2019-2020学年山西省高一上学期期末数学试题带答案

2019-2020学年山西省高一上学期期末数学试题

一、单选题

，2，3，4，5}，则AIB( ) 1．已知集合A{x|1x5}，B{12，3，4，5} A．{1，【答案】B

【解析】根据交集的概念，即可得出结果. 【详解】

，2，3，4} B．{1，2，3，4，5} C．{0,1，2，3，4} D．{1,0,1，2，3，4，5}， 因为集合A{x|1x5}，B{1，2，3，4}. 所以AIB{1故选：B. 【点睛】

本题主要考查求集合的交集，熟记概念即可，属于基础题型.

2．某商场在售的三类食品共200种的分布情况如图所示，质检部门要从中抽取一个容量为40的样本进行质量检测，则抽取的植物油类食品的种数是( )

A．8 【答案】B

B．12 C．24 D．30

【解析】根据统计图中植物油类食品所占比例，直接计算，即可得出结果. 【详解】

由统计图可得，植物油类食品占30%，因此抽取的植物油类食品的种数是4030%12. 故选：B. 【点睛】

本题主要考查扇形统计图的应用，会分析统计图即可，属于基础题型.

log2x,x01x3．已知fx1，则f(2)f()( )

84,x0213A． B． C．1

43【答案】D

【解析】根据分段函数解析式，直接计算函数值，即可得出结果. 【详解】

D．3

log2x,x0x因为fx1，

4,x021所以f240，2因此f(2)f()3. 故选：D. 【点睛】

本题主要考查分段函数求值的问题，直接代入即可，属于基础题型. 4．下列函数既是奇函数，又在(0,)上是减函数的是( ) A．yx 【答案】D

【解析】根据函数奇偶性，以及幂函数的单调性，逐项判断，即可判断出结果. 【详解】

A选项，因为(x)x，且函数yx3的定义域为R，所以函数yx3是偶函数，排除A；

B选项，因为(x)x且函数yx的定义域为R，所以函数yx是奇函数；但0，根据幂函数的单调性，

3可得，函数yx3单调递增，排除B；

C选项，因为(x)2x2，所以yx2显然是偶函数，排除C；

D选项，因为(x)3x3，所以yx3是奇函数；又根据幂函数的单调性可得：yx3在(0,)上单调递增，所以yx在(0,)上是减函数. 故选：D. 【点睛】

31313211flog23，

881823B．yx

13C．yx2 D．yx3

232322131311

本题主要考查由函数奇偶性与单调性确定函数解析式，熟记奇偶性的概念，以及幂函数的单调性即可，属于基础题型.

5．任取x{x|log3(x1)1}，则事件“A．

111()x”发生的概率是( ) 422C．

1 3B．

1 22 3D．

3 4【答案】A

【解析】分别解不等式，求出x的范围，区间长度比即为所求概率. 【详解】

由log3(x1)1得0x13，解得：1x4；其对应的区间长度为3个单位；

111111由得，解得：1x2，其对应的区间长度为1个单位； 422222因此，所求概率为故选：A. 【点睛】

本题主要考查与长度有关的几何概型，熟记概率计算公式，以及指数与对数不等式的解法即可，属于基础题型. 6．若a2log12x2x1. 32,blog13,c22.1，则( )

2A．abc 【答案】A

B．cab C．bac D．cba

【解析】根据对数函数单调性，先比较a,b的大小，确定a,b大致范围；再根据指数函数的性质，确定c0，即可得出结果. 【详解】 因为函数

ylog1x是单调递减函数，a2log12=log12，blog13，log110，

22222所以ab0；

又根据指数函数的性质可得：c22.10， 所以abc. 故选：A. 【点睛】

本题主要考查比较对数与指数幂的大小，熟记指数函数与对数函数的性质即可，属于常考题型.

27．函数f(x)log2(x2x3),x[0,3]的值域为( )

,log23] A．[11,log23] C．[1,2] B．[log231D．[1log23,)

【答案】A

【解析】先由二次函数的性质，求出内函数的值域，再由对数函数的性质，即可求出结果. 【详解】

令tx22x3，x[0,3]，

因为tx22x3是开口向上，对称轴为x1的二次函数， 所以tx22x3在(0,1)上单调递减，在(1,3)上单调递增；

22因此tmin1232，tmax3636，即t2,6；

又函数f(t)log2t单调递增，

所以t2,6时，f(t)log2t1,1log23. 故选：A. 【点睛】

本题主要考查求对数型复合函数的值域，熟记对数函数的性质，以及二次函数的性质即可，属于常考题型. 8．函数f(x)22xx1的图象大致为( )

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】根据函数奇偶性的定义，先判断奇偶性，排除CD选项，再计算f【详解】

由x10得x1，所以函数f(x)210，排除A，即可得出结果. 222xx1的定义域为,11,11,，

22又f(x)f(x)，所以函数f(x)为偶函数，其图像关于y轴对称；排除CD选项； 22(x)1x122421f0，排除A. 2又2331142故选：B. 【点睛】

本题主要考查函数图像的识别，熟记函数奇偶性，灵活运用特殊值法处理即可，属于常考题型.

