楚雄市二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

楚雄市二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 数列﹣1，4，﹣7，10，…，（﹣1）n（3n﹣2）的前n项和为Sn，则S11+S20=（ ） A．﹣16

B．14

C．28

D．30

2． 四棱锥的八条棱代表8种不同的化工产品，由公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为（ ） A．96

B．48

C．24

3． 与命题“若x∈A，则y∉A”等价的命题是（ ）

A．若x∉A，则y∉A B．若y∉A，则x∈A C．若x∉A，则y∈A D．若y∈A，则x∉A

4． 如图，网格纸上的正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ）

D．0

A．30

B．50 C．75 D．150

5． 抛物线y=x2的焦点坐标为（ ） A．（0，

）

B．（

，0）

C．（0，4） D．（0，2）

6． 若a＜b＜0，则下列不等式不成立是（ ） A．

＞

B．＞

C．|a|＞|b|

D．a2＞b2

7． 若函数y=ax﹣（b+1）（a＞0，a≠1）的图象在第一、三、四象限，则有（ ） A．a＞1且b＜1 B．a＞1且b＞0 C．0＜a＜1且b＞0 8． 阅读下面的程序框图，则输出的S=（ ）

D．0＜a＜1且b＜0

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A．14 B．20 D．55

9． 已知全集U=R，集合A={1，2，3，4，5}，B={x∈R|x≥3}，图中阴影部分所表示的集合为 （ ）

C．30

A．{1} B．{1，2} C．{1，2，3} D．{0，1，2}

10．设集合A={x|2x≤4}，集合B={x|y=lg（x﹣1）}，则A∩B等于（ ） A．（1，2） B．[1，2]

C．[1，2） D．（1，2]

11．若命题p：∀x∈R，2x2﹣1＞0，则该命题的否定是（ ） A．∀x∈R，2x2﹣1＜0 B．∀x∈R，2x2﹣1≤0

C．∃x∈R，2x2﹣1≤0 D．∃x∈R，2x2﹣1＞0

12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）

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A．四棱柱 B．四棱锥 C．三棱台 D．三棱柱

二、填空题

13．抛物线y2=8x上一点P到焦点的距离为10，则P点的横坐标为 ．

14．函数yfx图象上不同两点Ax1,y1,Bx2,y2处的切线的斜率分别是kA，kB，规定

A,BkAkB（AB为线段AB的长度）叫做曲线yfx在点A与点B之间的“弯曲度”，给 AB出以下命题：

①函数yx3x21图象上两点A与B的横坐标分别为1和2，则A,B3； ②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数； ③设点A,B是抛物线yx21上不同的两点，则A,B2；

④设曲线ye（e是自然对数的底数）上不同两点Ax1,y1,Bx2,y2,且x1x21，若tA,B1x恒成立，则实数t的取值范围是,1.

其中真命题的序号为________.（将所有真命题的序号都填上） 15．若直线y﹣kx﹣1=0（k∈R）与椭圆

2m22m1恒有公共点，则m的取值范围是 ．

在区间0,上是增函数，则m ．

16．幂函数f(x)（m3m3)x18．已知

17．过抛物线C：y2=4x的焦点F作直线l交抛物线C于A，B，若|AF|=3|BF|，则l的斜率是 ．

=1﹣bi，其中a，b是实数，i是虚数单位，则|a﹣bi|= ．

三、解答题

19．已知函数f（x）=2|x﹣2|+ax（x∈R）． （1）当a=1时，求f（x）的最小值；

（2）当f（x）有最小值时，求a的取值范围；

（3）若函数h（x）=f（sinx）﹣2存在零点，求a的取值范围．

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20．已知函数f（x）=lnx+ax2+b（a，b∈R）．

（Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=1处的切线为y=﹣1，求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）求证：对任意给定的正数m，总存在实数a，使函数f（x）在区间（m，+∞）上不单调；

（Ⅲ）若点A（x1，y1），B（x2，y2）（x2＞x1＞0）是曲线f（x）上的两点，试探究：当a＜0时，是否存在实数x0∈（x1，x2），使直线AB的斜率等于f'（x0）？若存在，给予证明；若不存在，说明理由．

