0＜ φ＜ π)为奇函数， 该
函数的部分图象如下图，△
EFG (点 G 是图象的最高点 )是边长为 2
的等边三角形，则 f(1) ＝ ________.
分析： 由题意得， A＝ 3，T＝ 4＝
2π ω
，ω＝ .又∵ f (x)＝ Acos(ωx＋ φ)为奇函数，∴ φ＝
π 2
π
2
＋ kπ， k∈ Z，取 k＝ 0，则 φ＝ ，∴ f(x)＝－
π 2
3sin x，∴ f(1) ＝－
π 2
3.
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答案：－ 3
5π
3.(2017 天·津高考改编 )设函数 f(x)＝ 2sin(ωx＋ φ)，x∈ R，此中 ω＞ 0，|φ|＜ π若. f 8 ＝
11π
＝ 0，且 f(x)的最小正周期大于 2π，则 ω＝ ________， φ＝ ________. 2， f 8
5π 11π
分析： ∵ f 8 ＝ 2， f
11π 5π T
8 ＝0，
∴
∴ T＝
8 － 8 ＝ 4(2m＋ 1)，m∈ N， 3π
， m∈ N， 2m＋1
∵ f( x)的最小正周期大于 2π，∴ T ＝ 3π，
∴ ω＝
2π 2
＝ ，∴ f(x)＝ 2sin ＋ φ .
2x 3
3π 3 2 5π
π
由 2sin 3×8 ＋ φ ＝ 2，得 φ＝ 2kπ＋ 12， k∈ Z.
π
又 |φ|＜ π，∴取 k＝ 0，得 φ＝ 12.
答案：
2
π
π
3 12
π ＋ ，若对随意 x∈ R，都有 f (x
≤ ≤
－ x
4．设函数 f( x)＝ 2sin 2x 5
最小值为 ______．
1) f(x) f(x2)成立，则 |x1 2|的
分析：由 f(x1)≤f(x)≤f(x2) 对随意 x∈ R 成立，知 f( x1)，f(x2)分别是函数 大值．又要使 |x1－ x2|最小，∴ |x1－ x2|的最小值为 f(x)的半个周期，即为
答案： 2 [方法概括 ]
已知函数 y＝ A
数法，由图中的最高点、最低点求
f(x)的最小值和最
2.
ωx＋ φA＞ 0， ω＞
A，由函数的周期确立
的图象求分析式时，常采纳待定系
ω，由图象上的重点点确立
φ.
对于函数图象的平移问题，必定要弄清楚是由哪个函数图象平移到哪个函数图
象，这是判断挪动方向的重点点，不然易混杂平移的方向，致使结果犯错
.
三角函数的性质
[必备知识 ]
1．三角函数的单一区间
π π
y ＝ sin x 的单一递加区间是
π 3π
2kπ＋ ， 2kπ＋ ∈ ；
2
2kπ－ 2， 2kπ＋ 2 (k ∈ Z) ， 单 调 递 减 区 间 是
2 (k
Z)
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y＝ cos x 的单一递加区间是
[2kπ－ π， 2kπ](k∈ Z) ，单一递减区间是
π
π ∈ ．
[2kπ， 2kπ＋ π ](k∈
Z) ；
＝
的递加区间是
kπ－ ， kπ＋
y tan x 2 2． 三角函数的奇偶性与对称性
2 (k
Z)
π
y＝ Asin(ωx＋ φ)，当 φ＝ kπ(k∈ Z) 时为奇函数；当 φ＝ kπ＋ 2(k∈ Z) 时为偶函数；
π
对称轴方程可由 ωx＋ φ＝ kπ＋ 2(k∈ Z) 求得．
π
y＝ Acos(ωx＋ φ)，当 φ＝ kπ＋ 2(k∈ Z) 时为奇函数；当 φ＝ kπ(k∈ Z) 时为偶函数； 对称轴方程可由 ωx＋ φ＝ kπ(k∈ Z) 求得．
y＝ Atan(ωx＋ φ)，当 φ＝ kπ(k∈ Z) 时为奇函数．
[题组练透 ]
1
．已知
2x＋ ＝
f(x) 2sin
π
，则函数 f(x)的最小正周期为 ________， f 3 π 6
π
＝ ________.
6
分析： 周期 T＝
2π 2
＝ π， f ＝ 2sin
2π 3
＝ 3.
答案： π
3
2
3
π
的最大值是 ________．
2． (2017 全·国卷Ⅱ )函数 f(x) ＝ sin x＋ 3cos x－ 4 x∈ 0， 2
2分析： 依题意， f(x)＝ sinx＋ 3cos x－＝－ cosx＋ 3cos x＋ ＝－ cos x－
321
3
2
＋ 1，
因为 x∈ 0，
π
4
4
2
，所以 cos x∈ [0,1]，
2
3
时， f(x)max＝
所以当 cos x＝ 1. 2 答案： 1
π π
－ ，
3．若函数 f(x)＝ sin ωx－ 6 (ω＞ 0)的图象相邻两个对称中心之间的距离为 π π
2 ，则 f(x)在
2
2 上的单一递加区间为 ________．
π
π
分析： 依题意知， f(x)＝ sin ωx－ 6 的图象相邻两个对称中心之间的距离为 2，于是有 T
2π π π π π π π ＝ ＝ 2× ＝ π，ω＝ 2，所以 f(x)＝ sin － ≤ － ≤ π＋ ，k∈ Z ，即 kπ－ ≤ ≤ π
ω π 3
2
＋ ， k∈ Z 时， f(x)＝ sin 2x－
2k 2 6 x k
π π π π
单一递加．所以， f(x)＝ sin 2x－ 在 － ， 上的单一递 6 6 2 2
2x
6 .当 2kπ－ 2 2x
6
增区间为
－ ，
π π
3
6
.
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答案： －，
π π 6 3
[方法概括 ]
三角函数的单一性、周期性及最值的求法
(1) 三角函数单一性的求法
求形如 y＝ Asin(ωx＋ φ)(或 y＝ Acos(ωx＋ φ))( A， ω，φ为常数， A≠0，ω＞ 0)的单一区间的一般思路：令 ωx＋ φ＝ z，则 y＝ Asin z(或 y＝ Acos z)，而后由复合函数的单一性求得．
(2) 三角函数周期性的求法
2π
函数 y＝Asin(ωx＋ φ)(或 y＝ Acos(ωx＋ φ))的最小正周期 ＝ |Asin(ωx
T＝ |ω|.应特别注意 y
π
T ＝|ω|.
＋ φ)|的最小正周期为
(3) 三角函数最值 (值域 )的求法
在求最值 (值域 )时，一般要先确立函数的定义域，而后联合三角函数性质可得函数
f( x)
的最值．
正弦定理和余弦定理
[必备知识 ]
1．正弦定理及其变形
c
在△ ABC 中， sin A＝ sin B＝ sin C＝ 2R(R 为△ ABC 的外接圆半径 )．变形： a＝ 2Rsin A，
a
sin A＝ 2R， a∶ b∶ c＝ sin A∶ sin B∶ sin C 等．
ab
2． 余弦定理及其变形
在△ ABC 中， a2＝ b2＋ c2－ 2bccos A.
变形： b2＋ c2－ a2＝ 2bccos A， cos A＝
b2＋ c2－ a2
.
3． 三角形面积公式
S△ ABC＝ absin C＝ bcsin A＝
1 2
1 2 1
acsin B. 2
[题组练透 ]
1．(2017 盐·城期中 )在△ ABC 中，已知 sin A∶sin B∶ sin C＝ 3∶ 5∶ 7，则此三角形的最
大内角的大小为 ________．
分析： 由正弦定理及 sin A∶ sin B∶ sin C＝ 3∶ 5∶ 7 知， a∶ b∶ c＝ 3∶ 5∶ 7，可设 a＝
3k，b＝ 5k，c＝7k，且角 C 是最大内角， 由余弦定理知
222222a ＋ b－ c 9k ＋ 25k－ 49k
cos C＝
2×3k×5k 2ab ＝
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1
＝－ ，因为 0° π 3 ，AB＝ 2，D 为 AB 的中点，△ BCD 的面积为 3 ，则 AC＝ ________. 2．在△ ABC 中，B＝ 3 分析：因为 S△ BCD＝ 4 1 2 BD·BCsin B＝ ×1×BC×sin ＝ 1 2 π 3 3 3 ，所以 BC＝ 3.由余弦定理得 AC 2 4 ＝ 4＋ 9－ 2×2×3×cos ＝ 7，所以 AC＝ 7. π 3 答案： 7 4 3．(2016 全·国卷Ⅱ )△ ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 ，cos C a，b，c，若 cos A＝ 5 ＝ 5 ， a＝ 1，则 b＝ ________. 13 分析： 在 △ABC 中，∵ cos A＝， cos C＝ ， 45 5 13 ∴ sin A＝ 3 12 5， sin C＝ 13， ∴ sin B＝ sin(A＋C)＝ sin Acos C＋ cos Asin C ＝ × ＋ 3 5 4 12 5 13 5 13 × ＝ 63 65 . 又∵ a ＝ ，∴ b＝sin A sin B basin B＝ sin A 1× 63 65＝ 21 3 5 21 .13 答案： [方法概括 ] 对于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的 性质，常有的三角变换方法和原则都合用，同时要注意 “三一致 ”，即 “一致角、一致函数、一致构造 ”，这是使问题获取解决的打破口 . [课时达标训练 ] ． [A组 —— 抓牢中档小题 ] π1 ωπx－ ω 的最小正周期为 ，则 f 1 的值 苏·北四市期末 若函数 ＝ ) f(x) sin 6 1 (2017 为 ________． ( >0) 5 3 分析： 因为 f( x)的最小正周期为 2π 1 π π － ，所以 ＝ ，所以 ω＝ 10，所以 f(x)＝ sin 10 x ωπ 5 6 f 1 ＝ sin 3 10π π － ＝ sin ＝－ sin π 19 π 6 ＝－ 3 6 6 1 . 2 8 / 49 高考数学二轮：专题复习教教案：专题一三角 答案：－ 1 2 5 2．在平面直角坐标系 实数 t 的值为 ________． xOy 中，角 θ的终边经过点 P(－ 2，t)，且 sin θ＋ cos θ＝ 5 ，则 分析： ∵角 θ的终边经过点 P(－ 2， t)， － 2 ， t 2 ∴ sin θ＝ 2， cos θ＝ 4＋ t 4＋ t 又∵ sin θ＋ cos θ＝ 5， 5 － 2 t－ 2 t 5 ∴＋＝＝2 4＋ t2 4＋ t2 4＋ t5 t2－ 4t＋ 4 1 则 t＞ 2，平方得 2 ＝ ， ，即5 ，5 即 1－ 2＝ ，即 2＝ ， 4＋ t 54＋ t 5 则 t2－ 5t＋ 4＝ 0，则 t＝ 1(舍去 )或 t＝ 4. 答案：4 4t 1 4＋ t 4t4 5 2x＋ 的图象向右平移 φ 0<φ< ． 南·京、盐城一模 将函数 ＝ (2017 3 y 3sin ) 2 3 φ＝ ____________. ππ 个单位后， 所得函数为偶函数，则 π π 3sin 分析： 将函数 y＝ 3sin 2x＋ 3 的图象向右平移 φ 0<φ<2 个单位后，所得函数为 f(x)＝ π ＝ π 因为 π 为偶函数，所以 π － φ ＋ f(x) 3sin f(x) x ，即 3 π kπ － 2x ＋ － 2φ 3 . － φ＝ 3 2 ＋ π， k 2 ， k∈ Z ，因为 0＜ φ＜ ，所以 φ＝ π 2 5π 12 k∈ Z ，所以 φ＝－ 12 答案 ： 5π 2 . 12 4．设函数 y＝ sin ωx＋ π(0 ＜ x＜ π)，当且仅当 x＝ 时， y 获得最大值，则正数 3 12 π ω 的 值为 ________． 分析： 由条件得 sin π 12 π π π π ＝ 1，又 0＜x＜ π， ω＞ 0，故 ω＋ ＝ ，ω＝ 2. ω＋ 3 12 3 2 答案： 2 5．