成人高考-数学知识复习资料

数学复习资料

1.集合：会用列举法、描述法表示集合，会集合的交、并、补运算，能借助

数轴解决集合运算的问题，具体参看课本例2、4、5.

2.充分必要条件

要分清条件和结论，由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。从集合角度解释，若AB，则A是B的充分条件；若BA，则A是B的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件。

例1：对“充分必要条件”的理解.请看两个例子： （1）“x29”是“x3”的什么条件？

（2）x2是x5的什么条件？

我们知道，若AB，则A是B的充分条件，若“AB”，则A是B的必要条件，但这种只记住定义的理解还不够，必须有自己的理解语言：“若AB，即是A能推出B”，但这样还不够具体形象，因为“推出”指的是什么还不明确；即使借助数轴、文氏图，也还是“抽象”的；如果用“A中的所有元素能满足B”的自然语言去理解，基本能深刻把握“充分必要条件”的内容.本例中，x29即集合{3,3}，当中的元素3不能满足或者说不属于{3}，但{3}的元素能满足或者说属于{3,3}.假设A{x|x29},B{x|x3}，则满足“AB”，故“x29”是“x3”的必要非充分条件，同理x2是x5的必要非充分条件. 3.直角坐标系 注意某一点关于坐标轴、坐标原点、yx,yx的坐标的写法。如

点（2，3）关于x轴对称坐标为（2，-3），

点（2，3）关于y轴对称坐标为（-2，3）， 点（2，3）关于原点对称坐标为（-2，-3）， 点（2，3）关于yx轴对称坐标为（3，2）， 点（2，3）关于yx轴对称坐标为（-3，-2），

4.函数的三要素：定义域、值域、对应法则，如果两个函数三要素相同，则是相同函数。

5.会求函数的定义域，做21页第一大题

6.函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性性、周期是重要的研究内容，尤其是定义域、一次和二次函数的解析式，单调性最重要。

7. 函数的奇偶性。

（1）具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。

（2）确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）：

f(x)①定义法：②利用函数奇偶性定义的等价形式：f(x)f(x)0或1f(x)（f(x)0）。③图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称。

常见奇函数：yx,yx,yx,yx,ysinx,ytanx，指数是奇数 常见偶函数：yk,yx2,yx2,yx0,ycosx 一些规律：两个奇函数相加或者相减还是奇函数，两个偶函数相加或者相减还是偶函数，但是两种函数加减就是非奇非偶，两种函数乘除是奇函数，例如

sinxytanx是奇函数.

cosx（3）函数奇偶性的性质：

①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反. ②如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数. ③若f(x)为偶函数，则f(x)f(x)f(|x|). ④奇函数f(x)定义域中含有0，则必有f(0)0.故f(0)0是f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件。

8.函数的单调性：一般用来比较大小，而且主要用来比较指数函数、对数函数的大小，此外，反比例函数、一次函数、二次函数的单调性也比较重要，要熟记他们的图像的分布和走势。熟记课本第11页至13页的图和相关结论。

一次函数、反比例函数 p17 例5 p20 例8

9.二次函数表达形式有三种：一般式：f(x)ax2bxc；顶点式：f(x)a(xm)2n；零点式：f(x)a(xx1)(xx2)，要会根据已知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形式。

课本中的p17 例5（4） 例6、例7，例10 例11；习题p23 8、9、10、11

10.一元一次不等式的解法关键是化为axb，再把x的系数化为1，注意乘以或者除以一个负数不等号的方向要改变；一元一次不等式组最后取个不等式的交集，即数轴上的公共部分。做p42 4、5、6大题

11.绝对值不等式只要求会做：|axb|ccaxbc和

|axb|ccaxb或者axbc，一定会去绝对值符号。做p43 7

331512.一元二次不等式是重点，阅读课文33至34的图表及39至42页的例题。做43页8、9、10、11、12

设a0,x1,x2是方程ax2bxc0的两实根，且x1x2，则其解集如下表： ax2bxc0 ax2bxc0 ax2bxc0 ax2bxc0 0{x|xx1或{x|xx1或{x|x1xx2}{x|x1xx2} xx2} xx2} 0bb {x|x} {x|x} R 2a2a0R   R 对于方程ax2bxc0有实数解的问题。首先要讨论最高次项系数a是否为0，其次若a0，则一定有b24ac0。

