依赖型二元语义有序加权平均算子

依赖型二元语义有序加权平均算子

卫贵武1，2

1.西南交通大学经济管理学院，四川成都 （610031）

2. 川北医学院数学系，四川南充（637007）

摘 要：针对解决具有语言评价信息的多属性群决策问题，提出了一种基于二元语义信息处理的群决策方法。该方法首先描述了二元语义信息集结的有序加权平均(T-OWA)算子，并提出了一种依赖型二元语义有序加权平均 (DT-OWA)算子。该算子相关联的加权向量依赖于被集结的二元语义，并且对错误或有偏见的二元语义赋予较低的权重来减轻不公平性对评价结果的影响。然后提出了一种基于T-WA算子和DT-OWA算子的群决策方法。该方法具有对语言信息处理较为精确的特点，避免了以往采用的语言信息处理方法所带来的信息扭曲和损失。最后给出了一个实例分析。

关键词：群决策；T-OWA算子；DT-OWA算子；二元语义；集结 中图分类号：C934 文献标识码：A

1 引言

在许多实际的群决策过程中,由于决策问题的复杂性和决策者对事物判断的模糊性,决策者以模糊语言形式的评价信息来反映自己的偏好是最为常见的情形[1,2 ]；因此，近年来有关语言评价信息的群决策理论与方法的研究受到了广泛关注。在以往的具有语言评价信息的群决策方法中，大致可分为两类：一类是将语言评价信息转化为模糊数，并依据扩展原理进行模糊数运算与分析[3~5 ]；另一类方法是符号转移方法,即根据语言评价集自身的顺序和性质直接对语言短语符号进行运算或处理[6]。但这两类方法都存在一定的局限性,即对个体语言评价信息通过集结得到的群评价信息往往不能用事先定义的语义评价集中的单个语义短语来准确表达,而必须有一个近似过程,从而造成信息的损失和集结结果的不精确性。为此，西班牙学者Herrera教授于2000年首次提出了关于语言信息集结的二元语义分析方法[7]，较好地克服了以往研究方法的缺陷，同时还提出了二元语义有序加权平均(T-OWA)算子，并将其成功地应用于多粒度语言标度的多属性决策分析之中[8]。文献[9]将传统的模糊集结算子中的有序加权几何(OWG)算子扩展为二元语义有序加权几何(T-OWG)算子,并进一步分析了T-OWA算子和T-OWG算子所具有的性质。文献[10]提出了一种新的二元语义混合加权平均(T-HWA)算子,同时证明了T-WA算子和T-OWA算子均为T-HWA算子的特例。同时该文也指出了T-WGA算子和T-OWG算子均为T-HWG算子的特例。本文针对解决具有语言评价信息的多属性群决策问题[10,14-22]，利用文献[11,12]的思想，将文献[11]的DOWA算子拓展到二元语义环境，提出了一种新的二元语义集结算子：依赖型二元语义有序加权平均 (DT-OWA)算子，与该算子相关联的加权向量依赖于被集结的二元语义，并且对错误或有偏见的二元语义赋予较低的权重来减轻不公平性对评价结果的影响。然后提出了一种基于T-WA算子和DT-OWA算子的二元语义多属性群决策方法。最后，用实例来说明本文提出的方法。

2 二元语义信息及其集结算子

二元语义信息[7-8]是指针对某目标(或对象、准则)给出的评价值结果由二元组(sk,ak)来表示。其元素sk和ak的含义描述如下：

(1) sk为预先定义好的语言评价集S={sT,sT−1,L,s0}中的第k个元素，它表示给出或得到的语言评价信息与初始语言评价集中最贴近的语言短语。例如一个由7个元素(即语言评

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价)构成的语言评价集S可定义为：

S={s6=FZ(非常重要)，s5=HZ(很重要)，s4=Z(重要)，s3=YB(一般)，s2=C(差)，s1=HC(很差)，s0=FC(非常差)}一般要求S具有如下性质： ① 有序性：当i≥j时，有si≥sj；