已知△ ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 9 4 ，a， b， c，且 2b＝ a＋ c，若 sin B＝ 5 ，则 b 的值为 ________． 9 cos B＝ ac 4 分析： ∵ 2b＝ a＋ c， sin B＝ ， cos B＝ 2 2 2 2 ， sin B ＋ cos B＝ 1，∴ ac＝ 15，∴ b ＝ a ＋ c 2 5 ac 9 / 49 高考数学二轮：专题复习教教案：专题一三角 － 2accos B＝ a2＋ c2－18＝ (a＋ c)2－ 48＝ 4b2－ 48，得 b＝ 4. 答案： 4 6． (2017 扬·州期末 )已知 cos 3 π 1 π π π 1 ＋ α＝ 0<α< ，则 sin( π＋ α)＝ ________. 3 2 分析： 因为 cos 3＋ α ＝ 3 0<α<2 ， π π 5π 所以 < ＋ α< ＋ α ， 3 3 6 2 π 有 sin 3 π ＋ α 2 2 ＝ 1－ cos 3 ＝ 3 ， π 2π 所以 sin( π＋ α)＝ sin 3＋ α ＋ 3 π 2π π 2π ＋ α ＋ α ＝ sin 3 ＝ cos 3 ＋ cos 3 sin 3 2 23 × － ＋× 2 3 113＝ 3－2 2. 2 6 答案 ： 3－ 2 2 6 xOy 中，角 α与角 β均以 Ox 为始边，它们的 7． (2017 北·京高考 )在平面直角坐标系 终 1 边对于 y 轴对称．若 sin α＝ 3，则 cos(α－ β)＝ ________. 分析： 因为角 α与角 β的终边对于 y 轴对称， 所以 α＋ β＝ 2kπ＋ π， k∈ Z ， 所以 cos(α－ β)＝ cos(2α－ 2kπ－ π)＝－ cos 2α 2 1 2 ＝－ (1－ 2sin α)＝－ 1－2× 3 答案： － 7 ＝－ 9 . 7 b 9 2π 8．在△ ABC 中， A＝ 3 ， a＝ 3c，则 c＝ ________. 分析： ∵在△ ABC 中， A＝ 2 2 2 2π ， 2 2 2a＝b＋c＋ bc. 3 2π ∴ a ＝ b ＋ c － 2bccos3 ，即 ∵ a＝ 3c，∴ 3c2＝ b2＋ c2＋ bc，∴ b2＋ bc－ 2c2＝ 0， ∴ (b＋ 2c)(b－ c)＝ 0，∴ b－ c＝ 0，∴ b＝ c， b c＝ 1. 答案： 1 9．若 f(x)＝ 3sin(x＋ θ)－ cos(x＋ θ) － ≤θ≤ 是定义在 R 上的偶函数， 则 θ＝ ________. 2 2 π π 10 / 49 高考数学二轮：专题复习教教案：专题一三角 分析：因为 f( x)＝ 3sin(x＋ θ)－ cos(x＋ θ)＝ 2sin x＋ θ－ π 6 为偶函数，所以 θ－ ＝ kπ＋ π 6 π ， 2 k∈ Z. 即 θ＝ kπ＋ 2π 3 .因为－ ≤θ≤ ，所以 θ＝－ π π 2 π 3 . 答案： － π 2 3 π 3 10．在△ ABC 中，设 a， b， c 分别为角 A， B， C 的对边，若 a＝ 5， A＝ 4， cos B＝5， 则 c＝ ________. 4 π 2 分析： 依据题意得， sin B＝ 5，所以 sin C＝ sin(A＋ B)＝ sin 4＋ B ＝ 2 (sin B＋ cos B) 2 7 7 2 a c 5 c ，解得 c＝ 7. ＝ × ＝ ，由 ＝ ，得 ＝ π 7 2 2 5 10 sin A sin C sin4 10 答案： 7 ． 无·锡期末 设 ＝ 2 － · x＋ ，则 f(x)在 11 (2017 ) f (x) sin x 3cos x cos 2 π π0， 上的单一递加 2 区间为 ________． 2 1 3 π 1 π 分析： f(x)＝ sin x＋ 3sin xcos x＝ 2(1－ cos 2x)＋ 2 sin 2x＝ sin 2x－ 6 ＋ 2，当 2kπ－ 2 π π π π π ≤2x－ ≤2kπ＋ ，k∈ Z ，即 kπ－ ≤x≤kπ＋ ，k∈ Z 时，函数 f(x)单一递加，令 k＝ 0，得－ 2 6 6 3 6 π π π ， 上的单一递加区间为 ， ≤ ≤ ，所以函数 f(x)在 x 3 0 2 0 3 . 答案： 0， π 3 12．函数 y＝ asin(ax＋ θ)( a＞ 0，θ≠ 0)图象上的一个最高点和其相邻最低点的距离的最小 值为 ________． 分析： 易知函数 y＝ asin(ax＋ θ)(a＞ 0，θ≠0)的最大值为 a，最小值为－ a，最小正周期 T ，所以相邻的最高点与最低点的距离为 ＝ 2π a π 2 a 2 ＋ 4a ≥ 2× ×2a＝ 2 π a π，当且仅当 ＝ a π 2π 2a，即 a＝ 2 时等号成立． 答案： 2 π π13．已知 cos α－ ＋ sin α＝ 6 π 43 ，则 sin α＋ 7π6 的值是 ________． 5 分析： 由 cos α－ 6 ＋ sin α＝ 5 3， 3 1 4 3 ，可得 2 cos α＋2sin α＋ sin α＝ 5 411 / 49 高考数学二轮：专题复习教教案：专题一三角 4 3 ， 即 sin α＋ cos α＝ 2 2 5 π4 3π4 ∴ 3sin α＋ ＝， sin α＋ ＝， 6565 3 3 ∴ sin α＋ 7π ＝－ sin α＋ π 6 ＝－ . 4 答案： － 4 6 5 5 14． (2017 苏·锡常镇一模 )已知 sin α＝ 3sin α＋ 分析： ∵ sin α＝ 3sin α＋ π ＝ 3sin αcos π 6 ＋ 3cos α·sin ＝ ，则 tan α＋ π ＝ ________. 6 12 π 3 3 3 π 3 . 6 6 2 sin α＋ 2cos α，∴ tan α＝ 2－3 3 又 tan π 12 ＝ tan － π π 3 4 ＝ tan － tan 3 π π 4 π π ＝ 3－ 1 3＋ 1 ＝ 2－ 3， π ∴ tan α＋ 12 ＝ 1＋ tan3tan4 π tan α＋ tan12 π 1－ tan αtan 12 ＋2－ 3 3 2－3 3 ＝ 3 ＝2 3－ 4. 1－ 2－ 3 3×(2－ 3) 答案：2 3－4 [B组 —— 力求难度小题 ] 1．如图，已知 A， B 分别是函数 f(x)＝ 3sin ωx(ω＞ 0)在 y 轴右边 图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠ AOB ＝ π 2 ，则该函数的最 小正周期是 ________． 分析：设函数 f (x) 的最小正周期为 T ，由图象可得 ＝ 3T 2 T ， 3 ， A B 4 3T ，－ 3 ，则4 ―→ ―→ OA ·OB － 3＝ 0，解得 T＝ 4. 16 答案： 4 π 2．(2017 南·京考前模拟 )已知函数 f(x)＝ sin ωx＋ 6 － cos ωx(ω＞ 0)．若函数 f(x)的图象 π π 对于直线 x＝ 2π对称， 且在区间 － 4， 4 上是单一函数， 则 ω的取值会合为 ____________ ． 12 / 49 高考数学二轮：专题复习教教案：专题一三角 分析： f(x)＝ 3 sin ωx＋ cos ωx－ cosωx＝ 1 2 3 2 2 因为 f(x)的图象对于直线 π sin ωx－ cos ωx＝ sin ωx－ ， 2 6 1 x＝ 2π对称， 所以 f(2 π)＝±1， 则 2πω－ ＝ kπ＋ ， k∈ Z ， π 6 π 2 k1 所以 ω＝ 2＋ 3， k∈ Z. 因为函数 f(x)在区间 － ， π π 4 4 上是单一函数， π 2π 即 ω≥π，解得 0＜ ω≤2， π 所以最小正周期 T≥2 4－ － 4 ， 1 5 4 11 所以 ω＝ 3或 ω＝ 6或 ω3或 ω＝ 1 ＝ 1 π 6 . 3时， f(x)＝ 3x－ 6 ， 当 ω＝ sin 1 π π π －，π π 时， x－ ∈ － ，－ ， x∈ 4 4 3 6 4 12 π π 此时 f(x)在区间 － ， 上为增函数； 4 4 5时， f(x)＝ 5 π 当 ω＝ sin ， x－ 6 6 6 5 π 3π π －，π π 时， x－ ∈ － ， ， x∈ 4 4 6 6 π π 8 24 此时 f(x)在区间 － 4， 4 上为增函数； 4时， f(x)＝ 4 π 当 ω＝ sin x－ ， 3 3 6 4 π π π π π 时， x－ ∈ － ， ， x∈ － ， 4 4 3 6 π π 2 6 此时 f(x)在区间 － 4， 4 上为增函数； 11 11 π 当 ω＝ 6 时， f(x)＝ sin 6 x－ 6 ， 11 π 5π 7π －，π π 时， x－ ∈ － ， x∈ ， 4 4 6 6 8 24 π π 13 / 49 高考数学二轮：专题复习教教案：专题一三角 此时 f(x)在区间 － ， 上不是单一函数； 4 4 154 综上， ω∈ 3， 6， 3 . 14 / 49 高考数学二轮：专题复习教教案：专题一三角 答案： ，， 3 154 6 3 3．△ ABC 的三个内角为 A，B，C，若 3cos A＋sin A ＝ tan － 7π12 ，则 tan A＝ ________. 3sin A－ cos A π 分析： π sin A＋ 2sin A＋ 3cos A＋ sin A ＝ 3 ＝－ 3 ＝－ tan A＋ π ＝ tan －A－ ＝ 3sin A－ cos A 3 3 π π π tan － 7π 2sin A－ 6 cos A＋ 3 ， 12 7π π π －所以－ A－ 3＝－ 12，所以 A＝ 12 3 ＝ 4， π π 所以 tan A＝ tan ＝1. 7π 4 答案： 1 x π x － 4．已知函数 f(x)＝ Asin(x＋ θ)－ cos2cos 6 2 (此中 A 为常数， θ∈ (－ π， 0))，若实数 x1，x2，x3 知足：① x1＜ x2＜ x3，② x3－ x1＜ 2π，③ f(x1)＝ f(x2)＝ f(x3) ，则 θ的值为 ________． sin θ)－ × 3 分析：函数 f(x)＝ A(sin xcos θ＋ cos xsin θ)－ cos · x 2 3 x 1 2 2 2 cos ＋ sin ＝ A(sin xcos θ＋ cos x x 2 1＋ cos x 2 ，故函数 f(x)为常 － sin x＝ Acos θ－ sin x＋ Asin θ－ 3 cos x－ 2 4 4 4 4 T＝ 2π的周期函数． 又 x1，x2，x3 知足条件①②③， 故 f(x)只好为常数函 1 1 3 数函数或为周期 数， 所以 Acos θ－ ＝ 0， 4 1 3 则 tan θ＝ π2 3，又 θ∈ (－ π， 0)，故 θ＝－ ＝ 0， 3 . Asin θ－ 4 2π 答案： －3 第2课时 平面向量 (基础课 ) [常考题型打破 ] 平面向量的观点及线性运算 [必备知识 ] (1) 在平面向量的化简或运算中，要依据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向，不可以盲目转变． (2) 在用三角形加法法例时要保证“首尾相接 ”，和向量是第一个向量的起点指向最后一 15 / 49 高考数学二轮：专题复习教教案：专题一三角 个向量终点所在的向量；在用三角形减法法例时要保证 减向量． “同起点 ”，减向量的方向是指向被 (3) A， B， C 三点共线的充要条件是存在实数λ， μ，有 OA ―→ 1―→ ―→ ―→ ―→ ＝ λOB ＋μOC ，且 λ＋ μ＝ 1. ―→ (4) C 是线段 AB 中点的充要条件是 OC ＝ 2( OA ＋ OB ) ．