寻求组合恒等式

维普资讯 http://www.cqvip.com 第１７卷第２期　２　０　０　８年６月　河南教育学院学报（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｈｅｎａｎ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ）　Ｖｏ１．１７　Ｎｏ．２　Ｊｕｎ．２００８　寻求组合恒等式　及万会，张来萍　（银川大学数学教研室，宁夏银川７５０１０５）　摘要：利用二项式系数为元素寻求构造出新的封闭形恒等式．　关键词：二项式系数；超几何级数；恒等式；升阶乘；封闭形　中图分类号：０ｌ５７　文献标识码：Ａ　文章编号：１００７—０８３４（２００８）０２—００１９—０３　证明组合恒等式有多种方法　，文献［３］提　出用万金油方法证明组合恒等式，本文用超几何级　数方法去构造组合恒等式．下面先介绍有关超几何　级数的一些知识．设ｏ∈Ｒ，ｍ∈Ｚ　，对实数ｏ，“升　阶乘”是（ｏ）　＝ｏ（ｏ＋１）…（ｏ＋ｍ一１），（ｏ）。＝１　通常所说阶乘是，对自然数ｎ，阶乘ｎ！＝１×２×３…×ｎ，　０　１＝１．　ｚ一（ｒｔ—ｋ）　（　±　！　（ｋ＋１）　．　（ｐｎ／ｓ＋ｋ＋１）　！　二　２．　！　±　！　（ｋ＋１）　（ｋ＋１＋ｐｎ／ｓ）　Ｆ　（ｐ．＋ｓ，ｎ／　…－　；１）＝＝　；　：—　—：　—　：！　：　而．　，　级数Ｅ　ｔｋ相邻两项之比ｔｋ＋ｌ／ｔ　＝Ｃ为常数，则　级数为几何级数，如果级数Ｅ　ｔ　相邻两项之比　ｔｋ＋ｌ／ｔ　为关于ｋ的有理函数，则此级数为超几何　级数．　我们引入如下Ｊａｃｏｂｉ求和公式：　当．ｉ｝：０，ｒｏ：一１Ｊｉｆｉｌ￣ｆ（ｎ）＝ｒｏ‘）ｚＦ－（ｐｎ　岬／ｓ　．－　“；１）　＝　！　弓Ｉ理　：女口果ｎ∈ｚ　，贝Ｕ有　Ⅵ～．１）＝　（０）　熹（　（．ｎｉ｝Ｊ而１　：　：。ｎ　丽．　将二项式系数作为元素，把它们搭配组合成未　知和，我们利用超几何级数（Ｊａｃｏｂｉ）公式寻找并证　明组合恒等式．　１）设未知和式　ｆ（ｎ）　ｋ２）设未知和式　ｎ）＝　Ｅ（一１）　（．ｉｒ｝ｔ）　｛Ｔ　…批　Ｔｋ＋ｌ＝　，计算级数相　＝Ｏ　（－１）　（、　南　，＼，……，　，　计算级数相邻两项之比　＝：Ｆ　ｃ。ｎ（　＋　）ｋ　１　　（　ｐｎ　＋ｒ＋　＋　）ｋ　１　　：‘　　ｐ‘　ｐ“’；・　　，－ｎ—————　＋，＋　收稿日期：２００７—１０—２４　基金项目：银川大学科研基金项目（２００６２０７—４）　作者简介：及万会（１９４２一），男，河北交河人，银川大学数学教研室副教授，研究方向：数论、不定方程　・１９・　维普资讯 http://www.cqvip.com

