浙教版初中数学八年级上册一次函数全章复习与巩固(基础)知识讲解

一次函数全章复习与巩固（基础）

【学习目标】 1．了解常量、变量和函数的概念，了解函数的三种表示方法（列表法、解析式法和图象法），能利用图象数形结合地分析简单的函数关系.

2．理解正比例函数和一次函数的概念，会画它们的图象，能结合图象讨论这些函数的基本性质，能利用这些函数分析和解决简单实际问题.

3．通过讨论一次函数与方程（组）及不等式的关系，从运动变化的角度，用函数的观点加深对已经学习过的方程（组）及不等式等内容的再认识. 4. 通过讨论选择最佳方案的问题，提高综合运用所学函数知识分析和解决实际问题的能力. 【知识网络】

【396533 一次函数复习 知识要点 】 变化的世界 建立数学模型 概 念 函 数 表示方法 概 念 一次函数 （正比例函数） 再认识 一元一次方程 一元一次不等式 二元一次方程组 与数学问题的综合 选择方案 与实际问题的综合 图 象 列表法 解析法 图象法 性 质 应 用 【要点梳理】 要点一、函数的相关概念 一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量 x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x是自变量，y是x的函数. y是x的函数，如果当x＝a时y＝b，那么b叫做当自变量为a时的函数值. 函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图象法. 要点二、一次函数的相关概念

一次函数的一般形式为ykxb，其中k、b是常数，k≠0.特别地，当b＝0时，一次函数ykxb即ykx（k≠0），是正比例函数.

要点三、一次函数的图象及性质 1、函数的图象

如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点

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组成的图形，就是这个函数的图象. 要点诠释：

直线ykxb可以看作由直线ykx平移|b|个单位长度而得到（当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移）.说明通过平移，函数ykxb与函数ykx的图象之间可以相互转化.

2、一次函数性质及图象特征

掌握一次函数的图象及性质（对比正比例函数的图象和性质）

要点诠释：

理解k、b对一次函数ykxb的图象和性质的影响：

（1）k决定直线ykxb从左向右的趋势（及倾斜角的大小——倾斜程度），b决定它与y轴交点的位置，k、b一起决定直线ykxb经过的象限．

（2）两条直线l1：yk1xb1和l2：yk2xb2的位置关系可由其系数确定：

k1k2l1与l2相交；

k1k2，且b1b2l1与l2平行；

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k1k2，且b1b2l1与l2重合；

（3）直线与一次函数图象的联系与区别

一次函数的图象是一条直线；特殊的直线xa、直线yb不是一次函数的图象. 要点四、用函数的观点看方程、方程组、不等式 方程（组）、不等式问题 求关于x、y的一元一次方程axb＝0（a≠0）的解 求关于x、y的二元一次函 数 问 题 从“数”的角度看 从“形”的角度看 确定直线yaxb与x轴（即直线y＝0）交点的横坐标 x为何值时，函数yaxb的值为0？ x为何值时，函数ya1xb1与确定直线ya1xb1与直线ya1xb1，方程组的解． 函数ya2xb2的值相等？ ya2xb2．求关于x的一元一次不等式axb＞0（a≠0）的解集 ya2xb2的交点的坐标 确定直线yaxb在x轴（即直线y＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围 x为何值时，函数yaxb的值大于0？ 【典型例题】 类型一、函数的概念

【396533 一次函数复习 例1 】

1、下列说法正确的是：（ ）

Ａ.变量x,y满足2xy3，则y是x的函数；

Ｂ.变量x,y满足|y|x，则y是x的函数；

Ｃ.变量x,y满足yx，则y是x的函数； Ｄ.变量x,y满足yx1，则y是x的函数.

【答案】A；

【解析】B、C、D三个选项，对于一个确定的x的值，都有两个y值和它对应，不满足单值对应的条件，所以不是函数.

【总结升华】理解函数的概念，关键是函数与自变量之间是单值对应关系，自变量的值确定后，函数值是唯一确定的. 举一反三：

【变式】如图的四个图象中，不表示某一函数图象的是（ ）

222

【答案】B；

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2、求函数的自变量的取值范围.

【思路点拨】要使函数有意义，需【答案与解析】 解：要使函数

或解这个不等式组即可.

有意义，则x要符合：

2x10 x1 即：或

解方程组得自变量取值是或.

【总结升华】自变量的取值范围是使函数有意义的x的集合. 举一反三：

【变式】求出下列函数中自变量x的取值范围

x0（1）y

x1【答案】

（2）y3x2

|x2|（3）y2x332x x0x0解：（1）要使y有意义，需，解得x≠0且x≠－1；

x1x10（2）要使y3x203x22有意义，需，解得x且x2；

|x2|3x202x3032x332x有意义，需，解得x.

232x0（3）要使y类型二、一次函数的解析式

3、已知y与x2成正比例关系，且其图象过点(3，3)，试确定y与x的函数关系，

并画出其图象．

【思路点拨】y与x2成正比例关系，即yk(x2)，将点(3，3)代入求得函数关系式. 【答案与解析】

解：设yk(x2)，由于图象过点(3，3)知k3，故y3(x2)3x6． 其图象为过点(2，0)与(0，－6)的一条直线（如图所示）．

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【总结升华】y与x成正比例满足关系式ykx，y与x－2成正比例满足关系式

yk(x2)，注意区别.

