1990考研数三真题及解析

1990年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题

一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.) (1) 极限lim(n3nnn)_________.

n(2) 设函数f(x)有连续的导函数,f(0)0,f(0)b,若函数

f(x)asinx,x0, F(x)xA,x0在x0处连续,则常数A=___________.

(3) 曲线yx2与直线yx2所围成的平面图形的面积为_________.

x1x2a1,xxa,232(4) 若线性方程组有解,则常数a1,a2,a3,a4应满足条件________.

xxa,334x4x1a480(5) 一射手对同一目标地进行四次射击,若至少命中一次的概率为,则该射手的命

81中率为________. 二、选择题(本题满分15分,每小题3分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设函数f(x)xtanxesinx,则f(x)是 ( )

(A) 偶函数 (B) 无界函数 (C) 周期函数 (D) 单调函数 (2) 设函数f(x)对任意x均满足等式f(1x)af(x),且有f(0)b,其中a,b为非零常

数,则 ( ) (A) f(x)在x1处不可导 (B) f(x)在x1处可导,且f(1)a (C) f(x)在x1处可导,且f(1)b (D) f(x)在x1处可导,且f(1)ab (3) 向量组1,2,(A) 1,2,(B) 1,2,(C) 1,2,,s线性无关的充分条件是 ( ) ,s均不为零向量

,s中任意两个向量的分量不成比例

,s中任意一个向量均不能由其余s1个向量线性表示

Born to win

(D) 1,2,,s中有一部分向量线性无关

(4) 设A,B为两随机事件,且BA,则下列式子正确的是 ( )

(A) PABPA (B) PABPA

(C) PBAPB (D) PBAP(B)PA (5) 设随机变量X和Y相互,其概率分布为

m -1 1 m PYm -1 1 PXm

11 2211 22则下列式子正确的是 ( ) (A) XY (B) PXY0 (C) PXY1 (D) PXY1 2

三、计算题(本题满分20分,每小题5分.) (1) 求函数I(x)(2) 计算二重积分

域.

xelntdt在区间[e,e2]上的最大值. 2t2t12y22Dxedxdy,其中是曲线和在第一象限所围成的区y4xy9xD(x3)n(3) 求级数的收敛域. 2nn1(4) 求微分方程yycosx(lnx)esinx的通解.

四、(本题满分9分)

某公司可通过电台及报纸两种形式做销售某种商品的广告,根据统计资料,销售收入

R(万元)与电台广告费用x1(万元)及报纸广告费用x2(万元)之间的关系有如下经验公式:

2R1514x132x28x1x22x1210x2.

(1) 在广告费用不限的情况下,求最优广告策略；

(2) 若提供的广告费用为1.5万元,求相应的最优广告策略.

五、(本题满分6分)

设f(x)在闭区间[0,c]上连续,其导数f(x)在开区间(0,c)内存在且单调减少；

Born to win

f(0)0,试应用拉格朗日中值定理证明不等式:f(ab)f(a)f(b),其中常数a、b满足条件0ababc.

六、(本题满分8分)

已知线性方程组

x1x2x3x4x5a,3x2xxx3x0,12345 x2x2x6xb,34525x14x23x33x4x52,(1) a、b为何值时,方程组有解?

(2) 方程组有解时,求出方程组的导出组的一个基础解系； (3) 方程组有解时,求出方程组的全部解.

七、(本题满分5分)

已知对于n阶方阵A,存在自然数k,使得A0,试证明矩阵EA可逆,并写出其逆矩阵的表达式(E为n阶单位阵).

八、(本题满分6分)

设A是n阶矩阵,1和2是A的两个不同的特征值,X1,X2是分别属于1和2的特征向量.试证明X1X2不是A的特征向量.

九、(本题满分4分)

从0,1,2,k,9十个数字中任意选出三个不同数字,试求下列事件的概率：

A1{三个数字中不含0和5}；A2{三个数字中不含0或5}.

十、(本题满分5分)

一电子仪器由两个部件构成,以X和Y分别表示两个部件的寿命(单位:千小时),已知X和Y的联合分布函数为:

1-e0.5xe0.5ye0.5(xy),若x0,y0, F(x,y)0,其他.(1) 问X和Y是否?

(2) 求两个部件的寿命都超过100小时的概率.

十一、(本题满分7分)

某地抽样调查结果表明,考生的外语成绩(百分制)近似服从正态分布,平均成绩为72 分,96分以上的占考生总数的2.3%,试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率.

