万有引力知识点总结

1．“地心说”和“日心说”的发展过程：“地心说“代表—托勒密； “日心说”代表—哥白尼 2．开普勒行星运动定律

(1)开普勒第一定律(轨道定律)

行星运动的轨道不是正圆，行星与太阳的距离一直在变。有时远离太阳，有时靠近太阳。它的速度的大小、方向时刻在改变。示意图如下：

所有的行星围绕太阳运行的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上，这就是开普勒第一定律。

(2)开普勒第二定律（面积定律）—

对于任意一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积。 根据开普勒第二定律可得，行星在远日点的速率较小，在近日点的速率较大。 (3)开普勒第三定律（周期定律）

所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等，这是开普勒第三定律。

每个行星的椭圆轨道只有一个，但是它们运动的轨道的半长轴的三次方与公转周期的平方的比值是相等的。

R3我们用R表示椭圆的半长轴，T代表公转周期，表达式可为2k

T显然k是一个与行星本身无关的量，只与中心体有关。开普勒第三定律对所有行星都适用。对于同一颗行星的卫星，也符合这个运动规律。 3、万有引力定律

（2）定律的内容： 自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比。

（3）定律的公式： 如果用m1和m2表示两个物体的质量，用r表示它们的距离，那么万有引力定律可以用下面的公式来表示FGm1m2 2r（4）说明：

①万有引力定律的适用条件：万有引力定律中的物体是对质点而言，不能随意应用于一般物体。

对于相距很远因而可以看作质点的物体，公式中的r 就是指两个质点间的距离；对均匀的球体，可以看成是质量集中于球心上的质点，这是一种等效的简化处理方法。

思考：在公式中，当r→0时，F→∞是否有意义？

②．万有引力的普遍性：任何客观存在的有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力。

③．万有引力的相互性：两物体间相互作用的引力，是一对作用力和反作用力。引力的方向在两质点的连线上。

④．G为引力常量，适用于任何两个物体，在数值上等于两个质量都是1kg的物体相距1m时的相互作用力，

－1122

其数值与单位制有关。在SI制中，G＝6.67×10N·m/kg，这个引力常量的出现要比万有引力定律晚一百多年哪！是英国的物理学家卡文迪许测出来的。在运用万有引力定律计算时，公式中各量的单位须统一使用国际单位制。

⑤．行星绕太阳的运动所需的向心力就是太阳对行星的引力，卫星绕行星运动所需的向心力就是行星对卫星的引力。

4、万有引力理论的成就 （1）计算天体的质量：

Mmgr2① 在地球表面或附近的物体重力近似的等于万有引（该r为地球的半径） ： G2mgM

Gr②无论在地球表面还是非地球表面，物体的向心力都是由万有引力提供所以：

- 1 -

42r32M3r3GT（2）计算天体的密度：天体的密度， 4VGT2R33R3若绕行的天体靠近中心天体表面运行，则可以认为r=R,则此时3GT2

（3）发现未知天体：海王星和冥王星 5、宇宙航行

（1）天体运动的研究：天体运动可看成是匀速圆周运动——其所受引力全部提供天体做圆周运动所需的向心力。由F引= F心得：

Mmv2GM讨论：（1）由G2m2可得：v r越大，V越小。

rrr（2）由GMmm2r可得：GM3 r越大，ω越小。 2rr2Mm2（3）由G2mr可得：T2r3rT（4）由G

GM r越大，T越大。

MmGM可得： r越大，a向越小。 maa向向22rr（2）地球同步卫星:

（3）①定周期：T=24h ②定轨道平面：地球同步卫星的轨道平面均在赤道平面内

3

③定高度（离地面高度36000km） ④定速度（运转速度均为3.1×10m/s）

⑤定点（每颗同步卫星都定点在世界卫星组织规定的位置上）。 对同步卫星：运动规律：

GMGMr3M

v ， ， T=2 ，aG.32 rrGMr

由于同步卫星的运动周期确定（为T=24h），故而 其 r、 v、ω、T 、a 、g ’均为定值。

①第一宇宙速度（环绕速度）：是卫星环绕地球表面运行的速度，也是绕地球做匀速圆周运动的最大速度，也是发射卫星的最小速度V1=7.9Km/s。 ②第二宇宙速度（脱离速度）：使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，V2=11.2Km/s。 ③第三宇宙速度（逃逸速度）：使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，V3=16.7 Km/s。 6、经典力学的局限性

