教学研究＇备课参考 数学教学通讯（教师版） 投稿邮箱：ｓｘｊｋ＠ｖｉｐ．１６３．ＣＯｒｎ 师生互动“说题’’促进高效复习 徐登群 浙江温州龙湾中学３２５０２４ ～一硼～蚬一椴触一～帆馘一 ～一觚～黜一 ～一 一一 ｊ问囊提出 习题教学是高三数学复习教学中重 要的教学环节。它既是帮助学生深化理解 基础知识。熟练运用和巩固知识及培养技 能的过程：又是帮助学生树立数学思想方 法，进行思维训练的过程．目前，据笔者 起点高，梯廖ｊ、，大部分学生可能还未迈 过第一道坎．教师已经在介绍其他的“妙 法”了．笔者以为这种教学方式有问题， 鲥釉 瞧 不等式的应用．请同学们翻到选修４＿５ 《不等式选讲｝Ｐ４１，看第ｌ题， 问曩已知Ⅱ，ｂ，ｃ Ｅ Ｒ＋，且叶６＋ｃ：１，求 证： ＋ ＋ ≥ 你能否把结论做一些 口 ｂ ｃ 这些课往往是教师牵着学生的鼻子走，以 自己（或优等生）的思路取代大部分学生 的思考。以教师的教取代学生的主动探 索．长此以往．学生只能成为知识的接收 器．大部分学生忙于接收教师传授的数 学方法，没有自己的思考空间，更没有对 所了解的习题课．大多数是教师精选题 目，采用变式教学或一题多解，按照课前 ～一一一一一一 ～一～一一一一 啪 雌江 如何提高习题课的课堂效率．促进高 ｒ、 推广．并写出证明． 问题的证明比较简单．学生很快就能 用柯西不等式或三维均值不等式证明． 教师在黑板上板书了如下结论：ａ，ｂ，ｃ Ｅ 预设的教学环节对习题进行讲解．这种 课堂往往是“教师讲得精彩，学生听得入 问题的深刻认识．也就谈不上课上的吸收 和课后的灵活运用了． Ｒ＋，（叶６＋ｃ）（ ＋ ｌ＋ １）≥９．此后，学生 进入思考．演算如何推广这一问题． ２．师生说题拾级而上 迷”，而课后遇到类似的问题时，大部分学 生对教师讲过的方法已全无印象，常出现 “写了开头．忘了结尾”，“会而不对、对而 不全”等现象． 产生这些现象的原因是教师的教学 三的高效复习呢？以下是笔者在《柯西不 等式》这节习题课上，充分发挥学生的主 体作用，提高课堂教学效率的一个案例． ｂ．４ｃ－—生１：条件不变，改变结论，如求证： ＋．ａｑ．．ｃ ａ＋ｂ≥ －—４—８ ｂ ｃ ． 定位偏高，分为“讲多了”和“讲难了”两种 情况．“讲多了”指教师选题时，往往贪多 求全，一节课下来，教师声嘶力竭，学生却 不知所云．教学效果可想而知．“讲难了” 指教师选择的题目远离教材或偏离教材． 教师边板书边问．（本课例中学生回 答的结论教师均在黑板上一一板书，以下 教学实录 １．源于教材平淡出场 不作说明） 师：这是如何得到的？又该如何证？ 师：上一节课我们复习了《柯西不等 式》的证明与推导．今天我们来复习柯西 生ｌ：只需将原问题中的１用ａ＋ｂ＋ｃ代 ０１２ 投稿邮箱：ｓｘｊｋ＠ｖｉｐ．１６３ ｃｏｒｎ 换，可得到式子一¨１＿＋ ＋一 一： ａ ａ＋ｂ＋ｃ数学教学通讯（教师版） ＋ ａ 教学研究＞备课参考 结论．