G 是△ ABC 的重心的充要条件 ―→ ―→ ―→ 为 GA ＋GB＋GC＝0. [题组练透 ] 1．(2017 盐·城期中 )设向量 a＝ (2，－ 6)，b＝ (－ 1，m)，若 a∥ b，则实数 m＝ ________. 分析： 因为 a∥ b，所以 2m－ (－ 1) ×(－6)＝ 0，所以 m＝ 3. 答案：3 2． (2017 ·江模拟镇 ―→ ―→ ―→ AB ＋ AC ＝ m AM 成立，则 m＝________. ―→ ―→ ―→ 分析：由MA ＋ MB ＋MC ＝0 知，点 M 为△ ABC 的重心，设点 D 为底边 BC 的中点， ―→ 2―→ ―→ ―→ ―→ ―→ 2 1 ―→ ―→ 1 ―→ 则 AM ＝ AD ＝ ×(AB ＋AC)＝ (AB ＋ AC )，∴ AB ＋ AC ＝ 3AM ，故 m＝ 3. 3 2 3 3 答案：3 ―→ ―→ ―→ )已知△ ABC 和点 M 知足 MA ＋ MB ＋ MC ＝ 0.若存在实数 m 使得 3.(2017 南·京考前模拟 )在直角梯形 ABCD 中， AB∥ CD ，∠ DAB ＝ 90°， AB＝ 2CD ， M 为 CD 的中点， N 为线段 BC 上一点 (不包含端点 )， 若 AC ―→ ＝ λAM ―→ 的最小值为 ________． ＋ μAN ，则 ＋ λ μ ―→ 1 3 分析：以 AB 为 x 轴，A 为坐标原点成立直角坐标系如下图， 1 ，t 设 B(2,0)， C(1， t) ， M 2 ， N (x0， y0)， t 因为 N 在线段 BC 上，所以 y0＝ 1－ 2( x0－ 2)， 即 y0＝ t(2－x0 )， ―→ ―→ ―→ 因为 AC ＝ λAM ＋ μAN ， 1＝λ＋ μx， 1 所以 2 0 t＝ λt＋μy0， 即 t＝ λt＋μy＝ λt＋μt(2－ x )，因为 t≠0， 0 0 1 所以 1＝ λ＋ μ(2－ x0)＝ λ＋ 2μ－ μx0＝ λ＋ 2μ－ 1－ 2λ， 所以 3λ＋ 4μ＝ 4，这里 λ， μ均为正数， 16 / 49 高考数学二轮：专题复习教教案：专题一三角 μ 1 3 1 3 所以 4 ＋ ＝ (3λ＋ 4μ) ＋ ＝ 3＋ 12＋ 4 λ μ λ μ 1 3 27 4μ 9λ 当且仅当 所以 ＋ ≥ ＝ λ μ 4 λ μ 4 λ ＋ 9 λ ，即 λ＝ ， μ＝ 时取等号． μ≥15＋ 2 36＝ 27, 2 9 3 所以 1＋ 3的最小值为 27λ μ 4 . 答案 ： 27 4 [方法概括 ] (1) 对于平面向量的线性运算， 要先选择一组基底； 同时注意共线向量定理的灵巧运用． (2) 在证明两向量平行时，若已知两向量的坐标形式，常利用坐标运算来判断；若两向 量不是以坐标形式体现的， 常利用共线向量定理 (当 b≠0时，a∥ b? 存在独一实数 λ，使得 a ＝ λb)来判断． 平面向量的数目积 [必备知识 ] 1．数目积的定义： a·b＝|a||b|cosθ. 2．三个结论： (1) 若 a＝ (x， y)，则 |a|＝ a·a＝ x2＋ y2. (2) 若 A(x1， y1)， B(x2， y2) ，则 ―→ |AB |＝ x2－ x1 2 ＋ y2－ y1 2 . (3) 若 a＝ (x1， y1 )， b＝ (x2， y2)， θ为 a 与 b 的夹角， 则 cos θ＝ a b · ＝ x1 x2 ＋ y1y2 |a||b| x12＋ y12· x22＋ y22 2 . 1212 [题组练透 ] 1．(2017 山·东高考 )已知 e1 － e ，e 是相互垂直的单位向量． 若 3e － e 与 e ＋ λe的夹角为 60°，则实数 λ的值是 ________． 分析： 因为 3e1 2 | 3e1 － e ＝ ＋ λe e1 2 ＝ ＋ λe 3－ λ， 2 ＋ λ | |e· 故 3－ λ 1 2 3 ，解得 λ＝ . 2 1 2 1＋ λ 答案： 3 3 2 3 2．(2017 ·国卷Ⅰ全 )已知向量 a，b 的夹角为 60°，|a|＝ 2，|b|＝ 1，则 |a＋ 2b|＝ ________. 17 / 49 高考数学二轮：专题复习教教案：专题一三角 分析： 易知 |a＋ 2b|＝ 2 |a| ＋ 4a·b＋ 4|b| 2 ＝ 4＋ 4×2×1× ＋ 4＝ 2 3. 1 2 答案：2 3 1 3．已知非零向量 的值为 ________． ，若 n⊥ (tm＋ n)，则实数 t m， n 知足 4|m|＝ 3|n|， cos〈m， n〉＝ 3 分析： ∵ n⊥ (tm＋ n)，∴ n·(tm＋ n)＝ 0， 即 tm·n＋|n|2＝ 0，∴ t|m||n|cos〈 m， n〉＋ |n|2＝ 0. 又 4|m|＝ 3|n|，∴ t× 3 4 2 ， |n| × ＋ |n| ＝ 0 1 3 2 解得 t＝－ 4. 答案： －4 ―→ ―→ ―→ ―→ 4． (2017 南·京、盐城二模 )已知平面向量 AC ＝ (1,2)， BD ＝ (－ 2,2)，则 AB ·CD 的最 小值为 ________． 分析： 设 A(a， b)， B(c，d)， ―→ ―→ ∵ AC ＝ (1,2)， BD ＝ (－ 2,2)， ∴ C(a＋ 1， b＋ 2)， D(c－ 2， d＋ 2)， ―→ ―→ 则 AB ＝ (c－a， d－ b)， CD ＝ (c－ a－ 3， d－ b)， ―→ ―→ 2 2 － ∴AB· 3(c－ a)＋ (b－ d) ＝ ＝ (c－ a)(c－ a－ 3)＋ (b－ d) ＝ (c－ a) CD 2 c－ a－ 3 2 (b－ d)≥－. 2 9 2 9 － ＋ 4 4 ―→ ―→ 9 ∴ AB ·CD 的最小值为－ 4 . 答案：－ 9 4 ―→ 5．已知边长为 6 的正三角形 ABC， BD ＝ 1―→ ―→ 1―→ 2 BC ， AE ＝ 3 AC ，AD 与 BE 交于点 P， ―→ ―→ 则 PB ·PD 的值为 ________． 分析： 由题意可得点 D 为 BC 的中点，以点 D 为坐标原点， BC， AD 所在直线分别为 x 轴，y 轴成立如下图的平面直角坐标系， 则 D(0,0) ，A(0， 3 3 3)，B(－ 3,0)，C(3,0)，E(1,2 3)，直线 BE 的方程为 y＝ 2 (x＋ 3)与 AD (y 轴 )的交点为 P ， 3 3 ，所以 ―→ ―→3 · ，－ 3 3 ＝ 27 0 2 0 2 2 4 PB ·PD ＝－3，－3 . 答案： 27 4 [方法概括 ] 波及数目积和模的计算问题，往常有两种求解思路： 18 / 49 高考数学二轮：专题复习教教案：专题一三角 ①直接利用数目积的定义，环绕基底睁开的运算，需要熟习向量间的相互转变； ②成立坐标系，经过坐标运算求解，需要熟习数目积的坐标公式及平行、垂直的运算 公式等，此中，波及平面向量的模时，常把模的平方转变成向量的平方 . 在利用数目积的定义计算时，要擅长将有关向量分解为图形中模和夹角已知的向 量进行计算 . 平面向量的应用 [题组练透 ] ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ 1．(2017 南·京三模 )在四边形 ABCD 中， BD＝ 2，且 AC ·BD ＝ 0，( AB ＋ DC )·(BC ＋ ―→ AD )＝ 5，则四边形 ABCD 的面积为 ________． ―→ ―→ ―→ ―→ 分析： 因为 AC ·BD ＝ 0，所以 AC ⊥ BD ，所以以 BD 所在直线为 x 轴， AC 所在直线 为 y 轴，成立直角坐标系，因为BD＝ 2，所以可设 B(b,0)， D (2＋ b,0)， A(0， a) ， C(0， c)， ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ 所以 AB ＝ (b，－ a)， DC ＝ (－ 2－ b，c)， BC ＝ (－ b，c)， AD ＝ (2＋ b，－ a)，所以 AB ＋ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ DC ＝ (－ 2， c－ a)， BC ＋ AD ＝ (2， c－ a)，因为 ( AB ＋ DC )·(BC ＋ AD )＝5，所以－ 4 1―→ 22 ×AC×BD ＋ (c－a)＝ 5，即 (c－ a)＝ 9，所以 | AC |＝ | c－ a |＝ 3，所以四边形 ABCD 的面积为 2 1 ＝2×3×2＝ 3. 答案：3 ―→ 2．已知圆 O 的半径为 2，AB 是圆 O 的一条直径， C，D 两点都在圆 O 上，且 | CD |＝ ―→ ―→ 2，则 | AC ＋ BD |＝ ________. 分析： 如图，连接 OC，OD， ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ 则AC＝AO＋OC，BD＝BO＋OD， 因为 O 是 AB 的中点， ―→ ―→ 所以 AO ＋ BO ＝0， ―→ ―→ ―→ ―→ 所以 AC＋BD＝OC＋OD， 设 CD 的中点为 M ，连接 OM ， ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ 则AC＋BD＝OC＋OD＝2OM， 明显△ COD 是边长为 2 的等边三角形， ―→ 所以 |OM |＝ 3， ―→ ―→ ―→ 故| AC ＋ BD |＝|2OM |＝2 3. 19 / 49 高考数学二轮：专题复习教教案：专题一三角 答案：2 3 3.(2017 南·通三模 )如图，在直角梯形 ABCD 中， AB∥ DC ，∠ ABC＝ 90°， AB＝ 3， BC＝ DC ＝ 2.若 E ，F 分别是线段 DC 和 BC 上的动点，则 ―→ ―→ AC ·EF 的取值范围是 ________． ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ 分析： 法一 ：因为 AC ＝ AB ＋ BC ， EF ＝ EC ＋ CF ，所以 AC ·EF ＝( AB ＋ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ BC)·(EC ＋ CF )＝ AB ·EC ＋ BC ·CF ＝3| EC |－ 2| CF |，因为 E， F 分别是线段 DC 和 ―→ ―→ BC 上的动点，且 BC＝ DC＝ 2，所以 | EC |∈ [0,2] ， | CF |∈ [0,2]，所以由不等式的性质知 ―→ ―→ AC ·EF 的取值范围是 [－ 4， 6]． 法二 ：以 A 为坐标原点， AB 所在直线为 x 轴，成立平面直角坐标系 因为 E ，F 分别是线段 DC 和 BC 上的动点，且 (图略 )，则 C(3,2)， BC＝DC ＝ 2，所以可设 E (x， 2)， F (3， y)， ―→ ―→ ―→ ―→ 所以 AC ＝ (3,2)， EF ＝ (3－ x，y－ 2)，且 x∈ [1,3]，y∈ [0,2]，所以 AC ·EF ＝ 3(3－ x)＋ 2(y ―→ ―→ － 2)＝ 5－ 3x＋ 2y∈ [－ 4,6]，即 AC ·EF 的取值范围是 [－ 4,6]． 答案 ： [－ 4,6] [方法概括 ] 1． 利用平面向量解决几何问题的两种方法 2． 求解向量数目积最值问题的两种方法 [课时达标训练 ] [A组 —— 抓牢中档小题 ] 1． (2017 ·京学情调研南 )设向量 a＝ (1，－ 4)， b＝ (－1， x)， c＝ a＋ 3b.若 a∥ c，则实数x＝ ________. 分析： 因为 a＝ (1，－ 4)， b＝ (－ 1， x)， c＝ a＋ 3b＝ (－ 2，－ 4＋ 3x)．