第１０卷第１期呼伦贝尔学院学报Ｎｏ．１ｖ０１．１０翌旦！￡！笪望！！！！！！堡塞！！！！！！！！堕三！！：！！！；谈关于复合函数的几个问题郑文晶呼伦贝尔学院商贸分院海拉尔市０２ｌ００８摘要：本文从复合函数的定义．定义域．值域．单调性的求法进行了讲解关键词：定义域值域单调区阊复合函数是高中教学中常见的而课车中又没讲的一种很重要的函数．为了更好地让复合函数，我们知道内层函数的值域Ｒ。与外层函数的定义域Ｄｒ一般有如下关系：学生理解和掌握复合函数提高解决问题的能力．现将这部分知识内容加以总结归纳．介绍如下：一、复合函数的定义由两个或两个以上的函数用。对应关系传递”的方法能生成更多的新函数．例如．函数Ｚ＝ｌｎｙ与ｙ—ｘ—ｌ构成新函数ｚ＝ｌｎ（ｘ一１），在这里．ｚ是ｙ的函数．ｙ又是ｘ的函数．于是．通过“媒介”ｙ得到ｚ是ｘ的函数．为了Ｒ。ｎＤｒ一妒．Ｒ。ｎＲｃ二：＝Ｒ。．Ｒ。ｎＤｆ—Ｄｆ［Ｒｇ，Ｒ。ｎＤｔ≠一甲且Ｒ。与Ｄｔ无包含关系，由干函数的定义域是非空数集．故当且仅当Ｒ。ｎＤｆ土午时．ｆ【。Ｊ）与ｇ（ｘ）才能复合成复合函数ｆ：ｇ（ｘ）｝，其中复合函数ｙ一“ｇ（ｘ））的定义域就是Ｒ。ｎＤｒ在Ｄ。中的原象集合．记作Ｍ；复合函数的值域就是ＲｇｎＤｆ在Ｒ．中的象的集合。如图所示：Ｍ使函数ｚ＝Ｉｎｙ有意义．必须要求ｙ＞ｏ．为了使函数ｙ＝ｘ—ｌ＞ｏ．必须要求ｘ＞１．仅对函数ｙ＝ｘ一１来说．ｘ可取任意实数．但是．对构成的新函数ｚ一１ｎ（ｘ—１）来说．必须要求ｘ＞ｌ。下面给出定义如下。定义：如果ｙ是ｕ的函数，而ｕ又是ｘ的函数，即ｙ＝“ｕ），ｕ＝ｇ（ｘ）．如果ｘ所对应的Ｒｇ＋—＝一Ｄｇ如用ｕ＝（ｘ一１）：＋３为内层函数．ｖ＝ａｒｃｓｉｎｕ为外层函数得ｙ—ａｒｃｓｉｎｘ！（ｘ十３是不存在的。二、确定函数定义域１、求复合函数的定义域前面已讲到求复合函数ｙ—ｆ｛ｇ（ｘ））定义１）’｝“值使ｙ—ｆ（ｕ）有意义，那么ｙ是关于ｘ的函数ｙ＝“ｇ（ｘ）｝一ｑ馓函数ｆ和ｇ的复合函数，ｕ为中间变量。对于定义中：“ｘ所对应的ｕ值使ｙ—ｆ（ｕ）有意义”。为了解释这句话的意思，一般地设：域就是求内层函数ｕ—ｇ（ｘ）的值域与外层函数ｙ一“ｕ）定义或交集的原象，其方法是满足ｕ∈Ｄｒ（外层定义域）的不等式求出相应的ｘｕ＝ｇ（ｘ），定义域Ｄ。．值域Ｒ；…·一预作内层函数；ｙ—ｆ（ｕ），定义域Ｄｆ，值域Ｒ，……预作外层函数；ｙ＝“ｇ（ｘ））定义域Ｍ，值蛾Ｇ……ｊ７值的集合，例１求函数ｙ—ｌｎ：ｃ。ｓ（１９ｘ）｝的定义域万方数据 解：此函数是由ｙ＝ｌｎｕ，ｕ＝ｃｏｓｕ，ｕ＝ｌｇｘ复合而成的函数。外层ｙ—ｌｎｕ辛ｕ＞Ｏ，由层ｕ—ｃｏｓｕ辛一１么ｕ≤１因此，Ｏ＜ｕ＜１．‘．Ｏ＜ｃｏｓｕ≤１７．２ｈ一吾＜ｅ＜吾＋ｚｈ，ｋ∈Ｎ次内层ｕ—ｌｇ。＇．．．２ｈ一罢＜ｌｇｘ＜要＋２ｈ，ｋ∈Ｎ．·．１０ｚｂ；＜ｘ＜１０号托ｈ即为所求定义域。２、由已知函数的定义域求复合函数例２巳知函数ｙ＝ｆ（ｘ）的定义域为（１，＋ｏ。），求函数ｙ＝ｆ（３叫）的定义域解：由题设知３１＞１的解集７．