正当多数学生还沉浸在收获的喜 ｂ Ｃ １—６ １一ｎ ２｛和结论④： 。 ＋１一ｃ ｌ ＋一６ 悦中时。一个声音打破了这种氛围． ＋ ≥ａ＋ｂ＋ ｃ＋一ｂ＋ｃａ＋ｃ＋—ａ＋ｂ＋＋３．此后 ≥＿ｊ这两个结论１一ｎ ２ ． ｂ Ｃ ａ ｂ ｃ 生９：我得到的结论是：—ｌｌｌ＋—Ｌ＋ ｌ １＋６ 的证明方法同之前的问题． 笔者将③式和④式分别板书在①式 ≥ ． 师：很好！想到了ｌ的代换． 和②式的右边．学生回答完毕后，并没有 １＋Ⅱ４ 生２：我觉得在条件不变的情况下．还 可以证明式子①： ＋ ＋ ａ４－ｃ 一 叶Ｏ ０十Ｃ 师：如何证明？ 生２：我用的是和Ｊ西不等式．在左边乘 上２得ｃｎ舶舶 ＋。 ，（ ＋ ＋ ）， 利用刚才的结论，就可证明． 师：很有想象力！我们打开课本第４１ 页．观察练习第４题．此题与刚才这位同学 的结论为什么不一样？ 全班几乎齐答：因为等号取不到． 师：我们在使用柯西不等式时，不但 要考虑问题是否符合柯两不等式的形式， 同时也要注意等号是否成立． 话音刚落．一位学生提出了想法． 生３：我是借鉴前两位同学的想法，将 第二位同学结论中的１进行了代换，得到 结论②：三＋ ａ＋ｂｂ Ｃ＋叶ｃ＋ ≥一 ２； ． 该生作了简要说明．全班学生顿时豁 然开朗． 师：不错！它山之石可以攻玉！在不改 变条件的前提下，还有别的推广吗？ 此时，班里已没有刚才热烈的气氛， 大部分学生火热的思维好像遇到大冰块， 慢慢地冷了下来．因为他们没有往前想 的方向与目标，觉得在这种条件下，推广 也许到了尽头，笔者这时候开始尝试打开 学生的思路之门． 师：已知ｎ＋６＋ｃ＝ｌ，同学们看到ｌ就想 着将它看成ｎ＋６＋ｃ，这种想法很好，但我们 看￣Ｏａ＋ｂ．６＋ｃ或ｎ＋ｃ，… 未等笔者讲完，学生就接过笔者的话． 学生（齐答）：可以看做１一，ｌ－ｎ和１一 ｂ，这样我们就可以得到结论③：÷＋ 神奇的感觉，觉得原来也不过如此， 又开始第二次的沉默． 师： ４才得到的两个式子与（ 两式 本质上并没有什么太大的区别，我们都可 以用柯西不等式证明之．但同学们观察一 下．他们有什么共同的特点呢？ 生４：都是求最小值的问题，左边是含 有ａ，ｂ，ｃ的式子，右边是个定值． 师：观察非常细致！那左边式子具有 怎样的特征时．我们才能用柯西不等式求 它的最值呢？ 生５：分母之和为定值，都等于２ 师：只有分母等于２才有最值吗？ 学生稍凉的思维又慢慢热了起来，课 堂重新恢复了活跃的气氛． 生６：分母之和不一定是２，我得到的 结论有⑤ ＋ ＋ ≥詈，还有⑥ ＋ｌ０一≥ （ Ｎ）等． ｎ－ｃ ｎ－ｂ ｎ—血 ３ｎ－ｌ 师：非常有创意！他得出关于（亘Ｘ 这 一类式的一般结论． 生７（大声地说）：②④也有一般的结 论，应该是⑦ ＋ ｎ－ ａｎ－ ｏ＋ ， —Ｃ ≥ｊ 一）ｎ—Ｊ ． 话音刚落，有学生就提出质疑． 生８：②④的一般结论应该是由⑥式 的变式得到的． 师：我们共同来推推看，为了能够类 比③到④的推导，我们将⑥式化为： Ｌ ＋，ｌ≥一２ 再变式到—ｎ－ｃ—＋ｃ＋ ．