经典力学的适用范围：宏观、低速和弱力情况。

例.两颗人造卫星A、B绕地球作圆周运动，周期之比为TA：TB=1：8，则轨道半径之比和运动速率之比分别为（ ）

例.宇航员站在一星球表面上的某高处，以初速度V0沿水平方向抛出一个小球，经过时间t，球落到星球表面，

- 2 -

小球落地时的速度大小为V. 已知该星球的半径为R，引力常量为G ，求该星球的质量M。

例. 宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球经时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点的距离为L，若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为√3L，已知两落地点在同一平面上，该星球的半径为R，万有引力常量为G，求该星球的质量M。 2Mmv22经验总结———“天上”：万有引力提供向心力 一条龙：Fma=G2＝m=mr2=mrrrT

“地上”：万有引力近似等于重力 黄金代换：GM＝gR

（4）双星：两者质量分别为m1、m2，两者相距L

特点：距离不变，向心力相等，角速度相等，周期相等。

vm双星轨道半径之比： R112双星的线速度之比： R2v2m1知识点一 万有引力应用

两条线索

Mmv242G2m[8]m2r[9]m2r(1)万有引力=向心力 rrT(2)重力=向心力 v2422mgr[10]m[11]mr[12]m2r rTG

2Mm2

= mg GM=gR (黄金代换式) 2R1、（中心天体质量密度）一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v0假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N，已知引力常量为G,则这颗行星的质量为

mvA．

GN2mv B.

GN4Nv C．

Gm2Nv D.

Gm4

2、（多天体比较）假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为d。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为 A．1Rd2R2dd B．1 C．() ) D．(RRRRd3、（多天体比较）火星探测项目我过继神舟载人航天工程、嫦娥探月工程之后又一个重大太空探索项目。假设火星探测器在火星表面附近圆形轨道运行周期为T，神州飞船在地球表面附近圆形轨道运行周期为T2，火星质量与地球质量之比为p，火星半径与地球半径之比为q，则T、T2之比为

A.

pq B. 31pq3 C. pq3 D. qp3

4、（中心天体质量密度）若有一艘宇宙飞船在某一行星表面做匀速圆周运动，设其周期为T，引力常数为G，那么该行星的平均密度为（ ）

B

3GT24GT2A. B. D. 2 C. GT43GT2

5、（多天体比较）近年来，人类发射的多枚火星探测器已经相继在火星上着陆．某火星探测器绕火星做匀速圆周运动，它的轨道距火星表面的高度等于火星的半径，它的运动周期为T，则火星的平均密度ρ的表达式

- 3 -

为(k为某个常数)( )

kTk2

C．ρ＝kT D．ρ＝2

TA．ρ＝kT B．ρ＝

6、（中心天体质量密度）如图K19－3所示，美国的“卡西尼”号探测器经过长达7年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道．若“卡西尼”号探测器在半径为R的土星上空离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n周飞行时间为t，已知引力常量为G，则下列关于土星质量M和平均密度ρ的表达式正确的是( )

2334πR＋h3πR＋hA．M＝，ρ＝ 223

GtGtR22

4πR＋h3πR＋hB．M＝，ρ＝

Gt2Gt2R3223234πtR＋h3πtR＋hC．M＝，ρ＝

gn2Gn2R3223234πnr＋h3πnR＋hD．M＝，ρ＝

Gt2Gt2R3

2

知识点二 双星模型、多星模型

7、两颗靠得较近的天体称为双星，它们以连线上某点为圆心作匀速圆周运动，因而不至于由于引力作用而吸引在一起，以下说法中正确的是（ BD ） A．它们作圆周运动的角速度之比与其质量成反比 B．它们作圆周运动的线速度之比与其质量成反比 C．它们所受向心力之比与其质量成反比

D．它们作圆周运动的半径与其质量成反比。

8、如右图，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速 圆周运动，星 A和B两者中心之间距离为L。已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧。引力常数为G。

（1）求两星球做圆周运动的周期。

（2）在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行为的

周期记为T1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期T2。已知地球和

2422

月球的质量分别为5.98×10kg 和 7.35 ×10kg 。求T2与T1两者平方之比。（结果保留3位小数）

9、宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可 忽略其它星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设每个星体的质量均为m。 （1）试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期。

（2）假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？

知识点三 宇宙速度 含义：（1）第一宇宙速度(环绕速度)：v1=7.9 km/s，是人造地球卫星的最小发射速度，最大绕行速度.

（2）第二宇宙速度(脱离速度)：v2=11.2 km/s，是物体挣脱地球的引力束缚需要的最小发射速度. （3）第三宇宙速度（逃逸速度）：v3=16.7 km/s，是物体挣脱太阳的引力束缚需要的最小发射速度.