由恒等式（０）计算　：Ｆｔ（…　１　＋一　ｐｎ；　’＝＝　；　　＋１）—：赢　’…、　（＋ｒ　＝　ｉ（＿亭ｒ　‘）！（＋ｒ＋ｎ）　—ｐ　ｎ　！…．当ｋ＝０，…。　＝　　一！　二　）！　ｐｎ（ｐｎ＋１）…（ｐｎ＋ｒ）一（ｐｎ＋　）！’　所以　－　ｎ）＝　‘：　ｐｎ，ｎ　；１）　一盟　‘ｐｎ＋ｒ’　ｐｎ＋　＋　）’　于是得到恒等式　毫（　㈦面　丽　＝　・　（ｐｎ＋ｒ）　ｆｐｎ＋ｒ＋ｎ）．’　‘一　３）设未知和式　＝　ｒｔ　（３　贮）’计　算级数相邻两项之比　：　（　）　：：　（一＾　・，一　、　２＋　２；。），　这里令Ｎ＝３ｎ．由恒等式（０）计算　：Ｆ　（一　一。Ｎ／２＋１／２；１）　（Ｎ／２＋１／２）　（１）Ⅳ／㈦　：　：（　±　丝２　１　．±！丝±　２：：：！　二　丝２　（１）（２）…（Ｎ／２）　（＾ｒ＋１）（Ⅳ＋３）…（２Ｎ一１）　（１）（２）…（Ｎ／２）　一　！　２　１　．　（Ⅳ）　（１）（２）…（Ｎ／２）　（Ｎ／２＋１）（Ｎ／２＋２）…（Ⅳ）　一　！　！１　２　（Ｎ）！（Ⅳ）！’　将Ｎ＝３ｎ代入上式，注意到当ｋ＝０，Ｔｏ＝１，所以　＝　（　—　“　Ⅳ（　（　），　于是得到恒等式　）（　３　）＝２－＇－［　６ｎ／，．　㈩　・２ｎ．　４）设未知和式　ｎ）＝∑（一　＝０　计算级数相邻两项之比　＋　：　）　（　＋　）　＝｛（　＿＿，＋．　）　１号　　（＿，一　＋　）ｌ　　＝２Ｆ１（一ｋ一，　　＋Ｚ－＋ｙ　＋　’；　・）』　由恒等式（０）计算　：Ｆ　（一ｋ一，　－＋ｙ－　＋　；・）＝　（　—Ｙ）（　—Ｙ一１）…（　＋１一Ｙ—ｋ）　（　—Ｚ）（　—Ｚ一１）…（　＋１一Ｚ—ｋ）　一　！　二　２　１　１　二　二　２　１　一（　—Ｙ—ｋ）！　（　—Ｚ）！‘　注意到ｋ＝０，Ｔｏ　㈤一　）：Ｔｏ．：ＦＩｆ、　，～．　一　＋ｌ　　；１　１，　　＝　＝　一㈤　所　以　∑（一１（４）　＝０　）　）、，，ｆ　　＾　ｌ　５）设未知和式　ｎ）＝∑（一）０　　（ｒ＋．ｉ｝）（ｒ＋　＝ｋ＋１）…（ｒ＋ｋ＋ｒｔ），计算级数相邻两项之比　：：！　±　±　±１２　・・（ｒ＋ｋ＋ｒｔ）　，　一（ｎ—ｋ）ｒ＋ｋ＋ｒｔ＋１）　＝＝一一　（．ｉ｝＋１）　（ｒ＋ｋ）　：：Ｆ　ｆ、　　＋　＋ｒ　　，一　；１１，／　　由恒等式（０）计算　Ｆ　（　＋　＋，　’一　；・）　维普资讯 http://www.cqvip.com （ｒ一１）！・（一１）　（ｒ／，＋１）！　（ｒ＋ｒ，一１）！／　’　（ｒ＋ｒ／，）！　当ｋ＝０，ｒｏ＝（ｒ）（ｒ＋１）…（ｒ＋ｒ／，）＝　所以　一１＋Ｙ＋２ｎ）　＝　（１＋Ｙ—ｒ／，）（１＋Ｙ—ｒ／，＋１）…（Ｙ）　！　二　！！！　±　２　１　Ｙ！　（Ｙ＋２ｎ）！’　，ＩＪＦ　＿ｌｒ／，）＝ｒｏ・２Ｆｌ（：“　，～；１）　一一＼　！　±　！！．！　二　！！：！二　２：！　±　２　１　（ｒ一１）！　（ｒ＋ｒ／，一１）！　