ｎ－ｂ ｎ－ａ ３ｎ—ｌ ｒｔ－－Ｃ ｎ－ｂ＋ｂｎ－ｂ ￣－ ｎ－ａ ： ≥兰３ｎ－ｌ ，最后整理得到⑦ 式： ＋－－－＋ ≥ ｎ－ｃｎ －ｔ），３１ ７，－． ｎ—ｒ工 ．ｌ 此时．学生有一种成功的喜悦感，原 来在条件不变的前提下竞能得出这么多 师：说说你的灵感从哪里而来？ 生９：只要满足分母之和是一个定值． 我们就可以乘以这个定值．运用柯西不等 式求证．所以ａ，ｂ，ｃ前的系数不一定是负 的，也可以是正的，如（１＋ｃ＋１＋６＋１ ）（ ＋ １＋— ＋６ １＋口／１ ＞ｔ９．这个也有一般的结论 ⑧： ＋ ＋ ≥ （ｎ Ｎ．）’证 ｎ＋ｃ 凡＋Ｄ ｎ＋ｎ ５ｎ＋ ｌ 法类似． 师：这样说来．我ｔｒ］ｄ￣结一下刚才推 论的思路．一是将分母中常数取不同的正 自然数，二是将ａ，ｂ，ｃ前的系数变成１或一１． 笔者的话刚结束．有几位学生便在私 底下说常数可以取一些分数或将ａ．ｂ．ｃ前 的系数改成其他整数． 师：好的，我们就来讨论一下这两个 问题：常数可以取分数吗？ａ，ｂ，ｃ前的系数 可以改成其他整数吗？ 学生陷入思考，有些学生还发生了意 见上的冲突． 生ｌ０：在ａ，ｂ，ｃ前的系数为一１的情况 下，常数可以取大干ｌ的分数，如 ＋ －－ｃ ２ ＋…ｌ＿≥１８．即．—Ｌ＋一＿ｌ＋～ｌｕ ≥ ３ ｂ３７ ｎ－ｂ 哪 一２ ２ 对 ≥ｌ的任何实数都成立．而 ＋ ３ｎ－１ ＋ｃ Ｌ＋ 一≥ 对任意ｎ≥０都成立． ｎ＋ｂ ｎ＋ａ ３ｎ＋ｌ 师：为什么这样考虑？⑦式：～ 一 ６ｌ＿＋一 ＿３成立吗？ ｎ－ｂ ｎ－ａ ３ｎ－ｌ 生（齐答）：保证每个式子是正的，⑦ 式对ｎ≥１的任何实数都成立． 师：不错．清楚了柯西不等式的特征 ０１３ 教学研究＞备课参考 及其应用条件后，⑦式可由⑥式变形得 到．两者实质上属于同一个式子．类比这 数学教学通讯Ｉ教师版） ＋ ≥ 或 ２ 投稿邮箱：ｓｘｊｋ＠ｖｉｐ．１６３。ｃｏｒｎ ＋ ＋ ≥一１。 １－ｂ １—口 ｌ＋ｃ ｌ＋ｂ ｌ＋０ ４ ＋ ¨ ≥ ．三＋ ＋ 】 ｊ １ ２ ｌ ｎ一１ １ ｌ ｌ－－－ｘ２ 我的想法是将柯西不等式的右侧ａ］ｂ ＋ 种变形，由⑧式： ｎ－ｔ－ｃ＋ ＋ ｒｔ＋ａ≥ ｊｎ十ｌ …ｎ＋ｏ２＋…＋ｎ，Ｉ６ 凑成叶６＋ｃ，这样也会出现定 值问题． ＋ ≥ ： ｌ— ｎ一１ 可以得到什么结论呢？ 生ｌｌ（立刻举手）： ３ ＋ ＋ ≥ 此刻，全班同学愕然．随之教室里马 ㈩ ＋ 一＋去≥ ， ＋ … ≥ ：上就有七零八落的声音，笔者请了一位学 ！＋＿兰－＋ ｌ＋ｘｌ ｌ＋ｘ２ ｌ＋ｘ 叶１ ｌ＋ｘｌ ｌ＋ｘ２ ３ｎ＋ｌ 师：为什么？ 生ｌ１：我是这样想的，刚才⑥式到⑦ 式的推导就是将９变成３，其他也没有变， 所以是这个结论． 师：是不是对的呢？ 大部分学生在底下用刚才的推导方 法演算。有学生举手表示质疑． 生１２：类似刚才的方法：由 ＋— ＋ ｎ＋ｃ ：一忍 尼１ ｆＩ ・ ＋ ｎ＋ｂ ＋ ｎ＋ａ／１ ≥ ３ｎ＋ｌ 得 ， ＋ ＋，Ｈ ≥ ｒ加 ３ｎ＋ｌ ３－ｆ＼ｎ＋ｃ ＋ ＋ ，ｐ ／ｌ ≥ ３ｎ＋ｌ ，最后得到的结论是⑨ ．