13. 数列的同项公式与前n项的和的关系

n1s1,( 数列{an}的前n项的和为sna1a2an). ansnsn1,n2等差数列的通项公式ana1(n1)ddna1d(nN*)；

n(a1an)n(n1)d1na1dn2(a1d)n. 其前n项和公式为sn2222a等比数列的通项公式ana1qn11qn(nN*)；

qa1(1qn)a1anq,q1,q1其前n项的和公式为sn1q或sn1q.

na,q1na,q111 14. 等差数列的性质：

（1）当mnpq时,则有amanapaq，特别地，当mn2p时，则有

aman2ap

(2) 若{an}、是等差数列，

Sn,S2nSn,S3nS2n ，…也成等差数列

（3）在等差数列{an}中，当项数为偶数2n时，S偶－S奇nd；项数为奇数2n1时，

；S奇SS奇S偶a中，S2n1(2n1)a中（这里a中即an）:偶k(:)1k。

(4)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差

数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.

注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究anbm.

15.等比数列前n项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n项和时，首先要判断公比q是否为1，再由q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为1时，要对q分q1和q1两种情形讨论求解。 16.等比数列的性质：

（1）当mnpq时，则有amanapaq，特别地，当mn2p时，则有

amanap2.

(2) 若{an}是等比数列，且公比q1，则数列Sn,S2nSn,S3nS2n ，…也是等

比数列。

当q1，且n为偶数时，数列Sn,S2nSn,S3nS2n ，…是常数数列0，它不是等比数列.

(3) 在等比数列{an}中，当项数为偶数2n时，S偶qS奇；项数为奇数2n1时，

S奇a1qS偶.

(4)数列{an}既成等差数列又成等比数列，那么数列{an}是非零常数数列，故常数数列{an}仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。

这一章主要是找数字的规律，写出数列通项公式，但对等差和等比数列要求比较高，会有较大的比重，出解答题，48页起的例2、3、4、5是基础题，例6、7、8、9是中档题目，例10、11、12是综合题。最要紧做55页的题目。

17. 导数的几何意义：曲线y＝（fx）在点P（x0,f(x0)）处的切线的斜率是f(x0).相应地，

切线方程是yy0f(x0)(xx0);

18.导数的应用：

（1）利用导数判断函数的单调性：设函数y＝f（x）在某个区间内可导， 如果f(x)0,那么f(x)为增函数；如果f(x)0,那么f(x)为减函数； 如果在某个区间内恒有f(x)0,f(x)为常数；

（2）求可导函数极值的步骤：①求导数f(x)；②求方程f(x)0的根；③检验f(x)在方程f(x)0根的左右的符号，如果左正右负，那么函数y=f(x)在这个根处取得最大值；如果左负右正，那么函数y=f(x)在这个根处取得最小值。

19.本章重点是求曲线在一点处的切线方程和多项式的导数，会求函数最大值最小值和极值。课本61页例1、3、4、5和64页习题要过一过关。

20.三角函数 本章出2个小题，1个大题，不是重点内容

1象限角的概念：如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象

限。

2.弧长公式：l||R，扇形面积公式： S1lR1||R2，1弧度(1rad)57.3.

223、任意角的三角函数的定义：设是任意一个角，P(x,y)是的终边上的任意一点（异于原点），

yxy它与原点的距离是rx2y20，那么sin,cos，tan,x0，

rrxxcot(y0)

y

4.特殊角的三角函数值：

30° 1245° 2260° 320° 90° 0 0 1 180° 0 0 270° －1 15° 64275° 642sin tan 33 1 3 2-2+3 cos1 0 -1 0 624 32 22 126243 性质 sinx cosx tanx 图像95页图3.1 95页图3.1 95页图3.1 的来源 及图像 定义96页表格 96页表格 96页表格 域 值域 96页表格 96页表格 96页表格 单调96页表格 96页表格 96页表格 性及 递增递减区间 周期95、96页表格 95、96页表9596页表性及 格 格 奇偶性 对称不要求 不要求 不要求 轴 对称不要求 不要求 不要求 中心 最值95页表格 95页表格 95页表格 及指定区间的最值 简单不要求 不要求 不要求 三角方程和不 5.三角函数的恒等变形的基本思路等式 是：一角二名三结构。即首先观察角

与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。

6.基本公式:

1．常见三角不等式 （1）若x(0,)，则

2sinxxtanx.

(2) 若x(0,)，则 21sinxcosx2. (3) |sinx||cosx|1.

