2019~2020厦门市高一上学期期末考试数学试题及答案

试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

1．已知集合Ax|1x1，Bx|0x2，则AA．x|1x2 C．x|1x2

B（ ）

B．x|0x1 D．x|0x1

2．已知函数f(x)的定义域为[2,3]，则函数g(x)A．(,1)f(3x2)xx22的定义域为（ ）

(2,) B．[6,1)(2,3] D．[2,1)(2,3]

C．[5,1)(2,5]

3．已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与直线y3x重合，且

sin0，又Pm,n是角终边上一点，且OP10(O为坐标原点)，则mn等于

（ ） A．2

B．2

C．4

D．4

4．某工厂前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，m值为（ ）

A．2 B．4

12C．5 D．6

5．lg2lg1eln2154B．

22的值为（ ）

A．-1

1 2C．3 D．-5

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6．已知a，b都为单位向量，且a，b夹角的余弦值是A．

4，则a2b( ) 5D．4 5B．

9 5C．25 535 57．已知cos(6)3，则sin(2)的值为（ ）

63B．

A．

22 31 3C．

13D．22 38．已知函数

，若关于x的方程fxaaR有四个不同实数解

x1，x2，x3，x4，且x1A．2,

41B．2,

41C．2, D．2,

9．以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数x组成的集合：对于函数x，存在一个正数M，使得函数x的值域包含于区间M,M。例如，当1xx，2xsinx时，1xA，2xB。则下列命题中正确

3的是：（ ）

A．设函数fx的定义域为D，则“fxA”的充要条件是“bR，aD，

fab”

B．函数fxB的充要条件是fx有最大值和最小值

C．若函数fx，gx的定义域相同，且fxA，gxB，则fxgxB D．若函数fxalnx2xx2,aR有最大值，则fxB 2x110．已知O,A,B,C为平面上两两不重合的四点，且xOAyOBzOC0xyz0，则（ ）．

A．当且仅当xyz0时，O在ABC的外部 B．当且仅当x:y:z3:4:5时，SABC4SOBC

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C．当且仅当xyz时，O为ABC的重心 D．当且仅当xyz0时，A,B,C三点共线 11．计算：cos(1726)sin_____． 4312．已知集合A{x|1x2}，集合B{x|xa}，若ABB，则实数a的取值范围是_______.

13．在平面直角坐标系中，角终边过点P2,1，则cos2sin2的值为__________． 14．在平面内，点A是定点，动点B，C满足|ABAC|1，ABAC0，则集合

{P|APABAC,12}所表示的区域的面积是________.

15．某辆汽车以xkm/h的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全，要求

14500)L，其中k为常60x120）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为(xk5x数.若汽车以120km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5L，欲使每小时的油耗不超过．．．

9L，则速度x的取值范围为___．

16．偶函数yfx满足fx3f3x，在x3,0时，fx2．若存在x1，

xx2，…xn，满足0x1x2…xn，且

fx1fx2fx2fx3…fxn1fxn2019，则xn最小值为

__________．

17．已知函数fxAsin(x)(0,02)的部分图象如图所示.

（Ⅰ）求函数fx的解析式；

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（Ⅱ）若为第二象限角且sin3，求f的值. 515x18．已知函数fx． x15（1）写出fx的定义域； （2）判断fx的奇偶性；

