【专家解析】2012年高考数学(文)真题精校精析(湖南卷)(纯word书稿)

2012·湖南卷(数学文科)

1．[2012·湖南卷] 设集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2＝x}，则M∩N＝( ) A．{－1,0,1} B．{0,1} C．{1} D．{0}

1．B [解析] 本题考查集合的运算，意在考查集合交集的简单运算．由集合N解得为{0,1}，利用韦恩图，或者直接运算得M∩N＝{0,1}．

[易错点] 本题的易错为求集合M，N的并集运算，错选A. 2．[2012·湖南卷] 复数z＝i(i＋1)(i为虚数单位)的共轭复数是( ) A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i

2．A [解析] 本题考查复数的乘法运算和复数的共轭复数，意在考查考生对复数的简单运算和共轭复数的掌握．复数z＝i(i＋1)＝i2＋i＝－1＋i，其共轭复数为z＝－1－i，所以选A.

[易错点] 本题易错一：把i2等于1，导致错选C；易错二：忘记共轭复数的定义． π

3．[2012·湖南卷] 命题“若α＝4，则tanα＝1”的逆否命题是( ) π

A．若α≠4，则tanα≠1 π

B．若α＝4，则tanα≠1 π

C．若tanα≠1，则α≠4 π

D．若tanα≠1，则α＝4 3．C [解析] 本题考查命题的逆否命题，意在考查考生对命题的逆否命题的掌握．解题思路：根据定义，原命题：若p则q，逆否命题：若綈q则綈p，从而求解．命ππ

题“若α＝4，则tanα＝1”的逆否命题是“若tanα≠1，则α≠4”，故选C.

[易错点] 本题易错一：对四种命题的概念不清，导致乱选；易错二：把命题的逆否命题与命题的否定混淆．

4．[2012·湖南卷] 某几何体的正视图和侧视图均如图1－1所示，则该几何体的俯视图不可能是( ) ．．．

1

图1－1

4．C [解析] 本题考查三视图，意在考查考生三视图的辨析，以及对三视图的理解和掌握．选项A, B, D，都有可能，选项C的正视图应该有看不见的虚线，故C是不可能的．

[易错点] 本题由于对三视图的不了解，易错选D，三视图中看不见的棱应该用虚线标出．

5．[2012·湖南卷] 设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，„，n)，用最小二乘法建立的回归方程为^y＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是( ) ．．．

A．y与x具有正的线性相关关系 B．回归直线过样本点的中心(x，y)

C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg D．若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg

5．D [解析] 本题考查线性回归方程的特征与性质，意在考查考生对线性回归方程的了解，解题思路：A，B，C均正确，是回归方程的性质，D项是错误的，线性回归方程只能预测学生的体重．选项D应改为“若该大学某女生身高为170 cm，则估计其体重大约为58.79 kg”．

[易错点] 本题易错一：对线性回归方程不了解，无法得出答案；易错二：对回归系数b不了解，错选C；易错三：线性回归方程有预测的作用，得出的结果不是准确结果，误以为D项是对的．

x2y26．[2012·湖南卷] 已知双曲线C：2－2＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线

ab上，则C的方程为( )

x2y2x2y2

A.20－5＝1 B.5－20＝1 x2y2x2y2

C.80－20＝1 D.20－80＝1

6．A [解析] 本题考查双曲线方程和渐近线方程，意在考查考生对双曲线方程和

2

其性质的掌握；解题思路：首先由a，b，c的关系，排除C，D，再由渐近线方程得答案A.由已知可得双曲线的焦距，2c＝10，a2＋b2＝52＝25，排除C，D，又渐近线求得1b1b

为y＝2x＝ax，得2＝a，解得a2＝20，b2＝5，所以选A.

[易错点] 本题易错一：对双曲线的几何性质不清，错以为c＝10，错选C；易错二：1a

渐近线求解错误，错解成2＝b，从而错选B.