F2 R F1 - 4 -

环绕速度推算：vgR地 vGM R地Mmv2GM推导一：物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力即G2m，得v。

R地R地R地v2推导二：物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动需要的向心力等于重力，即mgm，得vgR地

R地10、若取地球的第一宇宙速度为8 km/s，某行星的质量是地球质量的6倍，半径是地球的1.5倍，这顺行星的第一宇宙速度约为（ ） A. 2 km/s B. 4 km/s

C. 16 km/s D. 32 km/s

11、[2011·杭州检测] 宇航员在一行星上以10 m/s的初速度竖直上抛一质量为0.2 kg的物体，不计阻力，经2.5 s后落回手中，已知该星球半径为7 220 km. (1)该星球表面的重力加速度是多大？

(2)要使物体沿水平方向抛出而不落回星球表面，沿星球表面抛出的速度至少是多大？

(3)若物体距离星球无穷远处时其引力势能为零，则当物体距离星球球心r时其引力势能Ep＝－G(式中m为物体的质量，M为星球的质量，G为引力常量)．问要使物体沿竖直方向抛出而不落回星球表面，沿星球表面抛出的速度至少是多大？

知识点四 同步卫星与卫星变轨等卫星问题

同步卫星：“六同”：即同轨道面（同在赤道的正上方）、同周期（与地球自转的周期相同）、同角速度、同高度、同线速度大小、同向心加速度大小。“同”（通常情况）：质量不同、向心力的大小不同、动能、势能、机械能不同。

MmrhrR35800km

环绕模型：不同物理量与半径关系

T2r3GM ωGMGMGMa v向r2rr3总结：“越高越慢”，只有T与r正相关

变轨判定：提供的力与所需力比较

当F>mv2／r时，卫星做近心运动，此时卫星的速度将变大； 当F12、关于环绕地球运动的卫星，下列说法中正确的是 （ ） A、分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星，不可能具有相同的周期 B、沿椭圆轨道运行的一颗卫星，在轨道不同位置可能具有相同的速率 C 、在赤道上空运行的两颗地球同步卫星，它们的轨道半径有可能不同 D、沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星，它们的轨道平面一定会重合 13、

通信卫星大多是相对地球“静止”的同步卫星，在地球周围均匀地配置3颗同步通信卫星，通信范围就覆盖了几

乎全部地球表面，可以实现全球通信。假设地球同步卫星的轨道半径是地球半径的n倍，则下列说法中正确的是 （ ） A．地球同步卫星运行的角速度与地球自转的角速度相等

B．同步卫星的运行速度是第一宇宙速度的1倍

n- 5 -

C．同步卫星的运行速度是地球赤道上物体随地球自转速度的n倍 D．同步卫星的向心加速度是地球表面重力加速度的

2

1倍（忽图地球自转影响） n14、地球同步卫星到地心的距离r 可用质量M、地球自转周期T与引力常量G表示为r=____________.

15、（变轨问题）为了探测X星球，载着登陆舱的探测飞船在该星球中心为圆心，半径为r1的圆轨道上运动，周期为T1，总质量为m1。随后登陆舱脱离飞船，变轨到离星球更近的半径为r2 的圆轨道上运动，此时登陆舱的质量为m2则

A. X星球的质量为M42r1GT12

B. X星球表面的重力加速度为gX42r1T12

C. 登陆舱在r1与r2轨道上运动是的速度大小之比为

v1v2m1r2 m2r1D. 登陆舱在半径为r2轨道上做圆周运动的周期为T2T1r2r133

16、如果把水星和金星绕太阳的运动视为匀速圆周运动，从水星与金星在一条直线上开始计时，若天文学家测得在相同时间内水星转过的角度为θ1，金星转过的角度为θ2(θ1、θ2均为锐角)，则由此条件不能求出( C ) 、 A．水星和金星绕太阳运动的周期之比 B．水星和金星到太阳的距离之比 C．水星和金星的密度之比

D．水星和金星绕太阳运动的向心加速度大小之比

17、2009年5月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A点从圆形轨道Ⅰ 进 入椭圆轨道Ⅱ，B为轨道Ⅱ上的一点，如图所示，关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有

（A）在轨道Ⅱ上经过A的速度小于经过B的速度

（ B）在轨道Ⅱ上经过A的动能小于在轨道Ⅰ上经过A 的动能 （C）在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期

（D）在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度

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万有引力与航天 典型习题

1．设土星绕太阳的运动是匀速圆周运动，若测得土星到太阳的距离为Ｒ，土星绕太阳运动周期是Ｔ，已知万有引力恒量为Ｇ，根据这些数据，能够求出的量有（ ） Ａ．土星线速度的大小 Ｂ．土星加速度的大小 Ｃ．土星的质量 Ｄ．太阳的质量

Gm1m2，下列说法正确的是（ ）

2．对于万有引力定律的数学表达式 F= 2A．公式中G为引力常数，是人为规定的。 rB．r趋近于零时，万有引力趋于无穷大。

C．m1、m2之间的引力总是大小相等，与m1、m2的质量是否相等无关。 D．m1、m2之间的万有引力总是大小相等，方向相反，是一对平衡力。 3．已知以下哪组数据，可计算出地球的质量M（ ）