（3）已知fx在定义域内为单调减函数，若对任意的tR，不等式

ft22tf2t2k0恒成立，求实数k的取值范围．

19．ABC是边长为3的等边三角形，BE2BA,BFBC(11),过点F作2DFBC交AC边于点D，交BA的延长线于点E．

（1）当

2

时，设BAa,BCb，用向量a,b表示EF； 3

（2）当为何值时，AEFC取得最大值，并求出最大值． 20．如图，已知P是单位圆（圆心在坐标原点）上一点，xOP3，作PMx轴于M，

PNy轴于N．

（1）比较OM与

的大小，并说明理由； 6第4页 共26页

（2）AOB的两边交矩形OMPN的边于A，B两点，且AOB值范围．

4，求OAOB的取

21．如图，河的两岸分别有生活小区ABC和DEF，其中ABBC,EFDF,DFAB，

C,E,F三点共线，FD与BA的延长线交于点O，测得AB3km，BC4km，

93DFkm，FE3km，ECkm，若以OA,OD所在直线分别为x,y轴建立平面直

42角坐标系xOy则河岸DE可看成是曲线yxb（其中a,b是常数）的一部分，河岸ACxa可看成是直线ykxm（其中k,m为常数）的一部分．

（1）求a,b,k,m的值．

（2）现准备建一座桥MN，其中M,N分别在DE,AC上，且MNAC，M的横坐标为t．写出桥MN的长l关于t的函数关系式lf(t)，并标明定义域；当t为何值时，l取到最小值？最小值是多少？

22．设f(x)是定义在[a,b]上的函数，若存在x(a,b)，使得f(x)在[a,x]单调递增，在

[x,b]上单调递减，则称f(x)为[a,b]上的单峰函数，x为峰点，包含峰点的区间称为含峰

区间，其含峰区间的长度为：ba．

（1）判断下列函数中，哪些是“[0,1]上的单峰函数”？若是，指出峰点；若不是，说出原

因；f1(x)x2x2,f2(x)ax312x1,f3(x)log2x1,f4(x)2sin4x；

（2）若函数f(x)x(a0)是[1,2]上的单峰函数，求实数a的取值范围；

(0,1),x1x2，若

（3）若函数f(x)是区间[0,1]上的单峰函数，证明：对于任意的x1,x2第5页 共26页

f(x1)f(x2)，则(0,x2)为含峰区间；若f(x1)f(x2)，则(x1,1)为含峰区间；试问当x1,x2满足何种条件时，所确定的含峰区间的长度不大于0.6．

参考答案

1．B 【解析】 【分析】

由交集定义直接求解即可. 【详解】

集合A{x|1x1}，B{x|0x2}，则AB{x|0x1}. 故选B. 【点睛】

本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题. 2．C 【解析】 【分析】

利用复合函数的定义域和偶次根式和分母有意义的条件列不等式组可解得. 【详解】

因为函数f(x)的定义域为[2,3],

所以要使g(x)f(3x2)xx22有意义,

23x23 ,解得:5x1或2x5, 只需2xx20所以函数g(x)的定义域为[5,1)(2,5]. 故选C. 【点睛】

本题考查了复合函数的定义域的求法.属中档题. 3．A 【解析】

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【分析】

由题意可得m0,n3m，根据OP10，求得m,n的值，即可求解mn得值，得到答案. 【详解】

由题意，角的顶点为坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与直线y3x重合， 且sin0，所以为第三象限角.

又Pm,n是角终边上一点，所以m0,n3m， 再根据OP10， m2(3m)210m（O为坐标原点）

所以m1,n3，则mn2， 故选A. 【点睛】

本题主要考查了三角函数的定义及其应用，其中解答熟练应用三角函数的定义，列出方程求得m的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 4．C 【解析】 【分析】

根据图中表示工厂前m年的总产量S与m之间的关系，得出平均产量的几何意义是原点与该点连线的斜率，从而得出答案． 【详解】

解：∵工厂前m年的总产量S与m在图中对应PS,m点， ∴前m年的年平均产量即为直线OP的斜率， 由图得，当m5时，直线OP的斜率最大， 即前5年的年平均产量最高， 故选：C． 【点睛】

本题考查了函数图象的应用问题，也考查了统计中的散点图的应用问题，解题的关键是正确分析出平均产量的几何意义是什么． 5．A

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【解析】 【分析】

进行对数式、分数指数幂和根式的运算即可． 【详解】

原式＝lg2+lg5﹣2﹣2+2＝lg10﹣2＝1﹣2＝﹣1． 故选A． 【点睛】

本题考查对数式，根式和分数指数幂的运算，考查学生计算能力，属于基础题． 6．D 【解析】 【分析】

利用ab1，结合数量积的定义可求得a2b的平方的值，再开方即可． 【详解】

依题意ab1，

a2b(a2b)2a24b24ab 14411【点睛】

本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式ababcos；二是向量的平方等于向量模的平方aa. 7．B 【解析】 ∵cos224935 ，故选D． 55553sin2sin2，则6663sin26221cos2[2cos211]，故选B.