7．[2012·湖南卷] 设a＞b＞1，c＜0，给出下列三个结论： cc

①a＞b；②ac＜bc；③logb(a－c)＞loga(b－c)． 其中所有的正确结论的序号是( ) A．① B．①② C．②③ D．①②③

7．D [解析] 本题考查不等式性质指数式和对数式的大小比较，意在考查考生对不等式性质幂函数和对数函数的性质的运用能力；解题思路：转化为幂函数比较大小，利用换底公式比较对数式的大小．由不等式的基本性质可知①对；幂函数y＝xc(c<0)在(0，＋∞)上单调递减，又a＞b＞1，所以②对；由对数函数的单调性可得logb(a－c)＞logb(b－c)，又由对数的换底公式可知logb(b－c) ＞loga(b－c)，所以logb(a－c)＞loga(b－c)，故选项D正确．

[易错点] 本题易错一：不等式基本性质不了解，以为①错；易错二：指数式大小比较，利用指数函数的性质比较，容易出错；易错三：对换底公式不了解，无法比较，错以为③错．

8．[2012·湖南卷] 在△ABC中，AC＝7，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于( ) 333A.2 B.2 C.

3＋63＋39

D. 24

8．B [解析] 本题考查三角形的余弦定理，意在考查考生对余弦定理的运用和解三角形问题的掌握；具体的解题思路和过程：先用余弦定理求出边c的长度，再直接解直角三角形．由余弦定理得7＝c2＋22－2×2c×cos60° ，解得c＝3，再由BC边上的高333

构成的直角三角形中，得h＝c×sinB＝3×2＝2 ，故选B.

3

[易错点] 本题易错一：知道两边及一角，用正弦定理去做，难于找到突破口；易错二：利用余弦定理求出c以后，不用解直角三角形，用等面积法，加大运算过程．

9．[2012·湖南卷] 设定义在上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，f′(x)是f(x)ππ

的导函数．当x∈[0，π]时，0＜f(x)＜1；当x∈(0，π)且x≠2时，x－2f′(x)＞0.则函数y＝f(x)－sinx在[－2π，2π]上的零点个数为( )

A．2 B．4 C．5 D．8

9．B [解析] 本题考查函数的性质和函数的零点，以及数形结合思想，意在考查考生函数性质与图像综合运用的能力；具体的解题思路和过程：利用函数的奇偶性周期性和单调性，作出函数简图，把f(x)－sinx＝0构造两个函数，利用数形结合思想，得出函数的零点数．

πππ

由当x∈(0，π) 且x≠2时，x－ 2f′(x)＞0 ，可知函数f(x)在0，2上是单调递减

π

的，在2，π上是单调递增的，又由函数为偶函数，周期为2π，可画出其一个简图，令

f(x)－sinx＝0，即f(x)＝sinx，构造两个函数y＝f(x)和y＝sinx，由图可知，函数有4个零点．

[易错点] 本题易错一：对函数的性质掌握不到位，无法作出函数图象的简图；易错二：函数的零点个数的确定有三种方法，此题只能用函数的交点方法求解；易错三：许多考生不习惯作图，无法正确运用数形结合思想解答．

10．[2012·湖南卷] 在极坐标系中，曲线C1：ρ(2cosθ＋sinθ)＝1与曲线C2：ρ＝a(a＞0)的一个交点在极轴上，则a＝________.

2

10.2 [解析] 本题考查直线与圆的极坐标方程，具体的解题思路和过程：把直线与圆的极坐标方程转化为普通方程，求出直线与坐标轴的交点代入圆方程求解．

2

直线方程为2x＋y－1＝0，与x轴的交点为，0，圆的方程为x2＋y2＝a2，把

2

4

222

交点，0代入得2＋02＝a2，又a>0，所以a＝2. 22

[易错点] 本题易错一：不会转化，无法把极坐标方程转化为普通方程；易错二：直线与圆的交点实为直线与x轴的交点，如果不会转化，导致计算加大，多走弯路．

11．[2012·湖南卷] 某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定，需要优选培养温度，试验范围定为29℃～63℃，精确度要求±1℃.用分数法进行优选时，能保证找到最佳培养温度需要的最少试验次数为________．

11．7 [解析] 本题考查优选法中的分数法，以及对斐波那契数列的了解，意在考查考生在分数法中寻找最佳点的次数．具体的解题思路和过程：先由区间的间距，确定等分区间的份数，再对应斐波那契数列找出对应的次数．

试验范围定为29℃～63℃ ，间距是63－29＝34，故应分成34份，刚好对应斐波那契数列的F8＝34，所以保证找到最佳培养温度需要的最少试验次数为8－1＝7.

