专业名称：机械制造与自动化 姓名：晏光胜 学号：15830187
第一次作业
11、 求下列微积分方程的通解 （1）Xy’-ylny=0
解：由Xy’-ylny=0分离变量得：dy/ylny=dx/x两边积分得：ln∣lny∣=ln∣x∣+c所以通解：lny=cx （2）3x2+5x-5y’=0
解由：3x2+5x-5y’=0解得：5dy/dx=3x2+5x dy=(3/5x2+x)dx y’=3/5x2+x
通解：y=(1/5)x3+(1/2)x2+c （3）(y+1)2dy/dx+x3=0
解由：(y+1)2dy/dx+x3=0解得通解：1/3(y+1)3+1/4x4=c 12、 求下列一阶微分方程的通解 （1）dy/dx+y=e-x
解由：dy/dx+y=e-x解得：y=ce-x+xe-x （2）xy’+y=x2+3x+2
解由: xy’+y=x2+3x+2解得(xy)’ =x2+3x+2通解:y=c/x+(1/3)x2+(3/2)x+2 （3）dy/dx+2xy=4x
解由dy/dx+2xy=4x 解得通解：y=ce-x2+2 （4）dy/dx+3y=8, y∣x=0=2 解由:dy/dx+3y=8
解得:y=ce-3x+8/3再由： y∣x=0=2解得:c= -2/3解得通解:y=(-2/3)e-3x+8/3 13、求下列二阶微分方程的通解 (1)y”+y’-2y=0
解由: y”+y’-2y=0解得:r2+r-2=0根为：r1=1 r2=-2通解为:y=c1e-2x+c2ex (2)4d2x/dt2-20dx/dt+25x=0
解由: 4d2x/dt2-20dx/dt+25x=0解得:4r2-20r+25=0根为:r1=r2=5/2 通解为:x=(c1+c2t)e5/2t (3)y”-4y’+5y=0
解由: y”-4y’+5y=0解得:r2+4r+5=0根为:r1=2+i r2=2-i 通解为:x=(c1cosx+c2sinx)e2x
(4)y”-4y’+3y=0，y∣x=0=6,y”∣x=0=10
解由：y”-4y’+3y=0解得:r2-4r+3=0根为:r1=1 r2=3得出:y=c1ex+c2e3x 再由y=∣x=0=6, y’∣x=0=10解得:c1=4 c2=2 通解为:y=4ex+2e3x
14、求下列各函数的定义域 (1)z=ln(y2-2x+1)
解：D={(x,y):y2-2x+1>0} (2)z=1/(√x+y)+1/(√x-y)
解：D=｛（x,y）:x>∣y∣｝ 15、求下列函数的偏导数
（1）z=x3y-y3x (2)z=sin(xy)+cos2(xy)
解：Zx’=3x2y-y3 解：Zx’=ycos(xy)-2ycos(xy)sin(xy) Zy’=x3-3y2x Zy’=xcos(xy)-2ycos(xy)sin(xy) (3)z=(1+2x)y 解:Zx’=2y(1+2x)y-1 Zy’=(1+2x)yln(1+2x)
16、求下列函数的∂2z/∂X2,∂2z/∂y2和∂2z/∂x∂ y (1)z=x4+y4-4x2y2 解:zx’=4x3-8xy2 Zxx’=12x2-8y2
Zy’=4x3-8x2y
Zyy’=12y2-8x2
Zxy’=-16xy (2)z=yx
解:zx’=yxlny Zxx”=yx(lny)2 Zy’=xyx-1 Zyy”=x(x-1)yx-2 Zxy”=yx-1(xlny+1) 17、验证
（1）y=e-kn2tsinnx满足∂y/∂t=k∂2y/∂x2 解:yt’=-kn2e-n2tsinnx yx’=ne-kn2tcosnx
yxx”=-n2e-kn2tsinnx ∂x/∂t=k∂2y/∂x2
(2)√(x2+y2+z2)满足∂2r/∂x2+∂2r/∂y2+∂2r/∂z2=2/r 解:∂r/∂x=y/r ∂2r/∂x2=(r-xx/r)/r2=(r2-x2)/r3 ∂r/∂x=y/x ∂2r/∂y2=(r2-y2)/r3 ∂r/∂z=z/r ∂2r/∂z2=(r2-z2)/r3 ∂2r/∂x2+∂2r/∂y2+∂2r/∂z2=2/r
第二次作业
7、设z=u2+v2,而u=x+y,v=x-y,求∂z/∂x,∂z/∂y 解:代入可得:z=u2=v2=(x+y)2+(x-y)2=2(x2+y2) 所以zx’=4x Zy’=4y