，＋　Ｐ　…　：　．　＝（一１）　（ｒ＋ｒ／，）（ｒ／，＋１）！，　一　ｎ　Ｓ　＋　２　Ｓ（　于是得到恒等式∑（一）　（ｒ＋　）（ｒ＋　＋１）…（ｒ＋　＋ｎ）＝　＿厂（ｒｔ）　＝　Ｆ－（　意　；　）＝　（ｙ　，　一　●　ｌ　，　、　＝０　（一１）　（ｒ＋ｒ／，）（ｒ／，＋１）！．　（５）　６）设未知和式　ｎ）＝∑　＝０　（ｐｎ＋ｓ　）　！（ｎ—ｋ）！’　计算级数相邻两项之比　＝　二坌！！　二　２　１　．　！　±　！　（ｋ＋１）！（ｒｔ—ｋ一１）！　（ｐｎ＋ｓ　＋ｓ）　＝！生二　２　１生±　２　（ｋ＋１）（ｋ＋ｐｎ／ｓ＋１）　，Ｌ，Ｌ　１　１　ｐｎ／ｓ，－ｎ＝　＋　＋　ｙ　ｙ　；１），　由恒等式（０）计算　一　＋　ｎ　２　Ｆ－（ｐ）　ｎ／＋ｓｎ　、　，Ｌ，　　ｌ　－　ｎ；　）　＋　ｙ　（１）　（１＋ｐｎ／ｓ）＋　　２　（ｐｎ＋ｓ）（ｐｎ＋２ｓ）…（ｐｎ＋ｓｎ）’＋　ｌ　　、　当　。，７１０＝　，Ｌ　．　ｙ　所以，＿厂（ｎ）　＋　３　、　：＝一　ｐｎ（ｐｎ＋ｓ）（ｐｎ　于是得到恒等式∑　＝０　（ｐｎ＋ｓｋ）ｋ！（ｎ—ｋ）！　Ｓ　ｎ　ｐｎ（ｐｎ＋ｓ）（ｐｎ＋２ｓ）…（ｐｎ＋ＳＴ／，）　（６）　），　一　７）设未知和式＿厂（ｒｔ）＝　计算级　数相邻两项之比　＋。　二　！！　二　！！　．　（ｋ＋１）！（（ｎ—ｋ一１）！　（　一ｒｔ　　一ｋ　　）１　！（　一Ｙ　　＋ｒｔ　　＋ｋ　　）１　！），！　‘刮　　＼　＋１　Ｙ　一　ｒ　ｔ　由恒等式（０）计算　（　－＋ｒ／，　￣－一ｒ／　，；　）　于是得　等式毫　１／Ｉ　ＪＹ＋３ｒｔ＼　（７）　８）设未知和式　ｎ）＝　ｒｔ＋　）（　（－　１）ｋ　计算级数相邻两项之比　＋。　一＋。＼（　２　＋＋ｋ　＋　八　＋２　）（ｋ２　＋　／１２）ｃ、　＋　　２　：二！　二　±　±　２　１　±　！　±　！　（２　＋２）（２ｋ＋１）　（ｋ＋１）（ｋ＋１）（ｋ＋２）　＝！坌二　２　１坌±　±　２　（ｋ＋１）（ｋ＋２）　＝　Ｆ。（一ｎ’　＋ｎ；　）　（１一ｎ）　（２）　＝！　二　２　１　二　±　２：：：！　二　±　二　２　（２）（３）…（ｒｔ＋１）　’　注意到分子最后一项为０，从而　Ｆ－（一　＋　；１）＝０．　又当　－１，　ｎ）＝　Ｆ－（一　；１）－０，　于是得到恒等式：当ｎ＞０时，　（　（－１）ｋ—ｏ－　㈩　参考文献　徐利治，蒋茂森．计算组合数学［Ｍ］．上海：上海科技出版社，　１９８３：１５—１６．　［２］　Ｂｒｕａｉｄｉ　Ｒ　Ａ．组合学导引［Ｍ］．武汉：华中工学院出版社，１９８２：　６８．　［３］　Ｗｉｌｆ　Ｓ．发生函数论［Ｍ］．北京：清华大学出版社，２００３：１３５一　ｌ４７．　［４］　王竹溪，郭敦仁．特殊函数概论［Ｍ］．北京：北京大学出版社，　２０００：１６４—１６５．　・２１・　Ｐ　＋　Ｓ　、