举一反三：

【变式】直线ykxb平行于直线y2x1，且与x轴交于点（2，0），求这条直线的解析式. 【答案】

解：∵直线ykxb平行于直线y2x1 ∴k2

∵与x轴交于点（2，0） ∴

①

将k＝2代入①，得 b4

∴此直线解析式为y2x4. 类型三、一次函数的图象和性质

4、已知正比例函数ykx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，则一次函数

． yxk的图象大致是图中的（ ）

【答案】B；

【解析】∵y随x的增大而减小，∴ k＜0．

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∵yxk中x的系数为1＞0，k＜0， ∴经过一、三、四象限，故选B． 【总结升华】本题综合考查正比例函数和一次函数图象和性质，k＞0时，函数值随自变量x的增大而增大． 举一反三：

【变式】 已知正比例函数y2m1x的图象上两点A(x1, y1), B(x2,y2)，当 x1x2

时, 有y1y2, 那么m 的取值范围是( ) A． m【答案】 A；

提示：由题意y随着x的增大而减小，所以2m10，选A答案.

类型四、一次函数与方程（组）、不等式

5、（2016春•鄂托克旗期末）如图，直线y=﹣2x 与直线y=kx+b 相交于点A（a，2），并且直线y=kx+b经过x轴上点B（2，0） （1）求直线y=kx+b的解析式．

（2）求两条直线与y轴围成的三角形面积． （3）直接写出不等式（k+2）x+b≥0的解集．

1 2B．m1 C． m2 D．m0 2

【思路点拨】（1）首先确定点A的坐标，然后利用点B的坐标利用待定系数法确定直线的解析式即可；

（2）首先根据直线AB的解析式确定直线AB与y轴的交点坐标，从而利用三角形的面积公式求得三角形的面积；

（3）将不等式变形后结合函数的图象确定不等式的解集即可． 【答案与解析】 解：（1）把A（a，2）代入y=﹣2x中，得﹣2a=2， ∴a=﹣1，

∴A（﹣1，2）

把A（﹣1，2），B（2，0）代入y=kx+b中得∴k=﹣，b=，

∴一次函数的解析式是y=﹣x+；

，

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（2）设直线AB与Y轴交于点C，则C（0，） ∴S△BOC=××1=；

（3）不等式（k+2）x+b≥0可以变形为kx+b≥﹣2x， 结合图象得到解集为：x≥﹣1． 【总结升华】本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是能够根据题意确定直线的解析式，然后结合图象直接写出不等式的解集． 举一反三： 【变式】（2015•武汉校级模拟）已知一次函数y=kx+b的图象经过点（3，5）与（﹣4，﹣9）． （1）求这个一次函数的解析式；

（2）求关于x的不等式kx+b≤5的解集．

【答案】解：∵一次函数y=kx+b的图象经过点点（3，5）与（﹣4，﹣9），

∴解得

，

∴函数解析式为：y=2x﹣1； （2）∵k=2＞0，

∴y随x的增大而增大，

把y=5代入y=2x﹣1解得，x=3， ∴当x≤3时，函数y≤5，

故不等式kx+b≤5的解集为x≤3．

类型五、一次函数的应用

6、（2015•黔西南州）某地为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制，即每月用水量不超过12吨（含12吨）时，每吨按政府补贴优惠价收费；每月超过12吨，超过部分每吨按市场调节价收费，小黄家1月份用水24吨，交水费42元．2月份用水20吨，交水费32元．

（1）求每吨水的政府补贴优惠价和市场调节价分别是多少元；

（2）设每月用水量为x吨，应交水费为y元，写出y与x之间的函数关系式； （3）小黄家3月份用水26吨，他家应交水费多少元？ 【答案与解析】 解：（1）设每吨水的政府补贴优惠价为a元，市场调节价为b元．

根据题意得

，

解得：．

答：每吨水的政府补贴优惠价为1元，市场调节价为2.5元． （2）∵当0≤x≤12时，y=x；

当x＞12时，y=12+（x﹣12）×2.5=2.5x﹣18，

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∴所求函数关系式为：y=．

（3）∵x=26＞12，

∴把x=26代入y=2.5x﹣18，得：y=2.5×26﹣18=47（元）． 答：小英家三月份应交水费47元．

【总结升华】本题考查了一次函数的应用，题目还考查了二元一次方程组的解法，特别是在求一次函数的解析式时，此函数是一个分段函数，同时应注意自变量的取值范围． 举一反三：

【变式】一报刊销售亭从报社订购某晚报的价格是每份0.7元，销售价是每份1元，卖不掉

的报纸还可以以0.20元的价格返回报社，在一个月内（以30天计算），有20天每天可卖出100份，其余10天，每天可卖出60份，但每天报亭从报社订购的份数必须相同，若以报亭每天从报社订购报纸的份数为，每月所获得的利润为．

（1）写出与之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；

（2）报亭应该每天从报社订购多少份报纸，才能使每月获得的利润最大？最大利润是

多少？

【答案】 解：（1）

．

类型六、一次函数综合

7、如图所示，直线l1的解析表达式为y3x3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过A、B两点，直线l1、l2交于点C． (1)求点D的坐标； (2)求直线l2的解析表达式； (3)求△ADC的面积；

(4)在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，请直接写出点P的坐标．

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【答案与解析】

解： (1)由y3x3，当y＝0，得3x3＝0，得x＝l．∴ D(1，0)．

(2)设直线l2的解析表达式为ykxb，

由图象知，x4，y0；x3，y3． 24kb0,将这两组值代入，得方程组3

3kb.23k,解得2

b6.∴ 直线l2的解析表达式为y3x6． 2y3x3,(3)∵ 点C是直线l1与l2的交点，于是有 3yx6.2解得x2, ∴ C(2，－3)．

y3.∴ △ADC的AD边上的高为3． ∵ OD＝1，OA＝4， ∴ AD＝3． ∴ S△ADC193|3|． 22(4)P(6，3)．

【总结升华】这是一道一次函数图象与性质的综合应用问题，求直线的函数解析式，一般运用待定系数法，但运用过程中，又要具体问题具体分析；求底边在坐标轴上三角形的面积的关键是探求该三角形的高．

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