东湖区第三中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

东湖区第三中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． （m+1）x2﹣（m﹣1）x+3（m﹣1）＜0对一切实数x恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A．（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1） C．

D．

2． 《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布． A．

B．

C．

n D．

*

33． 二项式(x+1)(n?N)的展开式中x项的系数为10，则n=（ ） A．5 B．6 C．8 D．10 【命题意图】本题考查二项式定理等基础知识，意在考查基本运算能力． 4． 已知双曲线

﹣

=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，若双曲线右支上存在一点P，使得F2

关于直线PF1的对称点恰在y轴上，则该双曲线的离心率e的取值范围为（ ） A．1＜e＜

B．e＞

C．e＞

D．1＜e＜

5． 等比数列的前n项，前2n项，前3n项的和分别为A，B，C，则（ ） A．B2=AC A．1

B．A+C=2B

D．2

C．B（B﹣A）=A（C﹣A）

D．B（B﹣A）=C（C﹣A）

6． 在复平面上，复数z=a+bi（a，b∈R）与复数i（i﹣2）关于实轴对称，则a+b的值为（ ）

B．﹣3 C．3

7． 棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后所得的几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）

A． B．18 C． D．

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精选高中模拟试卷

1，则|MN|（ ） 2A．10 B．180 C．63 D．65

8． 过点M(2,a)，N(a,4)的直线的斜率为9． 3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共有（ ） A．90种 B．180种 10．在三角形A．

C．270种 中，若B．

C．

D．0种

，则

的大小为（ ）

D．

11．如图F1、F2是椭圆C1：

+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共

点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（ ）

A． B．

=

C． D．

12．数列{an}满足a1=，A．

B．

C．

D．

*

﹣1（n∈N），则a10=（ ）

二、填空题

13．（若集合A⊊{2，3，7}，且A中至多有1个奇数，则这样的集合共有 个．

14．已知i是虚数单位，复数

15．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1=﹣1，

=Sn．则数列{an}的通项公式an= ．

的模为 ．

16．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数fxxlnxax有两个极值点，则实数a的取值范围是．

17．用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且

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仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是 .（注：结果请用数字作答）

【命题意图】本题考查计数原理、排列与组合的应用，同时也渗透了分类讨论的思想，本题综合性强，难度较大.

18．若直线：2xay10与直线l2：x2y0垂直，则a . 三、解答题

19．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成，两相接点M，N均在直线x=5上，圆弧C1的圆心是坐标原点O，半径为13；圆弧C2过点A（29，0）． （1）求圆弧C2的方程；

（2）曲线C上是否存在点P，满足

？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由．

20．已知函数f（x）=aln（x+1）+x2﹣x，其中a为非零实数． （Ⅰ）讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）若y=f（x）有两个极值点α，β，且α＜β，求证：

＜．（参考数据：ln2≈0.693）

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21．己知函数f（x）=lnx﹣ax+1（a＞0）． （1）试探究函数f（x）的零点个数；

（2）若f（x）的图象与x轴交于A（x1，0）B（x2，0）（x1＜x2）两点，AB中点为C（x0，0），设函数f（x）的导函数为f′（x），求证：f′（x0）＜0．

22．某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段，，，，，该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如下）．

进行分组，假设同一组中的每个数据可用

（Ⅰ）体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”．已知该校高一年级有1000名学生，试估计高一年级中“体育良好”的学生人数；

（Ⅱ）为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在和的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在的概率； （Ⅲ）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为，且分别在，，三组中，其中

．当数据的方差最大时，写出的值．（结论不要求证明） （注：

，其中为数据

的平均数）

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23．已知函数f（x）=|x﹣a|．

（1）若f（x）≤m的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数a，m的值． （2）当a=2且0≤t＜2时，解关于x的不等式f（x）+t≥f（x+2）．

24．在平面直角坐标系xOy中，经过点P和Q．

且斜率为k的直线l与椭圆

与

共线？

有两个不同的交点

（Ⅰ）求k的取值范围；

（Ⅱ）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．

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东湖区第三中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参） 一、选择题