66338．B 【解析】

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【分析】

由题意作函数yf(x)与ya的图象，从而可得x1x24，0log2x42，x3x41，再结合对勾函数的性质，从而得解； 【详解】

解：结合yfx与ya的图象可知：

x1x24，0log2x42，x3x41，

故x1x24，1x44， 由对勾函数gxx11的图象可知函数gxx在1,单调递增， xx17

4当x1,4时，gx2,第9页 共26页

所以x3x4x41172,， x441， 4故2x1x2x3x4故选：B． 【点睛】

本题考查了数形结合的思想应用及分段函数的应用．属于中档题 9．ACD 【解析】 【分析】

A选项中，根据函数的定义域、值域的定义，转化成用简易逻辑语言表示出来； B选项中举反例保证函数的值域为集合M,M的子集，但值域是一个开区间，从而说明

函数没有最值；C选项中从并集的角度认识函数值域，可以发现fxgxR，从而发现命题正确；D选项中从极限的角度证明a0，a0均不成立，所以a0，再求出函数f(x)的值域为11,，从而得到命题D正确. 22【详解】

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对A，“f(x)A”即函数f(x)值域为R，“bR，aD，fab”表示的是函数可以在R中任意取值，故有：设函数f(x)的定义域为D，则“f(x)A”的充要条件是“bR，aD，fab”，命题A是真命题；

对B，若函数f(x)B，即存在一个正数M，使得函数f(x)的值域包含于区间M,M． Mf(x)M．例如：函数f(x)满足2f(x)5，则有5f(x)5，此时，f(x)无最

大值，无最小值．命题B“若函数f(x)B，则f(x)有最大值和最小值．”是假命题； 对C，若函数f(x)，g(x)的定义域相同，且f(x)A，g(x)B，则f(x)值域为R，f(x)(,)，并且存在一个正数M，使得Mg(x)M，f(x)g(x)R，则f(x)g(x)B．命题C是真命题．

对D，函数f(x)aln(x2)x假设a0，(x2,aR)有最大值，当x时，

x21xaln(x2)，ln(x2)，0，则f(x)，与题意不符； 假设a0，

x21当x2时，

x2，ln(x2)，aln(x2)，则f(x)，与题意2x151x(x2)，当x0时，x不符.a0，即函数f(x)2x1x110f(x)；当x0时，f(x)0；当x0时，x2x1f(x)0． 22，

2，

1201x1x12，即

11xx0，即

11f(x)，即f(x)B，故命题D是真命题．

22故选：ACD. 【点睛】

本题以新定义概念为问题背景，考查函数值域的概念、基本不等式、充要条件、双勾函数等知识的综合，还考查了极限思想、数形结合思想、分类讨论思想的综合应用，计算量较大，有一定的思维难度，属于难题． 10．CD 【解析】 【详解】

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当xyz1时，O为ABC的重心，在ABC的内部，所以选项A不正确；当

xyz0时，AOyzyzyzABACABAC，

xyzxyzxyzyzyzSOBCyzx1，所以xy1,z2时也有SABC4SOBC，所以选项SABCxyzxyzB错误；对于选项C重心的几何意义不难得出是正确的：xOAyOBzOC0xyz0可化为xyzOAyABzAC0，由于xyz0，所以当且仅当xyz0时，

A,B,C三点共线，所以选项D正确.