2.同角三角函数的基本关系式

sin2cos21，tan=tancot1.

sin， cos3.正弦、余弦的诱导公式（参看课本77-78页） 注意规律：横不变名竖变名，正负看象限

（1）负角变正角，再写成2k+,02； (2)转化为锐角三角函数。 4.和角与差角公式

sin()sincoscossin;cos()coscossinsin;

tantan.asinbcos=a2b2sin()(辅助角所在象限

1tantanb由点(a,b)的象限决定,tan ).

atan()5.二倍角公式

sin2sincos，cos2cos2sin22cos2112sin2

2tantan2.

1tan26.三角函数的周期公式

函数ysin(x)，x∈R及函数ycos(x)，x∈R(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T2； 函数ytan(x)，xk2,kZ(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T. 重要例题：96至101的例1到例5

21.解三角形就完成模拟试题的相关习题即可。 22.平面向量 看125页例1、2、4、5、6及习题1、2、3

实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，那么(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a; (2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa; (3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb. 2.向量的数量积的运算律： (1) a·b= b·a （交换律）; (2)（a）·b= （a·b）=a·b= a·（b）;

(3)（a+b）·c= a ·c +b·c.

切记：两向量不能相除(相约)；向量的“乘法”不满足结合律， 4.向量平行的坐标表示

设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b0， 则ab(b0)x1y2x2y10.

5.a与b的数量积(或内积)a·b=|a||b|cosθ． 6. a·b的几何意义

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积． 7.平面向量的坐标运算

(1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a+b=(x1x2,y1y2). (2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a-b=(x1x2,y1y2). (3)设A(x1,y1)，B(x2,y2),

则ABOBOA(x2x1,y2y1). (4)设a=(x,y),R，则a=(x,y).

(5)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=(x1x2y1y2). 8.两向量的夹角公式

cosx1x2y1y2xyxy21212222(a=(x1,y1),b=(x2,y2)).

9.平面两点间的距离公式(A(x1,y1)，B(x2,y2)).

dA,B=|AB|ABAB(x2x1)2(y2y1)2 10.向量的平行与垂直

设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b0， 则A||bb=λa x1y2x2y10. ab(a0)a·b=0x1x2y1y20.

11.“按向量平移”：点P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到点P'(xh,yk).

23. 直线方程（重点章节） 看132至135页例1、2、3

1.直线的五种方程

（1）点斜式 yy1k(xx1)

k(直线l过点P1(x1,y1)，且斜率为)．

（2）斜截式 ykxb(b为直线l在y轴上的截距). （3）两点式(y1y2)(P1(x1,y1)、P2(x2,y2) (x1x2)).

yy1xx1 y2y1x2x1(4)截距式1(a、b为直线横纵截距，a、b0（5）一般式AxByC0(其中A、B不同时为0).

2..两条直线的平行和垂直

(1)若l1:yk1xb1，l2:yk2xb2

①l1||l2k1k2,b1b2;②l1l2k1k21.

(2)若l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,且A1、A2、B1、B2都不为零,①

xyabl1||l2A1B1C1；②

l1l2A1A2B1B20； A2B2C23.点到直线的距离 d|Ax0By0C|22AB(点P(x0,y0),直线l：AxByC0).

4. 圆的四种方程 做一做第153页练习1、2、3 （1）圆的标准方程 (xa)2(yb)2r2.

（2）圆的一般方程 x2y2DxEyF0 (DE4F＞0). 5.直线与圆的位置关系

直线AxByC0与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系有三种:

22

dr相离0; dr相切0; dr相交0.其中d

AaBbCAB22.

二．基础知识:

(一)椭圆及其标准方程 p159例1、例2 1.椭圆的定义：

椭圆的定义中，平面内动点与两定点F1、F2的距离的和大于|F1F2|这个条件不可忽视.若这个距离之和小于|F1F2|，则这样的点不存在；若距离之和等于|F1F2|，则动点的轨迹是线段F1F2.

2.椭圆的标准方程：（a＞b＞0）

x2y2y2x21 221 a2b2ab3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果x项的分母大于

2y2项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之，焦点在y轴上. 3椭圆的简单几何性质（a＞b＞0）.

22椭圆的几何性质：设椭圆方程xy1

22ab 线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a和2b， 离心率： ecb2 0＜e＜1.e越接近于1时，

椭圆越扁；反之，e越接近于0时，e12aa椭圆就越接近于圆.

4双曲线及其标准方程 p167 例1、例2

双曲线的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a（小于|F1F2|）的动点M的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a＜|F1F2|，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=|F1F2|，则动点的轨迹是两条射线；若2a＞|F1F2|，则无轨迹.