9．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见末日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地.这个问题用程序框图表示如下，若输入a192，则输出的结果为( )

12xx

A．6 【答案】A

B．12 C．24 D．48

【解析】根据题意，逐步执行程序框图，即可得出结果. 【详解】

由题意，初始值为：a192，n1； 逐步执行框图如下：

119296，1<5，进入循环，计算n112； 21第二步：a9648，2<5，进入循环，计算n213；

21第三步：a4824，3<5，进入循环，计算n314；

21第四步：a2412，4<5，进入循环，计算n415；

21第五步：a126，55， 结束循环，输出a6.

2第一步：a故选：A. 【点睛】

本题主要考查求循环结构框图的输出值，只需逐步执行框图即可，属于常考题型.

10．如图是某电商2019年12月1日至12月16日的日销售量（单位：件）统计图，销量小于100称为该商品滞销，销量大于200称为该商品畅销，则下列关于该商品在这16天的销量的说法不正确的是( )

A．该商品出现过连续4天畅销 B．该商品畅销的频率为0.5

C．相邻两天该商品销量之差的最大值为195 D．该商品销量的平均数小于200 【答案】C

【解析】根据统计图，逐项判断，即可得出结果. 【详解】

A选项，由统计图可得，12月12号至12月15号四天销量都大于200，故A正确； B选项，由统计图可得，16天内共有8天销量大于200，故畅销的频率为0.5，故B正确；

C选项，由统计图可得，12月7号与12月8号两天的销量只差最大，为26083177，故C错； D选项，由统计图可得：16天的总销量为2142752431578015226083160

1791382142212632331923064，

所以其平均数为306416191.5200，故D正确. 故选：C. 【点睛】

本题主要考查折线图的应用，会分析折线图即可，属于常考题型.

311．已知函数f(x)x2x，则不等式f(2x)f(x1)0的解集为( )

A．(1,) 【答案】D

B．(,1)

1C．(,)

3D．(,)

13【解析】根据奇偶性的概念，判断函数f(x)x2x的奇偶性，再结合函数单调性，即可解所求不等式. 【详解】

因为f(x)x2x的定义域为R，

33

由f(x)(x)2(x)x2xf(x)可得，函数f(x)x2x是奇函数； 根据幂函数单调性可得，yx单调递增；所以函数f(x)x2x是增函数； 所以不等式f(2x)f(x1)0可化为f(2x)f(1x)， 因此2x1x，解得：x故选：D 【点睛】

本题主要考查由函数单调性与奇偶性解不等式，熟记函数奇偶性的概念，会根据函数解析式判定单调性即可，属于常考题型.

22x1,x0212．已知函数fxx若关于x的方程[f(x)]2af(x)3a20有五个不同的实数根，则实

2,x0333331. 3数a的取值范围是( ) A．(,1)(2,) B．(2,3) 【答案】C

【解析】先画出函数fx的图像，令tf(x)，将原方程化为t22at3a20，根据函数图像，得到关于t的方程t22at3a20有两不等的实根，且两根分别介于(0,1)和1,2之间；再令g(t)t2at3a2，根据

2C．(,1)

23D．(,)

1334二次函数零点分布情况，即可列出不等式，求出结果. 【详解】

22x1,x0画出函数fxx的图像如下：

2,x0

2令tf(x)，则方程[f(x)]2af(x)3a20可化为方程t22at3a20，

由图像可得：当0t1时，函数yf(x)与直线yt有3个不同的交点； 当1t2时，函数yf(x)与直线yt有2个不同的交点；

又关于x的方程[f(x)]22af(x)3a20有五个不同的实数根，

所以只需关于t的方程t22at3a20有两不等的实根，且两根分别介于(0,1)和1,2之间； 令g(t)t2at3a2，

22ag(0)3a203g(1)12a3a202则有，即a1，解得，a1.