又 a∥ c，所以－ 4 ＋ 3x－ 8＝ 0，解得 x＝ 4. 答案：4 20 / 49 高考数学二轮：专题复习教教案：专题一三角 2． (2017 ·锡期末无 )已知向量 a＝ (2,1)， b＝ (1，－ 1)，若 a－ b 与 ma＋ b 垂直，则 m 的 值为 ________． 分析： 因为 a＝ (2,1) ， b＝ (1，－ 1)，所以 a－ b＝ (1,2)， ma＋ b＝ (2m＋ 1， m－ 1)，因为 1 a－ b 与 ma＋ b 垂直，所以 (a－ b) ·(ma＋ b)＝ 0，即 2m＋ 1＋2(m－ 1)＝ 0，解得 m＝ 4. 答案： 1 4 3．已知 a 与 b 是两个不共线向量，且向量 a＋ λb与－ (b－ 3a)共线，则 λ＝ ________. 分析： 由题意知 a＋ λb＝ k[－ (b－ 3a)]， 1 解得 k＝ 3， ， λ＝－ k， 所以 ＝ 1 λ＝－ 3. 1 3k 答案： － 1 3 4．已知 |a|＝ 1， |b|＝ 2，且 a⊥ (a－ b)，则向量 a 与向量 b 的夹角为 ________． 2 2 分析： ∵ a⊥ (a－ b) ，∴ a·(a－ b)＝a － a·b＝ 1－ 2cos〈 a，b〉＝ 0，∴ cos〈 a，b〉＝ 2 ， π ∴〈 a， b〉＝ 4 . π 答案： 4 ， e 的夹角为 1 π 3 ，向量 a＝ e ＋ λe 3 12(λ∈ R)，且 |a|＝ ，则 λ＝ ________. 5．若单位向量 e1 2 分析： 由题意可得 e1·e2＝ ， 2 2 2 1 2 2) |a| ＝ (e ＋ λe＝ 1＋ 2λ× ＋ λ＝ 1 2 2 3 4 ， 2 化简得 λ＋ λ＋ 1 4 ＝ 0，解得 λ＝－ . 1 2 答案： － 1 2 6．已知平面向量 a＝ (1,2) ， b＝ (4,2) ， c＝ ma＋ b(m∈ R)，且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b ? m＝ 2. 的夹角，则 m＝ ________. 分析： 由题意得 c a ＝ c b ? · · c a＝ c b? · · 5m＋ 8 |b| ＝ 8m＋ 20 2 5 |c||a| |c||b| |a| 5 答案： 2 7． (2017 常·州模拟 )已知点 G 是△ ABC 的重心，过 G 作一条直线与 交于 M，N 两点，且 AB，AC 两边分别 ―→ AM ＝ x AB ， AN ―→ ―→ ＝ y AC ―→ ，则 的值为 ________． x＋y xy 21 / 49 高考数学二轮：专题复习教教案：专题一三角 ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ 分析：由已知得 M ，G，N 三点共线， 即 AG ＝ λAM ＋ (1－ λ)AN ＝ λxAB ＋ (1－ λ)y AC ， ∵点 G 是△ ABC 的重心， ∴AG＝ ―→ 2 1 ―→ 3 2 1， ×(AB＋ AC)＝ ―→ 1 ―→ ( AB ＋AC)， ―→ 3 ∴ λx＝ 3 11 1 ， 即 － λ y＝ ， 1 λ＝ 3x 1 ， 得 1 ＋ 1 ＝ 1， 3x 3y 3 1－ λ＝3y △ 即 ＋ ＝ 3，通分变形得， x＋ y＝3，∴ xy ＝1 . x＋ y 3 x y xy 答案： 1 ＝－3 AB 3 8．已知 A，B，C 三点不共线， 且 AD ―→ 1―→ ＋2 AC ，则 ―→ S ABD ＝ △ S ACD ________. 分析： 如图，取 AM ―→ ―→ ―→ ＝－ AB ， AN ＝2 AC ，以 AM， AN 为邻边 3 1―→ 作平行四边形 AMDN ， 1―→ ―→ ―→ 此时 AD ＝－ 3 AB＋2AC. 1 由图可知 S△ ABD＝ 3S△ AMD ， S△ ACD ＝ 2S△ AND ， 而 S△AMD ＝ S△AND ，所以 S △ ABD＝ 6. S△ ACD 答案： 6 ―→ 9．(2017 苏·锡常镇一模 )在△ ABC 中，已知 AB＝ 1，AC＝ 2，∠ A＝ 60°，若点 P 知足 AP ―→ ―→ ―→ ―→ ＝ AB ＋ λAC ，且 BP ·CP ＝ 1，则实数 λ的值为 ________. ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ 分析： 法一 ：由题意可得 AP － AB ＝ BP ＝ λAC .又CP ＝AP － AC ＝ AB ＋ (λ－ ―→ 2 ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ 2 2 1) AC ，所以 BP ·CP ＝ λAB ·AC ＋ λ(λ－ 1)| AC | ＝ 1，即 λ＋ (λ－ λ)×4＝ 1，所以有 4λ－ 3λ － 1＝ 0，解得 λ＝ 1 或 λ＝－ 1 . 4 法二 ：成立如下图的平面直角坐标系，所以 A(0,0)， B ， 3 ， 2 2 1 C(2， 0)，设 P( x， y)． 所以 AP ＝ (x， y)， AB ＝ ， ， AC ＝ (2,0)． ―→ 13 ―→ ―→ 2 2 22 / 49 高考数学二轮：专题复习教教案：专题一三角 ―→ ―→ ―→ 又因为 AP ＝ AB ＋ λAC ，所以有 x＝ 2λ＋ 1， 2 y＝ 2， ―→ ＝ λ－ 3， 所以 BP ＝ (2λ， 0)， CP 3 ―→ 2 2 3 . 2 由 BP ·CP ＝1 ―→ ―→ 2 可得 4λ－ 3λ－ 1＝ 0，解得 λ＝ 1 或 λ＝－ . 1 4 答案：1 或－ 1 4 10．已知向量 a＝ (1， 3)， b＝ (0， t2＋ 1)，则当 t∈ [－ 3，2]时， a－ t|b| 的取值范围 是 ________． 分析：由题意， ＝ (0,1) ，依据向量的差的几何意义， |b| 终点到 a 的终点的距离，当 b b － b t＝ 3时，该距离获得最小值 a |b| |b| 1，当 t＝－ 3时，该距离获得最 t 表示同起点的向量 t 的 b 大值 13，即 － b 的取值范围是 [1， 13 a |b| 答案： [1， 13 ] t]． 11.(2017 南·通二调 )如图，在平面四边形 ABCD 中， O 为 BD 的中点， ―→ ―→ ―→ ―→ 且 OA＝ 3， OC＝ 5.若 AB ·AD ＝－ 7，则 BC ·DC 的值是 ________． ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ＝－ 7得，( OB － 分析：法一：由 AB ·AD OA ) ·(OD － OA )＝－ 7，即 ( OB － OA)·(OB ―→ ＋ OA )＝7， ―→ 2 ―→ 2 ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ 所以 OB ＝ 7＋ OA ＝ 7＋ 9＝ 16，所以 | OB |＝ | OD |＝ 4.所以 BC ·DC ＝ (OC－ ―→2 ―→ 2 ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ OB)·(OC－OD )＝(OC － OB)·(OC ＋OB)＝OC －OB ＝ 25－ 16＝ 9. 法二： 以 O 为原点， OC 为 x 轴，成立平面直角坐标系 (图略 )，则 C(5,0)，设 B(x1，y1 )， ―→ ―→ A(x2， y2)，则 D(－ x1，－ y1)， x22＋ y22＝ 9，由 AB ·AD ＝－ 7，得 (x1－ x2， y1－ y2) ·(－ x1－ x2， ―→ ―→ － y1－ y2)＝－ 7，得 x12 ＋ y12＝ 16，而 BC ·DC ＝ (5－ x1，－ y1 ) ·(5＋ x1， y1)＝ 25－ x12－ y12＝ 25 － 16＝ 9. 答案：9 12．已知菱形 ________． ―→ ―→ ―→ ―→ ABCD 的边长为 a，∠ DAB ＝ 60°， EC ＝2 DE ，则 AE ·DB 的值为 1 分析： 如下图， ∵EC ＝2DE ，∴ DE ―→ ―→ ―→ ―→ 3 ＝DC . 23 / 49 高考数学二轮：专题复习教教案：专题一三角 ∵菱形 ABCD 的边长为 a， ∠ DAB＝ 60°， ―→ ―→ ∴ | DA |＝ | DC |＝ a， ―→ ―→ ―→ ―→ 1 2 DA ·DC ＝ | DA || DC |cos 120 ＝°－ 2 a ， ―→ ―→ ―→ ∵DB＝DA ＋ DC ， ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ∴ AE ·DB ＝(AD ＋ DE)( DA ＋DC) ―→ 1 ―→ ＝ AD ＋ 3 DC ―→ ―→ ( DA ＋DC) ―→2 1―→ 2 2―→ ―→ ＝－ DA ＋3 DC －3 DA ·DC 2 ＝－ a ＋ 1 2 a2 . a ＋ a ＝－ 3 3 3 1 a 2 2 答案： － 3 13．在矩形 ABCD 中，边 AB， AD 的长分别为 2 和 1，若 E，F 分别是边 BC， CD 上 |BE| ―→ ―→ |CF |―→ ―→ 的点，且知足 ―→ ＝ ―→ ，则 AE ·AF 的取值范围是 ________． |BC| |CD | 分析：法一 ：取 A 为原点， AB 所在直线为 x 轴，成立如 图所示直角坐标系，则 A(0,0)， B(2,0)， C(2， 1)． ―→ ―→ ∵ |BE | ―→ ―→ ＝ ―→ |CF | ―→ ，得 2| BE |＝ | CF |，设 E(2， y)(0≤y≤1)，则 F (2－ |BC | |CD | 2y,1)． ―→ ―→ ∴ AE ·AF ＝ (2， y) ·(2－ 2y,1)＝ 2(2－ 2y)＋ y＝ 4－ 3y∈ [1,4] ． 法二 ：∵ ―→ ―→ ，则 |CF |BC| |CD | ―→ ∵ 0≤| BE |≤1， |BE| ＝|CF |―→ ―→ ―→ ―→ |＝ 2| BE |. ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ∴ AE ·AF ＝( AB ＋ BE)·(AD ＋DF) ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ＝ AB ·DF ＋BE·AD＝ 2| DF |＋| BE | ―→ ―→ ―→ ＝ 2(2－ | CF |)＋| BE |＝ 4－ 3| BE |∈ [1,4] ． 答案： [1,4] 14．(2017 ·全国卷Ⅱ改编 )已知△ ABC 是边长为 2 的等边三角形， P 为平面 ABC 内一点， 24 / 49 高考数学二轮：专题复习教教案：专题一三角 ―→ ―→ ―→ 则 PA ·(PB ＋ PC )的最小值是 ________． 分析：如图，以等边三角形 BC 的垂直均分线为 ABC 的底边 BC 所在直线为 x 轴，以 y 轴成立平面直角坐标系， 则 A(0， 3)，B(－ 1,0)， ―→ ―→ ―→ C(1,0)，设 P(x，y)，则 PA ＝ (－ x, 3－ y)， PB ＝ (－ 1－ x，－y) ， PC ―→ ―→ ―→ ＝ (1－ x，－ y)，所以 PA ·(PB ＋ PC ) ＝ (－ x， 3－ y) ·(－ 2x，－ 2y) ＝ 2x ＋ 2 y－ 2 2 3 － 3 2 ―→ ―→ 3 3 ，当 x＝0， y＝ 时， PA ·( PB 2 2 ―→ ＋ PC )获得最小值，为－ 3 . 2 答案 ：－ [B组 —— 力求难度小题 ] ―→ 1.