一ｘ＞ｏ，．‘．ｘ＜０．’．函数ｙ—ｆ（３一）的定义域为ｘ∈（一。。．０）注；已知“ｘ）的定义域为Ｄ．求ｆ｛譬（ｘ））的定义域时，可令ｇ（ｘ）∈Ｄ，解得ｘ的范围即为ｆ｛ｇ（ｘ））的定义域。３、已知复台函数的定义域求原函数的定义域例３已知函数ｙ一“３ｘ一１）的定义域是［１，３］求ｆ（ｘ）的定义域。解：函数ｙ—ｆ（３ｘ一¨是由ｙ一“ｕ），ｕ一３ｘ一１复合而成的．‘．１≤ｘ≤３，３≤３ｘ≤９．＋．２≤３ｘ一１≤８．‘．ｙ—ｆ（３ｘ—１）的定义域是［２．８］注；若已知ｆ；ｇ（ｘ）｝的定义域为Ｄ，求ｆ（ｘ）的定义域可先由ｘ∈Ｄ对，求出ｇ（ｘ）的范围．即为“ｘ）的定义域。三，求复合函数的值域侧４函数ｙ—ｌｏｇ！（ｘ？一６ｘ＋１７）解：函数ｙ—ｌ。ｇ寺（ｘ！～６ｘ—ｌ７）的值域是由ｙ＝ｌｏｇ妻ｕ，ｕ—ｘ２—６ｘ＋１７＝（ｘ一３）２＋８复合而成的．显然ｕ≥８．不等武两边取以÷为底的对数得：Ｉ。ｇ；ｕ≤；８一一３，故函数ｙ—Ｉｏｇ｛ｆｘ二一６ｘ＋１７）的值域为ｙ≤一３。例５求ｙ＝２ｘ一７＋ｖ／５一Ｘ的值域。解：复合函数的定义域是ｘ∈（一。。，５］令ｖ百二ｉ＝ｔ≥ｏ．．．．ｘ一５一ｔ：．’．ｙ一２（５～万 方数据ｔ２）一７＋ｔ一２卧ｔ＋３—２（ｔ一｛）２＋譬．．．ｔ≥¨．当ｔ一｛时，ｙ一＝警，·ｔ∈［ｏ，十∞）时，ｙ∈（一。。，警］，故所求值域为（一。。，譬］注：通过换元法将一个函数转化为标准的复合函数是求函数值域的一个重要方法，而更重要的是“转化”的观点，这里换元仅便是转亿的一个方法，下面例６将部分分式变形也是转化的一个方法。例６求函数ｙ＝———＝＝兰＝＝＝的值３一／一ｘ２—２ｘ＋１５域。解：该函数的定义域由下列不等式组确定‘一解得‘一Ｉ—ｘ２—２ｘ＋１５≥ｏｆ—ｊ≤ｘ≤３【３～ｖ，一ｘ。～２ｘ＋１５毫０【ｘ＃一ｌ土ｖ，７．’．ｕ＝一ｘ２—２ｘ＋１５≤１６且ｕ≥Ｏ即ｖ，ｕ∈（Ｏ，４）又ｘ±一１土／７．’．ｖ／ｕ∈［０，３）Ｕ（３，４］．’．一／ｉ∈（一３．０］Ｕ［一。ｉ．３）．’．３一厂丁∈（ｏ．３］Ｕ（～１，ｏ］，．‘．——≮∈（÷．＋。。）Ｕ（～。。，～１）。所求值域为［÷，＋。。）Ｕｆ一∞．一１］，通过上进佣题可知求有关复合函数值域问题的方法是：（１）如果已知函数是标准的复合函数ｙ＝“ｇ（甲（ｘ））｝。首先确定这个函数的定义域．然后由定义域求出内函数ｔ聋午（ｘ）的值域；再由ｔ＝甲（ｘ）的值域求出内函数ｕ—ｇ（ｔ）的值域；最后由ｕ—ｇ（ｔ）的值域求出外函数ｙ—ｆ（ｕ）的值域即所求复合函数的值域。（２）如果己知函数不是标准的复合函数，可考虑通过等价变形将其转化为复合函数。如果可行再接（１）中的方法完成。其转化方法有换元法、部分分武法等等。