3a2g(2)44a3a2024a4(3a2)0(a1)(a2)0故选：C. 【点睛】

本题主要考查由方程根的个数求参数的问题，熟记二次函数零点分布情况，灵活运用数形结合的方法即可求解，属于常考题型.

二、填空题 13．函数的f(x)【答案】(1,)

【解析】根据函数解析式，列出不等式求解，即可得出结果. 【详解】 为使f(x)1ln(32x)定义域是______. x1321x10ln(32x)有意义，只需， x132x03. 23故答案为：(1,).

2解得：1x【点睛】

本题主要考查求具体函数的定义域，只需求出使解析式有意义的自变量的范围即可，属于基础题型. 14．计算：80.2542lg83lg52【答案】80

【解析】根据指数幂与根式的互化，由指数运算法则，以及对数运算法则，直接计算，即可得出结果. 【详解】

2log23______.

80.252lg83lg5242log2322lg8lg1252log232lg10008180.

43414故答案为：80.

【点睛】

本题主要考查指数幂与对数的运算，熟记运算法则即可，属于基础题型.

15．成语“半斤八两”意思是一个半斤，一个八两，“半斤”是指用“十两秤”来称某种物体的重量，“八两”是指用“十六两秤”来称该物体的重量为八两，比喻彼此一样，不相上下.成语出自宋·无名氏《张协状元》戏文第28出：“两个半斤八两，各家归去不须嗔.”事实上“十六两秤”是我国古代曾经使用非常广泛的一种称重衡器，秤杆上一两一星，每斤共计16克星，分别代表北斗七星、南斗六星和福禄寿.买卖交易时，短1两“减福”，短2两“亏禄”，缺3两“折寿”，商家以“货真价实，童叟无欺”自律.“十六两秤”的计数采用的是十六进制，即“逢十六进一”，若用A表示10，那么

A10(16)转换为十进制为______.（用数字作答）

【答案】2576

【解析】根据进位制的转换公式，直接计算，即可得出结果. 【详解】

A10(16)10162116101602560162576.

故答案为：2576. 【点睛】

本题主要考查由其它进位制转换为十进制，熟记公式即可，属于基础题型.

x2ax,x01,是奇函数，且在(m，m)上单调递减，则实数a______；实数m的取值16．已知函数f(x)22xx,x0范围用区间表示为______. 【答案】1 [,0]

【解析】先由奇函数的性质，得到f(1)f(1)0，求出a1；再由二次函数的单调性，以及奇函数的性质，得到函数f(x)在区间【详解】

1211,上单调递减，进而可求出结果. 22x2ax,x0因为函数f(x)2是奇函数，

xx,x0所以f(1)f(1)0，即1a(1)10，解得：a1；

x2x,x0, 因此f(x)2xx,x0根据二次函数的性质，可得，当x0时，函数f(x)xx在区间0,上单调递减，在区间2121,上单调递2增；

又因为f(0)0，所以由奇函数的性质可得：函数f(x)在区间因为函数f(x)在(m，m11,上单调递减； 221)上单调递减， 21m11112所以只需：(m，m), ，即，解得m0.

2222m1122故答案为：1；[,0]. 【点睛】

本题主要考查由函数奇偶性求参数，以及函数在某区间的单调性求参数的问题，熟记分段函数的性质，以及奇函数的性质即可，属于常考题型.

三、解答题 17．设f(x1)2x112.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)指出函数f(x)的单调区间（不必证明）. 【答案】(1)f(x)2x2；(2)f(x)的单调增区间是(2,)，单调减区间是(,2).

【解析】（1）根据换元法，令tx1，即可结合已知条件求出结果； （2）根据指数函数单调性，即可得出单调区间. 【详解】

(1)令tx1，即xt1， 代入f(x1)2所以f(x)2x2x1，可得f(t)2t2，

.

(2)因为f(x)2x22x2,x22x，根据指数函数单调性，可得： 2,x2函数f(x)的单调增区间是(2,)，单调减区间是(,2). 【点睛】

本题主要考查求函数解析式，以及求指数型函数的单调区间，灵活运用换元法求解析式，熟记指数函数的单调性即可，属于常考题型.

18．从甲地到乙地沿某条公路行驶一共200公里，遇到红灯个数的概率如下表所示： 红灯个数 0 1 2 3 4 5 6个及6个以上

概率

0.02 0.1 a 0.35 0.2 0.1 0.03 (1)求表中字母a的值；

(2)求至少遇到4个红灯的概率； (3)求至多遇到5个红灯的概率. 【答案】(1)0.2；(2)0.33；(3)0.97.

