维普资讯 http://www.cqvip.com ２００２年６月 重庆大学学报（自然科学版） Ｖｏ１．２５ Ｎｏ．６ 第２５卷第６期 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｈｏｎ￣Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ ＦＡｉｔｉｏｎ） Ｊｕｎ．２ＯＯ２ 文章编号：１０００—５８２Ｘ（２００２）０６—００５４—０２ 关于系统 ＝ （ ）一 （ ）， ＝一ｇ（ ）的极限环之唯一性。 张谋 （重庆大学数理学院，重庆４ＯＯＯ４４） 摘要：对非线性系统（１）用文献［１］的思路和方法，给出了一个极限环存在的唯一性定理，去掉了文 献［１］定理１的条件１），使该定理的条件更容易验证；然后将该定理应用于以生化反应为背景的一类平面 四次微分系统，得到了该系统有唯一单重稳定的极限环的充分条件；应用于文献［３］的三次系统，所得结 论与文献［３］相同。 关键词：非线性系统；极限环；唯一性；存在性 中图分类号：０１７５ 文献标识码：Ａ １准备工作 ｚ＜ ；ｋｌ（ ）≥ｋ２（ｚ）， ≤ｚ＜ ； ２） ｘ）／ｇ（ｘ）在（ ，Ｉ＂２）内单调上升，且０＜△ 。； 考虑系统 或 ）／ｇ（ ）在（ｒ。，瓦）内单调下降，且ｚ。 ｚ 。 戈＝ （Ｙ）一Ｆ（ ）， ＝一ｇ（ ），Ｆ（ ）：Ｉ／’（ｓ）ｄｓ 其中瓦＝ 。（三）， ＝ ２（ ），同时瓦＜０， ＞ ｌ；则系 Ｊ ０ ），ｇ（ ）∈ｃｌ ），一∞≤ｒｌ＜ｒ２≤＋∞ 统（１）至多有一个极限环，若存在是单重的稳定环。 ｇ（０）＝ｇ（Ａ）＝０，ｘｇ（ ）＞０（ ≠０，△）（１） ２ 主要结果及证明 （Ｙ）＞０（Ｙ≠０），声（Ｙ）∈ｃ ，非减。 假设０≤△＜ｒ２，存在 ０， ｌ：０＜ ０＜ 】＜ｒ２， 定理：设系统（１）满足假设（２），且满足 ｇ（ ）／ｆ（ ）在（ｒ。，０）和（ ，ｒ ）内单减（或单增） 使得Ｆ（０）＝Ｆ（ ）＝０， 当 ＜ ０时 ）＜０，当 ＞ ０时 ）＞０ 则系统（１）至多存在一个极限环，若存在是单重稳定 的极限环 Ｊ。 （２） 作变量代换ｚ＝Ｆ（ ），令ｚ。＝Ｆ（ 。），ｚ ＝Ｆ（ｒ ＋ 证明：只须证明文献［１］定理１中条件１）成立，令 ０），：２＝Ｆ（ｒ２—０）， ＝ｒａｉｎ（ｚｌ，ｚ２）并用 ＝ １（ｚ）， Ｈ（ｚ）＝ｋｌ（ｚ）一ｋ２（ｚ），０＜ｚ＜ ，因为ｇ（ｘｌ（ｚ））Ｉ ：０＝ ０＜ ＜ ｌ和 ＝ ２（ ）， ０＜ ＜ ２表示 ＝Ｆ（ ） ｇ（ｘ。（０））＝０，ｇ（ｘ （ｚ））Ｉ删＝ｇ（ｘ （０））＝ｇ（ｘ。）＞０， 在（ｒ ， 。）和（ 。，ｒ ）上的反函数，则系统（１）在 ＜ （ｚ））Ｉ：：。：／’（ 。（ 。（０））＝ｆ（０）＜０√＾（ （：））ｌ ：。＝ ｆ（ （０））＝ｆ（ 。）＞０，所以日（ ）Ｉ ：。＝［ｋ。（ ）一 。和 ＞ 。内分别等价于ｚ—Ｙ平面上ｚ＞ｚ。内的下 列两个方程 ［ｚ一 （Ｙ）］ｄｙ＝ｄｚ， ｋ２（：）］圳＝一ｇ（ ） （ ）＜０，由假设 【臀 】＿ 其中 ｋ （：）＝ｇ（ （：））／ｆ（ （ｚ）），ｉ：１，２ ＜０ ’０）ｕ ｘ，，ｒ２）， 笔者利用文献［１］的定理１得到下面定理，该定理 所以 改善了文献［１］定理１的条件，使定理条件更容易验 ｄ日（ ） ｆ（ （ｚ））ｇ （ 。（：））～ｇ（ 。（ｚ））ｆｘ （ ） 证，为方便先将文献［１］的定理１叙述如下。 ｄ 一 厂 。（ ）） 定理１［１１：设系统（１）满足假设（２），另外 ｄ 。／’（ （ｚ））ｇ （ （ｚ））一ｇ（ （ｚ））／（ ：（ｚ）） …１）存在三：０＜乏＜ｚ ，使ｋｌ（ｚ）＜ｋ２（ｚ），ｚ０＜ ｄｚ— 厂———～‘ ・收稿日期；２００２一Ｏ１—１８ 作者简介：张谋（１９６３一），男，重庆人，重庆大学讲师，硕士。主要从事常微分方程的研究。 