1． 【答案】C

．

2

【解析】解：不等式（m+1）x﹣（m﹣1）x+3（m﹣1）＜0对一切x∈R恒成立， 2

即（m+1）x﹣（m﹣1）x+3（m﹣1）＜0对一切x∈R恒成立

若m+1=0，显然不成立 若m+1≠0，则 解得a故选C．

．

【点评】本题的求解中，注意对二次项系数的讨论，二次函数恒小于0只需

2． 【答案】D 则由题意知解得d=

．

【解析】解：设从第2天起每天比前一天多织d尺布m

，

故选：D．

【点评】本题考查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式的求解．

3． 【答案】B

3n=5，故选A． 【解析】因为(x+1)(n?N)的展开式中x项系数是C3n，所以Cn=10，解得

n*34． 【答案】B

【解析】解：设点F2（c，0），

由于F2关于直线PF1的对称点恰在y轴上，不妨设M在正半轴上， 由对称性可得，MF1=F1F2=2c， 则MO=设直线PF1：y=

=

c，∠MF1F2=60°，∠PF1F2=30°，

（x+c），

22222222

代入双曲线方程，可得，（3b﹣a）x﹣2cax﹣ac﹣3ab=0，

则方程有两个异号实数根，

222222

则有3b﹣a＞0，即有3b=3c﹣3a＞a，即c＞

a，

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则有e=＞故选：B．

5． 【答案】C 故排除A，D； 若公比q≠1， 则A=Sn=B（B﹣A）=

A（C﹣A）=

．

，B=S2n=

，C=S3n=

）=

，

n

【解析】解：若公比q=1，则B，C成立；

n

n

（

（

﹣ ﹣

（1﹣q）（1﹣q）（1+q）

）=

nnn

（1﹣q）（1﹣q）（1+q）；

故B（B﹣A）=A（C﹣A）； 故选：C．

【点评】本题考查了等比数列的性质的判断与应用，同时考查了分类讨论及学生的化简运算能力．

6． 【答案】A

【解析】解：∵z=a+bi（a，b∈R）与复数i（i﹣2）=﹣1﹣2i关于实轴对称， ∴

，∴a+b=2﹣1=1，

故选：A．

【点评】本题考查复数的运算，注意解题方法的积累，属于基础题．

7． 【答案】D

【解析】解：由三视图可知正方体边长为2，截去部分为三棱锥，作出几何体的直观图如图所示：

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2

故该几何体的表面积为：3×2+3×（

）+=，

故选：D．

8． 【答案】D 【解析】

考点：1.斜率；2.两点间距离.

9． 【答案】D

1212

【解析】解：三所学校依次选医生、护士，不同的分配方法共有：C3C6C2C4=0种． 故选D．

10．【答案】A

【解析】 由正弦定理知则有

答案：A

11．【答案】 D

+y2=1上的点，

，所以

，不妨设，故选A

，

，

，

【解析】解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1：∴2a=4，b=1，c=

；

222

，即x+y=（2c）=

∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；① 又四边形AF1BF2为矩形， ∴

+

=

=12，②

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由①②得：，解得x=2﹣

，2n=2c=2=

．

，y=2+，

，设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为2n，

则2m=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2∴双曲线C2的离心率e==故选D．

【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF1|与|AF2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．

12．【答案】C

【解析】解：∵∴∴数列∴∴an=1﹣∴a10=

． ﹣

==﹣1， 是等差数列，首项为

=﹣2﹣（n﹣1）=﹣n﹣1， =

．

=﹣2，公差为﹣1．

﹣1（n∈N），

*

故选：C．

【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

二、填空题

13．【答案】 6

【解析】解：集合A为{2，3，7}的真子集有7个，奇数3、7都包含的有{3，7}，则符合条件的有7﹣1=6个．

故答案为：6

【点评】本题考查集合的子集问题，属基础知识的考查．

14．【答案】 ．

【解析】解：∵复数

=

=i﹣1的模为

=．

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故答案为：．

【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．

15．【答案】

【解析】解：Sn是数列{an}的前n项和，且a1=﹣1，∴Sn+1﹣Sn=Sn+1Sn， ∴∴{∴

=﹣1，

=﹣1，

=Sn，

．

}是首项为﹣1，公差为﹣1的等差数列， =﹣1+（n﹣1）×（﹣1）=﹣n．

∴Sn=﹣，

n=1时，a1=S1=﹣1， n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=﹣+∴an=

．

=

．

故答案为：

16．【答案】

.