② 存在逆运算算子：Neg(si)=sj，其中j=T−i；

③ 极大化运算和极小化运算：当 si≥sj时，有 maxsi,sj=si；minsi,sj=sj。

{}{}0.5)，它表示评价结果与sk的偏差。 (2) ak称为符号转移值，且满足ak∈⎡⎣−0.5，

定义1[7] 若sk∈S是一个语言短语，那么，相应的二元语义形式可以通过下面的函数θ获得：

θ:S→S×⎡0.5) (1) ⎣−0.5，

即

θ(si)=(si,0),si∈S. (2)

定义2[7] 设实数β∈[0，T]为语言评价集S经某集结方法得到的实数，则β可由如下的函数∆表示为二元语义信息

∆：0.5) (3) [0，T]→S×⎡⎣−0.5，

即

⎧k=round(β)⎪sk，

(4) ∆(β)=⎨

0.5)⎪⎣−0.5，⎩ak=β−k，ak∈⎡

其中，round为四舍五入取整算子。

定义3[7] 设(sk,ak)是一个二元语义，其中sk为S中第k个元素，ak∈⎡0.5)，则⎣−0.5，存在一个逆函数∆，使其转换成相应的数值β∈[0,T]

−1

∆−1：S×⎡0.5)→[0，T] (5) ⎣−0.5，

即

∆−1(sk,ak)=k+ak=β (6)

假设(sk,ak)和(sk,ak)为两个二元语义，关于二元语义的比较有如下的规定： (1) 若k(2) 若k=l，①ak=al，则(sk,ak)=(sl,al)；②ak③ak>al，则(sk,ak)>(sl,al)。 定义4[7] 设

{(s,a),(s,a),K,(s,a)}是一组二元语义信息，相应的权重向量为

1

1

2

2

nn

ω=(ω1,ω2,L,ωn)，ωj∈[0,1],且∑ωj=1，则二元语义加权平均(T-WA)算子定义为

j=1

T

n

%,a%)=ϕ((s1,a1),(s2,a2),K,(sn,an)) (s

-2-

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⎛n⎞−1

%∈S,a%∈⎡0.5) (7) =∆⎜∑ωj∆(sj,aj)⎟，s⎣−0.5，

⎝j=1⎠

定义5[7] 设

{(s,a),(s,a),K,(s,a)}是一组二元语义信息，相关联的权重向量为

1

1

2

2

n

n

T

nj=1

w=(w1,w2,L,wn)，wj∈[0,1],且∑wj=1，则二元语义有序加权平均(T-OWA)算子φ定

义为

(s,a)=φ((s1,a1),(s2,a2),K,(sn,an))

⎛n⎞−1

0.5) (8) =∆⎜∑wj∆sπ(j),aπ(j)⎟，s∈S,a∈⎡⎣−0.5，

⎝j=1⎠

()其中

(π(1),π(2),L,π(n))是(1,2,L,n)的一个置换，对任意的

,aπ(j−1)≥sπ(j),aπ(j)。

j=2,L,n，满足

(s(πj−1))()由定义5知道，T-OWA算子的一个重要的步骤是如何合理地确定与它们相关联的权向量。下面我们提出依赖型二元语义有序加权平均(DT-OWA)算子，与该算子相关联的权向量依赖于被集结的二元语义信息。

3 依赖型二元语义有序加权平均(DT-OWA)算子

定义6[7] 设的平均值为

{(s,a),(s,a),K,(s,a)}是一组二元语义信息，则该组二元语义信息

1

1

2

2

n

n

*⎛1n−1⎞*

,,0.5) (9) sasa=∆∆()⎜n∑(jj)⎟,s∈S,a*∈⎡⎣−0.5，

⎝j=1⎠

*定义7 设(si,ai)和 sj,aj 为任意两个二元语义信息，则它们之间的 距离为

()d

1

((s,a),(s,a))=∆∆

i

i

j

j

2

2

n

n

−1

(si,ai)−∆−1(sj,aj) (10)