【解析】（1）根据概率之和为1，由题中数据，即可列出等式，求出a的值； （2）根据互斥事件的概率计算公式，由题中数据，即可求出结果； （3）根据对立事件的概率计算公式，即可求出结果. 【详解】

(1)由题意可得0.020.1a0.350.20.10.031，解得a0.2.

(2)设事件A为遇到红灯的个数为4，事件B为遇到红灯的个数为5，事件C为遇到红灯的个数为6个及以上，则事件“至少遇到4个红灯”为AUBUC，因为事件A,B,C互斥，所以

P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.20.10.030.33，即至少遇到4个红灯的概率为0.33.

(3)设事件D为遇到6个及6个以上红灯，则至多遇到5个红灯为事件D. 则P(D)1P(D)10.030.97. 【点睛】

本题主要考查互斥事件的概率计算，以及概率的性质的应用，熟记概率计算公式，以及概率的性质即可，属于常考题型.

19．一商场对5年来春节期间服装类商品的优惠金额x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间的关系进行分析研究并做了记录，得到如下表格. 日期 2014年 2 30 2015年 4 40 2016年 5 60 2017年 6 50 2018年 8 70 x y

(1)画出散点图，并判断服装类商品的优惠金额与销售额是正相关还是负相关；

ˆaˆbxˆ； (2)根据表中提供的数据，求出y与x的回归方程y(3)若2019年春节期间商场预定的服装类商品的优惠金额为10万元，估计该商场服装类商品的销售额.

ˆ参考公式：b(xx)(yii1nii1niy)2xyii1nninxynx2ˆ. ˆybx,a(xx)参考数据：

xi12ixyii15i1380,xi2145

i1nˆ6.5x17.5；(3)82.5万元. 【答案】(1)散点图见解析，正相关；(2)y【解析】（1）根据题中数据，描点，即可得出散点图；从而可得相关性；

ˆ与aˆ，即可得出回归直线方程； （2）根据题中数据，求出x，y，根据最小二乘法求出b（3）根据（2）的结果，将x10代入，即可求出结果. 【详解】

(1)散点图如图所示.

由图可知，服装类商品的优惠金额与销售额是正相关.

11(2)x=(2+4+5+6+8)=5，y(3040605070)50，

55

ˆbxy5xyiii1nnxi12i5x2138055506.5， 214555ˆ506.5517.5， ˆybxaˆ6.5x17.5. 所以线性回归方程为y(3)由(2)可知，当x10时，y6.51017.582.5，即服装类商品的优惠金额为10万元时，该商场服装类商品的销售额约为82.5万元. 【点睛】

本题主要考查绘制散点图，求回归直线方程，以及由回归直线方程进行预测，熟记最小二乘法求回归直线方程即可，属于常考题型.

20．滨海市政府今年加大了招商引资的力度，吸引外资的数量明显增加.一外商计划在滨海市投资两个项目，总投资20亿元，其中甲项目的10年收益额X（单位：亿元）与投资额x（单位：亿元）满足X8年收益额Y（单位：亿元）与投资额y（单位：亿元）满足Y个项目的10年收益额之和为f(x). (1)求f(10)；

(2)如何安排甲、乙两个项目的投资额，才能使这两个项目的10年收益额之和f(x)最大？

【答案】(1)28亿元；(2)甲项目投资额为2亿元，乙项目投资额为18亿元时，这两个项目的10年收益额之和f(x)最大为80亿元.

【解析】（1）根据题意，先得到甲乙两项目的投资额，进而可求出收益； （2）根据题意，列出函数关系式，得到f(x)值. 【详解】

(1)由题意可知甲项目投资为10亿元，乙项目投资201010亿元， 所以f(10)81x，乙项目的10212y10，并且每个项目至少要投资2亿元.设两41219xx98，x[2,18]，再由二次函数的性质，即可得出最4211101021028（亿元）. 24x2,(2)由题意可知乙项目的投资额为20x，且解得2x18，

20x2,所以f(x)811119131x(20x)210x2x98(x19)2，x[2,18]， 244244所以当x2时，f(x)的最大值为f(2)80（亿元）.

即甲项目投资额为2亿元，乙项目投资额为18亿元时，这两个项目的10年收益额之和f(x)最大，为80亿元. 【点睛】

本题主要考查函数模型的应用，熟记二次函数的性质即可，属于常考题型.

