高考数学第二轮复习 指数函数和对数函数 人教版

知能目标

1. 理解分数指数幂的概念, 掌握有理指数幂的运算性质. 掌握指数函数的概念、图象和性质. 2. 理解对数的概念, 掌握对数的运算性质. 掌握对数函数的概念、图象和性质. 3. 能够运用指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.

综合脉络

1. 以指数函数、对数函数为中心的综合网络

2. 指数式与对数式有如下关系(指数式化为对数式或对数式化为指数式的重要依据):

abNblogaN(a0且a1)

指数函数与对数函数互为反函数, 它们的图象关于直线yx对称, 指数函数与对数函数

的性质见下表:

3. 指数函数,对数函数是高考重点之一

指数函数,对数函数是两类重要的基本初等函数, 高考中既考查双基, 又考查对蕴含其中的函

数思想、等价转化、分类讨论等思想方法的理解与运用. 因此应做到能熟练掌握它们的图象与性

质并能进行一定的综合运用. (一) 典型例题讲解:

exax是R上的奇函数. 例1.设a＞0, f (x)＝

ae(1) 求a的值;

－

(2) 试判断f (x )的反函数f1 (x)的奇偶性与单调性.

2例2. 是否存在实数a, 使函数f (x )＝loga(axx)在区间[2, 4]上是增函数? 如果存在,

说明a可以取哪些值; 如果不存在, 请说明理由.

例3. 已知x满足a2xa6ax2ax4( a0, a1 ), 函数y＝loga1log1(ax) 2axa2的值域为[, 0], 求a的值.

(二) 专题测试与练习: 一. 选择题

1. 设x0且ab1, a,b(0, ), 则a、b的大小关系是 ( )

A. ba1 B. ab1 C. 1ba D. 1ab

2. 如果0a1, 那么下列不等式中正确的是 ( )

32(1a)1 A. (1a)(1a) B. log(1a)(1a) C. (1a)(1a) D. (1a)xx181312

x3. 已知x1是方程xlgx3的一个根, x2是方程x103的一个根, 那么x1x2的值是 ( )

A. 6 B. 3 C. 2 D. 1

4. log2log3log4xlog3log4log2ylog4log2log3z0,则xyz的值为 ( )

A. 50 B. 58 C. 89 D. 111

x5. 当a1时, 在同一坐标系中, 函数ya与ylogax的图象是图中的 ( )

x6. 若函数f(x)与g(x)( )的图象关于直线yx对称, 则f(4x)的单调递增区间是( )

122A. (2, 2] B. [0, ) C. [0, 2) D. (, 0]

二. 填空题

7. 已知225, 则88 .

8. 若函数ylog2x2的反函数定义域为(3, ), 则此函数的定义域为 . 9. 已知yloga(3ax)在[0, 2]上是x的减函数, 则a的取值范围是 . 10.函数f(x)a(a0, a1)在[1, 2]上的最大值比最小值大为 . 三. 解答题

11. 设 0x1 , 试比较|loga(1x)|与|loga(1x)|的大小.

12. 已知函数f(x)2x1的反函数为f(1) 若f11xxxxxa, 则a的值2(x), g(x)log4(3x1).

(x)g(x)，求x的取值范围D;

11(2) 设函数H(x)g(x)f(x)，当xD时, 求函数H(x)的值域.

2

13. 已知常数a1, 变数x、y有关系3logxalogaxlogxy3. (1)若xa ( t0 ), 试以a、t表示y ;

(2)若t在[1, )内变化时, y有最小值8, 求此时a和x的值各为多少?

xx14. 已知函数f(x)923,判断f (x)是否有反函数? 若有, 求出反函数; 若没有, 怎么改变

定义域后就有反函数了?

t[参考答案]

(一) 典型例题

例1 (1) 因为f(x)在R上是奇函数, 所以f(0)01a0a1(a0), axx24(xR)f1(x) (2) f(x)ln21xx24xx24lnf1(x), f1(x)为奇函数. ln221用定义法可证f(x)为单调增函数.

(也可用原函数证明)

例2 设u(x)axx, 对称轴x21. 2a12(1) 当a1时, 2aa1;

u(2)0114(2) 当0a1时, 2a0a. 综上所述: a1

8u(4)0

2x6x2ax4( a0, a1 )(axa2)(axa4)0 例3 由aaax[2, 4]

11321由y＝loga2log1(ax)y(logax)

ax228a211131y[, 0](logax)202logax1, 2x4,

88228① 当a1时, 为logax单调增函数, loga22且loga41

1② 当0a1时, 为logax单调减函数, loga21且loga42a.

2(二) 专题测试与练习

一. 选择题 题号 答案

二. 填空题

7. 110 ; 8. (2, ); 9. (1, ); 10.

1 B 2 A 3 B 4 C 5 A 6 C 3213或. 22三. 解答题

11. 0x101x11x12,

1x21(1x)0, (1x) 1x1x1x1lg|loga(1x)|lg(1x) ||  |1x| 1|loga(1x)||loga(1x)|. |loga(1x)|lg(1x)lg(1x)

xx112. (1)y212y1即xlog2(y1)f(x)log2(x1)(x1)

f1xg(x)log2(x1)log4(3x1)log2(x1)(x1)23x1x10 3x101log2(3x1) 20x1D{x|0x1}

13x13x121(2) H(x)log2 x[0, 3[1, 2]H(x)[0, ] 1], 2x1x1x12

13. (1) xa,3logatalogaalogaty3tt31tlogay3. ttlogayt23t3yat(2) ya33(t)22423t3(t0).

t3[1, ) 233t时, ymin8a4823a16

2x1664.

x2xx2x14. f(x)(3)23(31)1 (30)

令310x0, 所以当310或310时存在反函数, 即x0或x0时(或它的子集)存在反函数,

①当x0时, 即310y1(3x1)23x1xxxx32y1

f1(x)log3(1x1 ), (x1)

②当x0时, 即310y1(3x1)23x1y1

xf1(x)log3(1x1) , (x1)