Born to win

[附表] x 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 (x) 0.500 0.692 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 表中(x)是标准正态分布函数.

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1990年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析

一、填空题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】2

【解析】对原式进行分子有理化,分子分母同乘以有理化因子n3nnn. lim(nn3nnn(n3nnn)(n3nnn))lim

n1n3nnnlimn3nnnn3nnn, n再分子分母同时除以n,有

原式limn41311nn.

因为limn4a2. 0,其中a为常数,所以原式11n(2)【答案】ba

【解析】由于F(x)在x0处连续,故AF(0)limF(x).

x00limF(x)为“”型的极限未定式,又f(x)在点0处导数存在,所以 x00f(x)asinxf(x)acosxAlimlimba.

x0x0x1【相关知识点】函数yf(x)在点x0连续：设函数yf(x)在点x0的某一邻域内有定义,如果limf(x)f(x0),则称函数f(x)在点x0连续. xx0(3)【答案】41 22y 【解析】先解出两条曲线在平面的交点,即令xx2, 解得x1和x2,故所围成的平面图形如右图所示: 所求面积为 Sx2xdx

2122111x22xx34.

3122(4)【答案】a1a2a3a40

1O 2 x Born to win

【解析】由于方程组有解r(A)r(A),对A作初等行变换, 第一行乘以1加到第四行上,有

1001100a110110 a2011a30001 a40a1 110a2, 011a3101a1a4 100第二行加到第四行上,再第三行乘以1加到第四行上,有

10001a11100110aa21102. a3a301111011a1a2a40a1a2a3a400a1为使r(A)r(A),常数a1,a2,a3,a4应满足条件:a1a2a3a40.

【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：

设A是mn矩阵,线性方程组Axb有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵AAb的秩,即是r(A)r(A)(或者说,b可由A的列向量1,2,亦等同于1,2,,n线表出,

,n与1,2,,n,b是等价向量组).

设A是mn矩阵,线性方程组Axb,则 （1） 有唯一解  r(A)r(A)n. （2） 有无穷多解  r(A)r(A)n.

（3） 无解  r(A)1r(A).b不能由A的列向量1,2,(5)【答案】

,n线表出.

2 380的二项分81【解析】这是一个四重伯努利试验概率模型,设试验的成功率即射手的命中率为p,则进行四次的射击, 设事件Y为“射手命中目标的次数”,Y服从参数n4,p4布,由二项分布的概率公式,事件“四次均不中”的概率为(1p),它是至少命中一次的对立事件.依题意

(1p)4180121pp. 8133本题的另一种分析方法是用随机变量X表示地进行射击中命中目标的次数,p表

Born to win

示一次射击的命中率,则XB(4,p),依题意

PX01PXkk141, 81即(1p)412p. 813【相关知识点】二项分布的概率公式：

kk若YB(n,p),则PYkCnp(1p)nk,k0,1,,n.

二、选择题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】(B)

【解析】由于limxesinxx2tanx,所以, e,而limx22limxtanxesinx,故f(x)无界.

x2或考察f(x)在xn2n4(n1,2,)的函数值,有limf(xn)limxnenn22,可见

f(x)是无界函数.应选(B).

以下证明其他结论均不正确.

sin4sin4由fe,知(A)不正确； fe4444由f0,f40,而f00,知(D)不正确. 4证明(C)不正确可用反证法. 设gxtanxesinx,于是gx的定义域为Dx|xk,k0,1,2,,2且gx的全部零点为xnn,n0,1,2,有

.若fxxgx以TT0为周期,则

xTgxTxgx,xD.

令x0,有TgT0,即gT0.从而Tk,其中k为某一正数.于是2k也是

xgx的周期.代入即得,对xD有

Born to win

x2kgx2kx2kgxxgx.

这表明2kgx0在xD上成立,于是gx0在xD上成立,导致了矛盾. 故

fxxgx不可能是周期函数.

【相关知识点】极限的四则运算法则:

若limf(x)A,limg(x)B,则有 limf(x)g(x)AB.

xx0xx0xx0(2)【答案】(D)

【解析】通过变量代换tx1或按定义由关系式f(1x)af(x)将f(x)在x1的可导性与f(x)在x0的可导性联系起来.

令tx1,则f(t)af(t1).由复合函数可导性及求导法则,知f(t)在t1可导,且

f(t)t1af(t1)(t1)t1af(0)ab,

因此,应选(D).