21．已知过点P（0，2）的直线l与抛物线C：y2=4x交于A、B两点，O为坐标原点． （1）若以AB为直径的圆经过原点O，求直线l的方程；

（2）若线段AB的中垂线交x轴于点Q，求△POQ面积的取值范围．

22．已知椭圆E的中心在坐标原点，左、右焦点F1、F2分别在x轴上，离心率为，在其上有一动点A，A到点F1距离的最小值是1，过A、F1作一个平行四边形，顶点A、B、C、D都在椭圆E上，如图所示． （Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）判断▱ABCD能否为菱形，并说明理由．

（Ⅲ）当▱ABCD的面积取到最大值时，判断▱ABCD的形状，并求出其最大值．

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23．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】已知函数

fxx3a4x24abxca,b,cR有一个零点为4，且满足f01.

（1）求实数b和c的值；

（2）试问：是否存在这样的定值x0，使得当a变化时，曲线yfx在点x0,fx0处的切线互相平行？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由；

24．本小题满分12分 设函数f(x)ealnx Ⅰ讨论f(x)的导函数f'(x)零点个数; Ⅱ证明:当a0时,f(x)2aalna

x（3）讨论函数gxfxa在0,4上的零点个数.

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楚雄市二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】B ∴S11=（=﹣16，

）+（a2+a4+a6+a8+a10）

n

【解析】解：∵an=（﹣1）（3n﹣2），

=﹣（1+7+13+19+25+31）+（4+10+16+22+28） S20=（a1+a3+…+a19）+（a2+a4+…+a20） =﹣（1+7+…+55）+（4+10+…+58） =﹣=30， 故选：B．

+

∴S11+S20=﹣16+30=14．

【点评】本题考查数列求和，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法和等差数列的性质的合理运用．

2． 【答案】

B

【解析】

排列、组合的实际应用；空间中直线与直线之间的位置关系． 【专题】计算题；压轴题．

【分析】首先分析题目已知由公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，求安全存放的不同方法的种数．首先需要把四棱锥个顶点设出来，然后分析到四棱锥没有公共点的8条棱分4组，只有2种情况．然后求出即可得到答案．

【解答】解：8种化工产品分4组，设四棱锥的顶点是P，底面四边形的个顶点为A、B、C、D．

分析得到四棱锥没有公共点的8条棱分4组，只有2种情况，

（PA、DC；PB、AD；PC、AB；PD、BC）或（PA、BC；PD、AB；PC、AD；PB、DC）

4

那么安全存放的不同方法种数为2A4=48．

故选B．

【点评】此题主要考查排列组合在实际中的应用，其中涉及到空间直线与直线之间的位置关系的判断，把空间几何与概率问题联系在一起有一定的综合性且非常新颖．

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3． 【答案】D

【解析】解：由命题和其逆否命题等价，所以根据原命题写出其逆否命题即可． 与命题“若x∈A，则y∉A”等价的命题是若y∈A，则x∉A． 故选D．

4． 【答案】B

【解析】解：该几何体是四棱锥， 其底面面积S=5×6=30， 高h=5， 则其体积V=故选B．

5． 【答案】D

【解析】解：把抛物线y=x2方程化为标准形式为x2=8y， ∴焦点坐标为（0，2）． 故选：D．

【点评】本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，把抛物线的方程化为标准形式是关键．

6． 【答案】A 【解析】解：∵a＜b＜0， ∴﹣a＞﹣b＞0，

22∴|a|＞|b|，a＞b，

S×h=30×5=50．

即

，

可知：B，C，D都正确， 因此A不正确． 故选：A．

【点评】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．

7． 【答案】B

x

0

∴根据图象的性质可得：a＞1，a﹣b﹣1＜0，

【解析】解：∵函数y=a﹣（b+1）（a＞0，a≠1）的图象在第一、三、四象限， 即a＞1，b＞0， 故选：B

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8． 【答案】C

【解析】解：∵S1=0，i1=1； S2=1，i2=2； S3=5，i3=3； S4=14，i4=4； S5=30，i=5＞4 退出循环， 故答案为C．

【点评】本题考查程序框图的运算，通过对框图的分析，得出运算过程，按照运算结果进行判断结果，属于基础题．

9． 【答案】B

【解析】解：图中阴影部分表示的集合中的元素是在集合A中，但不在集合B中． 由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（CUB）∩A， 又A={1，2，3，4，5}，B={x∈R|x≥3}， ∵CUB={x|x＜3}，