维普资讯 http://www.cqvip.com 第２５卷第６期 张 谋： 关于系统ｉ＝牵（ｙ）一Ｖ（ｘ）， ＝一ｇ（ｘ）的极限环之唯一性 ５５ ｄ ｄ 一 。（ ））ｇ （ 。（ ））一ｇ（ｚ （ ））／（ ｔ（。）） 厂＜ １（ ）） ＞０ ， ２ ＝｛（ｕ， ）： ＞一Ｂ， ＞一Ａ｝ 容易验证： （ ）＞０， （ ）单增，ｕｇ（ｕ）＞０；存在 ／／￣０－．／／ｑ使 ０） （１１，１）＿０，Ｆ １１，０）＝０又 ＝ 即当ｚ Ｅ［０，ｚ ］时Ｈ （ｚ）＞０，又Ｈ（０）＜０，所以：或者 （ｚ）在（０，ｚ ）内没有零点，由文献［１］引理知此时系 Ｆ （ｕ） ２（ｕ＋日） ＋（ｕ＋日） 一ｂ ｇ（ｕ）一一（ｕ＋Ｂ）（ｕ＋Ｂ＋１）［（ｕ＋ 一日 ］一 一 ，统（１）无闭轨；或者存在唯一的 使 （ ）＝０，０＜ ＜ ｚ ，其中ｓ＝日一 ０＜ｓ＜＋∞，从而 则表示：当０＜ｚ＜ 时ｋｌ（ｚ）＜ｋ２（ｚ），当 ＜ｚ＜ ｚ 时ｋ （ｚ）≥ｋ （ｚ），另一部分同理证明。 ［ ］＝ ［ ］ ＝一 ‰ ３ 应用 将该定理应用于以生化反应机理为背景的一类平 面四次微分系统（常见的是三次微分系统）： ｄｘ＝ Ｒ（ｓ）＝２ｓ ＋２ｓ ＋２Ｂ ｓ ＋４（Ｂ 一ｂ）ｓ ＋ （Ｂ 一ｂ）ｓ ＋２Ｂ ｂｓ＋（ｓ 一２ｂｓ ＋Ｂ ｂ） 当ｓ Ｅ（Ｂ，＋∞）Ｕ（ｏ，Ｂ—ｕ ），ｃ＞２ｂ时Ｒ（ｓ）＞０， 即当ｕ Ｅ（一∞，０）Ｕ（ｕ ， ，ｃ＞２ｂ蝴ｕ）／ｇ（Ｈ）单 减。这样就证明了结论。应用到文献［３］的三次系统， 可得同样正确的结论。 （３） 参考文献： ［１］王现．关于系统 ＝ （ｙ）一Ｆ（ ）， ＝一ｇ（ ）的极限环 之唯一性［Ｊ］．南京大学学报，１９９０，２６（３）：３６３—３７２． ［２］丁大正．Ｌｉｅｎａｒｄ方程极限环的存在性［Ｊ］．应用数学学报， １９８４，７（２）：１６６—１７４． （１＋），）（ｃ一６一ｙ２） 业ｄｔ＝ （１＋＿ｙ）（６＋ｙ２）一ａｙ 其中参数０＞０，ｂ至０，ｃ＞０，Ｑ＝｛（ ，Ｙ）： ≥０， Ｙ≥０｝，得到下面结论。 结论：当ｃ＞２６＞０且 ＜； 时，式（３）在Ｑ内存在唯一稳定的极限环。 证明：对方程（３）作变换 ＝口＋Ａ，Ｙ＝ｕ＋日，并用 （ ＋Ａ）（ｕ＋ 同时除所得方程的右端，方程（３）变为： ｕ．［３］周建莹，张锦炎，曾宪武．生化反应中一类非线性方程的 定性分析［Ｊ］．应用数学学报，１９８２，５（３）：２３４—２４０． ［４］余澍祥．极限环的存在性定理［Ｊ］．数学进展，１９６５，８（２）： １８７—１９４． ：一ｇ（ｕ），ｄ一ｇ “ ，ｄ￡ ，：声（口）一Ｆ（ｕ）一 “ （４） ［５］梁锦鹏．Ｌｉｅｎａｒｄ方程极限环存在定理［Ｊ］．高校应用数学 ’其中Ａ：口 ／ｃ（１＋￣／厂 ），Ｂ：￣／厂 ，在 学报，２０００，１５（２）：１６３一ｌ６８． 已知条件下，（Ａ，Ｂ）为唯一的正平衡点，ｇ（ｕ）＝ｕ（１＋ ｕ＋Ｂ）（ｕ＋２日）／（ｕ＋Ｂ）， （口）＝ａｖ／Ａ（口＋Ａ） ［６］吴葵光．非线性方程极限环的存在性［Ｊ］．数学学报，１９８２， ２５（４）：４５６—４６３． Ｆ（ｕ）：一ｕ『（ｕ＋日） ＋（１＋日）（ｕ＋Ｂ）一ｂ／Ｂ］／（ｕ＋Ｂ）， Ｏｎ ｔｈｅ Ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ ｏｆ Ｌｉｍｉｔ Ｃｙｃｌｅ ｏｆ Ｓｙｓｔｅｍ ＝｜ｌ｝（ ）一Ｆ（ｘ），ｊ》＝一ｇ（ｘ） ｚＨＡＮＧ Ｍｏｕ （Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｐｈｙｓｉｃｓ，Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔ７，Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ ４ＯＯＯ４４，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔａｒｃｔ：Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｗｅ ｇｉｖｅ ｔｈｅ ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ ｔｈｅｏｒｅｍ ｏｆ ｌｉｍｉｔ ｃｙｃｌｅ ｔｏ ｓｙｓｔｅｍ丘＝声（Ｙ）一Ｆ（ ）， ＝一ｇ（ ）ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｉｄｅａ ａｎｄ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｐａｐｅｒ［１］，ｉｎ ｗｈｉｃｈ ｉｆ ｔｈｅ ｈｙｐｏｔｈｅｓｉｓ １）ｏｆ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｅｍ １ ｆｏｒ［１］ｉｓ ｏｍｉｔｔｅｄ；ｉｔ ｉｓ ｅａｓｉｅｒ ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｔｈｅ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｏｆｔｈｅ ｔｈｅｏｒｅｍ．Ｔｈｅｎ ｗｅ ｏｂｔａｉｎ ｓｏｍｅ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｏｆｏｎｅ ｓｉｍｐｌｅ ｓｔａｂｌｅ ｌｉｉｔｍ ｃｙｃｌｅ ｆｏｒ ａ ｐｌｎｅ４——ｄｅｇｒｅｅ ｓｙｓｔｅｍ ａｉｎ ｂｉｏｃｈｅｍｉｃａｌ ｒｅａｃｔｉｏｎｓ，ｈｅ ３一ｄｅｇｒｔｅｅ ｓｙｓｔｅｍ ｍｅｔｈｏｄ ｔｈａｔ ｉｓ ａｐｐｌｉｅｄ ｔｏ ａｐｐｅｒ［３］，ｉｔ ｈａｓ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｅｖｉｄｅｎｃｅ ａｓ ｐａｐｅｒ［３］． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｔｈｅ ｌｉｍｉｔ ｃｙｃｌｅ；ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍ；ｔｈｅ ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ；ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ （责任编辑张苹） 维普资讯 http://www.cqvip.com ２（１０２年６月 重庆大学学报（自然科学版） Ｖｏ１．２５ Ｎｏ．６ 第２５卷第６期 Ｊｏｕｍａｌ ｏｆ Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ） Ｊｕｎ．２０（）２ 文章编号：１０００—５８２Ｘ（２００２）０６—００５６—０３ 基于岭估计的最优预测与经典预测的最优性判别‘ 杨 婷，杨 虎，张洪阳 （重庆大学数理学院，重庆４０００４４） 摘要：针对有偏估计的预测问题，以岭估计为基础，以离差矩阵ＭＤＥ（Ｍｅａｎ Ｄｉｓｐｅｒｓｉｏｎ Ｅｒｒｏｒ）和广义 风险函数为判别准则，对广义线性回归模型｛Ｙ＝郎＋ｅ，ｅ～Ｎ（０，盯 Ｗ）｝的最优预测量与经典预测量的 最优性判问题进行了讨论。借助矩阵不等式的一些性质，获得在离差矩阵判别准则和风险函数判别准则 下判断两类预测量最优性的充要条件。为进一步研究基于有偏估计关于两类预测量的最优性判别问题 提供了一种方法和思路。 关键词：预测；岭估计；离差矩阵 中图分类号：Ｏ２１２．１ 文献标识码：Ａ １预备知识 预测在实践中有着广泛的应用，在线性模型中也有 着不可忽视的作用。