若MF1＜MF2时，动点M的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若MF1＞MF2时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”. 双曲线的标准方程判别方法是：如果x项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果y项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 5.双曲线的简单几何性质

22cx2y2b2 双曲线221实轴长为2a，虚轴长为2b，离心率e12离心率e越大，

aaba开口越大.

bx2y2x2y2 双曲线221的渐近线方程为yx或表示为220.若已知双曲线

aababm的渐近线方程是yx，即mxny0，那么双曲线的方程具有以下形式：

nm2x2n2y2k，其中k是一个不为零的常数.

双曲线的方程与渐近线方程的关系

x2y2x2y2b(1）若双曲线方程为221渐近线方程：220yx.

aababxyx2y2b(2)若渐近线方程为yx0双曲线可设为22.

abaabx2y2x2y2(3)若双曲线与221有公共渐近线，可设为22（0，焦点在x轴上，

abab0，焦点在y轴上）.

抛物线 p175

页表格，176页例1、例2、例4

数学模拟试题（文史财经类）

一、选择题（17小题，每小题5分共85分） 1、设集合A={0，3}，B={0，3，4}，C={1，2，3}，则(B∪C)∩A=__________ A、{0,1,2,3,4} B、空集 C、{0,3} D、{0} 2、非零向量a∥b的充要条件___________________

A、 a=b B、 a=-b C、 a=±b D、 存在非零实数k,a=kb 3、二次函数 y=x2+4x+1的最小值是_________________ A、 1 B、 -3 C、 3 D、 -4

3 4、在等差数列{an}中,已知a1=-,a6=1 则__________

2 A、 a3=0 B、 a4=0 C、 a5=0 D、 各项都不为零 5、函数y=x3+2sinx__________

A、 奇函数 B、 偶函数 C、 非奇非偶函数D、 既是奇函数又是偶函数 6、已知抛物线y=x2在点x=2处的切线的斜率为___________ A、 2 B、 3 C、 1 D、 4

7、直线L与直线3x-2y+1=0垂直，则1的斜率为__________ A、3/2 B -3/2 C、 2/3 D、 -2/3

 8、已知a=（3，2）b=(-4,6),则ab=____________ A、4 B、 0 C、-4 D、5

y2x2 9、双曲线-=1的焦距是___________

59 A、4 B、14 C、214 D、8

10、从13名学生中选出2人担任正副班长，不同的选举结果共有（）

A、26 B、78 C、156 D、169 11、若f(x+1)=x2+2x,则f(x)=_________

A、x2-1 B、x2+2x+1 C、x2+2x D、 x2+1

3 12、设tanx=,且cosx<0,则cosx的值是_______

43344 A、- B、 C、 D、-

5555 13、已知向量a,b满足a=4，b=3,=300 则ab= A、3 B、63 C、6 D、12

)的最小正周期________ 42 A、3 B、 C、 D、

33 15、直线2x-y+7=0与圆（x-1）2+(y+1)2=20

A、相离 B、相切 C、相交但直线不过圆心 D、相交且直线过圆心 16、已知二次函数y=x2+ax-2的对称轴方程为x=1,则函数的顶点坐标______

A.（1，-3） B.（1，-1） C.（1，0） D（-1，-3） 17、椭圆9x2+16y2=144的焦距为_______ 14、函数y=sin(3x+

A、10 B、5 C、27 D、14 二、填空题（4小题，每题5分，共20分） 1、函数y=㏒2(6-5x-x2)的定义域____________ 2、不等式3x5<8的解集是_______________

3、已知A（-2，1） B、（2，5），则线段AB的垂直平分线的方程是____________ 4、某篮球队参加全国甲级联赛，任选该队参赛的10场比赛，其得分情况如下：

99，104，87，88，96，94，100，92，108，110，则该队得分的样本方差为______

三、解答题（4小题，共45分）

1、求函数y=x4-2x2+5在区间[-2，2]上最大值和最小值 （10分）

2、设{an}为等差数列，Sn表示它的前n项和，已知对任何正整数n均有

Sn=

a2n6+

3n, 求数列{an}的公差d和首项a1 （10分） 23、已知直线在X轴上的截距为-1，在Y轴上的截距为1，对抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标（2，-8），求直线和抛物线两个交点横坐标的平方和。（12分）

4、设点P是双曲线3x2-y2=3右支上一点，F1、F2、分别是双曲线的左、右焦

点，△PF1F2周长为10，求tan