11．32

2【解析】 【分析】

利用诱导公式化简题目所给表达式，根据特殊角的三角函数值求得运算的结果. 【详解】

依题意，原式cos17π26ππ2πsincos4πsin8π4343cosπ2π32. sin432【点睛】

本小题主要考查利用诱导公式化简求值，考查特殊角的三角函数值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.利用诱导公式化简，首先将题目所给的角，利用诱导公式变为正角，然后转化为较小的角的形式，再利用诱导公式进行化简，化简过程中一定要注意角的三角函数值的符号. 12．a1 【解析】 【分析】

若ABB则A⊆B，根据集合A{x|1x2}，集合B{x|xa}，即可得出实数a的取值范围. 【详解】

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若ABB则A⊆B，又集合A{x|1x2}，集合B{x|xa}，所以a1. 故答案为a1. 【点睛】

本题考查的知识点是集合的包含关系的判断与应用，集合的并集运算，属于基础题. 13． 【解析】 【分析】

由条件利用任意角的三角函数的定义，求得cos、sin的值，从而求得cos2sin2的值． 【详解】

解：∵平面直角坐标系中，角终边过点P2,1， ∴x2，y1，rOP5， ∴cos285x225y15，sin， r5r55544482sincos， 5555则cossin2故答案为：． 【点睛】

本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题． 14．3 【解析】 【分析】

以A为原点建立平面直角坐标系，根据ABAC0设出B,C两点的坐标，利用向量运算求得P点的坐标，化简后可求得P点的轨迹也即P表示的区域，由此计算出区域的面积. 【详解】

以A为原点建立平面直角坐标系，由于|ABAC|1，ABAC0，即ABAC,故

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设Bcos,sin,Ccosππ,sin，即Csin,cos，设Px,y，由22APABAC得x,ycossin,sincos，即

xcossin,ysincos，则x2y221，故P表示的是原点在圆心，

半径为21的圆，由于12，故P点所表示的区域是圆心在原点，半径为2,5的两个圆之间的扇环，故面积为π5π23π.

【点睛】

本小题主要考查数形结合的数学思想方法，考查向量的坐标运算，考查化归与转化的数学思想方法，考查分析求解能力，属于中档题. 15．[60,100] 【解析】 【分析】

先利用120km/h时的油耗，计算出k的值，然后根据题意“油耗不超过9L”列不等式，解不等式求得x的取值范围. 【详解】

由于“汽车以120km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5L”，所以

1450014500120k11.5x，解得，故每小时油耗为k10020，依题意51205x第14页 共26页

14500x209，解得45x100，依题意60x120，故60x100.所以5x速度x的取值范围为60,100. 【点睛】

本小题主要考查利用待定系数法求解析式，考查一元二次不等式的解法，考查实际应用问题，属于中档题. 16．1012 【解析】 【分析】

由函数yf(x)是最小正周期为6的偶函数可知函数的值域为[1，8]，对任意xi，xj(i，

j1，2，3，，m)，都有|f(xi)f(xj)|f(x)maxf(x)min7，要使m取得最小值，尽

可能多让xi(i1，2，3，，m)取得最高点，然后可得xn的最小值． 【详解】

解：∵偶函数yfx满足fx3f3xfx3， ∴fx6fx，

∴函数yfx是最小正周期为6的偶函数，且在x3,0时，fx2，

x∴函数的值域为1,8，

m）对任意xi，xj（i，j1,2,3,…,，都有fxifxjfxmaxfxmin7，

∵x3,0时，fx2单调递减，根据偶函数的对称性可知x0,3时，fx2xx单调递增，

∵f01，f3f38，

3,…n取最高点与最低点， 要使xn取最小值，尽可能多让xii1,2,满足0x1x2…xn，且

fx1fx2fx2fx3…fxn1fxn2019，

∵201972883，

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∴f0f3f3f6…f864f867+f1008f1009

f1009f1012

4504f0f1f1f3

450401012018，

则xn最小值为1012， 故答案为：1012． 【点睛】

本题考查函数的图象和性质，考查函数的有界性的应用，考查了分析问题和解决问题的能力，考查数学转化思想方法，属于难题. 17．(1) f(x)【解析】 【分析】 【详解】 试题分析：