四、复合函数的单调性判断一个复台函数在某一区间上的单调性或求出一个复合函数的单调区间主要根据下面定理：ｙ＝２ｍ２十５‘“是由ｙ＝２ｕ，ｕ＝ｌ３ｘ２＋５ｘ一２｝复合而成的，先作出内层函数ｙ＝１３ｘ２＋５ｘ一２ｌ一函数ｕ＝ｇ（ｘ）在Ｍ上有定义，且ｕ∈Ｎ；ｙ＝“ｕ）在Ｎ上有定义（１）如果ｇ（ｘ）在Ｍ上递增，ｆ（ｕ）在Ｎ上也递增，那么ｆ（ｇ（ｘ））在Ｍ上递增；（２）如果ｇ（ｘ）在Ｍ上递减，ｆ（ｕ）在Ｎ上也递减，那么ｆ（ｇ（ｘ））在Ｍ上递减；（３）如果ｇ（ｘ）在Ｍ上递减，“ｕ）在Ｎ上也递增，那么ｆ（ｇ（ｘ））在Ｍ上递减；（４）如果ｇ（ｘ）在Ｍ上递减，ｆ（ｕ）在Ｎ上也递减，那么“ｇ（ｘ））在Ｍ上递增。对（２）证明如下：任取ｘ、＜ｘ２∈Ｍ．又ｇ（ｘ）在Ｍ上递增。．’．ｇ（ｘ１）＜ｇ（ｘ２）ｔ且ｇ（ｘＬ），ｇ（ｘ。），∈Ｎ。又ｅ‘ｕ）在Ｎ上递减‘Ｉ‘｝Ⅵ芍４”滓’，古７Ｘ由图象可知当ｘ∈（～。。，一２］时，ｕ—ｌ３ｘ２＋５ｘ一２Ｊ是减函数，ｙ一２“是增函数，由上述定理知函数ｙ＝２”。¨一在（一。。，一２］上是减函数。同理，当ｘ∈（一２．一姜）时是增函数；ｘ∈（一丢，｛］时减函数；ｘ∈（｛，＋。。）时ｂＪ５．‘．ｆ［ｇ（ｘ－）］＞ｆ［ｇ（ｘ２）］，．。．ｆ［ｇ（ｘ）］在Ｍ上递减。对初学者来说．束复台函数的单调区间最后能密切结合内、外函数各自的图象，首是增函数，．函数ｙ一２“‘～…’的单调区间是在（一。。，一２］，［一÷，÷］上是减区间；在（一２，一导），（÷上。。）上是增区间。注：上进定理可推广到有限个简单函数复台而成的复合函数。若在所讨论的函数，当其中减函数的个数是偶数时．则复合函数是增函数；当减函数的个数为奇数时．则复合函数是减函数。先找出在定义上的内函数的单调区间，并求出内函数在相应单诵区问上的值域；然后再根据在此值域上外函数的单调确定复合函数的单调性。例７求函数ｖ＝２弧”＋“一的单调区间。解：首先确定ｙ＝２”。¨Ｐ。的定义域．ｘ∈Ｒｔ上接第６｛页）为他们斟酒。席间，俄罗斯人喜欢边吃边喝、边谈、边唱、边跳，而不习惯互相让菜。他们吃饭比较实在，不是为了摆样子，沾一沾就算，而是尽量把饭菜全部吃光。是对方发出的邀请。根据他们的习质，邀请入必须明确指出时间、地点。反过来，去别人家拜访也要先打招呼，约定好时间、地点。还有一种中国式的告别，即“请走好”，“慢走”等。六、告别语：“再见”是两种语言中都喜欢使用的告别语。而俄罗斯人说的“常来玩儿”（丌ｐｌｌｘ。且儿Ｔｅ这在俄语中是没有的。毗上是我在多年从事外贸工作中，总结出的中俄两个不同民族在语言交际中的民族文化差异。ＬＬｌｅ）这种以邀请代替告别的话，往往是客套话，不一定是真正的邀请。切不可将此误认为５９万方数据 谈关于复合函数的几个问题
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
郑文晶
呼伦贝尔学院商贸分院,海拉尔市,021008呼伦贝尔学院学报
JOURNAL OF HULUNBEIR COLLEGE2002(1)
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