【相关知识点】复合函数求导法则:如果ug(x)在点x可导,而yf(x)在点ug(x)可导,则复合函数yfg(x)在点x可导,且其导数为

dydydyduf(u)g(x) 或 . dxdxdudx(3)【答案】(C)

【解析】本题考查线性无关的概念与理论,以及充分必要性条件的概念.

(A)(B)(D)均是必要条件,并非充分条件.也就是说,向量组1,2,,s线性无关,可以

,s推导出(A)(B)(D)选项,但是不能由(A)(B)(D)选项中的任意一个推导出向量组1,2,线性无关.

例如:(1,0),(0,1),(1,1)显然有(1,0)(0,1)(1,1)(0,0),该向量组线性相关.但(A)(B)(D)均成立.

根据“1,2,,s线性相关的充分必要条件是存在某i(i1,2,,s)可以由

1,i1,i1,,s线性表出.”或由“1,2,,s线性无关的充分必要条件是任意一个i(i1,2,,s)均不能由1,i1,i1,,s线性表出.”故选(C).

(4)【答案】A

【解析】由于BA,所以ABA,于是有PABPA.故本题选A.

Born to win

对于B选项,因为BA,所以事件B发生,则事件A必然发生,所以PABPB,而不是PABPA,故B错.

对于C选项,因为BA,由条件概率公式PBA件时,才会有PBAPB；所以C错.

对于D选项,因为BA,所以事件B发生事件A不发生是个不可能事件,故

P(AB),当B,A是相互的事P(A)PBA0,所以(D)错.

(5)【答案】(C)

【解析】由离散型随机变量概率的定义,有

PXYPX1,Y1PX1,Y1

PX1}P{Y1PX1}P{Y1

11111. 22222故本题选(C).而(B)、(D)选项是错误的.

对于(A)选项,题目中只说了随机变量X和Y相互,且他们的概率分布相同,但是二者是不同的事件,并不能说事件X与事件Y是同一事件.故(A)错.

三、计算题(本题满分20分,每小题5分.) (1)【解析】在x[e,e]上,I(x)2lnxlnx2I(x),故函数在[e,e]上单022x2x1x1调增加,最大值为I(e).

由

2dxd(1x)1d,有 22(1x)(1x)(1x)I(e)2e2e1dtlntd 2et1t1e2e22lntee2lntdtlnt11()dt

ett1et1et1t1tee2212ln(e1)2ln(e1)1 2e1e11e1ln. e1e【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：

Born to win

若F(t)(t)(t)f(x)dx,(t),(t)均一阶可导,则

F(t)(t)f(t)(t)f(t).

2.假定uu(x)与vv(x)均具有连续的导函数,则

uvdxuvuvdx, 或者 udvuvvdu.

(2)【解析】区域D是无界函数,设

yyDbD0yb{x,y0yb,x},

32不难发现,当b时有DbD,从而

y y9x2 y4x2xeDy2dxdylimbxeDby2dxdylimb0bey2dyy2y3xdx

O x

b1211lim(yy)eydy 2b049bb255y22limyedy ty limetdt 72b0144b0255lim(1eb).

b1441441(3)【解析】因系数an2(n1,2,),故

n1n1an1n2limlimlim1, 2nann1n1n2n这样,幂级数的收敛半径R211.因此当1x31,,即2x4时级数绝对收敛.

11当x2时,得交错级数(1)2；当x4时,得正项级数2,二者都收敛,于是原级

nn1n1nn数的收敛域为[2,4].

an1n【相关知识点】1.求收敛半径的方法：如果lim,其中an,an1是幂级数anx的

nan0n相邻两项的系数,则这幂级数的收敛半径

Born to win

1, 0,R, 0,

0, .2.交错级数的莱布尼茨判别法：设交错级数(1)unun1,n1,2,(1)n1n1un满足：

; (2)limun0.

n则

(1)n1n1un收敛,且其和满足0(1)n1unu1,余项rnun1.

n13．p级数：

1当p1时收敛；当p1时发散. pnn1(4)【解析】方法1:所给方程为一阶线性微分方程,可直接利用通解公式求解.

cosxdxsinxcosxdxdxC yeelnxeesinx[xlnxxC]. esinxlnxdxC方法2: 用函数eP(x)dxecosxdxesinx同乘方程两端,构造成全微分方程.

方程两端同乘esinx,得esinxyyesinxcosx(yesinx)(yesinx)lnx,再积分一次得

yesinxClnxdxCxlnxx.

最后,再用esinx同乘上式两端即得通解yesinx[xlnxxC].