定义8 设标准差为

{(s,a),(s,a),K,(s,a)}是一组二元语义信息，则该组二元语义信息的

1

1nσ=∆−1(sj,aj)−∆−1(s*,a*)∑nj=1()2 (11)

*定义9设

{(s,a),(s,a),K,(s,a)}是一组二元语义信息，(s1

1

2

2

n

n,a*)是这该组二元

语义信息的平均值，则该组二元语义信息中第j大的二元语义信息sπ(j),aπ(j)与这组二元

**

语义信息的平均值s,a间的相似度为

()()-3-

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ssπ(j),aπ(j),(s,a*(()*))=1−

∆−1d

∑∆

j=1

n

−1

((sd((s

**,a,s,a()π(j)π(j))))π(j),aπ(j),(s*,a*)) (12)

其中

(π(1),π(2),L,π(n))是(1,2,L,n)的一个置换，对任意的

,aπ(j−1)≥sπ(j),aπ(j)。

j=2,L,n，满足

(s(πj−1))()在现实生活中，专家群在做决策时，往往带有很强的个人偏见，对自己偏好的方案给予

很高的二元语义，对自己厌恶的方案，给予很低的二元语义，这样不利于最优方案的选择。鉴于此，对有偏见的二元语义，应该给予较低的权重，即使说，如果二元语义接近二元语义的平均值，就给予较高的权重，反之，则给予较低的权重，从而保证决策的公平性。因此，我们对T-OWA算子按如下公式定义权重：

(( w=

∑s((s

j

nj=1

ssπ(j),aπ(j),(s*,a*)π(j)))),aπ(j),(s*,a*)), j=1,2,L,n. (13)

其中，wj≥0, j=1,2,L,n，并且

∑w

j=1

n

j

=1。

特别地，如果对任意的k,l=1,2,L,n，有

(sk,ak)=(sl,al), 那么由公式(13)决定的权

重为wj=

1

，j=1,2,L,n。 n

由(8)有

(s,a)=φ((s1,a1),(s2,a2),K,(sn,an))

⎛

⎜nssπ(j),aπ(j),(s*,a*)=∆⎜∑n∆−1sπ(j),aπ(j)⎜j=1**ss,a,s,a()∑jjππ()()⎜j1=⎝

(((())))()⎞⎟

⎟ (14) ⎟⎟⎠

由于

∑s((sπ(),aπ()),(sj

j

j=1

nj=1

n

*,a*)∆−1sπ(j),aπ(j)

)()=∑s(sj,aj),(s*,a*)∆−1(sj,aj) (15)

和

()∑s((sπ(),aπ()),(sj

j

j=1

n

*

,a*))=∑s((s,a),(sj

j

j=1

n

*,a*) (16)

)-4-

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从而将式(14)替换为

(s,a)=φ((s1,a1),(s2,a2),K,(sn,an))

⎛n⎞**−1

ss,a,s,as,a∆()()()∑jjjj⎜⎟j=1

⎟ (17) =∆⎜n

⎜⎟**ss,a,s,a()()∑jj⎜⎟j=1⎝⎠

()()将式(17)的T-OWA算子称为依赖型T-OWA(DT-OWA)算子，并且由于DT-OWA 算子的

集结值与二元语义信息的顺序无关，因此它也是一个净的(neat)算子。

定理1 假设

{(s,a),(s,a),K,(s,a)}是一组二元语义信息，其中s

1

1

2

2

n

n

j

∈S，

aj∈⎡0.5),j=1,2,L,n, (π(1),π(2),L,π(n))是(1,2,L,n)的一个置换，对任意⎣−0.5，

的

j=2,L,n，满足

πi

πi

πj

πj

(s(i

πj−1),aπ(j−1)≥sπ(j),aπ(j))()。 那么如果有

(s(),a())≥(s(),a())，则w≤w。

j

基于正态分布的思想

−1wj=e2πσ[12,13]