所谓预测，乃是对给定的回归自变 量的值，预测对应的回归因变量所可能取的值，这是回 归分析的重要应用之一 ｌ ］。和估计一样，预测也有点 预测和区间预测之分，这里只针对点预测进行讨论。 （注意：若无特别申明，本文所指的矩阵皆为实矩阵。） 文献［１—３］）中都考虑其风险函数的最小值 ｍ ｉｎＲ （Ｐ，Ｙ ）＝ｍ ｉｎＥ［（Ｐ—Ｙ ），Ａ（Ｐ—Ｙ ）］ ，，（４） 其中，矩阵Ａ≥０，可以视具体情况而定。在式（３）、式（４） 的基础上，文献［３］得出三类特殊的最优预测量： １）非齐次最优预测量Ｊｌ；１＝Ｘ ＋ Ｗ （Ｙ一邢 ） ２）齐次最优预测量Ｊ】； ＝Ｘ ＋ 。Ｗ （Ｙ—Ｘ／３２） ３）齐次无偏最优预测量Ｊ】； ＝Ｘ ｂ。。皿＋ ｗ，０ （Ｙ—ＸｂＧＩｓＥ） 我们将历史数据（Ｙ，Ｘ）写成如下线性模型 Ｙ＝ ＋ｅ，ｅ～Ｎ（０，盯 Ｗ） （１） 其中Ｙ为ｔ×１观测向量， 为ｔ× 矩阵，且ｒａｎｋ（Ｘ）＝ ｋ，Ｗ为已知的阶正定矩阵。 其中 。＝ 即为回归参数本身， ＝卢［ 】＝ｐ（ｙｖｐ） ’， （令 ： ＋ ， ＝ （Ｘ 一Ｘ＋ 将ｎ组观测数据（Ｊ， ，Ｘ ）也用矩阵表示为如下 线性模型 Ｙ ＝Ｘ ｎ．１ ｎ 盯 ，＇， ＝ ＋ｅ ， ｎ １ ） Ｘ Ｙ）即为两阶段估计 ，且 娅＝ （２） ｆ．ｎ ｅ ～（０， Ｗ ），Ｅ（ｅｅ ）＝盯 Ｗｏ ｎ．ｎ （Ｘ Ｗ Ｘ） Ｘ Ｗ Ｙ即为广义最小二乘估计。通过计 算， （ ， ）≤Ｒ （ ， ）≤Ｒ （ ， ），而且有 Ｒ （ｐｌ，Ｙ ）≤Ｒ （ｐ ２，Ｙ ）≤Ｒ （ｐ ３，Ｙ ）恒成立 。 这说明参数估计的改进也可改进模型的预测效果。从 其中，参数 与式（１）中的相同，Ｙ 未知， 已知，并且Ｗ＋＞０，Ｗｏ≠０。 ， ， 我们的目的是为了预测Ｙ ，不妨假设ｐ为Ｙ 的 预测量。为了讨论之便，我们考虑其最简单形式，即 Ｐ＝Ｃｙ＋ｄ （３） １）２）３）也可看出，预测量的估计量与回归系数 的估 计量有很大关系，因此，不妨定义ｐ的最优预测量的一 般形式 预测量Ｐ的预测效果与所选择标准有关，一般文献（如 ・收稿日期：２００２—０１—１６ 作者简介：杨婷（１９ｒ７５一），女，四川巴中人，重庆大学硕士研究生。主要从事统计线性模型研究。 维普资讯 http://www.cqvip.com 第２５卷第６期 杨 婷等： 基于岭估计的最优预测与经典预测的最优性判别 ５７ ｐ（ ）＝Ｘ ｐ＋ｗ 。ｗ （．），一 ） （５） 应矩阵的广义逆矩阵。 另一方面，我们也希望未知观测量Ｙ 的条件期望 Ｅ（ｙ ／Ｘ ）＝Ｘ ，从而不妨定义ｐ的经典预测量的 一引理２的证明请参见文献［６］。 推论 假设Ｅ为ｒｌ，阶矩阵，，为ｒｌ，阶单位矩阵，则 Ｅ＋Ｅ ≥０的充要条件为 般形式 ｐ。（ｐ）＝Ｘ （６） ［（Ｅ一，） （ＥＥ ＋Ｉ） （Ｅ—Ｉ）］≤１ 证明 因为ＥＥ ≥０，Ｉ＞０，从而ＥＥ ＋Ｉ＞０， 文献［３—４］主要针对几种特殊的估计量（ ，＝ ， ＝ 【 ］， ， ＝ ６ＧＬ咂）ｘ１， ｐ的两类预测 故ＥＥ ＋，可逆。据引理２，原命题成立。证毕。 定理１ Ｒ （Ｐ ，Ｙ ）一 （Ｐ２，Ｙ ）≥０甘 （ｐ ， 量关于风险函数（Ｒ （Ｐ，Ｙ ）＝Ｅ（ｐ—Ｙ ），Ａ（Ｐ— Ｙ ））的最优性进行了讨论。而文献［５］就 的一般线性 估计量对ｐ的两类预测量关于离差矩阵（ （ｐ，Ｙ ）＝ Ｅ（ｐ—Ｙ ）（Ｐ—Ｙ ） ）的最优性判别条件进行了详细 的讨论，并得出一重要结论（定理６．４）。虽然此结论对 任何线性无偏估计都适合，但有偏估计量（如岭估计 等）并不满足此定理所给条件。因此，有偏估计关于两 类预测量的最优性判别问题仍未解决。笔者主要对常 见的有偏估计——岭估计关于两类预测量的最优性 判别条件进行了讨论。 ２ 主要结果 下面仍考虑线性模型１）、２），且一切假设条件均 不变。 定义１ 设ｐ ，ｐ 为Ｙ 的两个预测量，如果它们 满足 ’ （Ｐ ，Ｙ ）一尺 （Ｐ２，Ｙ ）≥０ 则我们称预测量ｐ 关于 一优于预测量ｐ ，或简称 为 一准则。 