【相关知识点】一阶线性非齐次方程yP(x)yQ(x)的通解为

P(x)dxP(x)dxdxC, 其中C为任意常数. Q(x)e ye

四、(本题满分9分)

【解析】(1)利润为销售收入减去成本,所以利润函数为

21514x132x28x1x22x1210x2(x1x2)

1513x131x28x1x22x110x2.

22由多元函数极值点的必要条件,有

Born to win

x4x18x2130,1x10.75,x21.25. 8x120x2310,x2因驻点惟一,且实际问题必有最大值,故投入电台广告费用0.75万元,报纸广告费用1.25万

元可获最大利润.

(2)若广告费用为1.5万元,则应当求利润函数(与(1)中解析式相同)

21513x131x28x1x22x1210x2,

在x1x21.5时的条件最大值.拉格朗日函数为

2L(x1,x2,)1513x131x28x1x22x1210x2(x1x21.5),

Lx4x18x2130,1L由 8x120x2310,

x2Lx1x21.50x10,x21.5.

因驻点惟一,且实际问题必有最大值,故应将广告费1.5万元全部用于报纸广告,可使利润最大.

【相关知识点】拉格朗日乘数法:

要找函数zf(x,y)在附加条件(x,y)0下的可能极值点,可以先作拉格朗日函数

L(x,y)f(x,y)(x,y),

其中为参数.求其对x与y的一阶偏导数,并使之为零,然后与附加条件联立起来：

fx(x,y)x(x,y)0,fy(x,y)y(x,y)0, (x,y)0.由这方程组解出x,y及,这样得到的(x,y)就是函数f(x,y)在附加条件(x,y)0下的可能极值点.

五、(本题满分6分)

【解析】方法1:当a0时,f(ab)f(b)f(a)f(b),即不等式成立； 若a0,因为

Born to win

f(ab)f(a)f(b)f(0) [f(ab)f(b)][f(a)f(0)]f(2)af(1)aa[f(2)f(1)],其中01ab2ab.又f(x)单调减少,故f(2)f(1).从而有

f(ab)f(a)f(b)f(0)0,即f(ab)f(a)f(b).

方法2:构造辅助函数,将式子移到不等式右边,再将b视为变量x,得辅助函数 令F(x)f(x)f(a)f(ax),x[0,b],由于f(0)0,所以F(0)0,又因为

F(x)f(x)f(ax),且a0,f(x)在(0,b)单调减少,所以F(x)0,于是F(x)在[0,b]上单调递增,故F(b)F(0)0,即

f(ab)f(a)f(b),其中0ababc.

【相关知识点】拉格朗日中值定理：

如果函数f(x)满足在闭区间[a,b]上连续；在开区间a,b内可导,那么在a,b内至少有一点(ab),使等式f(b)f(a)f()(ba)成立.

六、(本题满分8分)

【解析】本题中,方程组有解r(A)r(A).(相关定理见第一题(4))

对增广矩阵作初等行变换,第一行乘以3、5分别加到第二、四行上,有

13051214112311132631a11111012260b01226201226a3a, b25a第二行乘以1、1分别加到第三、四行上,第二行再自乘1,有

111111226a3a. b3a22a(1) 当b3a0且22a0,即a1,b3时方程组有解. (2) 当a1,b3时,方程组的同解方程组是

Born to win

x1x2x3x4x51, x2x2x6x3,3452由nr(A)523,即解空间的维数为3.取自变量为x3,x4,x5,则导出组的基础解系为

1(1,2,1,0,0)T,2(1,2,0,1,0)T,3(5,6,0,0,1)T.

(3) 令x3x4x50,得方程组的特解为(2,3,0,0,0)T.因此,方程组的所有解是

k11k22k33,其中k1,k2,k3为任意常数.

【相关知识点】若1、2是对应齐次线性方程组Ax0的基础解系,则Axb的通解形式为k11k22,其中1,2是Ax0的基础解系,是Axb的一个特解.

七、(本题满分5分)

【解析】若A、B是n阶矩阵,且ABE,则必有BAE.于是按可逆的定义知AB.

如果对特征值熟悉,由A0可知矩阵A的特征值全是0,从而EA的特征值全是1,也就能证明EA可逆.

由于A0,故

kk1EA(EAA2所以EA可逆,且EA

八、(本题满分6分)

1Ak1)EkAkE.

Ak1.

EAA2【解析】(反证法)若X1X2是A的特征向量,它所对应的特征值为,则由定义有：

A(X1X2)(X1X2).

