北京市延庆县2014届高三一模数学(理)试题

高三数学（理科） 2014.3

本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. 若集合A{x|2x10}，B{x|x1}，则AB= A.{,1} B．(1,1) C．[1,] D．(,1) 2. 复数z121212(i1)(i1)在复平面上所对应的点Z位于

i A．实轴上 B．虚轴上 C．第一象限 D．第二象限 3. 设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a23，a611，则S7 A．13 B．35 C．49 D．63 4. 执行右边的程序框图，则输出的S值等于

开始 1111 6711111B. 

56711111 C. 

6710111111 D. 

56710A.

s0,i0.5i1是 否 输出 s结束 ii0.11ss0.1i5. 正三角形ABC中，D是边BC上的点，若AB3,BD1，则ABAD=

A.

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2115139 B． C． D．

22226. 右图是一个几何体的三视图，则该几何体 的体积是

1 1 主视图

2 4 32C. 1 D.

3A. 3 B.

7. 同时具有性质“①最小正周期是，②图像关于x函数”的一个函数是 A.ysin(2 左视图

俯视图

3对称，③在[,]上是增63x) B. ycos(2x)

326C. ysin(2x6) D. ycos(2x6)

8. 对于函数f(x)eaxlnx，(a是实常数),下列结论正确的一个是 A. a1 时, f(x)有极大值，且极大值点x0(,1) B. a2 时, f(x)有极小值，且极小值点x0(0,) C. a12141 时, f(x)有极小值，且极小值点x0(1,2) 2 D. a0 时, f(x)有极大值，且极大值点x0(,0)

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题共6个小题，每小题5分，共30分.

y2x21的一个焦点，则m= . 9．设m是常数，若点F(0,5)是双曲线

m9

10. 圆O的半径为3，P是圆O外一点，PO5,PC是 圆O的切线，C是切点，则PC .

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C A O B P

11. 甲从点O出发先向东行走了3km，又向北行走了1km到达点P，乙从点O出发向

北偏西60方向行走了4km到达点Q，则P,Q两点间的距离为 . 12. 三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有 且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 .

x013. 若A为不等式组y0表示的平面区域，则A的面积为 ；当a的值从

yx2动直线l:xya扫过的A中的那部分区域的面积为 . 2连续变化到1时，

14. 已知条件p: ABC不是等边三角形，给出下列条件：

① ABC的三个内角不全是60 ② ABC的三个内角全不是60 ③ ABC至多有一个内角为60 ④ ABC至少有两个内角不为60

则其中是p的充要条件的是 .（写出所有正确结论的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （本小题满分13分）

C在三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a2，

（Ⅰ）求sinA的值； （Ⅱ）求ABC的面积. 16.（本小题满分14分）

在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD 是正方形，且PAAD2，E，F分别是棱AD,PC的中点. (Ⅰ) 求证:EF//平面PAB； （Ⅱ）求证:EF平面PBC； （Ⅲ）求二面角EPCD的大小.

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4,cosB3. 5P A B

F

D

C E 17. （本小题满分13分）

对甲、乙两名篮球运动员分别在100场比赛中的得 分情况进行统计，做出甲的得分频率分布直方图如右， 列出乙的得分统计表如下：

分值

场数

(Ⅰ) 估计甲在一场比赛中得分不低于20分的概率；

（Ⅱ）判断甲、乙两名运动员哪个成绩更稳定；（结论不要求证明）

（Ⅲ）在乙所进行的100场比赛中，按表格中各分值区间的场数分布采用分层抽样法取出10场比赛，再从这10场比赛中随机选出2场作进一步分析，记这2场比赛中得分不低于30分的场数为，求的分布列.

18. （本小题满分13分）

已知函数f(x)x33axb，(a,bR). (Ⅰ) 求f(x)的单调区间；

（Ⅱ）曲线yf(x)在x0处的切线方程为3axy2a0，且yf(x)与x轴有且只有一个公共点，求a的取值范围.

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频率/组距 0.048 0.024 0.020 0.008 [ 0 , 10 ) [1 0 , 20 ) 10 20 [ 20 , 30 ) 40 [ 30 , 40 ) 30 0 10 20 30 40 得分

19. （本小题满分14分）

x2y2已知直线x2y20经过椭圆C:221(ab0)的左顶点A和上顶点

abD，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆上位于x轴上方的

动点，直线AS,BS与直线l:x4分别交于M,N两点.

(Ⅰ) 求椭圆C的方程；

（Ⅱ）求线段MN的长度的最小值.

20. （本小题满分13分）

A D O Y S B l M x N 对于项数为m的有穷数列{an}，记bkm即bk为a1,a2,,akax{a1,a2,,ak}，中的最大值，并称数列{bn}是{an}的“控制数列”，如1,3,2,5,5的控制数列为1,3,3,5,5. (Ⅰ) 若各项均为正整数的数列{an}的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的{an}； (Ⅱ) 设{bn}是{an}的控制数列，满足akbmk1C(C为常数k1,2,,m）， 求证：bkak；

1(Ⅲ) 设m100，常数a(,1)，若anan2(1)2n(n1)2n，{bn}是{an}的

控制数列，求(b1a1)(b2a2)(b100a100)的值.