∴（CUB）∩A={1，2}．

则图中阴影部分表示的集合是：{1，2}． 故选B．

【点评】本小题主要考查Venn图表达集合的关系及运算、Venn图的应用等基础知识，考查数形结合思想．属 于基础题．

10．【答案】D

x

【解析】解：A={x|2≤4}={x|x≤2}， 由x﹣1＞0得x＞1

∴B={x|y=lg（x﹣1）}={x|x＞1} ∴A∩B={x|1＜x≤2} 故选D．

11．【答案】C

2

【解析】解：命题p：∀x∈R，2x﹣1＞0，

则其否命题为：∃x∈R，2x﹣1≤0，

2

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故选C；

【点评】此题主要考查命题否定的定义，是一道基础题；

12．【答案】A 【解析】

试题分析：由三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，直角梯形的上下底分别为3和4，直角腰为1，棱柱的侧棱长为1，故选A. 考点：三视图

【方法点睛】本题考查了三视图的问题，属于基础题型，三视图主要还是来自简单几何体，所以需掌握三棱锥，四棱锥的三视图，尤其是四棱锥的放置方法，比如正常放置，底面就是底面，或是以其中一个侧面当底面的放置方法，还有棱柱，包含三棱柱，四棱柱，比如各种角度，以及以底面当底面，或是以侧面当底面的放置方法，还包含旋转体的三视图，以及一些组合体的三视图，只有先掌握这些，再做题时才能做到胸有成竹.

二、填空题

13．【答案】 8 ．

2

【解析】解：∵抛物线y=8x=2px， ∴p=4，

由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的， ∴|MF|=x+=x+2=10， ∴x=8， 故答案为：8．

【点评】活用抛物线的定义是解决抛物线问题最基本的方法．抛物线上的点到焦点的距离，叫焦半径．到焦点的距离常转化为到准线的距离求解．

14．【答案】②③ 【解析】

试题分析：①错：A(1,1),B(2,5),|AB|17,|kAkB|7,(A,B)②对：如y1；③对；(A,B)④错；(A,B)|2xA2xB|(xAxB)(xx)x2222A22B273；17

21(xAxB)2；

|ex1ex2|(x1x2)(ee)2x1|ex1ex2|1(ee)x1x22，

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1(ex1ex2)211111,因为恒成立，故t1.故答案为②③.111] tx1x2x1x22(A,B)|ee|(ee)(A,B)考点：1、利用导数求曲线的切线斜率；2、两点间的距离公式、最值问题、不等式恒成立问题.

【方法点晴】本题通过新定义“弯曲度”对多个命题真假的判断考查利用导数求曲线的切线斜率、两点间的距离公式、最值问题、不等式恒成立问题以及及数学化归思想，属于难题.该题型往往出现在在填空题最后两题，综合性较强，同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”，解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清，其次先从最有把握的命题入手，最后集中力量攻坚最不好理解的命题. 15．【答案】 [1，5）∪（5，+∞） ．

【解析】解：整理直线方程得y﹣1=kx，

∴直线恒过（0，1）点，因此只需要让点（0.1）在椭圆内或者椭圆上即可， 由于该点在y轴上，而该椭圆关于原点对称， 故只需要令x=0有 5y2=5m

2

得到y=m

要让点（0.1）在椭圆内或者椭圆上，则y≥1即是 y2≥1

得到m≥1

∵椭圆方程中，m≠5

m的范围是[1，5）∪（5，+∞） 故答案为[1，5）∪（5，+∞）

【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．本题采用了数形结合的方法，解决问题较为直观．

16．【答案】 【解析】

【方法点睛】本题主要考查幂函数的定义与性质,属于中档题.幂函数定义与性质应用的三个关注点：（1）若幂函数yxR是偶函数，则必为偶数．当是分数时，一般将其先化为根式，再判断；（2）若幂函