本题易错一：对分数法的等分份数不理解，导致无法等分；易错二：对斐波那契数列的不了解，导致无法找到对应的点，求不出要做的试验次数．

12．[2012·湖南卷] 不等式x2－5x＋6≤0的解集为________．

12．{x|2≤x≤3} [解析] 本题考查解一元二次不等式，意在考查考生解一元二次不等式．

解不等式得 (x－2)(x－3)≤0，即2≤x≤3，所以不等式的解集是{x|2≤x≤3}． 本题易错一：把不等式解集的界点忘记，没包括2或者3，错解为{x|213．[2012·湖南卷] 图1－3是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________．

1

(注：方差s2＝n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋„＋(xn－x)2]，其中x为x1，x2，„，xn的平均数)

图1－3

13．6.8 [解析] 本题通过茎叶图考查数理统计中的平均数和方差，意在考查考生数理统计的实际应用能力；具体的解题思路和过程：先求出平均数，再用方差公式求方差．

5

由茎叶图可求得x＝

8＋9＋10＋13＋15

＝11，代入方差公式得

5

1

s2＝5[(11－8)2＋(11－9)2＋(11－10)2＋(11－13)2＋(11－15)2]＝6.8.

14．[2012·湖南卷] 如果执行如图1－4所示的程序框图，输入x＝4.5，则输出的数i＝________.

图1－4

14．4 [解析] 本题考查程序框图和循环结构，意在考查考生的逻辑推理能力和对循环结构的理解能力；具体的解题思路和过程：依次循环，达到条件退出．

当i＝1时x＝3.5，当i＝2时x＝2.5，当i＝3时x＝1.5，当i＝4时x＝0.5，此时退出循环，故i＝4.

[易错点] 本题易错一：循环条件弄错，多计一次，或者少计一次，得到错误结果． 15．[2012·湖南卷] 如图1－5，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且→·→＝________. AP＝3，则APAC

图1－5

15．18 [解析] 本题考查平面向量的数量积和向量的表示，意在考查考生对数量积的掌握和向量相互转化能力；具体的解题思路和过程：把未知向量用已知向量来表示．

→·→＝AP→·→＋2BC→)

APAC(DB

→·→＝2AP→·→＝2|AP→|·→|＝18. ＝2APBCAD|AP

[易错点] 本题易错一：找不到已知向量，无法把未知向量用已知向量表示；易错→＝BC→，把向量放到同一个直角三角形中；易错三：发现不了AD→在向量二：不会转化AD

6

→→AP上的射影等于|AP|.

16．[2012·湖南卷] 对于n∈*，将n表示为n＝ak×2k＋ak－1×2k－1＋„＋a1×21＋a0×20，当i＝k时，ai＝1，当0≤i≤k－1时，ai为0或1.定义bn如下：在n的上述表示中，当a0，a1，a2，„，ak中等于1的个数为奇数时，bn＝1；否则bn＝0.

(1)b2＋b4＋b6＋b8＝________；

(2)记cm为数列{bn}中第m个为0的项与第m＋1个为0的项之间的项数，则cm的最大值是________．

16．(1)3 (2)2 [解析] 本题以二进制为依据考查数列推理，意在考查考生的逻辑推理能力，具体的解题思路和过程：由前几项的结果，得出规律．

(1)由2＝21＋0＝10(2)易知b2＝1,4＝1×22＋0×21＋0×20＝100(2)可知b4＝1，同样可知b6＝0，b8＝1，所以b2＋b4＋b6＋b8＝3；

(2)任何一个二进制的数，当1的个数为奇数的时候，连续的这样的数最多只有两个，所以cm的最大值是2.