由已知又有 A(X1X2)AX1AX21X12X2. 两式相减得 (1)X1(2)X20.

由12,知1,2不全为0,于是X1,X2线性相关,这与不同特征值的特征向量线性无关相矛盾.所以,X1X2不是A的特征向量.

【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A是n阶矩阵,若存在数及非零的n维列向量X使得AXX成立,则称是矩阵A的特征值,称非零向量X是矩阵A的特征

Born to win

向量.

九、(本题满分4分)

3【解析】样本空间含样本点总数为C10；即十个数字任意选三个有多少种选择方案. 3有利于事件A1的样本点数为C8；十个数字除去0和5任意选三个有多少种选择方案. 33有利于事件A2的样本点数为2C9；十个数字除去0任意选三个的选择方案和十个数字C8除去5任意选三个的选择方案再减去中间多算了一次的方法数,即是事件A1被加了两次,所

3以应该减去C8.

由古典型概率公式,

333C82C9C8714. P(A1)3;P(A2)3C1015C1015【相关知识点】古典型概率公式：P(Ai)

十、(本题满分5分)

有利于事件Ai的样本点数.

样本空间的总数【解析】(1) 由连续型随机变量边缘分布的定义,且limexax0,(a为常数)有

X和Y的边缘分布函数分别为

1e0.5x,若x0, FX(x)F(x,)limF(x,y)y若x0;0,1e0.5y,若y0, FY(y)F(,y)limF(x,y)x若y0.0,由于对任意实数x,y都满足F(x,y)FX(x)FY(x).因此X和Y相互. (2) 因为X和Y相互,所以有

PX0.1,Y0.1PX0.1PY0.1

[1FX(0.1)][1FY(0.1)]e0.05e0.05e0.1.

十一、(本题满分7分)

【解析】若已知正态分布的期望和方差,在计算有关概率时可将其转化为标准正态分布的有关概率,通过(x)表计算.但是正态分布的参数与未知时,则应先根据题设条件求出

2

Born to win

与2的值,再去计算有关事件的概率.

设X为考生的外语成绩,依题意有X~N(,2),且72,但未知.所以可标准2X72化得

查表可得

~N(0,1).由标准正态分布函数概率的计算公式,有

PX961PX96196722410.023,

2410.0230.977. 242,12,即X~N(72,122),

P60X84PX721212(1)10.682.



Born to win

1990年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析

一、填空题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】2

【解析】对原式进行分子有理化,分子分母同乘以有理化因子n3nnn. lim(nn3nnn(n3nnn)(n3nnn))lim

n1n3nnnlimn3nnnn3nnn, n再分子分母同时除以n,有

原式limn41311nn.

因为limn4a2. 0,其中a为常数,所以原式11n(2)【答案】ba

【解析】由于F(x)在x0处连续,故AF(0)limF(x).

x00limF(x)为“”型的极限未定式,又f(x)在点0处导数存在,所以 x00f(x)asinxf(x)acosxAlimlimba.

x0x0x1【相关知识点】函数yf(x)在点x0连续：设函数yf(x)在点x0的某一邻域内有定义,如果limf(x)f(x0),则称函数f(x)在点x0连续. xx0(3)【答案】41 22y 【解析】先解出两条曲线在平面的交点,即令xx2, 解得x1和x2,故所围成的平面图形如右图所示: 所求面积为 Sx2xdx

2122111x22xx34.

3122(4)【答案】a1a2a3a40

1O 2 x Born to win

【解析】由于方程组有解r(A)r(A),对A作初等行变换, 第一行乘以1加到第四行上,有

1001100a110110 a2011a30001 a40a1 110a2, 011a3101a1a4 100第二行加到第四行上,再第三行乘以1加到第四行上,有

10001a11100110aa21102. a3a301111011a1a2a40a1a2a3a400a1为使r(A)r(A),常数a1,a2,a3,a4应满足条件:a1a2a3a40.

【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：

设A是mn矩阵,线性方程组Axb有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵AAb的秩,即是r(A)r(A)(或者说,b可由A的列向量1,2,亦等同于1,2,,n线表出,

,n与1,2,,n,b是等价向量组).

设A是mn矩阵,线性方程组Axb,则 （4） 有唯一解  r(A)r(A)n. （5） 有无穷多解  r(A)r(A)n.

（6） 无解  r(A)1r(A).b不能由A的列向量1,2,(5)【答案】

,n线表出.