（1）根据图象可得周期T，故2．再根据图象过点2sin(2x6);(2) f()2sin(26)7243. 25π5,0可得．最后根据

6124，进5函数的图象过点0,1可求得A2，从而可得解析式．（2）由题意可得cos而可求得sin2和cos2，再按照两角和的正弦公式可求得f2sin2值． 试题解析：

(1)由图可知，周期T2∴的6115， 121222. T5,0， 又函数的图象过点12第16页 共26页

∴Asin2∴2∴=50 ， 125+=+2k,kZ， 126+2k,kZ，

∵0∴

2，

π． 6

∴fxAsin2x, 6∵函数图象过点0,1， ∴Asin61，

∴A2，

所以fx2sin2x. 63， 5（2）∵为第二象限角且sin∴cos4, 524722，cos2cossin， 2525∴sin22sincos∴

243717243f2sin22(sin2coscos2sin)2()66625225225． 点睛：

已知图象求函数fxAsinx解析式的方法 （1）根据图象得到函数的周期T，再根据2求得． T（2）可根据代点法求解，代点时一般将最值点的坐标代入解析式；也可用“五点法”求解，用此法时需要先判断出“第一点”的位置，再结合图象中的点求出的值．

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（3）在本题中运用了代点的方法求得A的值，一般情况下可通过观察图象得到A的值． 18．（1）xxR（2）fx为奇函数．（3）k-【解析】 【分析】

（1）根据函数成立的条件即可求出f(x)的定义域； （2）根据函数的奇偶性的定义即可判断f(x)的奇偶性； （3）利用函数奇偶性和单调性的关系，将不等式进行转化即可． 【详解】

解：（1）∵5x0，5x10恒成立， ∴xR，

即fx的定义域为xxR．

（2）∵由（1）得fx的定义域为xxR关于原点对称，

1 35x115x5x1∴fxxxfx，

5115x51∴fx为奇函数．

（3）∵对任意的tR，不等式ft2tf2tk0恒成立， ∴ft2tf2tk， 又∵fx是奇函数， ∴ft2tfk2t222222

又∵fx在定义域内为单调减函数． ∴t22tk2t2，

即3t22tk0对任意tR恒成立， ∴412k0得k-【点睛】

本题主要考查函数的奇偶性的判断以及函数单调性的应用，综合考查了函数的性质．

1即为所求． 3第18页 共26页

19．（1）【解析】 【分析】 【详解】

429ab；（2）

1633（Ⅰ）由题意可知：BF22b，且BF32， 3344BE4，故BEBAa，

3342EFBFBEab

33（Ⅱ）由题意，BF3,FC33，

BE6,AE63，

AEFC(63)(33)cos6092279 222713(,1)时， 当

22924AEFC有最大值16．

、

91320．（1）OM，见解析（2）,

446【解析】 【分析】

（1）记C(0,1)，可求PC，|OM|，由|PC|PC，可得结论； （2）设AOx，[0,4]，P(13,)，记f()OAOB，分[0,]，(,]2212124两种情况进行讨论，表示出f()，根据其单调性及端点处函数值可求得范围； 【详解】 解：

（1）记C0,1，连接PC，则PC236，

依题意OMPNcos60PCPC，

第19页 共26页

∴OM6；

130,P,（2）设AOx，，，记fOAOB， 224①当0,1111A,tanB,tan时，，， 222241211tantan 444∴fOAOB11tan11tan21tan 41tan41tan11 4coscossin1111 24coscossin21cos2sin21 212cos24第20页 共26页

3311， ,时，A,tan，B,②当222tan2124431tan ∴fOAOB4tan431tan31tan2 tan41tan41tan3131 4coscossin21cos2sin2321 22sin2411,x0,21212cos24综上，f，