如图，在梯形 ABCD 中，AB∥ CD，AB＝ 4，AD＝ 3，CD ＝ 2，AM ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ＝2MD .若 AC ·BM ＝－ 3，则 AB ·AD ＝ ________. ―→ ―→ ―→ ―→ 1―→ 分析： 由题意可得 AC ＝AD＋DC ＝AD＋ 2 AB ， ―→ ―→ ―→ 2―→ ―→ BM ＝ AM － AB＝ 3 AD－AB ， 则 AC ·BM ＝ AD＋ ―→ ―→ ―→ 1 ―→ AB·AD 2 ―→ － AB ＝－ 3， ―→ 2 3 2―→2 1―→2 2―→ ―→ 则 |AD | － |AB|－ AB ·AD ＝－ 3， 3 2 3 2―→ ―→ ―→ ―→ 3 即 6－ 8－ 3 AB ·AD ＝－ 3，解得 AB ·AD ＝ 2 . 3 答案： 2 2．已知 a， b， c 是同一平面内的三个向量，此中 － c) ·( 3b－ c)＝ 1，则 |c|的最大值为 ________． a， b 是相互垂直的单位向量，且 (a 分析： 法一 ：由题意可得 (a－ c) ·( 3b－ c)＝－ a·c－ 1，则 |c|2－ (a＋ 3b·c＋ |c|2 ＝ 3b) ·c － 1＝ 0. 又 |a＋ 3b|＝ 2，设 a＋ 3b 与 c 的夹角为 θ， θ∈ [0， π]， 则 |c|－ 2|c|cos θ－ 1＝ 0，－ 2≤2cos θ＝ |c|－ ≤2， |c| 2 1 |c|2－ 2|c|－ 1≤0， 即 |c|2＋ 2|c|－ 1≥0， 解得 2－ 1≤|c|≤ 2＋ 1，则 |c|max＝ 2＋ 1. 法二 ：不如设 a＝ (1,0) ，b＝ (0,1)，c＝ (x，y)，则 (a－c) ·( 3b－ c)＝ (1－ x，－ y) ·(－ x， 3 25 / 49 高考数学二轮：专题复习教教案：专题一三角 － y)＝1，化简得 x－ 1 2＋ 32 y－ 2 ＝ 2，圆心 1， 2 3 到坐标原点的距离为 1，则 |c| ＝ 2 2 2 max ＋ 1. 答案： 2＋ 1 ―→ 3．(2017 苏·州考前模拟 )已知点 A(1，－ 1)，B(4,0) ，C(2 ，2)．平面地区 D 由全部知足 AP ―→ ―→ ＝ λAB ＋ μAC (1<λ≤a,1<μ≤b)的点 P(x， y)构成的地区．若地区 D 的面积为 16，则 a＋ b 的最小值为 ________． 分析： 如图，延伸 AB 至点 N，延伸 AC 至点 M ，使得 AN＝ aAB， AM ＝ bAC. 四边形 ABEC 、四边形 ANGM 、四边形 EHGF 均为平行四边形．由条件知， 点 P(x，y)构成的地区 D 为图中的暗影部分， 即四边形 EHGF (不含界限 EH ， EF )． ―→ ―→ ―→ ∵ AB ＝ (3,1)， AC ＝ (1,3)， BC ＝ (－ 2,2)． ∴ |AB |＝ 10， |AC|＝ 10， |BC|＝ 2 2，cos∠ CAB ＝ 10＋ 10－ 8 3 5 ＝ ， sin∠ CAB＝ . 4 5 2× 10× 10 10×(b－ 1) 10× ＝ 16. ∴四边形 EHGF 的面积为 (a－ 1) 4 5 ∴ (a－ 1)(b－ 1)＝ 2， a＋ b＝ a＋ ＋ 1 ＝ (a－ 1)＋ ＋ 2. 22 a－ 1 a－1 由 a>1， b>1 知，当且仅当 a－ 1＝ 2，即 a＝ b＝ 答案：2 2＋2 2＋ 1 时， a＋ b 获得最小值 2 2＋2. ―→ ―→ ―→ 4． (2017 江·苏高考 )如图，在同一个平面内，向量 OA，OB，OC的 ―→ ―→ ―→ ―→ 模分别为 1,1， 2， OA 与 OC 的夹角为 α，且 tan α＝ 7， OB 与 OC 的夹角 ―→ ―→ ―→ 为 45°.若 OC ＝m OA ＋ n OB (m， n∈ R) ，则 m＋ n＝ ________. 分析：法一： 如图，以 O 为坐标原点， OA 所在直线为 x 轴成立平 面直角坐标系，则 A(1， 0)， π 由 tan α＝7， α∈ 0， ， 得 sin α＝ 7 2 ， cos α＝ 5 2 ， 5 2 1 设 C(xC， yC)， B(xB， yB)， 则 xC＝ | OC |cosα＝ 2× 1 ＝ ， 5 2 5 ―→ 126 / 49 高考数学二轮：专题复习教教案：专题一三角 ―→ 7 yC＝ | OC |sin α＝ 2× 7 ＝，即 C 1 ， 7 . 5 2 5 5 5 又 cos(α＋ 45°)＝ 1 ×1－ 7 ×1 ＝－ 3， 5 2 2 5 2 2 5 sin(α＋ 45°)＝ 7 ×1 ＋ 1 ×1 ＝ 4 ， 5 2 2 52 2 5 ―→ 3 则 xB＝ | OB |cos(α＋ 45°)＝－ 5 ， y―→ B＝ | OB |sin(α＋ 45°)＝ 4 3 4 ，即 B － ， . 5 5 5 1 3 ―→―→ ＝ m－ n， ―→ 5 5 由 OC ＝m OA ＋ n OB ，可得 7 ＝4n， 5 5 5， 解得 m＝ 4 所以 m＋ n＝ 5 ＋7 ＝ 3. 7， 4 4 n＝ 4 法二： 由 tan α＝ 7， α∈ 0， π ， 2 得 sin α＝ 7 ， cos α＝ 1 ， 5 2 5 2 则 cos(α＋ 45°)＝ 1 ×1 1 3 － 7 × ＝－， 5 2 2 5 2 2 5 所以―→ ―→ 1× 2× ＝2 1， OB ·OC ＝ 2 ―→ ―→ OA ·OC1 ＝1 ， ＝ 1× 2× 5 2 5 ―→ ―→ OA3 ·OB ＝ 1×1× － ＝－ 3， 5 5 ―→ ―→ ―→ OC ＝m OA ―→ ＋ n OB ―→ ―→ 由2 ―→ ―→ 1 ，得 OC ·OA ＝ m OA ＋ n OB ·OA ，即 5 ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ 2 同理可得 OC ·OB ＝ m OA ·OB ＋ n OB ， 即 1＝－ 3 5m＋ n.② 2 2 6 ①＋②得 5m＋5n＝ 5，即 m＋n＝ 3. 答案： 3 第 3 课时 解三角形 (能力课 ) 27 / 49 m－3 n.① 5 ＝ 高考数学二轮：专题复习教教案：专题一三角 [常考题型打破 ] 三角变换与解三角形的综合问题 [例 1] (2016 ·苏高考江 )在△ ABC 中， AC＝ 6， cos B＝ ， C＝ 4 5 π . 4 (1) 求 AB 的长； π (2) 求 cos A－ 6 的值． 4 [解 ] (1)因为 cosB＝5， 0＜ B＜ π， 所以 sin B＝ 1－ cos B＝ 2 1－ 4 2 ＝ . 3 5 5 由正弦定理知 所以 AB＝ AC sin C AC＝AB， sin B sin C 2 6×2 · sin B ＝ ＝ 5 3 5 2. (2) 在△ ABC 中， A＋ B＋ C＝ π，所以 A＝ π－ (B＋ C)， 于是 cos A＝－ cos(B＋ C)＝－ cos B＋ π π π 4 4 ＝－ cos Bcos ＋ sin Bsin . 又 cos B＝ ， sin B＝ ， 4 4 3 5 故 cos A＝－ × 4 5 2＋ 3× 2＝－ 5 2 5 2 2 . 10 2因为 0＜ A＜ π，所以 sin A＝ 1－ cosA＝ 7 2 . 10 π π π 所以， cos A－ ＝ cos Acos ＋ sin Asin 6 6 6 7 2 1 7 ＝－ × ＋ ×＝ 10 2 10 2 [方法概括 ] 2 3 2－ 6 . 20 (1) 解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要依据正、余弦定理联合已知条件灵巧转变边和角之间的关系，进而达到解决问题的目的，其基本步骤是： 第一步：定条件 即确立三角形中的已知和所求，在图形中标出来，而后确立转变的方向．第二步：定工具 28 / 49 高考数学二轮：专题复习教教案：专题一三角 即依据条件和所求合理选择转变的工具，实行边角之间的互化． 第三步：求结果 (2) 三角变换与解三角形的综合问题要关注三角形中的隐蔽条件， 如 A＋ B＋ C＝ π，sin(A ＋ B)＝ sin C， cos(A＋ B)＝－ cos C, 以及在△ ABC 中， A>B? sin A>sin B 等． [变式训练 ] 1．(2017 ·京、盐城一模南 )在△ ABC 中， a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，且 bsin 2C＝ csin B. (1) 求角 C； (2) 若 sin B－ π ＝ ，求 sin A 的值． 3 5 3 解： (1)由正弦定理及 bsin 2C＝ csin B， 得 2sin Bsin Ccos C＝ sin Csin B， 因为 sin B>0， sin C>0 ，所以 cos C＝， 2 又 C∈ (0， π)，所以 (2)因为 C＝ C＝ 1 π 3 . π 3 ，所以 B∈ 0， 2π 3 ， π π π ∈所以 B－ 3 － 3， 3 ， π3 又 sin B－ ＝ ， 3 5 π 2 π 4 ＝ sin × － 所以 cos B－ 3 ＝ 2π 又 A＋B＝ 1－ sin B－ 3 ＝ 5 2π 3 －B， －B ＝ sin . 3，即 A＝ 2π 3 所以 sin A＝ sin 3 5 π 3 － B－ π 3 π π π B－ － cos 3 B－ π ＝ 3 3 4 1 × ＝ 4 3－3 10 . 3cos 3sin 2 5 2 2． (2017 ·北四市一模苏 为 a， b， c，且 )在△ ABC 中，已知角 A，B， C 所对的边分别 tan B＝ 2， tan C＝ 3. (1) 求角 A 的大小； (2) 若 c＝ 3，求 b 的长． 解： (1)因为 tan B＝ 2， tan C＝ 3，A＋ B＋ C＝ π， 所以 tan A＝ tan[ π－ (B＋ C)]＝－ tan(B＋ C)＝－ tan B＋tan C ＝－ 2＋3 ＝1. 1－ 2×3 1－ tan Btan C 29 / 49 高考数学二轮：专题复习教教案：专题一三角 π 又 A∈ (0， π)，所以 A＝ 4. (2) 因为 tan B＝ sin B ＝ 2，且 sin2B＋ cos2B＝ 1， cos B 2 5 又 B∈ (0， π)，所以3 10 sin B＝ 5 . 同理可得 sin C＝ . 2 5 由正弦定理，得 b＝ csin B＝ 3× 5 ＝2 2. sin C 3 10 10 解三角形与平面向量联合 [例 2] (2017 ·城模拟盐 )设△ ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且△―→ ―→ 面积的大小为 S， 3 AB ·AC ＝ 2S. (1) 求 sin A 的值； π ―→ ―→ (2) 若 C＝ 4， AB ·AC ＝ 16，求 b. ―→ ―→ [解 ] (1)由 3 AB ·AC ＝ 2S， 得＝× 1 3bccos A 22bcsin A，即 sin A＝ 3cosA. 整理化简得 sin29 A＝ 9cos2A＝ 9(1－ sin2A)， 2 所以 sin A＝ . 又 A∈ (0， π)，所以 sin A>0，故 sin A＝ 3 10 . 10 3 10 (2) 由 sin A＝ 3cos A 和 sin A＝ 10 ， 得 cos A＝ 10 ， 10 ―→ ―→ 又 AB ·AC ＝ 16，所以 bccos A＝ 16， 得 bc＝ 16 10. ① π 又 C＝4， 所以 sin B＝ sin(A＋ C)＝ sin Acos C＋ cos Asin C＝ 3 10 × 2＋ 10 × 2＝ 2 5 . 