2 380的二项分81【解析】这是一个四重伯努利试验概率模型,设试验的成功率即射手的命中率为p,则进行四次的射击, 设事件Y为“射手命中目标的次数”,Y服从参数n4,p4布,由二项分布的概率公式,事件“四次均不中”的概率为(1p),它是至少命中一次的对立事件.依题意

(1p)4180121pp. 8133本题的另一种分析方法是用随机变量X表示地进行射击中命中目标的次数,p表

Born to win

示一次射击的命中率,则XB(4,p),依题意

PX01PXkk141, 81即(1p)412p. 813【相关知识点】二项分布的概率公式：

kk若YB(n,p),则PYkCnp(1p)nk,k0,1,,n.

二、选择题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】(B)

【解析】由于limxesinxx2tanx,所以, e,而limx22limxtanxesinx,故f(x)无界.

x2或考察f(x)在xn2n4(n1,2,)的函数值,有limf(xn)limxnenn22,可见

f(x)是无界函数.应选(B).

以下证明其他结论均不正确.

sin4sin4由fe,知(A)不正确； fe4444由f0,f40,而f00,知(D)不正确. 4证明(C)不正确可用反证法. 设gxtanxesinx,于是gx的定义域为Dx|xk,k0,1,2,,2且gx的全部零点为xnn,n0,1,2,有

.若fxxgx以TT0为周期,则

xTgxTxgx,xD.

令x0,有TgT0,即gT0.从而Tk,其中k为某一正数.于是2k也是

xgx的周期.代入即得,对xD有

Born to win

x2kgx2kx2kgxxgx.

这表明2kgx0在xD上成立,于是gx0在xD上成立,导致了矛盾. 故

fxxgx不可能是周期函数.

【相关知识点】极限的四则运算法则:

若limf(x)A,limg(x)B,则有 limf(x)g(x)AB.

xx0xx0xx0(2)【答案】(D)

【解析】通过变量代换tx1或按定义由关系式f(1x)af(x)将f(x)在x1的可导性与f(x)在x0的可导性联系起来.

令tx1,则f(t)af(t1).由复合函数可导性及求导法则,知f(t)在t1可导,且

f(t)t1af(t1)(t1)t1af(0)ab,

因此,应选(D).

【相关知识点】复合函数求导法则:如果ug(x)在点x可导,而yf(x)在点ug(x)可导,则复合函数yfg(x)在点x可导,且其导数为

dydydyduf(u)g(x) 或 . dxdxdudx(3)【答案】(C)

【解析】本题考查线性无关的概念与理论,以及充分必要性条件的概念.

(A)(B)(D)均是必要条件,并非充分条件.也就是说,向量组1,2,,s线性无关,可以

,s推导出(A)(B)(D)选项,但是不能由(A)(B)(D)选项中的任意一个推导出向量组1,2,线性无关.

例如:(1,0),(0,1),(1,1)显然有(1,0)(0,1)(1,1)(0,0),该向量组线性相关.但(A)(B)(D)均成立.

根据“1,2,,s线性相关的充分必要条件是存在某i(i1,2,,s)可以由

1,i1,i1,,s线性表出.”或由“1,2,,s线性无关的充分必要条件是任意一个i(i1,2,,s)均不能由1,i1,i1,,s线性表出.”故选(C).

(4)【答案】A

【解析】由于BA,所以ABA,于是有PABPA.故本题选A.

Born to win

对于B选项,因为BA,所以事件B发生,则事件A必然发生,所以PABPB,而不是PABPA,故B错.

对于C选项,因为BA,由条件概率公式PBA件时,才会有PBAPB；所以C错.

对于D选项,因为BA,所以事件B发生事件A不发生是个不可能事件,故

P(AB),当B,A是相互的事P(A)PBA0,所以(D)错.

(5)【答案】(C)

【解析】由离散型随机变量概率的定义,有

PXYPX1,Y1PX1,Y1

PX1}P{Y1PX1}P{Y1

11111. 22222故本题选(C).而(B)、(D)选项是错误的.

对于(A)选项,题目中只说了随机变量X和Y相互,且他们的概率分布相同,但是二者是不同的事件,并不能说事件X与事件Y是同一事件.故(A)错.

三、计算题(本题满分20分,每小题5分.) (1)【解析】在x[e,e]上,I(x)2lnxlnx2I(x),故函数在[e,e]上单022x2x1x1调增加,最大值为I(e).

由

2dxd(1x)1d,有 22(1x)(1x)(1x)I(e)2e2e1dtlntd 2et1t1e2e22lntee2lntdtlnt11()dt

ett1et1et1t1tee2212ln(e1)2ln(e1)1 2e1e11e1ln. e1e【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：

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若F(t)(t)(t)f(x)dx,(t),(t)均一阶可导,则

F(t)(t)f(t)(t)f(t).