[易错点] 本题易错一：推理能力不行，无法找到规律，导致无从下手；易错二：发现不了数列与二进制的关联，导致第(2)问无从下手．

17．[2012·湖南卷] 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．

一次购 物量 顾客数(人) 结算时间 (分钟/人) 1至 4件 x 1 5至 8件 30 1.5 9至 12件 25 2 13至 16件 y 2.5 17件及 以上 10 3 已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%. (1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；

(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过．．．2分钟的概率．(将频率视为概率) 17．解：(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.

该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为

7

1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10

100＝1.9(分钟)．

(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2，A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”．将频率视为概率得

153303251

P(A1)＝100＝20，P(A2)＝100＝10，P(A3)＝100＝4. 因为A＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3是互斥事件，所以 3317

P(A)＝P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝20＋10＋4＝10. 7

故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为10.

π

18．[2012·湖南卷] 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)x∈R，ω＞0，0＜φ＜2的部分图象

如图1－6所示．

(1)求函数f(x)的解析式；

ππ

(2)求函数g(x)＝fx－12－fx＋12的单调递增区间．



图1－6

2π11π5π

18．解：(1)由题设图象知，周期T＝212－12＝π，所以ω＝T＝2.

5π

因为点12，0在函数图象上，



5π5π2×＋φ＋φ＝0. 所以Asin＝0，即sin126

π5π5π4π5ππ

又因为0＜φ＜2，所以6＜6＋φ＜3.从而6＋φ＝π，即φ＝6. π

又点(0,1)在函数图象上，所以Asin6＝1，得A＝2. π2x＋故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin. 6

8

(2)g(x)＝

ππππx－x＋＋2sin212＋6－2sin212

6 π

＝2sin2x－2sin2x＋3

13

＝2sin2x－2sin2x＋cos2x

22＝sin2x－3cos2x π

＝2sin2x－3.



ππππ5π

由2kπ－2≤2x－3≤2kπ＋2，得kπ－12≤x≤kπ＋12，k∈. π5π

所以函数g(x)的单调递增区间是kπ－12，kπ＋12，k∈.



图1－7

19．[2012·湖南卷] 如图1－7，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD.

(1)证明：BD⊥PC；

(2)若AD＝4，BC＝2，直线PD与平面PAC所成的角为30°，求四棱锥P－ABCD的体积．

19．解：(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD.

图1－8

又AC⊥BD，PA，AC是平面PAC内的两条相交直线，所以BD⊥平面PAC. 而PC⊂平面PAC，所以BD⊥PC.

9

(2)设AC和BD相交于点O，连结PO，由(1)知，BD⊥平面PAC，所以∠DPO是直线PD和平面PAC所成的角．从而∠DPO＝30°.

由BD⊥平面PAC，PO⊂平面PAC知，BD⊥PO. 在Rt△POD中，由∠DPO＝30°得PD＝2OD.

因为四边形ABCD为等腰梯形，AC⊥BD，所以△AOD，△BOC均为等腰直角三角1111形．从而梯形ABCD的高为2AD＋2BC＝2×(4＋2)＝3，于是梯形ABCD的面积S＝2×(4＋2)×3＝9.

2

在等腰直角三角形AOD中，OD＝2AD＝22，所以PD＝2OD＝42，PA＝PD2－AD2＝4.

故四棱锥P－ABCD的体积为 11

V＝3×S×PA＝3×9×4＝12.

20．[2012·湖南卷] 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元．

(1)用d表示a1，a2，并写出an＋1与an的关系式；

(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示)．

20．解：(1)由题意得a1＝2000(1＋50%)－d＝3000－d， 35a2＝a1(1＋50%)－d＝2a1－d＝4500－2d. 3

an＋1＝an(1＋50%)－d＝2an－d. 3

(2)由(1)得an＝2an－1－d 33＝22an－2－d－d 33＝22an－2－2d－d ＝„

10

3323n－23n－1

＋„＋2. ＝2a1－d1＋2＋2整理得

33

an＝2n－1(3000－d)－2d2n－1－1

3＝2n－1(3000－3d)＋2d. 

3m－1

由题意，am＝4000，即2(3000－3d)＋2d＝4000.

3m

2－2×100010003m－2m＋1

解得d＝＝.