10 2 10 2 5 在△ ABC 中，由正弦定理 b ＝ c ， sin B sin C 30 / 49 ABC 高考数学二轮：专题复习教教案：专题一三角 得 ＝ ， 2 5 2 5 2 即 c＝ bc 10 4 b. ② 联立①②得 b＝ 8. [方法概括 ] 求解三角函数与平面向量综合问题的一般思路 (1) 求三角函数值，一般利用向量的有关运算把向量关系转变成三角函数关系式．利用同角三角函数关系式及三角函数中常用公式求解． (2) 求角时往常由向量转变成三角函数问题，先求值再求角． (3) 解决与向量有关的三角函数问题的思想方法是转变与化归的数学思想，即经过向量的有关运算把问题转变成三角函数问题． [变式训练 ] ． 南·通三调 已知△ 是锐角三角形，向量 ) ABC 1 (2017 ππ＝ A ＋ ， sin A ＋ ， n cos m 3 3 ＝ (cos B， sin B)，且 m⊥ n. (1) 求 A－B 的值； (2) 若 cos B＝ 3 5，AC＝ 8，求 BC 的长． π π π 解： (1)因为 m⊥ n， 所以 ·＝ m n cos A＋ 3 cos B＋ sin A＋ 3 sin B＝ cos A＋ 3 π π π 5π 又 A，B∈ 0， ，所以 A＋ － B∈ ， － ， 2 3 6 6 π π π 所以 A＋ － B＝ ，即 A－B＝ . 3 6 2 π 3 4 ，B∈ 0， (2) 因为 cos B＝ ，所以 sin B＝ . 5 2 5 π 所以 sin A＝ sin B＋ 6 ＝ × ＝ sin Bcos －B＝， 0 π 6 ＋ cos Bsin π 6 . 4 5 3 3 1 2 ＋ × ＝ 4 3＋3 10 5 2 sin A 4 3＋ 3 10 4 5 由正弦定理，得 BC＝ sin B×AC＝ ×8＝ 4 3＋ 3. 2．(2017 镇·江调研 )在△ ABC 中，角 A，B， C 所对应的边分别是 a，b，c，向量 m＝ (a 31 / 49 高考数学二轮：专题复习教教案：专题一三角 － c， b＋ c)， n＝ (b－ c， a)，且 m∥ n. (1) 求 B； π 3 39 (2) 若 b＝ 13， cos A＋ 6 ＝ 26 ，求 a. 解： (1)因为 m∥ n，所以 a(a－ c)－ (b＋ c)(b－ c)＝ 0， 即 a2＋ c2－ b2＝ ac， 所以 cos B＝ a ＋ c 2 － b 2 2 ＝ ac ＝ 1， 2ac 2ac π 2 又 B∈ (0， π)，故 B＝ 3. 2π (2)由 (1)得 A∈ 0， 3 π 3 39 又 cos A＋ 6 ＝ 26 ， 所以 sin A＋ π ＝ 6 所以 sin A＝ sin ，所以 A＋ ∈ π 6 π 5π ， ， 6 6 5 13， 26 ππA＋ － 6 6 π π π π ＝ sin A＋ cos － cos A＋ sin 6 6 6 6 5 13 3 3 39 1 39 ＝ × － × ＝ . 2 26 2 26 26 在△ ABC 中，由正弦定理 可得 a＝ b· sin a A＝ sinb B， 39 ＝ sin A sin B 13×26 ＝ 1. 3 2 以平面图形为背景的解三角形问题 [例 3] (2017 南·通调研 )如图，在△ ABC 中，角 A，B， C 的对边分别 为 a， b， c， a＝ b(sin C＋ cos C)． (1) 求∠ ABC ； π (2) 若∠ A＝ 2， D 为△ ABC 外一点， DB＝ 2， DC＝ 1，求四边形 ABDC 面积的最大值． [解 ] (1)在△ ABC 中，因为 a＝ b(sin C＋cos C)， 所以 sin A＝ sin B(sin C＋ cos C)， 32 / 49 高考数学二轮：专题复习教教案：专题一三角 所以 sin(B＋ C)＝ sin B(sin C＋ cos C)， 所以 sin Bcos C＋ cos Bsin C＝ sin Bsin C＋ sin Bcos C, 所以 cos Bsin C＝ sin Bsin C， 又因为 C∈ (0， π)，故 sin C≠0， 所以 cos B＝ sin B，即 tan B＝ 1. π 又 B∈ (0， π)，所以 B＝ 4. (2)在△ BCD 中， DB ＝ 2， DC＝ 1， BC2＝ 12＋ 22－ 2×1×2×cos D＝ 5－ 4cosD . 又 A＝ ，由 (1)可知∠ ABC＝ ， π 2 π 4 所以△ ABC 为等腰直角三角形， S△ ABC＝ ×BC× ×BC＝ BC ＝ － cos D， 1 2 1 2 1 2 5 4 4 1 又 SBDC＝ ×BD×DC ×sin D ＝ sin D, 2 △ 所以 S 四边形 ABDC ＝ － cos D＋ sin D＝ ＋ 2sin D－ π . 4 4 4 53π ＋ 2. 所以当 D＝ 时，四边形 ABDC 的面积有最大值，最大值为 4 4 55[方法概括 ] 平面图形为背景的解三角形问题的一般思路 (1) 建联系 在平面几何图形中求有关的几何量时，需找寻各个三角形之间的联系，交错使用公共 条件，经过公共条件形成等式，经常将所波及的已知几何量与所求几何集中到某一个三角 形 . (2) 用定理 ① “已知两角和一边 ”或“已知两边和此中一边的对角 ”应采纳正弦定理． ② “已知两边和这两边的夹角 ”或 “已知三角形的三边 ”应采纳余弦定理． [变式训练 ] (2017 ·北三市模拟苏 2π ＝ 1，EC ＝ )如图，在平面四边形 ABCD 中， DA⊥ AB，DE 7，EA ＝ 2，∠ ADC＝ 3 ，且∠ CBE ，∠ BEC ，∠ BCE 成等 差数列． (1) 求 sin∠CED ； (2) 求 BE 的长． 解： 设∠ CED ＝ α. 33 / 49 高考数学二轮：专题复习教教案：专题一三角 因为∠ CBE，∠ BEC，∠ BCE 成等差数列， 所以 2∠ BEC＝∠ CBE＋∠ BCE， 又∠ CBE＋∠ BEC ＋∠ BCE ＝ π， π 所以∠ BEC＝ 3. (1) 在△ CDE 中， 由余弦定理得 EC2＝ CD2＋ DE 2－ 2CD·DE ·cos∠ EDC ， 由题设知 7＝ CD 2＋ 1＋ CD ， 即 CD 2＋ CD － 6＝0， 解得 CD ＝ 2(CD ＝－ 3 舍去 )． 在△ CDE 中，由正弦定理得 ∠ EC ， ＝ CD sin α sin EDC 3 2×2 2π CD·sin 3 EC 21 21 于是 sin α＝ ＝ 7 ＝ 7 ， 即 ∠＝ sin CED 7 . π (2) 由题设知 0<α<3， 由 (1)知 cos α＝ 1－ sin2α＝ 1－ 21＝ 2 7， 7 49 2π 3 － α， 又∠ AEB＝ π－∠ BEC － α＝ 所以 cos∠ AEB＝ cos － α ＝ cos 2π 2π 3 21 7 1 3 1 2 7 ·sin α＝－ cos α＋ sin α＝－ × cos α＋ sin 3 3 2 2 2 7 2π 3 ＋ 2 × 7 ＝ 14 . EA ＝2 7 在 Rt △EAB 中， cos∠ AEB ＝ BE 所以 BE＝4 7. BE ＝14， [课时达标训练 ] 1．在锐角△ ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c. ―→ ―→ ―→ ―→ (1) 设 BC ·CA ＝ CA ·AB ，求证：△ ABC 是等腰三角形； 1 π (2) 设向量 s＝ (2sin C，－ 3)， t＝ (cos 2C， cos C)，且 s∥ t， sin A＝ 3，求 sin 3－B 的 值． ―→ ―→ ―→ ―→ 解： (1)证明：由 BC ·CA ＝ CA ·AB ， 得 abcos C＝ bccos A. 34 / 49 高考数学二轮：专题复习教教案：专题一三角 化简且由正弦定理得， sin Acos C＝ sin Ccos A， ∴ sin(A－ C)＝0. ∴ A＝ C. 故△ ABC 是等腰三角形． (2) 由 s∥ t，得 2sin Ccos C＝－ 3cos 2C， π ∴ tan 2C＝－ 3.∵ C∈ 0， 2， ∴ 2C∈ (0， π)． ∴ 2C＝2π，故 C＝π . 3 3 1 π 2 2 ∵ sin A＝. 3，A∈ 0，2 ，得 cos A＝ 3 π π 1 3 1－ 2 6 ∴ sin 3－ B ＝ sin A－ 3 ＝ 2sin A－ 2 cos A＝ 6 . 2． (2017 天·津高考 )在△ ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c.已知 a>b， 5， c＝ 6， sin B＝ 3 . 5 (1) 求 b 和 sin A 的值； π (2) 求 sin 2A＋ 4 的值． 解： (1)在△ ABC 中，因为 a>b， 故由3 sin B ＝ ，可得 cos B＝4 . 5 5 由已知及余弦定理， 得 b2＝ a2＋ c2－ 2accos B＝ 13，所以 b＝ 13. 由正弦定理 a ＝ b ，得 sin A＝ asin B＝ 3 13b. sin A sin B 所以 b 的值为 13， sin A 的值为 3 13 13 13 . 2 13 (2) 由 (1)及 a ， 13 2 5 cos 2A＝1－ 2sin A＝－ 13. 故 sin ＋ π＝ sin 2Acos ＋ cos 2Asin π ＝ π 2 12 5 7 2 ×－ ＝ 2A 4 4 4 2 13 . 13 26 3． (2017 南·京调研 )在△ ABC 中，角 A，B， C 的对边分别为 a， b， c, a＝ mbcos C，35 / 49 a＝ m 高考数学二轮：专题复习教教案：专题一三角 为常数． 10 (1) 若 m＝ 2，且 cos C＝ 10 ，求 cos A 的值； (2) 若 m＝ 4，求 tan(C－ B)的最大值． ∴ a＝ 2b× 解： (1)∵ a＝ 2bcos C， cos C＝ 2 2 a ＋ b 2 － c ， 2ab a2＋ b2－c2 ， 2ab ∴ b＝ c，∴ B＝ C. ∴ cos A＝cos(π－ B－C)＝－ cos 2C＝－ (2cosC－ 1)＝－ 2× 2 10 10 2 4 ＋1＝ . 5 (2) 由正弦定理及 a＝ 4bcos C， 得 sin A＝ 4sin Bcos C， 而 sin A＝ sin( π－ B－ C)＝ sin(B＋ C)＝ sin Bcos C＋ cos Bsin C， ∴ 3sin Bcos C＝ cos Bsin C. ∵在△ ABC 中， cos C≤0 或 cos B≤0 时，不知足上式， ∴B， C∈ 0， π ， 2 ∴ cos Ccos B≠0. ∴ tan C＝ 3tan B， ∴ tan(C－ B)＝ tan C－ tan B ＝ 2tan B 2 1＋ tan Ctan B 1＋ 3tan Bπ ∵B， C∈ 0， 2 ， 2 . ∴ 1＋ 3tan B≥2 3tan B， tan(C－ B)≤ ， 3 3 ∴ tan(C－ B)的最大值为 3 3 . 4．如图，在梯形 ABCD 中，已知 AD∥ BC， AD ＝ 1， BD＝ 2 10， π ∠CAD ＝ 4， tan∠ ADC＝－ 2.求： (1) CD 的长； (2) △BCD 的面积． 解： (1)因为 tan∠ ADC＝－ 2， 所以 sin∠ ADC＝ 25 ， cos∠ ADC＝－ 5 5 π 5 . 