１。ｎ＋ｃ ＋ ＋ 三－１≤ ．原因是系数变成了 ｎ＋ｂ ｎ＋ｎ ３ｎ＋ｌ １．不等号方向在变式过程中发生了改变． 师：很好，我们学习数学就应该“大胆 猜想。小心求证”．到此，对我们的推导作 如下小结：（１）①一⑨这９个式子都可以归 结为利用柯西不等式求最值的问题；（２） 问题的推导是遵循柯西不等式的结构特 征和应用条件的．即类似于基本不等式的 “一正、二定、三等号”，其中定值是引领我 们推导方向的重要因素，这９个式子都很 好利用了８＋６＋ｃ＝１这一前提条件．那么， 利用柯西不等式和ａ＋占 ＝１还能凑出怎样 的问题呢？ 全班第三次平静了下来，但笔者感觉 到学生的内心并不平静，他们的思维在跳 动着．大约半分钟左右，一位学生打破了 这种平静． 生 ＋ ｂ＋ｃ＋兰≥÷或 ＋ ０１４ 生发言． 师：你们讨论的结果是什么？ …＋ ≥ ． １慨 ｎ＋ｌ 生１４：类比前面的方法有一般结论： 师：回答得非常完整．他是将重心放 ＋旦＋ ≥ （ ≥１）和 ＋ ｎ－－－－ｃ ｎ－ｂ ｎ——口 ３ｎ一１ ＋ｃ 在维数的变化上．这里我就没有必要重 复系数和常数项的变化了．你们是否会 ｎ＋ｂ ＋ ｎ＋ａ ≥ ３ｎ＋ｌ、（ ≥０）． 证呢？请看教材Ｐ４１页练习第６题． ３．螺旋上升破茧成蝶 学生完成这个问题还是比较轻松的． 师：太有才了！从构成定值的角度出 但内心是沸腾的，心里在想，怎么会变到 发，得出了新的结论．对条件是“ｏ，ｂ，ｃ∈ 这一题了呢？这也正是笔者最想要的结 Ｒ＋，且。＋６＋ｃ＝１”的结论的推广，我们得出 果：掌握柯西不等式固然重要，如果在掌 两类问题． 握知识的同时．了解了习题间的内在联 第一类： 系，理解了问题的本质．明白了教材的重 ＋ ＋ ≥— ｎ－－Ｃｒｔ－ｏｎ－ａｉｎ－ｌ ， 要性或对教材有了自己的看法。那么这样 ＋ 十 ≥ ． ＋ ＋ 的教学会更有价值． ｎ－ｃ ｎ－ｂ ｎ－ｏ， ３ｎ－１ ｎ－ｃ ｎ－ｂ ≥ ｃ ，； ０ 教学反思 第二类： １．选经典例题还是教材习题 ｎ＋Ｃ ＋ 几十Ｄ ＋ 凡＋０ ≥ ｉｎ＋ｌ ， 当前．高三数学复习课解题教学的 ＋ ＋ ≤ ． ＋旦＋ 模式一般如下：知识梳理——经典例 凡＋ｃ ｎ＋ｂ ｎ＋０ ３ｎ＋１ ｎ＋ｃ ｎ＋ｂ 题——变式训练——小结．在选题方面． ≥— （ｎ≥０）． ｎ把 ３ｎ＋ｌ 也有一个“潜规则”，但凡公开课。开课者 特别要注意ｎ＝ｉ的情形，而这两类问 不是直接选择最新的高考题或高考模拟 题可以看成关于ａ，ｂ，ｃ三个正数的一般性 题作为例题，就是选择能变式到高考题 结论，也可以看成是练习的一种推广．我 的典型试题作为例题．诚然。高考试题 们知道对柯西不等式的推广。教材是从二 具有科学性、权威性和规范性，也是复习 维的柯西不等式推广到ｎ维的柯西不等式 课教学很好的素材之一，但高考题往往 的．