2.假定uu(x)与vv(x)均具有连续的导函数,则

uvdxuvuvdx, 或者 udvuvvdu.

(2)【解析】区域D是无界函数,设

yyDbD0yb{x,y0yb,x},

32不难发现,当b时有DbD,从而

y y9x2 y4x2xeDy2dxdylimbxeDby2dxdylimb0bey2dyy2y3xdx

O x

b1211lim(yy)eydy 2b049bb255y22limyedy ty limetdt 72b0144b0255lim(1eb).

b1441441(3)【解析】因系数an2(n1,2,),故

n1n1an1n2limlimlim1, 2nann1n1n2n这样,幂级数的收敛半径R211.因此当1x31,,即2x4时级数绝对收敛.

11当x2时,得交错级数(1)2；当x4时,得正项级数2,二者都收敛,于是原级

nn1n1nn数的收敛域为[2,4].

an1n【相关知识点】1.求收敛半径的方法：如果lim,其中an,an1是幂级数anx的

nan0n相邻两项的系数,则这幂级数的收敛半径

Born to win

1, 0,R, 0,

0, .2.交错级数的莱布尼茨判别法：设交错级数(1)unun1,n1,2,(1)n1n1un满足：

; (2)limun0.

n则

(1)n1n1un收敛,且其和满足0(1)n1unu1,余项rnun1.

n13．p级数：

1当p1时收敛；当p1时发散. pnn1(4)【解析】方法1:所给方程为一阶线性微分方程,可直接利用通解公式求解.

cosxdxsinxcosxdxdxC yeelnxeesinx[xlnxxC]. esinxlnxdxC方法2: 用函数eP(x)dxecosxdxesinx同乘方程两端,构造成全微分方程.

方程两端同乘esinx,得esinxyyesinxcosx(yesinx)(yesinx)lnx,再积分一次得

yesinxClnxdxCxlnxx.

最后,再用esinx同乘上式两端即得通解yesinx[xlnxxC].

【相关知识点】一阶线性非齐次方程yP(x)yQ(x)的通解为

P(x)dxP(x)dxdxC, 其中C为任意常数. Q(x)e ye

四、(本题满分9分)

【解析】(1)利润为销售收入减去成本,所以利润函数为

21514x132x28x1x22x1210x2(x1x2)

1513x131x28x1x22x110x2.

22由多元函数极值点的必要条件,有

Born to win

x4x18x2130,1x10.75,x21.25. 8x120x2310,x2因驻点惟一,且实际问题必有最大值,故投入电台广告费用0.75万元,报纸广告费用1.25万

元可获最大利润.

(2)若广告费用为1.5万元,则应当求利润函数(与(1)中解析式相同)

21513x131x28x1x22x1210x2,

在x1x21.5时的条件最大值.拉格朗日函数为

2L(x1,x2,)1513x131x28x1x22x1210x2(x1x21.5),

Lx4x18x2130,1L由 8x120x2310,

x2Lx1x21.50x10,x21.5.

因驻点惟一,且实际问题必有最大值,故应将广告费1.5万元全部用于报纸广告,可使利润最大.

【相关知识点】拉格朗日乘数法:

要找函数zf(x,y)在附加条件(x,y)0下的可能极值点,可以先作拉格朗日函数

L(x,y)f(x,y)(x,y),

其中为参数.求其对x与y的一阶偏导数,并使之为零,然后与附加条件联立起来：

fx(x,y)x(x,y)0,fy(x,y)y(x,y)0, (x,y)0.由这方程组解出x,y及,这样得到的(x,y)就是函数f(x,y)在附加条件(x,y)0下的可能极值点.

五、(本题满分6分)

【解析】方法1:当a0时,f(ab)f(b)f(a)f(b),即不等式成立； 若a0,因为

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f(ab)f(a)f(b)f(0) [f(ab)f(b)][f(a)f(0)]f(2)af(1)aa[f(2)f(1)],其中01ab2ab.又f(x)单调减少,故f(2)f(1).从而有

f(ab)f(a)f(b)f(0)0,即f(ab)f(a)f(b).

方法2:构造辅助函数,将式子移到不等式右边,再将b视为变量x,得辅助函数 令F(x)f(x)f(a)f(ax),x[0,b],由于f(0)0,所以F(0)0,又因为

F(x)f(x)f(ax),且a0,f(x)在(0,b)单调减少,所以F(x)0,于是F(x)在[0,b]上单调递增,故F(b)F(0)0,即

f(ab)f(a)f(b),其中0ababc.