，下面给出决定T-OWA算子权重的另外一种方法：

(∆−1dsπ(j),aπ(j),s*,a*2σ2(()()))2

,

j=1,2,L,n. (18)

1

1

2

2

n

n

**其中σ和s,a为一组二元语义信息

(){(s,a),(s,a),K,(s,a)}的标准差和均

j=2,L,n，满足

值，

(π(1),π(2),L,π(n))是(1,2,L,n)的一个置换，对任意的

sαπ(j−1)≥sαπ(j)。

鉴于wj≥0, j=1,2,L,n ，并且

−1

∑w

j=1

**n

j

=1，由(18)有

2

wj=

1e2πσ(∆d((s(),a()),(s,a)))−

πj

πj

2σ2

∑j=1n

1e2πσ−

(∆d((s(),a()),(s,a)))−1

πjπj

**2=

e

n

(∆d((s(),a()),(s,a)))−

−1

πjπj

**2

2σ22σ2∑e

j=1

−

(∆d((s(),a()),(s,a)))−1

πjπj

**2

,

2σ2j=1,2,L,n. (19)

由(8)有

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(s,a)=φ((s1,a1),(s2,a2),K,(sn,an))⎛2

∆−1d((sπ(j),aπ(j)),(s*,a*)))⎜(⎜ne−2σ2−1

=∆⎜∑sπ(j),aπ(j)2∆**−1

⎜j=1n(∆d((sπ(j),aπ(j)),(s,a)))−⎜2σ2e∑⎜j=1⎝

()⎞

⎟⎟ ⎟⎟⎟⎟⎠

⎛∆−1d((sπ(j),aπ(j)),(s*,a*)))(⎜n−

2σ2e∆−1sπ(j),aπ(j)⎜∑j=1

=∆⎜2

∆−1d((sπ(j),aπ(j)),(s*,a*)))(⎜−n

2σ2⎜e∑j=1⎝

2

()⎞

⎟⎟

⎟ (20) ⎟⎟⎠

**2

由于

∑e

j=1

n

(∆d((s(),a()),(s,a)))−

−1

πjπj2

**2

2σ∆

−1

(sπ(j),aπ(j)=∑e

j=1

)n

(∆d((s,a),(s,a)))−

−1

j

j

2σ2

∆−1(sj,aj) (21)

和

∑e

j=1

n

(∆d((s(),a()),(s,a)))−

−1

πjπj

**2

2σ2=∑e

j=1

n

(∆d((s,a),(s,a)))−

−1

j

j

**2

2σ2 (22)

所以，式(20)可以替换为

(s,a)=φ((s1,a1),(s2,a2),K,(sn,an))

⎛n(∆−1d((sj,aj),(s*,a*)))⎞

−⎜⎟−12σ2∆es,a()jj⎟⎜∑j=1

⎟ (23) =∆⎜2

**−1

⎜⎟(∆d((sj,aj),(s,a)))n−⎜⎟2σ2

e∑⎜⎟j=1⎝⎠

2

很明显，式(23)也是一个净的依赖型DT-OWA算子。

可见，由式(13)和(19)确定的权重的原则是：二元语义偏好值越接**均值，相应的权重

越大， 反之则越小，从而对错误或有偏见的二元语义偏好值赋予较低的权重来减轻不公平

性对评价结果的影响。两个决定权重的不同之处在于后者对接**均值的二元语义偏好值赋予的权重要大于前者，而前者的计算相对简单,因而具有广泛的实用性。

4 基于T-WA和DT-OWA算子的二元语义多属性群决策方法

基于T-WA算子和DT-OWA算子的二元语义的多属性群决策方法的具体步骤为：

步骤1对于二元语义多属性群决策问题，设决策者Ek(k=1,2,L,t)对于方案

Ai(i=1,2,L,m)关于属性Gj(j=1,2,L,n)进行测度，得到Ai关于属性Gj的属性值

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rij(k)∈S，从而构成语言决策矩阵Rk=rij(k)n