所以 sin∠ ACD＝ sin π－∠ ADC － 4 36 / 49 高考数学二轮：专题复习教教案：专题一三角 π ＝ sin ∠ ADC＋ 4 π π ＝ sin∠ ADC cos4＋ cos∠ ADCsin4 ＝ 10 ， 10 在△ ADC 中，由正弦定理得 CD ＝AD ·sin∠ CAD ＝ 5. sin∠ ACD 5 2 5 (2) 因为 AD∥ BC，所以 cos∠ BCD ＝－ cos∠ ADC＝ 5 ， sin∠BCD ＝ 5 在△ BDC 中，由余弦定理 BD 2＝ BC2＋ CD 2－ 2·BC·CD ·cos∠ BCD ， . 得 BC2－ 2BC－ 35＝ 0，解得 BC＝ 7(负值舍去 )， 1 所以 S△ BCD ＝ ·BC ·CD ·sin∠ BCD＝ ×7× 5× 1 2 5 ＝ 7. 2 2 2 3 5 1 5． (2017 苏·州调研测试 )已知函数 f(x)＝ 2 sin 2x－ cos x－ 2. (1) 求 f(x)的最小值，并写出获得最小值时的自变量 x 的取值会合； (2) 设△ ABC 的内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且 c＝ 3， f(C)＝ 0，若 sin B ＝ 2sin A，求 a， b 的值． 解： (1) f(x)＝ 3 1＋ cos 2x－ 1＝ 3 2 π1 － 1. 当 2x－ ＝ 2kπ－ π 6 2 sin 2x－ π 2 π (k∈ Z) ， 2 2 sin 2x－ 2cos 2x－ 1＝ sin 2x－ 6 即 x＝ kπ－ 6 (k∈ Z) 时， f(x)的最小值为－ 2. 此时自变量 x 的取值会合为 xx＝ kπ－ π 6 ， k∈ Z . π因为 ＝ ，所以 2C － － 1＝ 0， (2) f(C) sin 0 6 π π π 又 0 22 3， 2abcos 由余弦定理知 ( 3)＝ a＋ b－ 2 π ， 3 即 a2＋ b2－ ab＝ 3, 联立 a2＋ b2－ ab＝ 3， 解得 a＝ 1， b＝ 2. b＝ 2a， 6．在锐角△ ABC 中，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 2acos B＝ 2c－ b. 37 / 49 高考数学二轮：专题复习教教案：专题一三角 (1) 若 cos(A＋ C)＝－ 5 3 14 ，求 cos C 的值； ―→ ―→ (2) 若 b＝ 5， AC ·CB ＝－ 5，求△ ABC 的面积； ―→ ―→ ―→ (3) 若 O 是△ ABC 外接圆的圆心，且 cos B ·AB ＋cos C·AC ＝ m AO ，求 m 的值． sin C sin B 1 解： 由 2acosB＝ 2c－ b，得 2sin AcosB＝ 2sin C－ sin B，化简得 cos A＝ ，则 A＝ 60°. 5 3 (1) 由 cos(A＋ C)＝－ cos B＝－ 14 ， 5 3 11 知 cos B＝ 14 ，所以 sin B＝ 14 1 所以 cos C＝ cos(120°－ B)＝－ cos B . 3 3 ＋ sin B＝ 3 . 2 2 14 ―→ 2 ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ 2 ―→ ―→ (2) 因为 AC ·CB ＝ AC·(AB － AC) ＝ AC ·AB － AC ＝ | AC | ·|AB | cos· A－|AC | ＝ 1 bc－ b ＝－ 5， 2 2 又 b＝ 5，解得 c＝ 8， 1 所以△ ABC 的面积为 2bcsin A＝ 10 3. cos B ―→ cos C ―→ ―→ (3) 由 sin C ·AB ＋ sin B ·AC ＝ m AO ， cos B ―→ ―→ cos C ―→ ―→ ―→ 2 可得 sin C ·AB ·AO ＋ sin B ·AC ·AO ＝m AO .(*) 因为 O 是△ ABC 外接圆的圆心， ―→ ―→ 1―→2 ―→ ―→ 1―→ 2 所以 AB ·AO ＝ 2 AB ， AC ·AO ＝ 2 AC ， ―→ a 又| AO |＝ 2sin A ， 2cos B 2 cos C 2 1 a 所以 (*) 可化为 ·c ＋ ·b ＝ m· 2 ， 2 sin A sin C sin B 所以 m＝ 2(cos Bsin C＋ sin Bcos C)＝ 2sin(B＋ C)＝ 2sin A ＝ 3. 第4课时 化简求值问题 (能力课 ) [常考题型打破 ] 联合三角函数定义进行化简求值 [例 1] (2017 ·通一模南 )如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以 x 轴正 半轴为始边作锐角 α，其终边与单位圆交于点 A.以 OA 为始边作锐角 β， 38 / 49 高考数学二轮：专题复习教教案：专题一三角 其终边与单位圆交于点 25 B， AB＝ 5 . (1) 求 cos β的值； 5 (2) 若点 A 的横坐标为 13，求点 B 的坐标． [解 ] (1)在△ AOB 中，cos∠ AOB ＝ 2 2 2 OA ＋OB － AB 2 2 1 ＋ 1 － ＝ (2) 因为 cos β＝ 3 2OA·OB ， β∈0，π 2 5 2 5 3 3 ＝ ，即 cos β＝ . 2×1×1 5 5 ， 5 1－ 2 所以 sin β＝ 3 2 4 ＝ . 5 5 因为点 A 的横坐标为 5 ， 13 由三角函数定义可得， cos α＝ ， 13 5 5 2 因为 α为锐角，所以 sin α＝ 12 1－ 13 ＝ 13 5 3 12 4 33 所以 cos(α＋ β)＝ cos αcos β－ sin αsin β＝ × － × ＝－ ， 13 5 13 5 65 123 5 4 56 sin(α＋ β)＝ sin αcos β＋ cos αsin β＝ . × ＋ × ＝ . 135 135 65 33 56 －， 所以点 B 6565 . [方法概括 ] 异于原点的点的横坐标 x，纵坐标 y，该点到原点的距离 r. 当求角 α的终边上点的坐标时，要依据角的范围，联合三角公式进行求解 利用三角函数的定义求一个角的三角函数值需明确三个量：角的终边上随意一个 . 同角三角函数间的关系应注意正确选择公式，注意公式应用的条件 . [变式训练 ] 如图， 在平面直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点， x 轴正半轴为始边 作两个锐角 α，β，它们的终边分别与单位圆订交于 A，B 两点，已知 A， 2 2 5 B 的横坐标分别为 10 ， 5 . (1) 求 tan － 19π 4 ＋ α＋ β的值； (2) 求 α＋ 2β的值． 解： (1)由条件得 cos α＝ ， cos β＝ 10 5 22 5 ，α为锐角， 39 / 49 高考数学二轮：专题复习教教案：专题一三角 故 sin α>0 且 sin α＝ 7 2 10 . 同理可得 sin β＝ 5， 5 ∴ tan α＝7， tan β＝ . 2 1 ∴ 1 tan(α＋ β)＝ tan α＋ tan β＝ 7＋ 1－ tan αtan β 1－ 2 ＝－ 3. 1 7× 2 19π ∴ tan － ＋ α＋ β 4 3π ＝－ . 2 ＝ tan α＋ β－ 4 3π 3π 4 ＝ α＋ β － tan 4 1 1＋ α＋ β (2)tan( α＋ 2β)＝ tan[( α＋ β)＋ β] － 3＋ 1 ＝ 2 ＝－ 1， 1－ ∵ 0<α< － × 1 π ， 0<β< ， 2 π 2 ∴ 0<α＋2β< 2 3π 2 ，进而 α＋ 2β＝ 3π 4 . 联合条件等式进行化简求值 π 2 5 [例 2] (2017 ·京模拟南 )已知 α为锐角， cos α＋ 3 ＝ 5 . 7π (1) 求 sin α＋ 12 的值； 2π (2) 求 tan 2α＋ 3 的值． [解 ] (1)因为 α为锐角，所以 α＋ π ∈ π 5π ， ， 3 π 2 5 3 6 又 cos α＋ 3 ＝ 5 ， π 所以 sin α＋ 3 1－cos α＋ 3 ＝ 5 7π π π 所以 sin α＋ ＝ sin α＋ ＋ 3 4 12 π π π π ＝ sin α＋ cos ＋ cos α＋ sin 3 4 3 4 ＝ 2 π 5 . 40 / 49 高考数学二轮：专题复习教教案：专题一三角 ＝ 2×2 5＋ 5 ＝3 10. 25510 π 5 π π 4 (2) 由 (1)知 sin α＋ 3 ＝ 5 ， 2π 所以 sin 2α＋ 3 ＝ 2sin α＋ 3 cos α＋ 3 ＝ 5 2π π π 3 2 2 . cos 2α＋ 3 ＝ cos α＋ 3 － sin α＋ 3 ＝ 5 2π sin 2α＋ 3 2π 4 所以 tan 2α＋ ＝ 2π＝ . cos 2α＋ 3 3 3 [方法概括 ] 给式求值 . 给出某些式子的值，求其余式子的值 .解此类问题，一般应先将所给式子变形，将其转 . 化成所求函数式能使用的条件，或将所求函数式变形为可使用条件的形式 给值求值 给出某些角的三角函数式的值，求此外一些角的三角函数值，解题重点在于 “变角 ”， 使其角同样或拥有某种关系，解题的基本方法是：①将待求式用已知三角函数表示；②将 已知条件转变而推出结论，此中 “凑角法 ”是解此类问题的常用技巧，解题时第一要剖析已 知条件和结论中各样角之间的相互关系，并依据这些关系来选择公式 给值求角 . 解此类问题的基本方法是：先求出 围，最后借助三角函数图象、引诱公式求角. “所求角 ”的某一三角函数值，再确立 “所求角 ”的范 [变式训练 ] sin α＝ ， tan(α－ β)＝－ . 1．已知 α， β均为锐角，且 31 5 3 (1) 求 sin(α－ β)的值； (2) 求 cos β的值． ππ解： (1)因为 α，β∈ 0， ，进而－ 又因为 tan(α－β)＝－ <0，所以－ <α－ β<0. 3 2 10 12 π 2 < α－ β π <2. 所以 sin(α－ β)＝－ 10 . 3 10 (2) 由 (1)可得， cos(α－ β)＝ 10 . 因为 α为锐角，且 sin α＝ ，所以 cos α＝ . 3 4 5 5 所以 cos β＝ cos[α－ (α－ β)] ＝ cos αcos(α－ β)＋ sin αsin(α－ β) 41 / 49 高考数学二轮：专题复习教教案：专题一三角 9 10 10 ＝. ＝ × ＋ ×－ 5 10 5 10 50 π 22． (2017 南·通二调 )已知 sin α＋ ＝ 10 4 求： (1)cos α的值； π (2)sin 2α－ 4 的值． 解： (1)法一： 因为 α∈ 4 3 10 3 ，α∈π 2 ， π . π ， π ， 2 π 3π 5π 所以 α＋ 4∈ 4 ， 4 ， π2 又 sin α＋ ＝ ， 4 10 所以 cos α＋ π ＝－ 4 ＝－1－ 1－ sin2 α＋ π 4 2 2＝－7 2 10 10 . π π 所以 cos α＝cos α＋ 4 － 4 ＝ cos α＋ π cos ＋ sin α＋ π π sin π 4 4 4 7 2 2 2 2 3 ＝－ × ＋ × ＝－ . 10 2 10 2 5 法二： 由 sin α＋ π 4 4 ＝ 10 π 4 2 ， 得 sin αcos ＋cos αsin ＝ π 4 2， 即 sin α＋ cos α＝ .① 5 2 2 110 又 sin α＋ cos α＝ 1，② 由①②解得 cos α＝－ 或 cos α＝ 34 . 5 π 2 2 因为 α∈ ， π，所以 cos α＝－ . 