定义２ 设ｐ，，ｐ 为Ｙ 的两个预测量，如果它们 满足 Ｍ（ｐｌ，Ｙ ）一Ｍ（ｐ２，Ｙ ）≥０ 则我们称预测量Ｐ 关于ＭＤＥ一优于预测量Ｐ，，或简称 为ＭＤＥ一准则。 引理１ 设Ｄ为ｒ／，Ｘ ｒ／，阶对称矩阵，则 Ｄ≥０甘对任意ｒ／，Ｘ ｒ／，非负定矩阵Ｃ，满足 ｔｒ（（ＣＤ）≥０ 此引理的证明可参见文献［４］附录定理Ａ．４３。 引理２ 设Ａ， 均为ｍ ｘ ｒｌ，复矩阵，Ａ ＝Ａ ， ＝Ｂ ，则ＡＢ ＋ＢＡ ≥０的充要条件为 ｌ［（Ａ—Ｂ） （ＡＡ ＋ＢＢ ）一（Ａ—Ｂ）］≤１ 其中， （・）表示相应矩阵的最大特征根，（・）一表示相 Ｙ ）一Ｍ（ｐ２，Ｙ ）≥０。 证明 因为几（Ｐ，Ｙ ）＝Ｅ（ｐ—Ｙ ） Ａ（Ｐ— Ｙ ），Ｍ（ｐ，Ｙ ）＝Ｅ（ｐ—Ｙ ）（Ｐ—Ｙ ） 从而 尺＾（Ｐ ，Ｙ ）一 （Ｐ２，Ｙ ）＝ｔｒＡ・ ［Ｍ（ｐ ，Ｙ ）一Ｍ（ｐ ，Ｙ ）］ 又因Ａ≥０，所以根据引理１可得 尺』（ｐ１，Ｙ ）一尺 （Ｐ２，Ｙ ）≥０甘 Ｍ（ｐｌ，Ｙ ）一Ｍ（ｐ２，Ｙ ）≥０ 故原命题成立。证毕。此结论说明以上两种判别准则等价。 记模型（１）的岭估计为 ＝（Ｓ＋ ，） ＷＩ１Ｙ垒Ⅳ： Ｘ ＷＩ１Ｙ＿△Ｄ 其 ＝Ｘ Ｗ～Ｘ，Ｍ＝Ｓ＋ ，，Ｄ ＝Ⅳ ｗ一 因Ｍ＝Ｓ＋ ，所以Ⅳ Ｓ＝（Ｓ＋ ） （Ｓ＋ 一 ）： Ｉ一 从而有，一Ⅳ： Ｓ＝ｋＮ－ｋ （７） 易得 的期望、偏崎和方差分别如下： ｆＥ（ ）＝Ⅳ ｗ一 ：Ⅳ： ｛Ｂｉａｓ（￣ ， ）＝Ｅ（ ）一 ：（Ⅳ： Ｓ一，） ＝一 Ｖ： ｔＶａｒ（￣＾）： Ⅳ ＳＮ－ｋ （８） 由式（７）、式（８）可得 （ ， ）：Ｅ（ 一 ）（ 一 ） ： Ｅ［（ 一Ｅ（ ））＋（Ｅ（ ）一 ）］・ ［（ 一Ｅ（ ））＋（Ｅ（ ）一 ）］ ： Ｖａｒ（￣ ）＋［Ｂｉａｓ（￣ ， ）］［Ｂｉａｓ（￣ ， ）］ ： ，２ ０．２Ⅳ： ： ＋ Ⅳ： Ⅳ： ＝ ２Ⅳ （Ｓ＋ ）Ⅳ ０ 由式（５）、式（６）可知，基于岭估计的最优预测量与经典 预测量分别为ｐ（ ）＝Ｘ ＋ 。ｗ （．），一 ）， Ｐｏ（ ）＝Ｘ 现记ｚ＝ 一 ０ ｗ ，易得 维普资讯 http://www.cqvip.com ５８ 重庆大学学报 （自然科学版） ２００ 年 Ｍ（ｐ（ｆｌｋ），Ｙ ）＝ＺＭ（ｆｌｋ，ｐ）ｚ ＋０．２（Ｗ 一ｗ 。Ｗ—Ｗｏ） Ｍ（ｐ。（ ）， ）： ． Ｍ（ｆｌ ， ）． 一盯 ． ＤｔＷｏ一 盯 Ｗｔ０ＤＰｋ ＋盯 Ｗ 从而 Ｍ（ｐ。（ ），Ｙ ）一Ｍ（ｐ（ｆｌ ），Ｙ ）＝ Ｘ Ｍ（ｆｌｋ，１ｆ）ｘ 一ＺＭ（ｆｌｋ，ｆ１）ｚ 一Ｇ２ ｘ Ｄｋｗｏ一 盯 ０Ｄ＇ｋＸ ＋仃 ０ Ｗ＿。Ｗｏ：仃 Ｘ Ｊｖ】 ・ （Ｓ＋ ｆ；９ ） ： Ｗ～ｗｏ＋盯 ０Ｗ一删 ・ （Ｓ＋ ） 一 ０ Ｗ—ＸＮＴ， ・ （ｓ＋ ） Ｗ～Ｗｏ一（７２ Ｄ，Ｗｏ一 盯 ０Ｄ ｔ ＋盯 Ｗｐ０Ｗ＿。Ｗｏ：盯 ： ・ （ ｋ￣ｆｌｆ＇）ＤｔＷｏ＋盯 Ｗ＇ｏＤ＇ｋ（ＩＳ＋ ） Ｘ＊一 盯盯 ２ｌ０ 盯 ０Ｄ ｔ・（Ｓ＋ ）Ｄ，Ｗｏ一（７２ ＤｔＷｏ一 盯 矸，，０Ｄ＇ｋ． ＋盯 Ｈ，，０ Ｗ＿。Ｗｏ：盯 ． Ｎ－ｋ ・ ［（Ｓ＋ ）一 ］ ＋盯 。Ｄ ・ ［（Ｓ＋ 舟 ）一＾ ］＾ ． ＋盯 Ｈ，，０・ ［Ｗ～一Ｄ ｔ（Ｓ＋ ） ］Ｗｏ：Ａ 盯 ［（Ａｔ＋Ａ ｔ）＋Ｗｐ０（Ｗ＿。一Ｄ ｔ＾ Ｄ ）Ｈ ］ 其中Ａ ＝ Ｎｉ ［（Ｓ＋ ）～ ］ 。欲证明 上面矩阵为非负定矩阵，只须验证矩阵Ａ ＋Ａ 的非 负定性。因为 。（ ～一Ｄ ）Ｗｏ≥０恒成立，事 实上，由于Ｗｏ＞０，Ｄｔ＝ ： Ｗ～，从而 ｗ ０（ｗ一一Ｄ ｔ ｔＤｔ）Ｗｏ≥０§ Ｗ～一Ｄ＇，ＮｋＤｔ≥０臼 Ｗ～一Ｗ一删： ＮｋＮｉ， Ｗ～≥０臼 Ｗ～一Ｗ一 ＸＮ－ｋ Ｗ～≥０臼 Ｗ一 — Ｗ一 ＸＮ－ｋ Ｗ一 ≥０臼 Ｓ—ＳＮｉ， Ｓ≥０ 此式显然成立，因为 ＞Ｓｊ ｉ ＜Ｓ～ｊ Ｓ＜ ＳＳ～Ｓ＝Ｓ 因此根据推论，我们可得如下结论： 定理２ 已知线性模型（１）、（２），其中模型（１）中参 数 的岭估计为 ＝（Ｓ＋ ） ｗ— ， 的最优预 测量ｐ（ ）关于ＭＤＥ一优于经典预测量ｐ。