13,,212422sin24f在0,,增函数，在是减函数，在,是增函数， 1288412第21页 共26页

∵f01，431，f122633，f， f824413∴fOAOB,．

44【点睛】

本题考查三角函数中的恒等变换、平面向量的综合应用，考查分类讨论思想、数形结合思想，考查学生解决问题的能力，属于中档题． 21．（1）a4,b7，k取到最小值，为1km 【解析】 【分析】 （1）计算D0,41959|,t[0,3]；当t时,m2.（2）l|4t5t423739A,0E(3,4)C，，，,4，将点代入直线方程计算得到答案. 242（2）计算Mt,19t79|,t[0,3]，再利用均值,t[0,3]，得到lf(x)|4t5t4t4不等式计算得到答案. 【详解】

739A,0D0,E(3,4)C（1）由题意得：ODBC4，OBFC，∴，，，,4， 242b7xba47把D0,，E3,4代入y得，解得：a4,b7，

3b4xa43a3km09432把A,0，C,4代入ykxm得，解得k,m2.

3229km42（2）由（1）得：M点在yx7t7上，∴Mt,,t[0,3]， x4t4第22页 共26页

①桥MN的长l为MN到直线y4x2的距离， 3故

4tlf(x)3(t7)6t4324219； |4t9|,t[0,3]5t4②由①得：f(t)1919|4t9||4(t4)7|， 5t45t4而t40,9990，∴4(t4)24(t4)12， t4t4t4951时即t“=”成立，∴f(t)min|127|1.

25t4当且仅当4(t4)【点睛】

本题考查了函数的应用，均值不等式求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力. 22．（1）见解析（2）a【解析】 【分析】

（1）画出四个函数图像，根据图像集合单峰函数的定义进行判断. （2）利用fx的导函数f（3）分成f(x1)'x10.411,（3）证明见解析； 312x0.62x的零点在区间1,2列不等式，解不等式求得a的取值范围.

f(x2)、f(x1)f(x2)两种情况进行分类讨论，利用反证法证得结论成

立.根据含峰区间的长度的概念列不等式，由此确定x1,x2满足的条件. 【详解】 （1）①f1(x)x2x2图像如下图所示，其对称轴为x1，由图可知，f1(x)4x2x2是[0,1]上的单峰函数，峰点为

1； 4第23页 共26页

②f2(x)12x1的图像如下图所示，其对称轴为x1，由图可知，2f2(x)12x1是[0,1]上的单峰函数，峰点为x1； 2

③f3(x)log2x1的图像如下图所示，根据图像可知，f3(x)2log2x1不是2[0,1]上的单峰函数；

第24页 共26页

④f4(x)sin4x的图像如下图所示，其对称轴为xπ，由图可知，f4(x)8sin4x是[0,1]上的单峰函数，峰点为

. 8

（2）函数f(x)ax3x(a'20)是[1,2]上的单峰函数，令fx3ax10，解得

x111，故1x时，fx递增，x2时，fx递减，所以3a3a3a1111112，解得a，故a的取值范围是,.

3123123a（3）设x0为fx的峰点，则由单峰函数定义可知，fx在0,x0上递增，在x0,1上递减.

当fx1fx2时，假设x00,x2，则x1x2x0，从而fx0fx2fx1，与fx1fx2矛盾，所以x00,x2，即0,x2是含峰区间.

当fx1fx2时，假设x0x1,1，则x0x1x2，从而fx0fx1fx2，与fx1fx2矛盾，所以x0x1,1，即x1,1是含峰区间.

第25页 共26页

在所得的含峰区间内选取x3，由x3与x1或x3与x2，确定一个新的含峰区间，对先选择的x1,x2，x1x2，x1+x21①，在第一次确定的含峰区间为0,x2的情况下，x3的取值应

x21x1满足x3x1x2②，由①②可得，当x1x3时，含峰区间的长度为x1.

x12x13由条件x1x30.2，得x112x10.2，从而x10.4.因此确定的含峰区间的长度不大于0.6，只要取【点睛】

本小题主要考查新定义的理解和运用，考查利用导数研究函数的单调性，考查反证法，综合性很强，属于难题.

x10.4.

x20.6第26页 共26页