21．某企业对设备进行技术升级改造，为了检验改造效果，现从设备改造后生产的大量产品中抽取了100件产品作为样本，检测一项质量指标值，统计整理为如图所示的频率分布直方图：

(1)估计该企业所生产产品的质量指标的平均数和中位数（中位数保留一位小数）；

(2)若产品的质量指标在[11,13)内，则该产品为残次品，生产并销售一件残次品该企业损失1万元；若产品的质量指标在[21,23]范围内，则该产品为特优品，生产一件特优品该企业获利3万元.把样本中的残次品和特优品取出合并在一起，在从中任取2件产品进行销售，那么该企业收入为多少万元的可能性最大？ 【答案】(1)17.08，17.1；(2)2万元.

【解析】（1）根据频率分布直方图，由每组的中间值乘以该组的频率，再求和，即可得出平均值；由中位数两侧频率之和均为0.5，根据题中数据，即可求出结果；

（2）先由题意得，在这100件产品中，残次品有2件，设为a1,a2，特优品有4件，设为b1,b2,b3,b4；用列举法，分别列举出“这6件产品中随机抽取2件”，“抽到2件残次品”，“抽到1件残次品”，“抽到2件特优品”对应的基本事件，基本事件个数比即为所求概率，比较概率大小，即可得出结果. 【详解】

(1)由频率分布直方图可得估计平均数为：

x120.02140.12160.34180.38200.10220.0417.08；

设中位数为x，则易知中位数x[17,19)，

所以20.0120.0620.17(x17)0.190.5，解得x17.1， 即产品的质量指标的中位数约为17.1.

(2)由频率分布直方图可知在这100件产品中，残次品有2件，设为a1,a2，特优品有4件，设为b1,b2,b3,b4.从这6件产品中随机抽取2件包含以下基本事件：

(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a1,b4),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(a2,b4),(b1,b2),(b1,b3)，(b1,b4),(b2,b3),

(b2,b4),(b3,b4)，共15个基本事件.

若抽到2件残次品，该企业损失2万元，即收入为2万元，该事件包含1个基本事件(a1,a2)，则概率为

P11 15若抽到1件残次品，1件特优品，该企业收入2万元，该事件包含8个基本事件：

(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a1,b4),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(a2,b4),

则概率为P28. 152. 5若抽到2件特优品，该企业收入6万元，其概率为P31P1P2综上可知，该企业收入2万元的可能性最大，为【点睛】

8. 15本题主要考查由频率分布直方图求平均数与中位数，以及计算古典概型的概率，熟记概率计算公式，以及平均数与中位数的求法即可，属于常考题型. 22．已知函数f(x)exa（e为自然底数），aR且a0. xe(1)当a1时，对任意的t[1,2]，都有不等式etf(2t)mf(t)0，求实数m的取值范围； (2)若函数y21是[1,2]上的减函数，求a的取值范围. f(x)24【答案】(1)[e1,)；(2)(0,e)(e,).

1t11tteeet【解析】（1）根据a1得f(x)ex，将原不等式化为teeext1mete推出me2t10，对任意的t[1,2]恒成立，求出ye1的最大值，即可得出结果； （2）先由函数单调性的定义，判断函数f(x)e上恒大于0或恒小于0，进而可求出结果. 【详解】

(1)当a1时，f(x)exx2taax[1,2]f(x)e在上是增函数，根据题意，得到在[1,2]exex11tt[1,2]f(t)e0， ，因为，所以xteet1mete0， 1t1tteeet所以不等式ef(2t)mf(t)0可化为teet即me2t1对任意的t[1,2]恒成立， 又ye1在t[1,2]上单调递减，

2t

所以ye1[e1,e1]， 因此只需me21，

即实数m的取值范围为[e1,).

22t42(2)设x1,x2[1,2]，且x1x2， 所以f(x1) f(x2)e1xaaax2x1x2e(ee)(1), ex1ex2ex1ex2xx因为x1x2，且a0，所以e1e2, 即f(x1) f(x2)0,f(x1)f(x2)，所以函数f(x)e若要使函数yxxa在[1,2]上是增函数， ex1是[1,2]上的减函数， f(x)a在[1,2]上恒大于0或恒小于0， xeaaxx即ex0或ex0，

ee则f(x)e所以ae2x或ae2x，

又因为e[e,e]，所以0ae2或ae4. 综上，若函数y2x241是[1,2]上的减函数， f(x)24则a的取值范围是(0,e)(e,). 【点睛】

本题主要考查由不等式恒成立求参数，以及由函数在给定区间的单调性求参数的问题，熟记函数单调性，以及指数函数的性质即可，属于常考题型.