()m×n

，ω=(ω1,ω2,L,ωn)为属性权重向量，

T

ωj∈[0,1]且∑ωj=1。利用式(2)将语言决策矩阵Rk=rij(k)j=1

()m×n

转换为二元语义决策矩阵

Rk=rij(),0

k

()m×n

。

步骤2 利用T-WA算子对二元语义决策矩阵Rk中的第i行的属性值进行集结，得到决策者Ek对方案Ai的综合二元语义

zi=ri,ai

(k)((k)(k))⎛n

=∆⎜∑ωj∆−1rij(k),0

⎝j=1

()⎞(k)(k),rS,a∈∈[−0.5,0.5) ⎟ii⎠

步骤3 利用DT-OWA算子对t位决策者给出的决策方案Ai的综合二元语义

zi(k)=ri(k),ai(k)()(k∈t)进行集结，得到决策方案A的群体综合二元语义：

i

⎛t(k)(k)(k)(k)**−1

∆sr,a,r,ar,ai()iiiii⎜∑

zi=(ri,ai)=∆⎜k=1

t

(k)(k)⎜sr,ai,(ri*,ai*)∑i⎜

⎝k=1

(())()⎞⎟

(())⎟

⎟⎟⎠

⎛1t−1(k)(k)⎞*,ri∈S,ai*∈⎡0.5) 其中，(ri,ai)=∆⎜∑∆ri,ai

⎟⎣−0.5，t⎝k=1⎠

**

()步骤4 利用zi=(ri,ai)(i∈m)对决策方案进行排序并择优。

5 实例分析

考虑某个风险投资公司进行项目投资问题,有5个备选企业A1󰀀A5,4个评价属性

G1󰀀G4(属性分别为风险因素,成长因素,社会政治影响因素和环境影响因素).假定评价属性

的权重为:

ω={0.3,0.1,0.2,0.4}。3位专家Ek(k=1,2,3)利用语言评估标度

S={s6=FZ(非常重要)，s5=HZ(很重要)，s4=Z(重要)，s3=YB(一般)，s2=C(差)，s1=HC(很差)，s0=FC(非常差)}所得的语言评估矩阵为