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延庆县2013—2014学年度一模统一考试

高三数学（理科答案） 2014年3月

一、选择题：(5840)

D B C C B A C C

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9.16 10.4 11.27 12.三、解答题：(5630) 15. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）cosB72 13.2 ； 14.①③④

4334， sinB „„„„1分

55 sinAsin(BC) „„„„2分 sinBcosCcosBsinC „„„„4分 （Ⅱ）423272 „„„„6分 525210ba „„„„8分 sinBsinAb2472， 510b82 „„„„10分 71absinC， „„„„11分 2 SABC1822 2272 8 „„„„„„13分 7高三数学（理科）第 6 页（共5页）

16.（本小题满分14分）

(Ⅰ)证明：设G是PB的中点,连接AG,GF

∵E,F分别是AD,PC的中点, ∴GF//11BC, AE//BC 22∴GF//AE，∴AEFG是平行四边形，∴EF//AG „„„2分 ∵EF平面PABAG平面PAB,

∴EF//平面PAB „„„3分 （Ⅱ）∵PAAB, ∴AGPB, „„„4分

∵PAABCD, ∴PABC, 又∵BCAB, ∴BC平面PAB,

∴BCAG, „„„6分 ∵PB与BC相交, ∴AG平面PBC,

∴EF平面PBC. „„„7分 (Ⅲ) 以AB,AD,AP分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Axyz， „„„8分

∵PAAD2, ∴E(0,1,0)，C(2,2,0)，P(0,0,2)，F(1,1,1) 设H是PD的中点,连接AH∵AG平面PBC,

∴同理可证AH平面PCD,∴AH是平面PCD的法向量， AH(0,1,1) „„„9分 EC(2,1,0),EP(0,1,2)

设平面PEC的法向量m(x,y,z)，则mEC0, ∴2xy0,mEP0

y2z0令y2，则x1,z1

∴m(1,2,1) „„„12分

m·AH33 ∴cosm,AH. „„„13分 262|m||AH| ∴二面角EPCD的大小为30 „„„14分

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17. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）0.72

„„„2分

„„„5分

（Ⅱ）甲更稳定，

(Ⅲ)按照分层抽样法,在[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),

内抽出的比赛场数分别 为1,2,4,3, „„„6分 的取值为0,1,2，

„„„7分

2C7217 P(0)2， „„„9分

C10451511C7C3217 P(1)， „„„10分 24515C10C3231 P(2)2 , „„„11分

C104515 的分布列为：

 P 0 1 2 7 157 151 15

„„„13分 18. （本小题满分13分）

解： (Ⅰ)f(x)3x3a， „„„1分 (1) 当a0时，f(x)0恒成立，此时f(x)在(,)上是增函数，„2分 （2）当a0时，令f(x)0，得xa；

令f(x)0，得xa或x2a

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令f(x)0，得axa

∴f(x)在(,a)和(a,)上是增函数，

在[a,a]上是减函数. „„„5 分 （Ⅱ）∵f(0)3a， f(0)b，

∴曲线yf(x)在x0处的切线方程为yb3ax， 即3axyb0，

∴b2a，

∴f(x)x33ax2a „„„7 分 由(Ⅰ)知，

（1）当a0时，f(x)在区间(,)单调递增，所以题设成立„„„8 分 （2）当a0时，f(x)在xa处达到极大值，在xa处达到极小值，

此时题设成立等价条件是f(a)0或f(a)0， 即：(a)33a(a)2a0或(a)33a(a)2a0

即：aa3aa2a0或aa3aa2a0 „„„11 分 解得：0a1 „„„12 分 由（1）（2）可知a的取值范围是(,1). „„„13分 19. （本小题满分14分）

x2y21. „„„3分 解：(Ⅰ).椭圆 C的方程为4（Ⅱ）直线AS的斜率k显然存在，且k0，

故可设直线AS的方程为yk(x2)， „„„4分

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从而M(4,6k) „„„5分

yk(x2)2222由x2得(14k)x16kx16k40， „„„7分 2y1416k2428k2设S(x1,y1)，则(2)x1， 得x1， „„„8分 2214k14k4k28k24kS(,)， „„„9分 从而y1，即

14k214k214k2又B(2,0)，故直线BS的方程为y1(x2) „„„10分 4k1x41y(x2)由得4k1∴N(4,)， „„„11分

2kyx42k故|MN|6k1， „„„12分 2k又∵k0， ∴|MN|6k1126k23， „„„13分 2k2k当且仅当6k13，即k时等号成立， 2k6∴k3时，线段MN的长度取得最小值为23. …………14分 620. （本小题满分13分）

（1）数列{an}为：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3；

2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5. ……3分 （2）因为bkmax{a1,a2,,ak}，bk1max{a1,a2,,ak,ak1}， 所以bk1bk. ……4分

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因为akbmk1C，ak1bmkC，

所以ak1akbmk1bmk0，即ak1ak. ……6分 因此，bkak. ……8分

（3）对k1,2,,25，a4k3a(4k3)2(4k3)；

a4k2a(4k2)2(4k2)；

a4k1a(4k1)2(4k1)；a4ka(4k)2(4k).

比较大小，可得a4k2a4k3.

因为1a1，所以a4k1a4k2(a1)(8k3)0，即a4k2a4k1； 2 a4ka4k22(2a1)(4k1)0，即a4ka4k2. 又a4k1a4k，

从而b4k3a4k3，b4k2a4k2，b4k1a4k2，b4ka4k.

因此(b1a1)(b2a2)(b100a100)

=(b3a3)(b7a7)(b10a10)(b4k1a4k1)(b99a99)

=(a2a3)(a6a7)(a9a10)(a4k2a4k1)(a98a99)

=

(ak12k2(1a). „„„13分 a4k1)=(1a)(8k3)=2525k125高三数学（理科）第 11 页（共5页）