8、设z=ex-2y,而x=sint,y=t3求dz/dt 解:代入可得z=esint-2t3 Zt’=esint-2t3(cost-6t2)
9、求函数f(x.y)-4(x-y)-x2-y2的极值
解:由fx’(x,y)=4-2x=0和fy’(x,y)=-4-2y=0,得x=2,y=-2 所以A=fxx”(x,y)=-2, B=fxy”(x,y)=0, c=fyy”(x,y)=-2 且AC-B2=4>0故A<0,f(2,-2)=16-4-4=8是极大值 10、求函数f(x,y)=(6x-x2)(4y-4y2)的极值
解:由fx’(x,y)=(6-2x)(4y-y2)=0得x=3或y=0或y=4再由
fy’(x,y)=(6x-x2)(4-2y)=0得x=0或x=6或y=2容易看出只有x=3和y=2可能是极值点，经判断可知：f(3,2)=36是极大值。 11、计算下列二重积分
（1）∬D(3x+2y)dℴ，其中D是由两坐标轴及直线x+y=2所围成的闭区域
解：I=∫02dx∫02-x3x+2ydy=∫02[6x-3x2+(y2)02-x]dx =∫02(-2x2+2x+4)dx=20/3
(2)∬ D(x3+3x2y+y3)dQ,其中D是矩形闭区间：0≤x≤1,0≤y≤1 解：I=∫01dx∫01(x3+3x2y+y3)dy=∫01dx(∫01x3dy+∫013x2ydy+∫01y3dy)=∫01[x3+(3x2.1/2y2+1/4y4)01]dx=∫01(x3+3/2x2+1/4)dx=1
(3)∬Dcos(x+y)dℴ其中D是顶点分别为（0，0）（n,0）和（n,n）的三角形闭区域
解:I=∫0лdx∫0xcos(x+y)dy=∫0лdx∫0xcos(x+y)d(x+y)
=∫0л[sin(x+y)]0xdx=∫0л(sin2x-sinx)dx=[-1/2cos2x+cosx]0л=-2
12、 利用格林公式计算下列曲线积分
（1）∮(2x-y+4)dy+(5y+3x-6)dy其中L为三顶点分别为（0，0），（3，0）和（3，2）的三角形正向边界
解：令p=2x-y+4 ℴ=5y+3x-6显然p,ℴ在D上具有一阶连续偏导数，L取向为D的正向边界曲线，原式=∬D(∂Q/∂x-∂p/∂y)dxdy =∬D[3-(-1)]dxdy=4.3.2.1/2=12
(2)∫L(x2-y)dx-(x+sin2y)dy其中L是在圆周y=√2x-x2上由点（0，0）的一段弧
解：令p=x2-y,ℴ=-(x+sin2y)则∂p/∂y=-1=∂ℴ/∂x因此原点曲线积分与路径无关，取L:y=x,0≤x≤1,则原式=∫Lpdx+ℴdy =∫01(x2-2x-sin2x)dx=1/3-1-1/2+sin2/4=sin2/4-7/6
13、 用比值审敛法判别下列级数的收敛性 （1）∑xn=1n2/3n
解：(Un+1)/Un=(n+1)2/3n+1.3n/n2=1/3.[(n+1)/n]2
limn→∞(Un+1)/Un= limn→∞1/3[(n+1)/n]2=1/3<1,根据比值审敛法可知该级数收敛
（2）∑n=1∞(Un+1)/Un=(n+1)/2n.2n-1/n=1/2[(n+1)/n]
limn→∞(Un+1)/Un= limn→∞1/2[(n+1)/n]=1/2<1,根据比值审敛法可知该级数收敛 (3)∑n=1∞[n/(2n+1)]n
解：因为limn→∞n√Un= limn→∞n√[n/(2n+1)]2
= limn→∞n/(2n+1)=1/2<1根据比值审敛法可知该级数收敛
第三次作业
5、利用极坐标计算下列各题：
（1）∬Dex2-y2dℴ,其中D是由圆周x2+y2=4所围成的闭区域 解：利用极坐标变换，I=4∫0л/2dℴ∫02rer2dr=4∫0л/2dℴ[1/2er2]02 =л(e4-1)
(2)∬D√x2+y2dℴ其中D是圆环闭区域∂2≤x2+y2≤b2
解：利用极坐标变换,I=4∫0л/2dℴ∫abr√r2dr=4.л/2∫abr2dr =2л.[1/3r3]ab=2/3л(b3-a3)
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