（ ）（即 Ｍ（ｐ。（ ）， ）一Ｍ（ｐ（ｆｉ ），ｊ， ）≥０的充要条件为： ［（Ａｔ—Ｊ） （ＡｔＡ ｔ＋ ）Ｉ１（Ａｔ—Ｊ）］≤１ 由定理１知，对任意ｎ阶矩阵Ａ， 的最优预测量 ｐ（ ）也关于Ｒ 一优于经典预测量ｐ。（ ）。 ３结语 目前，有关有偏估计关于模型的预测问题的文献 出现较少。Ｂｉｂｂｙ和Ｔｏｕｔｅｎｂｕｒｇ在上个世纪末就注意 到：回归参数估计量的改进可以优化线性模型的预测 效果。在此基础上，Ｒａｏ将参数估计从无偏推广到有 偏、从特殊（如最小二乘估计）推广到一般，建立了一系 列判别最优预测量与经典预测量最优性的判别条件， 但对某一具体的有偏估计（如岭估计）却不能得到验 证。这里讨论岭估计关于两类预测量最优性的判别问 题，在离差矩阵判别准则下给出一充要条件，从而为研 究有偏估计的预测问题提供了一种方法。 但是关于有偏估计的预测问题，还有几点值得探讨： 第一：除了ＭＤＥ一准则或Ｒ 一准则，能否探寻到 其它或许更加有效的判别准则。 第二：除了讨论岭估计关于两类预测量的最优性 判别问题，也可对其它有偏估计如Ｊａｍｅｓ—Ｓｔｅｉｎ估计、主 成分估计等关于此类问题进行探讨。能否找到一种综 合有偏估计类（如包括以上一些常见的有偏估计）对此 类问题进行讨论，结果又将如何。 第三：由于岭估计中包含一个未知参数，针对关 于两类预测量的最优性的判别问题，如何确定该未知 参数的显示表达式，也值得进一步研究。 参考文献： ［１］ＷＥＩＳＢＥＲＧ Ｓ．应用线性回归［Ｍ］．北京：中国统计出版社， １９９８． ［２］ 王松桂，陈敏，陈立萍．线性统计模型［Ｍ］．北京：高等教 育出版社，１９９９． ［３］ ＢＩＢＢＹ Ｊ，ＴＯｆｆＦＥＮＢＵＲＧ Ｈ，Ｐ ｃｔｉＯｉｌ ａｎｄ Ｉｍｐｒｏｖｅｄ Ｅｓｔｉｍａｕｏｎ ｉｎ Ｌｉｎｅａｒ ＭｏｄｅｌｓｌＭＪ．Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ：Ｗ＇ｄｅｙ，１９７７． ［４］ 王松桂．线性模型的理论及其应用［Ｍ］．安徽教育出版 社，１９８７． ［５］ ＲＡＯ Ｃ Ｒ，ＴＯＵＴＥＮＢＵＲＧ Ｈ．ＬｉｎＰ￣ｔｒ Ｍｏｄｅｌｓ—Ｌｅａｓｔ Ｓａｕａｒｅｓ ａｎｄ Ａ１ ｍａｔｉ ｅｓ【Ｍ］．Ｎｅ＇ｎ Ｙｏｒｋ：Ｓｐｒｉｎｇｅｒ—Ｖｅ ，１９９５． ［６］ ＪＥＲＺＹ Ｋ．ＢＡＫＳＡＩ．＾ＲＹ，ＢＥＲＮＨＡＲＤ ＳＣＨＩＰＰ，ｅｔ ａ１．Ｓｏｍｅ ｆｕｒｔｈｅｒ ｒｅｓｕｌｔｓ Ｏｉｌ Ｈｅｒｍｉｔｉａｎ—ｍａｒｔｒｉｘ ｉｎｅｑａｌｉｔｉｅｓ［Ｊ］．Ｌｉｎｅａｒ Ａｌｇｅｂｒａ ａｎｄ Ｉｔｓ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，１９９２，１６０：１１９—１２９． （下转第７０页） 维普资讯 http://www.cqvip.com ７０ 学出版社，１９９８． 重庆大学学报（自然科学版） 华大学出版社，２０００． ２０ｏ２年 ［４］房有定，卢安国．８０Ｘ８６系列保护模式高级程序设计［Ｍ］． 西安：西安交通大学出版社，１９９６． ［６］易钟芳．８０Ｘ８６微型计算机原理及应用［Ｍ］．北京：电子工 业出版社，１９９５． ［５］ＤＡＶＩＤ Ａ．Ｓｏｌｏｍｏｎ ＷＩＮＤＯＷＳ ＮＴ技术内幕［Ｍ］．北京：清 Ｍｅｍｏｒｙ Ａｃｃｅｓｓｉｎｇ Ｍｅｃｈａｎｉｓｍ ｏｆ Ｘ８６ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｓｙｓｔｅｍ Ｉｎ Ｐｒｏｔｅｃｔｅｄ Ｍｏｄｅ Ｚ｝＿ｌＡＮ Ｈｕ｜一｜ａｉ．