3m－2m3m

2－1

10003m－2m＋1

故该企业每年上缴资金d的值为时，经过m(m≥3)年企业的剩余资

3m－2m金为4000万元．

1

21．[2012·湖南卷] 在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为2的椭圆E的一个焦点为圆C：x2＋y2－4x＋2＝0的圆心．

(1)求椭圆E的方程；

1

(2)设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为2的直线l1，l2.当直线l1，l2都与圆C相切时，求P的坐标．

21．解：(1)由x2＋y2－4x＋2＝0得(x－2)2＋y2＝2，故圆C的圆心为点(2,0)． x2y2c

从而可设椭圆E的方程为a2＋b2＝1(a＞b＞0)，其焦距为2c.由题设知c＝2，e＝a＝1x2y2222

2.所以a＝2c＝4，b＝a－c＝12.故椭圆E的方程为16＋12＝1.

(2)设点P的坐标为(x0，y0)，l1，l2的斜率分别为k1，k2.则l1，l2的方程分别为l1：y1

－y0＝k1(x－x0)，l2：y－y0＝k2(x－x0)，且k1k2＝2.

由l1与圆C：(x－2)2＋y2＝2相切得 |2k1＋y0－k1x0|

＝2. 2k1＋1

2

即[(2－x0)2－2]k21＋2(2－x0)y0k1＋y0－2＝0.

11

2

同理可得[(2－x0)2－2]k22＋2(2－x0)y0k2＋y0－2＝0.

从而k1，k2是方程[(2－x0)2－2]k2＋2(2－x0)y0k＋y20－2＝0的两个实根．于是

2

2－x0－2≠0，① 22

Δ＝8[2－x0＋y0－2]＞0，

y210－2

且k1k2＝＝. 2－x02－22

22x0y016＋12＝1，由2

y0－21

＝22－x0－22

得5x20－8x0－36＝0.

18

解得x0＝－2，或x0＝5.

1857

由x0＝－2得y0＝±3；由x0＝5得y0＝±5，它们均满足①式． 18185757

，或，－. 故点P的坐标为(－2,3)，或(－2，－3)，或，555522．[2012·湖南卷] 已知函数f(x)＝ex－ax，其中a＞0. (1)若对一切x∈，f(x)≥1恒成立，求a的取值集合；

(2)在函数f(x)的图象上取定两点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))(x1＜x2)，记直线AB的斜率为k，证明：存在x0∈(x1，x2)，使f′(x0)＝k成立．

22．解：(1)f′(x)＝ex－a.令f′(x)＝0得x＝lna.

当x＜lna时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x＞lna时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．故当x＝ln a时，f(x)取最小值f(lna)＝a－alna.

于是对一切x∈，f(x)≥1恒成立，当且仅当

a－alna≥1. ①

令g(t)＝t－tlnt，则g′(t)＝－lnt. 当0＜t＜1时，g′(t)＞0，g(t)单调递增； 当t＞1时，g′(t)＜0，g(t)单调递减．

故当t＝1时，g(t)取最大值g(1)＝1.因此，当且仅当a＝1时，①式成立． 综上所述，a的取值集合为{1}． (2)由题意知，k＝

fx2－fx1ex2－ex1

＝－a.

x2－x1x2－x1

12

令φ(x)＝f′(x)－k＝ex－φ(x1)＝－φ(x2)＝

ex2－ex1

，则

x2－x1

ex1[ex－x－(x2－x1)－1]， x2－x121

ex2[ex－x－(x1－x2)－1]． x2－x112

令F(t)＝et－t－1，则F′(t)＝et－1. 当t＜0时，F′(t)＜0，F(t)单调递减； 当t＞0时，F′(t)＞0，F(t)单调递增． 故当t≠0时，F(t)＞F(0)＝0，即et－t－1＞0.

从而ex2－x1－(x2－x1)－1＞0，ex1－x2－(x1－x2)－1＞0，又所以φ(x1)＜0，φ(x2)＞0.

因为函数y＝φ(x)在区间[x1，x2]上的图象是连续不断的一条曲线，所以存在x0∈(x1，x2)，使φ(x0)＝0，即f′(x0)＝k成立．

ex1ex2＞0，＞0， x2－x1x2－x1

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