从这一层面上来看，问题的一般化还 是高中数学研究的末端成果，具有较强 可以从维数上着手，请同学们继续思考， 的综合性、灵活性，不利于全体学生吸收。 又会有什么结论呢？ 特别是后进生难有所获．因此，每节课的 生１５：条件应换成ｎ个正数 ｌ， ２，…， 教学最好能做到“浅入深出”．“浅入”是指 教学的起点要低，让后进生有所得；“深 ，且 ２十… １，类比可得： 出”是指要留有余地，让好的学生有探究 （１） ＋ ＋¨．＋ ≥ｎｚ； 和发展的空间． ＋ …击≥ ， “源于课本。高于课本”已经成为高考 命题的一条重要原则．“源于课本”指高 投稿邮籀：ｓｘｊｋ＠ｖｉｐ １６３，ｃｏｒｎ 考试题的根源来自教材巾的例题、习题． 由它们演变而来：“高于课本”指高考试题 在能力要求上高于同类型的课本例题、习 题．这一原则启示我们要重视课本例题、 数学教学通讯（教师版）… … 一……＾ ……一一教学研究＞备课参考 度大、难度高．有些方法了解的学生凤毛 麟角．教师补充这种解法只是本人解题水 心和学习兴趣． 美国教育家布鲁巴克曾经说过：“最 平的一种展示．而对学生解题能力的提高 精湛的教学艺术，遵循的最高准则．就是 学生自己提出问题．”新课程背景下的课 堂是活动的课堂，是师生之间讨论、合作 交流的课堂，是民主的课堂。是教师充分 没有帮助．从这种意义上讲，“一题多解” 教学是一把双刃剑，运用得好，可以培养 学生思维的灵活性和创造性；运用不当， 不仅不能发挥其应有的教学功能．甚至会 降低课堂的教学效果，增加学生的负担． “多题一解”指的是同一种方法解决 习题的发展。演绎试题的命制过程和思维 轨迹，揭开高考斌题的神秘面纱，淡化对 高考试题的畏惧感。从而更真实地把握高 考命题专家的命题意图，让学生从无边无 际的题海中出来． 相信学生、依靠学生、发动学生主动探索 的课堂，高三习题课更应如此．本课例以 教材《不等式选讲））Ｐ４Ｉ第１题为弓ｌ题，通 因此，笔者以为．在新课程背景下， 某一类问题．这种方法就是通常所说的通 数学教学要合理使用教材，按照高三数 性通法．“多题一解”中的“多”可以理解 学复习要“面向全体，降低重心”的原则， 为数学习题题型各异．条件或结论的形式 有效选择教材中的例题、习题．不能因为 各异：而“一”可以理解为一种模式．笔者 是复习课，不能因为教学对象是高三学 以为，就高考复习而言。在复习课教学过 生，在选题上就片面追求“新、奇、难”，～ 程中应“注重通性通法．淡化特殊技巧”． 味选择高考题或经典的例题．脱离教材， 切实巩固基础知识和基本技能．本课例 对教材中既基础又富有内涵的例题、习 引用教材中的习题。以柯西不等式为知识 题不屑一顾．从而忽视了对学生进行基 核心，循序渐进，层层深入，各个结论的得 础知识和基本技能的强化．本课例中．课 来环环相扣．水到渠成．通过各结论的推 堂上一共推广了四类结论，由浅入深，逐 导．学生经历了“积累模式——理解模 层递进，拾级而上．