ＺＥＮＧ Ｙｉ （Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ ｏｍｐｕｔＣｅｒ，Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ ４０ＯＯ４４，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｐｒｏｔｅｃｔｉｎｇ ｉｌｌｏｄｅ ｉｓ ｏｎ ｉｍｐｏｒｔｍａｎｔ ｗｏｒｋｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ Ｘ８６一ｂａｓｅｄ ｃｏｍｐｕｔｅｒ ｓｙｓｔｅｍ，ｗｈｉｃｈ ｐｒｏｖｉｄｅｓ ｔｈｅ ｈａｒｄｗａｒｅ ｓｕｐｐｏｒｔ ｆｏｒ ｍｕｌｔｉ—ｔａｓｋ ａｎｄ ｍｕｌｔｉ—ｐｒｏｃｅｓｓ ｏｐｅｒａｔｉｏｎ ｓｙｓｔｅｍ ｏｎ Ｘ８６ ｐｌａｔｆｏｒｍ．Ｄｕｒｉｎｇ ｔｈｅ ｌｏｗ—ｌｅｖｅｌ ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ ｏｆ Ｘ８６一ｂａｓｅｄ ｃｏｍｐｕｔｅｒ ｓｙｓｔｅｍ，ｉｔ ｉｓ ｖｅｒｙ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｔｏ ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄ ｔｈｅ ｗｏｒｋｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｍｅｍｏｒｙ ｔｈａｔ ｉｓ ａ ｍａｉｎ ｐａｒｔ ｏｆ ｃｏｍｐｕｔｅｒ ｓｙｓｔｅｍ．Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｄｉｓｃｕｓｓｅｓ ｔｈｅ ｄａｔａ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ａｎｄ ｈａｒｄｗａｒｅ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ｏｆ Ｘ８６一ｂａｓｅｄ ｃｏｍｐｕｔｅｒ ｓｙｓｔｅｍ ｗｈｉｃｈ ｓｕｐｐｏｒｔ ｔｈｅ ｔｗｏ ｍｅｃｈａｎｉｓｍ ｏｆ ａｃｃｅｓｓｉｎｇ ｍｅｍｏｒｙ：ｓｅｇｍｅｎｔｉｎｇ ａｎｄ ｐ ｎｇ，ａｓ ｗｅｌｌ ａｓ ｔｈｅ ｐｒｏｃｅｓｓ ｏｆ ｃｏｎｖｅｒｔｉｎｇ ｌｏｇｉｃａｌ ａｄｄｒｅｓｓ ｔｏ ｌｉｎｅａｒ ａｄｄｒｅｓｓ ａｎｄ ｍａｐｐｉｎｇ ｖｉｒｔｕａｌ ａｄｄｒｅｓｓ ｔｏ ｐｈｙｓｉｃａｌ ａｄｄｒｅｓｓ．Ｔｈｒｏｕｇｎ ｓｅｇ￣ｎｅｎｔｉｎｇ ａｎｄ ｐａｇｉｎｇ ｍｅｃｈａｎｉｓｍ，ｗｅ ｃａｌｌ ｒｅａｌｉｚｅ ｔｈｅ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ａｄｄｒｅｓｓ ｓｐａｃｅ ｆｏｒ ｅｖｅｒｙ ｐｒｏｃｅｓｓ ｉｎ ｍｕｌｔｉ—ｐｒｏｃｅｓｓ ｓｙｓｔｅｍ，ａｓ ｗｅｌｌ ａｓ ｔｈｅ ｍｅａｓｕｒｅ ｆｏｒ ｐｒｏｔｅｃｔｉｇ ｔｎｈｅ ｓｙｓｔｅｍ ｍｅｍｏｒｙ ｗｈｉｃｈ ｃａｎ ｐｒｅｖｅｎｔ ｔｈｅ ｓｙｓｔｅｍ ｂｒｅａｋｕｐ ｃａｕｓｅｄ ｂｙ ｉｌｌｅｇａｌ ｍｅｍｏｒｙ ａｃｃｅｓｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｐｒｏｔｅｃｔｅｄ——ｍｏｄｅ；ｄｅｓｃｒｉｐｔｏｒ；ｄｅｓｃｒｉｂｅ ｔａｂｌｅ；ｐａｇｅ ｔａｂｌｅ；ｐａｇｅ ｄｉｒｃｔｅｏｒｙ （责任编辑 吕赛英） 、驴 抄 、驴 （上接第５８页） Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｏｆ Ｓｕｐｅｒｉｏｒｉｔｙ ｏｆ Ｏｐｔｉｍａｌ ａｎｄ Ｃｌａｓｓｉｃａｌ Ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ Ｒｅｓｐｅｃｔ ｔｏ ｔｈｅ Ｒｉｄｇｅ Ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ＹＡＮＧ Ｔｉｎｇ，ＹＡＮＧ Ｈｕ，ＺＨＡＮＧ Ｈｏｎｇ—ｙａｎｇ （Ｍａｔｈ．