【相关知识点】拉格朗日中值定理：

如果函数f(x)满足在闭区间[a,b]上连续；在开区间a,b内可导,那么在a,b内至少有一点(ab),使等式f(b)f(a)f()(ba)成立.

六、(本题满分8分)

【解析】本题中,方程组有解r(A)r(A).(相关定理见第一题(4))

对增广矩阵作初等行变换,第一行乘以3、5分别加到第二、四行上,有

13051214112311132631a11111012260b01226201226a3a, b25a第二行乘以1、1分别加到第三、四行上,第二行再自乘1,有

111111226a3a. b3a22a(1) 当b3a0且22a0,即a1,b3时方程组有解. (2) 当a1,b3时,方程组的同解方程组是

Born to win

x1x2x3x4x51, x2x2x6x3,3452由nr(A)523,即解空间的维数为3.取自变量为x3,x4,x5,则导出组的基础解系为

1(1,2,1,0,0)T,2(1,2,0,1,0)T,3(5,6,0,0,1)T.

(3) 令x3x4x50,得方程组的特解为(2,3,0,0,0)T.因此,方程组的所有解是

k11k22k33,其中k1,k2,k3为任意常数.

【相关知识点】若1、2是对应齐次线性方程组Ax0的基础解系,则Axb的通解形式为k11k22,其中1,2是Ax0的基础解系,是Axb的一个特解.

七、(本题满分5分)

【解析】若A、B是n阶矩阵,且ABE,则必有BAE.于是按可逆的定义知AB.

如果对特征值熟悉,由A0可知矩阵A的特征值全是0,从而EA的特征值全是1,也就能证明EA可逆.

由于A0,故

kk1EA(EAA2所以EA可逆,且EA

八、(本题满分6分)

1Ak1)EkAkE.

Ak1.

EAA2【解析】(反证法)若X1X2是A的特征向量,它所对应的特征值为,则由定义有：

A(X1X2)(X1X2).

由已知又有 A(X1X2)AX1AX21X12X2. 两式相减得 (1)X1(2)X20.

由12,知1,2不全为0,于是X1,X2线性相关,这与不同特征值的特征向量线性无关相矛盾.所以,X1X2不是A的特征向量.

【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A是n阶矩阵,若存在数及非零的n维列向量X使得AXX成立,则称是矩阵A的特征值,称非零向量X是矩阵A的特征

Born to win

向量.

九、(本题满分4分)

3【解析】样本空间含样本点总数为C10；即十个数字任意选三个有多少种选择方案. 3有利于事件A1的样本点数为C8；十个数字除去0和5任意选三个有多少种选择方案. 33有利于事件A2的样本点数为2C9；十个数字除去0任意选三个的选择方案和十个数字C8除去5任意选三个的选择方案再减去中间多算了一次的方法数,即是事件A1被加了两次,所

3以应该减去C8.

由古典型概率公式,

333C82C9C8714. P(A1)3;P(A2)3C1015C1015【相关知识点】古典型概率公式：P(Ai)

十、(本题满分5分)

有利于事件Ai的样本点数.

样本空间的总数【解析】(1) 由连续型随机变量边缘分布的定义,且limexax0,(a为常数)有

X和Y的边缘分布函数分别为

1e0.5x,若x0, FX(x)F(x,)limF(x,y)y若x0;0,1e0.5y,若y0, FY(y)F(,y)limF(x,y)x若y0.0,由于对任意实数x,y都满足F(x,y)FX(x)FY(x).因此X和Y相互. (2) 因为X和Y相互,所以有

PX0.1,Y0.1PX0.1PY0.1

[1FX(0.1)][1FY(0.1)]e0.05e0.05e0.1.

十一、(本题满分7分)

【解析】若已知正态分布的期望和方差,在计算有关概率时可将其转化为标准正态分布的有关概率,通过(x)表计算.但是正态分布的参数与未知时,则应先根据题设条件求出

2

Born to win

与2的值,再去计算有关事件的概率.

设X为考生的外语成绩,依题意有X~N(,2),且72,但未知.所以可标准2X72化得

查表可得

~N(0,1).由标准正态分布函数概率的计算公式,有

PX961PX96196722410.023,

2410.0230.977. 242,12,即X~N(72,122),

P60X84PX721212(1)10.682.