以教材中的习题为情 式——运用模式——突破模式”这一过 节，师生互动，生生互动，在这些结论的 程．最后进入得心应手的境界．“多题一 推广过程中，新旧结论之间的联系．实现 解”在本课例中实现了由量变到质变的升 了学生知识的建构，培养了学生的创新 华．既有“一题多解”的功能，又归纳了通 能力和思维能力．打破了学生原有的思 性通法．“鱼渔”兼得． 维定式．选题看似平淡．却内涵丰富，几 ３．是教师“说题”．还是学生“说题” 乎涵盖了《柯西不等式》这一节中所有例 “学生为主体，教师为主导”，从理论 题和练习：简约而不简单。问题和结论相 上人人都会讲．但实际上真正做到却很 对简约，但思维量不少，有很强的深刻性， 难，高ｉ复习更是难以顾及学生的自主探 真正做到“减负增效”． 究活动．有经验的高 教师往往对教材 ２．是“一题多解”有效。还是“多题一 有深入的研究．并能充分挖掘教材习题隐 解”有效 含的数学思想和思想方法。高三的习题课 一题多解．多题一解是数学创新教学 对知识、对习题的内涵与延伸讲得很透， 的重要途径．“一题多解”就是从多角度、 自己将“题”说得很精彩．一堂习题课就似 多途径寻求解决问题的方法．开拓解题思 一个讲座．这样一来，课堂容量偏大．所 路．使不同的知识得以综合运用，并能从 “说”题目偏难，教学节奏偏快，不少学生 多种解法的对比中优选最佳解法．总结解 在课堂上很难跟上教师的讲解和步伐，只 题规律，使分析问题、解决问题的能力提 好“堤内损失堤外补”．大量问题学生要课 高．使思维的发散性和创造性增强．“一 后再消化，课堂的效果不言自明，无形之 题多解”教学的特点是容量大、方法多、跨 中增加了学生的负担．打击了学生的自信 过教师的点拨，在学生充分思考的基础 上，让学生说清题意，说出解题思路和解 题过程，说问题的拓展和延伸。说出解题 后的感想等．整堂课以柯西不等式为核 心内容，以一个简单问题为引子．师生互 动“说题”，最后蜕化出一系列具有数学美 的式子，学生经历了整个问题的获得过 程．笔者以为，高＿一习题课中的“说题”． 主角应该是学生，而不是教师，这样做有 利于暴露问题、了解问题、发掘学生的各 种想法，而且通过多种思想交锋、撞击，常 常能够激活数学思维。点燃智慧火花．催 生解题能力，提高学习情趣． 结束语 教学家杜威曾说：“教学绝对不仅仅 是简单的告诉．教学应该是一种过程的经 历，一种体验，一种感悟．”数学教学中，教 师应立足教材．着眼学生的发展．把握核 心知识内容，有效开展自主探究活动，向 学生展示本质，使学生理解数学概念、结 论的逐步形成过程，真正使学生的学习过 程成为在教师引导下的再创造过程．有 效的课堂是教师根据学生的实际需要不 断调整。以促进其更加有效学习的动态发 展的过程；是一个个鲜活生命在特定情境 中的交流与对话，是师生不可重复的激情 与智慧的综合生成过程．它一定需要学 生思维的加盟，有思维的激荡就有不同的 想法和做法，数学课只有有了这样的思维 主体．才是鲜活的、灵动的． Ｏ１５