数yxR在0,上单调递增，则0，若在0,上单调递减，则0；（3）在比较幂值

的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较. 1

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17．【答案】 ．

2

【解析】解：∵抛物线C方程为y=4x，可得它的焦点为F（1，0）， ∴设直线l方程为y=k（x﹣1）， 由

，消去x得

．

设A（x1，y1），B（x2，y2）， 可得y1+y2=，y1y2=﹣4①． ∵|AF|=3|BF|，

2

∴y1+3y2=0，可得y1=﹣3y2，代入①得﹣2y2=，且﹣3y2=﹣4， 2

消去y2得k=3，解之得k=±

．

故答案为：．

【点评】本题考查了抛物线的简单性质，着重考查了舍而不求的解题思想方法，是中档题．

18．【答案】 ．

【解析】解：∵∴

=1﹣bi，∴a=（1+i）（1﹣bi）=1+b+（1﹣b）i，

，解得b=1，a=2．

．

∴|a﹣bi|=|2﹣i|=故答案为：

．

【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（1）当a=1时，f（x）=2|x﹣2|+x=所以，f（x）在（﹣∞，2）递减，在[2，+∞）递增， 故最小值为f（2）=2； …（4分） （2）f（x）=

，…（6分）

…（2分）

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要使函数f（x）有最小值，需∴﹣2≤a≤2，…（8分）

，

故a的取值范围为[﹣2，2]． …（9分）

（3）∵sinx∈[﹣1，1]，∴f（sinx）=（a﹣2）sinx+4，

“h（x）=f（sinx）﹣2=（a﹣2）sinx+2存在零点”等价于“方程（a﹣2）sinx+2=0有解”， 亦即∴

有解， ，…（11分）

解得a≤0或a≥4，…（13分）

∴a的取值范围为（﹣∞，0]∪[4，+∞）…（14分）

【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用分段函数的表达式结合一元二次函数的性质，是解决本题的关键．

20．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）由已知得此时

，

解得

…

（x＞0）．

令f'（x）=0，得x=1，f（x），f'（x）的变化情况如下表： x 1 （0，1） f'（x） f（x） + 单调递增 0 极大值 （1，+∞） ﹣ 单调递减 所以函数f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）．… （Ⅱ）

（x＞0）．

（1）当a≥0时，f'（x）＞0恒成立，此时，函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，不合题意，舍去．… （2）当a＜0时，令f'（x）=0，得x f'（x） （0，+ ） 0 ，f（x），f'（x）的变化情况如下表：

（﹣ ，+∞） 第 13 页，共 19 页

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f（x） 单调递增 极大值 ），减区间为（

单调递减 ，+∞）．… ＞m，即

．

所以函数f（x）的增区间为（0，

要使函数f（x）在区间（m，+∞）上不单调，须且只须所以对任意给定的正数m，只须取满足单调．…

的实数a，就能使得函数f（x）在区间（m，+∞）上不

（Ⅲ）存在实数x0∈（x1，x2），使直线AB的斜率等于f'（x0）．… 证明如下：令g（x）=lnx﹣x+1（x＞0），则

，

易得g（x）在x=1处取到最大值，且最大值g（1）=0，即g（x）≤0，从而得lnx≤x﹣1． （*）… 由令增． 且

，，

结合（*）式可得，

，

，

，得

．…

，则p（x），q（x）在区间[x1，x2]上单调递

．

令h（x）=p（x）+q（x），由以上证明可得，h（x）在区间[x1，x2]上单调递增，且h（x1）＜0，h（x2）＞0，… 所以函数h（x）在区间（x1，x2）上存在唯一的零点x0， 即

（注：在（Ⅰ）中，未计算b的值不扣分．）

【点评】本小题主要考查函数导数的几何意义、导数的运算及导数的应用，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想．

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成立，从而命题成立．…

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21．【答案】

【解析】解：（1）设直线AB的方程为y=kx+2（k≠0）， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 由

，得k2x2+（4k﹣4）x+4=0，

则由△=（4k﹣4）2﹣16k2=﹣32k+16＞0，得k＜，

=

，

，

所以y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4=， 因为以AB为直径的圆经过原点O， 所以∠AOB=90°， 即所以

解得k=﹣，

即所求直线l的方程为y=﹣

．

，

，

（2）设线段AB的中点坐标为（x0，y0）， 则由（1）得

所以线段AB的中垂线方程为令y=0，得

=

=或

，

，

，

， ，

又由（1）知k＜，且k≠0，得所以所以

=，

，

所以△POQ面积的取值范围为（2，+∞）．

【点评】本题考查直线l的方程的求法和求△POQ面积的取值范围．考查抛物线标准方程，简单几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．