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G1

A1⎛YBA2⎜⎜CR1=A3⎜Z

⎜A4⎜HZA5⎜⎝FZ

G1

A1⎛ZA2⎜⎜HCR3=A3⎜HZ

⎜A4⎜ZA5⎜⎝YB

G2Z

HCYBCFCG2CZHCHZHC

G3CYBZCHCG3HCCZFZYB

G4G1G2YBFCZHCHC

G3HCZCHCYB

G4HC⎞

⎟Z⎟

⎟FZ⎟YB⎟HC⎟⎠

A1⎛CC⎞

⎟A2⎜C⎟⎜HC,

FC⎟R2=A3⎜YB⎟⎜

A4⎜FZZ⎟

A5⎜YB⎟⎠⎝CG4HZ⎞

⎟Z⎟

C⎟⎟HC⎟Z⎟⎠

试确定最佳企业。

下面利用本文的方法给出具体求解的计算步骤： 步骤1利用式(2)将语言决策矩阵Rk=rij

(())k

m×n

转换为二元语义决策矩阵

Rk=rij(),0

k

()m×n

，k=1,2,3。

⎛(YB,0)⎜

⎜(C,0)R1=⎜(Z,0)⎜

⎜(HZ,0)⎜(FZ,0)⎝⎛(C,0)⎜

⎜(HC,0) R2=⎜(YB,0)⎜

⎜(FZ,0)⎜(C,0)⎝⎛(Z,0)⎜

⎜(HC,0)R3=⎜(HZ,0)⎜

⎜(Z,0)⎜(YB,0)⎝

(Z,0)(HC,0)(YB,0)(C,0)(FC,0)(YB,0)(FC,0)(Z,0)(HC,0)(HC,0)(C,0)(YB,0)(Z,0)(C,0)(HC,0)(HC,0)(Z,0)(C,0)(HC,0)(YB,0)⎞⎟⎟

(FC,0)⎟

⎟(Z,0)⎟(YB,0)⎟⎠

(C,0)(C,0)(HC,0)⎞(Z,0)⎟⎟(FZ,0)⎟

⎟YB,0()⎟(HC,0)⎟⎠

(C,0)(HC,0)(HZ,0)⎞

(Z,0)(C,0)(Z,0)⎟⎟(HC,0)(Z,0)(C,0)⎟

⎟

HZFZHC,0,0,0()()()⎟(HC,0)(YB,0)(Z,0)⎟⎠

步骤2 利用T-WA算子对二元语义决策矩阵Rk中的第i行的属性值进行集结，得到决策

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者Ek所给出的决策方案Ai的综合二元语义

(1)(1)(1)(1)z1(1)=(YB,−0.5),z2=(C,0.1),z3=(C,0.3),z4=(Z,−0.3),z5=(YB,0.2) (2)(2)(2)(2)z1(2)=(C,−0.5),z2=(YB,−0.3),z3=(Z,0.1),z4=(Z,0.3),z5=(C,−0.3)

(3)(3)(3)(3)z1(3)=(Z,−0.4),z2=(YB,−0.3),z3=(YB,0.2),z4=(YB,0.3),z5=(YB,0.2)

步骤3 利用DT-OWA算子对3位决策者给出的决策方案Ai的综合二元语义

zi(k)=ri(k),ai(k)()(k=1,2,3)进行集结，得到决策方案A的群体综合二元语义：

i

z1=(YB,−0.48),z2=(YB,−0.45),z3=(YB,0.2),z4=(YB,0.4),z5=(YB,−0.17)

步骤4 利用zi=(ri,ai)(i=1,2,3,4,5)对决策方案进行排序。

因为 z4fz3fz5fz2fz1，所以方案排序结果为：A4fA3fA5fA2fA1。可见备选企业A4为最优投资方案。

6 结论

本文针对二元语义信息的集结问题，给出了一种新的集结算子：依赖型二元语义有序加权平均(DT-OWA) 算子。该算子相关联的加权向量依赖于被集结的二元语义，并且对错误或有偏见的二元语义赋予较低的权重来减轻不公平性对评价结果的影响。并提出了一种基于T-WA算子和DT-OWA算子的二元语义多属性群决策方法。最后进行了实例分析。该方法不但计算简便快捷，可充分利用已有的决策信息，而且能充分考虑决策者的自身重要性，并可消除个别决策者不公正的主观因素影响，避免了决策结果的不合理性。同时本文的方法具有较高的实用价值，可应用于投资决策、人事管理、项目评估、经济效益综合评价等诸多领域。

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http://www.paper.edu.cn

Dependent Two-tuple Ordered Weighted Averaging

Operator

WEI Gui-wu1,2

(1. School of Economics and Management, Southwest Jiaotong University,Chengdu

610031,China;

2. Department of Mathematics, North Sichuan Medical College, Nanchong 637007 China)

Abstract

A new method is proposed to solve multiple attribute group decision making problems with two-tuple linguistic information. In the method, the ordered weighted averaging (T-OWA) operator for two-tuple linguistic information is described. A new dependent two-tuple ordered weighted averaging (DT-OWA) operator is proposed, in which the associated weights only depend on the aggregated two-tuple linguistic information can relieve the influence of unfair two-tuple linguistic information on the aggregated results by assigning low weights to those “false” and “biased” ones. A method based on the T-WA and DT-OWA operators for multiple attribute group decision making is presented. The method has exact characteristic in linguistic information processing. It avoided information distortion and losing which occur formerly in the linguistic information processing. Finally, a numerical example is used to illustrate the use of the proposed method.

Keywords: group decision making; T-OWA operator; dependent T-OWA operator; two-tuple; aggregation

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