Ａ．地球绕太阳运行的周期Ｔ地及地球离太阳中心的距离Ｒ地日 Ｂ．月球绕地球运行的周期Ｔ月及月球离地球中心的距离Ｒ月地 Ｃ．人造地球卫星在地球表面附近绕行时的速度ｖ和运行周期Ｔ卫 Ｄ．若不考虑地球的自转，已知地球的半径及重力加速度

4．两个行星的质量分别为m1和m2，绕太阳运行的轨道半径分别是r1和r2，若它们只受太阳万有引力作用，那么，这两个行星的向心加速度之比为：（ ）

2

A．1 B．m2r1∶m1r2 C．m1r2∶m2r1 D．r22∶r1

5．组成星球的物质是靠引力吸引在一起的，这样的星球有一个最大的自转速率，如果超过了该速率，星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的物体做圆周运动，由此能得到半径为r，密度为，质量为M且均匀分布的星球的最小自转周期T，下列表达式中正确的是（ ）

r33r33A. T2 B. T2 C. T D. T

GGGMGM6．a是静止在地球赤道上的物体，b是探测卫星，c是地球同步卫星，它们在同一平面内沿不同的轨道绕地心做

匀速圆周运动，且均沿逆时针方向绕行。若某一时刻，它们正好运行到同一条直线上（如图甲所示），则再经过6小时，乙图中关于a、b和c三者位置的图示可能正确的是( )

7．两颗人造卫星A、B绕地球做匀速圆周运动，半径之比为1：4，则下列说法正确的是（ ） A．周期之比TA：TB=1：8，线速度之比vA:vB2:1 B．周期之比TA：TB=1：8，线速度之比vA:vB1:2

C．向心加速度之比aA:aB1:16，角速度之比A:B8:1 D．向心加速度之比aA:aB16:1，角速度之比A:B8:1 8.关于地球的第一宇宙速度，下面说法中正确的是（ ） A．它是人造地球卫星绕地球运行的最小环绕速度

B．它是在近地圆形轨道上运行的人造地球卫星的环绕速度 C．它是在地面上发射人造地球卫星的最大发射速度

D．它是在地球同步轨道上运行的人造地球卫星的环绕速度

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9.绕地球作圆周运动的人造卫星中，有一与内壁相接触的物体，这个物体（ ） A．受到地球的吸引力和卫星内壁的支持力的作用 B．只受地球吸引力的作用

C．物体处于失重状态，不受任何力的作用 D．受到地球的吸引力和向心力的作用 10.下面关于同步卫星的说法正确的是（ ）

A .同步卫星和地球自转同步，卫星的高度和速率都被确定

B .同步卫星的角速度虽然已被确定，但高度和速率可以选择，高度增加，速率增大； C .我国发射的第一颗人造地球卫星的周期是114分钟，比同步卫星的周期短，所以第一颗人造地球卫星离地面的高度比同步卫星低

D .同步卫星的速率比我国发射的第一颗人造卫星的速率小

11.某人造卫星由于受到大气的阻力，做轨道半径逐渐减小的螺旋线运动，设每时刻可以近似看作是一个圆周运动（只是半径逐渐减小），则卫星的速率___________；周期__________；动能_________；重力势能_________；机械能_______(填变大、变小或不变)。 12．在某星球表面上以v0竖直上抛一物体，经时间t回到抛出点，问在此星球上至少以多大的速度水平抛出该物，才能使该物不再落回到星球上？（设星球的半径为R）

13．人类发射的空间探测器进入某行星的引力范围后，绕该行星做匀速圆周运动，已知该行星的半径为R，探测器运行轨道在其表面上空高为h处，运行周期为T。 （1）该行星的质量和平均密度？（2）探测器靠近行星表面飞行时，测得运行周期为T1，则行星平均密度为多少？

14．在火箭的实验平台上放有测试仪器，火箭起动后以g/2的加速度竖直匀加速上升，到某一高度时仪器对平台的压力为起动前对平台压力的17/18，求：此时火箭离地面的高度？（已知地球半径为R,地面重力加速度为g)

15．在勇气号火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火星表面上，再经过多次弹跳才停下来。假设着陆器第一次落到火星表面弹起后，到达最高点时高度为h，速度方向是水平的，速度大小为v0，求它第二次落到火星表面时速度的大小，计算时不计火星大气阻力。已知火星的一个卫星的圆轨道的半径为r，周期为T。火星可视为半径为r0的均匀球体。

16．我们的银河系中的恒星大约四分之一是双星。有一种双星，质量分别为m1和m2的两个星球，绕同一圆心做匀速圆周运动。它们之间的距离恒为L，不考虑其他星体的影响。两颗星的轨道半径和周期各是多少？

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