＆Ｐｈｙｓ．Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｙ，Ｃｈｏｎｇｑｉｔｎｇ ４０００４４，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇ ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｌｉｎｅａｒ ｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎ ｍｏｄｅｌ ＝ ＋ｅ，ｅ～Ｎ（Ｏ， Ｗ）ａｎｄ ｉｔｓ ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎ ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｆ ｂｉａｓｅｄ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ，ｈｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｄｉｓｃｕｓｓｅｓ・ｉｔｓ ｓｕｐｅｒｉｏｒｉｙ ｏｆ ｔｈｅ ｏｐｔｔｉｍａｌ ａｎｄ ｃｌｓｓｉａｃａｌ ｐｒｅｄｉｃｔｏｒｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｒｉｄ ｅｓｔｉａｔｍｉｏｎ ｂｙ ｃｒｉｔｅｒｉａ ｏｆ ｍｅａｎ ｄｉｓｐｅｒｓｉｏｎ ｅｒｒｏｒ ｍａｔｒｉｘ ａｎｄ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｒｉｓｋ ｆｕｎｃｔｉｏｎ．Ａ ｎｅｃｅｓｓａｒｙ ａｎｄ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｏｆ ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｏｆ ｉｔｓ ｓｕｐｅｒｉｏｒｉｔｙ ａｒｅ ｇｉ，，ｃｎ ｕｎｄｅｒ ｔｈｅ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｏｆ ａｂｏｖｅ ｃｒｉｔｅｒｉａ ｂｙ ｓｏｍｅ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｓ ｏｆ ｍａｔｅｒｉｘＡ＿ｎ ａｌｔｅＩＴＩａｔｉｖｅ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ．ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｆｏｒ ｔｈｅ ｆｕｒｔｈｅｒ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｏｆ ｓｕｐｅｒｉｏｒｉｙ ｏｆｔ ｔｗｏ ｐｒｅｄｉｃｔｏｒｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｂｉｓｅｄ ａｓｔｅｉｍａｔｉｏｎＫｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｐｒｅｄｉｃｔｏｒ；ｒｉｄｇｅ ｅｓｔｉｍａｔｏｒ；ｍｅａｎ ｄｉｓｐｅｒｓｉｏｎ ｅｒｒｏｒ ｍａｔｒｉｘ ． （责任编辑张苹）