5 3 5 π ， π ， cos α＝－ 3， (2) 因为 α∈ 2 5 3 2 4 ＝. 所以 sin α＝ 1－ cos α＝1－ － 5 5 4 3 24 ＝－ ， 所以 sin 2α＝2sin αcos α＝ 2× × － 5 5 25 2 － －1＝－ 32 7 42 / 49 高考数学二轮：专题复习教教案：专题一三角 cos 2α＝ 2cos α－ 1＝ 2× 5 25 . 43 / 49 高考数学二轮：专题复习教教案：专题一三角 所以 sin α－ 2 π 4 ＝ sin 2αcos π 4 － cos 2αsin π ＝ － 24 2－ － 7 2＝－ 17 2 ××25 2 25 2 4 向量与三角求值联合 50 . [例 3] 已知向量 a＝ (cos α，sin α)，b＝ (cos x，sin x)，c＝ (sin x＋ 2sin α，cos x＋ 2cos α)，此中 0＜ α＜x＜ π. π (1) 若 α＝ ，求函数 f(x)＝ b·c 的最小值及相应 x 的值； 4 π (2) 若 a 与 b 的夹角为 3 ，且 a⊥ c，求 tan 2α的值． [解 ] (1)∵ b＝ (cos x， sin x)， c＝ (sin x＋ 2sin α， cos x＋ 2cosα)， α＝ π 4 ， ∴ f( x)＝ b·c＝cos xsin x＋ 2cos xsin α＋ sin x·cos x＋ 2sin xcos α＝ 2sin xcos x＋ ＋ cos x)． 令 ＝ 2(sin x ＋ π t sin x cos x 4 则 2sin xcos x＝ t2－ 1，且－ 1＜ t＜ 2. 2 2 2t－ 1＝ ＋t则 y＝ f(x)＝ t＋ 2 － ，－ 1＜ t＜ 2. 2 2 3 ∴ t＝－ 2时， ymin＝－ ，此时 sin x＋ cos x＝－ 32. 2 2 π 4 因为 ＜x＜ π，故 x＝ 2 11π 12 . 3 11π ∴函数 f(x)的最小值为－ 2，相应 x 的值为 12 π π a·b ＝ cos αcos x＋ sin αsin x＝ cos(x－ α) ． ，∴ cos ＝ . (2) ∵ a 与 b 的夹角为 3 3 |a| ·|b| π ∵ 0＜ α＜ x＜ π，∴ 0＜ x－ α＜ π，∴ x－ α＝ 3. ∵ a⊥ c，∴ cos α(sin x＋ 2sin α)＋ sin α(cos x＋ 2cos α)＝ 0， ∴ sin(x＋ α)＋ 2sin 2α＝ 0， π 即 sin 2α＋ 3 ＋ 2sin 2α＝ 0. 3 ∴ sin 2α＋ cos 2α＝ 0， 2 2 3 5 ∴ tan 2α＝－ 5 . [方法概括 ] 平面向量与三角函数交汇点许多，向量的平行、垂直、夹角、数目积等知识都能够与 三角函数进行交汇 .无论是哪种向量知识与三角函数的交汇试题，都会出现交汇问题中的难 44 / 49 高考数学二轮：专题复习教教案：专题一三角 点，对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件转变成三角函数中的 “数目关系 ”， 再利用三角函数的有关知识进行求解 . [变式训练 ] (2017 江·苏高考 )已知向量 a＝ (cos x， sin x)， b＝ (3，－ 3)， x∈ [0， π]． (1) 若 a∥ b，求 x 的值； (2) 记 f(x)＝ a·b，求 f(x)的最大值和最小值以及对应的 x 的值． 解： (1)因为 a＝ (cos x， sin x)， b＝ (3，－ 3)， a∥ b， 所以－ 3cos x＝ 3sin x. 3 则 tan x＝－ 3 . 5π 又 x∈ [0， π]，所以 x＝ 6 . ＝ ·＝ a b (cos x ， ·，－ ＝ － ＝ 3sin x 2 x＋ π 3cos 6 (2) f(x) 因为 x∈ [0， π]，所以 π sin x) (3 3) π π 7π x＋ ∈ 3cosx . ， ， 6 3 6 6 进而－ 1≤cos x＋ 6 ≤2 . π π 于是，当 x＋ ＝ ，即 x＝ 0 时， f( x)取到最大值 3； 6 π 6 5π 当 x＋ 6＝ π，即 x＝ 6 时， f(x)取到最小值－ 2 3. 1 [课时达标训练 ] 1 π π 1． (2017 南·通模拟 )已知 cos α＝ 3， cos(α＋ β)＝－ (1) 求 sin 2α的值； (2) 求 cos(α－ β)的值． 3，且 α∈ 0， 2 ， β∈ 0，2 . π 解： (1)∵ α∈ 0， 2 ，∴ 2α∈ (0， π). ∵ cos α＝ ， 3 1 ∴ cos 2α＝2cos2α－ 1＝－ 7， 9 42 ∴ sin 2α＝ 1－ cos22α＝ 9 . (2) ∵α∈ 0， π ， β∈ 0， π ， 2 2 ∴ α＋ β∈ (0，π)，又 cos(α＋ β)＝－ ， 3 1 45 / 49 高考数学二轮：专题复习教教案：专题一三角 ∴ sin(α＋ β)＝ 1－ cos2 α＋ β ＝ 3 ， 22 ∴ cos(α－ β)＝ cos[2α－ (α＋β)] ＝ cos 2αcos(α＋β)＋ sin 2αsin(α＋ β) 7 ＝ － 9 × 4 2 2 2 23 ×－.9 3 ＝ 27 3 ＋ 1 2．设向量 a＝ (cos α，(λ－ 1)sin α)，b＝ (cos β，sin β)(λ＞ 0，0＜ α＜ β＜ π)，且 a＋ b 与 a － b 相互垂直． (1) 求 λ的值； 4 4 3，求 tan α的 (2) 若 a·b＝ 5， tan β＝ 值． 解： (1)∵ a＋ b 与 a－ b 垂直， ∴ (a＋ b) ·(a－ b)＝ |a|2－ |b|2＝ cos2α＋ (λ－ 1)2sin2α－ 1＝ (λ－ 1)2sin2α－ sin2α＝ 0， 解得 λ＝ 0 或 λ＝ 2. ∵ λ＞ 0，∴ λ＝ 2. (2) 由 (1)知 a·b＝ cos αcos β＋ sin αsin β＝ cos(α－ β)＝ 4 5，且 0＜ α＜ β＜ π，得 tan(α－ β)＝ 3 －4. 则 tan α＝ tan[(α－ β)＋ β]＝ α－ β ＋ tan β 1－α－ ββ － 3＋ 4 7 ＝ 4 3 ＝ . 3 4 24 1－ － × 3 4 3．已知向量 π a＝ (sin θ， 2)， b＝ (cos θ， 1)，且 a， b 共线，此中 π (1) 求 tan θ＋ 4 的值； π (2) 若 5cos(θ－ φ)＝ 3 5cos φ， 0＜ φ＜ 2，求 φ的值． 解： (1)由 a∥ b，得 sin θ＝2cos θ. θ∈ 0， 2 . π 因为 θ∈ 0， 2 ，所以 cos θ≠0， 所以 tan θ＝ 2. πtanθ＋1所以 tan θ＋ ＝ ＝－ 3. 4 1－ tan θ (2) 由 (1)知 tan θ＝2，又因为 θ∈ 0， π ， 2 46 / 49 高考数学二轮：专题复习教教案：专题一三角 所以 sin θ＝ 25 ， cos θ＝ 5 5 5 由 5cos(θ－ φ)＝ 3 5cos φ， . 得 5(cos θcos φ＋ sin θsin φ)＝ 3 5cos φ， 即 5cosφ＋ 2 5sin φ＝ 3 5cos φ，进而 tan φ＝ 1. π 因为 0＜ φ＜ ，所以 φ＝ π 4 . 2 4．在平面直角坐标系 xOy 中，若角 α， β的极点都为坐标原点 O，始边为 x 轴的正半 轴，角 α的终边经过点 P1 ， cos2θ，角 β的终边经过点 2θ，－ Q(sin 1)，且 2 (1) 求 cos 2θ的值； (2) 求 tan(α＋ β)的值． ―→ ―→ 1 1 2 2 1 解： (1)由 OP ·OQ ＝－ 2 ，得 2sin θ－ cos θ＝－ ， 2 ∴ sin2 θ＝ 2 θ－ ，即 1－ cos 2θ ＝ cos 2θ， 2cos1 2 解得 cos 2θ＝ . 1 3 (2) 由 (1)，知 sin2θ＝ 1－ cos 2θ＝ 1 ，则 cos2θ＝ 2， 1212 3 4 3 得 P ， ， Q ，－ 1 ，∴ tan α＝， tan β＝－ 3， 2 3 3 4 3 β－ 3 故 tan(α＋ β)＝ tanα＋ tan ＝ 3 ＝－ 1 4 3 . 1－ tan αtan β 1－3× － 5．如下图，角 θ的始边 OA 落在 x 轴的非负半轴上，其始边、 π 终边分别与单位圆交于点 A， C， θ∈ 0， 2 ，△ AOB 为正三角形． 35， 4 (1) 若点 C 的坐标为 5 ，求 cos∠ BOC； (2) 记 f(θ)＝ BC2，求函数 f(θ)的分析式和值域． 解： (1)因为点 C 的坐标为 3， 4 ， 5 5 依据三角函数的定义，得 sin∠ COA 4 ＝ ， cos∠ COA＝ .3 5 5 因为△ AOB 为正三角形，所以∠ AOB＝ . π 3 π 所以 cos∠ BOC＝ cos ∠ COA＋ 3 47 / 49 ―→ ―→ OP ·＝－ 1 OQ 2 . 高考数学二轮：专题复习教教案：专题一三角 ＝ cos∠ COAcos π 3 － sin∠ COAsin π 3 ＝ × － × ＝ 3 1 4 5 2 5 3 3－ 4 3 10 . 2 (2) 因为∠ AOC ＝ θ0< < θ ，所以∠ BOC ＝ ＋ θ. 2 3 π π 在△ BOC 中， OB＝ OC＝1，由余弦定理，可得 f(θ)＝ BC2＝ OC2＋ OB2－ 2OC·OB·cos π π ∠BOC ＝ 12＋ 12－ 2×1×1×cos θ＋ 3 ＝2－ 2cos θ＋ 3 . π 因为 0<θ<2， 所以π π 5π <θ＋ < . 3 3 6 3 π 1 所以－ 2 π2. 所以 1<2－ 2cos θ＋ 3 <2＋ 3. 所以函数 f(θ)的值域为 (1,2＋ 3)． 6． (2017 盐·城期中 )设函数 f(x)＝ Asin(ωx＋ φ)( A， ω，的部分图象如下图． (1) 求 A， ω， φ的值； π (2) 设 θ为锐角，且3 f(θ)＝－ 3 5 ，求 f θ－ 6 的值． 解： (1)由图象，得 A＝ 3， 4 7π π 2π ×＋ 最小正周期 T＝ 3 12 6 ＝ π，所以 ω＝ T ＝ 2， ∴ f( x)＝ 3sin(2x＋ φ)， 由 f 7π ＝－ 3，得 2× ＋7 φ＝－π π＋ 2kπ， k∈ Z ， 12 12 2 ∴ φ＝－5π ＋ 2kπ， k∈ Z ， 3 π ∵ 0<φ<π，∴ φ＝ 3. π 3 3 (2) 由 f(θ)＝ 3sin 2θ＋ 3 ＝－ 5 ， π得 sin 2θ＋ ＝－ 3 ， 3 5 因为 θ∈ 0， π π π 4π ，所以 2θ＋ ∈ ， ， 2 3 3 3 48 / 49 为常数，且 A>0 ， ω>0,0< φ<π) φ 高考数学二轮：专题复习教教案：专题一三角 又 sin 2θ＋ π 3 <0，所以 2θ＋ ∈ π， π 4π ， π 所以 cos θ＋ ＝－ 3 1－ sin2 π4θ＋ ＝－ ， 3 2 3 2 3 5 π π π π π π π 所以 f θ－ 6 ＝ 3sin 2θ＝ 3sin 2θ＋ 3 － 3 ＝ 3 θ＋ － cos θ＋ sin 2 3 cos3 2 3 1 4 3 12－ 3 3 3 sin3 ＝ 3 － × ＋ × ＝ . 5 2 5 2 10 49 / 49 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容
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