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22．【答案】

【解析】解：（I）由题意可得：2

，解得c=1，a=2，b=3．

∴椭圆E的方程为=1．

（II）假设▱ABCD能为菱形，则OA⊥OB，kOA•kOB=﹣1． ①当AB⊥x轴时，把x=﹣1代入椭圆方程可得：取A

=1，解得y=

，

，则|AD|=2，|AB|=3，此时▱ABCD不能为菱形．

②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为：y=k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2）． 联立

2222

，化为：（3+4k）x+8kx+4k﹣12=0，

∴x1+x2=﹣∴

，x1x2=．

kOA•kOB=====

，

假设

=﹣1，化为k2=﹣

，因此平行四边形ABCD不可能是菱形．

综上可得：平行四边形ABCD不可能是菱形．

（III）①当AB⊥x轴时，由（II）可得：|AD|=2，|AB|=3，此时▱ABCD为矩形，S矩形ABCD=6． ②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为：y=k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2）． 联立

2222

，化为：（3+4k）x+8kx+4k﹣12=0，

∴x1+x2=﹣

，x1x2=．

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|AB|=

点O到直线AB的距离d=∴S平行四边形ABCD=4×S△OAB==2×

×

=

．

=．

．

2则S=

=＜36，

∴S＜6．

因此当平行四边形ABCD为矩形面积取得最大值6．

23．【答案】（1）b当1a0时，gx在0,4有一个零点. 【解析】试题分析：

1,c1；（2）答案见解析；（3）当a1或a0时，gx在0,4有两个零点；4（1）由题意得到关于实数b,c的方程组，求解方程组可得b1,c1； 4 （3）函数

1gx的导函数gx3x22a4x4a，结合导函数的性质可得当a1或a0时，gx在

40,4有两个零点；当1a0时，gx在0,4有一个零点.

试题解析：

1（1）由题意{ ，解得{4 ；

f44bc0c1f0c1b（2）由（1）可知fxxa4x4a321x1， 4∴fx3x22a4x4a1； 41是一个与a无关的定值， 4假设存在x0满足题意，则fx03x022a4x04a第 17 页，共 19 页

精选高中模拟试卷

2即2x04a3x08x01是一个与a无关的定值， 4则2x040，即x02，平行直线的斜率为kf2（3）gxfxaxa4x4a3217； 41x1a， 41， 41222其中4a4124a4a16a674a2510，

4设gx0两根为x1和x2x1x2，考察gx在R上的单调性，如下表

∴gx3x22a4x4a1°当a0时，g01a0，g4a0，而g23a150， 2

∴gx在0,2和2,4上各有一个零点，即gx在0,4有两个零点； 2°当a0时，g010，g4a0，而g2150， 2∴gx仅在0,2上有一个零点，即gx在0,4有一个零点；

31a0， 2411①当a1时，g01a0，则gx在0,和,4上各有一个零点，

22即gx在0,4有两个零点；

3°当a0时，g4a0，且g②当1a0时，g01a0，则gx仅在即gx在0,4有一个零点；

1,4上有一个零点， 2综上：当a1或a0时，gx在0,4有两个零点； 当1a0时，gx在0,4有一个零点.

点睛：在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y＝f（x）在[a，b]内所有使f′（x）＝0的点，再计算函数y＝f（x）在区间内所有使f′（x）＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得． 24．【答案】

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精选高中模拟试卷

【解析】：Ⅰf'(x)exa，因为定义域为(0,)， xax有解 即xea有解. 令h(x)xex，h'(x)ex(x1)， x当x0,h'(x)0,h(0)0h(x)0 f'(x)0ex所以，当a0时，f'(x)0,无零点； 当a0时，有唯一零点. Ⅱ由Ⅰ可知，当a0时，设f'(x)在(0,)上唯一零点为x0， 当x(x0,),f'(x)0，f(x)在(x0,)为增函数；

aex0x0a x0aaaaf(x0)ex0alnx0alnx0a(lnax0)ax0alna2aalna

x0ex0x0当x(0,x0)，f'(x)0,f(x)在(0,x0)为减函数.

ex0

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