．

【解析】由题意,y′=lnx+1−2mx

令f′（x）=lnx−2mx+1=0得lnx=2mx−1，

函数fxxlnxmx有两个极值点,等价于f′（x）=lnx−2mx+1有两个零点， 等价于函数y=lnx与y=2mx−1的图象有两个交点，

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，

1时，直线y=2mx−1与y=lnx的图象相切， 21由图可知,当021则实数m的取值范围是（0,），

21故答案为：（0,）.

2当m=

17．【答案】48 【

解

析

】

18．【答案】1 【解析】

试题分析：两直线垂直满足21-a20，解得a1，故填：1. 考点：直线垂直

【方法点睛】本题考查了根据直线方程研究垂直关系，属于基础题型，当直线是一般式直线方程时，

l1:a1xb1yc10，l2:a2xb2yc20，当两直线垂直时，需满足a1a2b1b20，当两直线平行时，

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需满足a1b2a2b10且b1c2b2c1，或是

a1b1c1，当直线是斜截式直线方程时，两直线垂直a2b2c2k1k21，两直线平行时，k1k2，b1b2.1 三、解答题

19．【答案】

22

【解析】解：（1）圆弧 C1所在圆的方程为 x+y=169，令x=5，

解得M（5，12），N（5，﹣12）…2分

则直线AM的中垂线方程为 y﹣6=2（x﹣17）， 令y=0，得圆弧 C2所在圆的圆心为 （14，0）， 又圆弧C2 所在圆的半径为29﹣14=15，

22

所以圆弧C2 的方程为（x﹣14）+y=225（5≤x≤29）…5分

（2）假设存在这样的点P（x，y），则由PA=由由

PO，得x2+y2+2x﹣29=0 …8分

，解得x=﹣70 （舍去） 9分

，解得 x=0（舍去），

综上知，这样的点P不存在…10分

【点评】本题以圆为载体，考查圆的方程，考查曲线的交点，同时考查距离公式的运用，综合性强．

20．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）

．

当a﹣1≥0时，即a≥1时，f'（x）≥0，f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增； 当0＜a＜1时，由f'（x）=0得，故f（x）在调递增；

当a＜0时，由f'（x）=0得，f（x）在

所以α+β=0，αβ=a﹣1．

．

证明：（Ⅱ）由（I）知，0＜a＜1，且

，

上单调递增．

，

上单调递减，在

上单调递增，在

，

上单调递减，在

上单

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由0＜a＜1得，0＜β＜1． 构造函数

．

，

22

设h（x）=2（x+1）ln（x+1）﹣2x+x，x∈（0，1），

则

因为0＜x＜1， 所以，h'（x）＞0，

，

故h（x）在（0，1）上单调递增， 所以h（x）＞h（0）=0，即g'（x）＞0， 所以g（x）在（0，1）上单调递增， 所以故

．

，

21．【答案】 【解析】解：（1）令f'（x）＞0，则

，

；令f'（x）＜0，则

．

∴f（x）在x=a时取得最大值，即①当（x）→﹣∞

，即0＜a＜1时，考虑到当x无限趋近于0（从0的右边）时，f（x）→﹣∞；当x→+∞时，f

∴f（x）的图象与x轴有2个交点，分别位于（0，）及（即f（x）有2个零点； ②当③当

，即a=1时，f（x）有1个零点； ，即a＞1时f（x）没有零点；

）

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（2）由得（0＜x1＜x2），

=，令

，设

则

，t∈（0，1）且h（1）=0

，又t∈（0，1），∴h′（t）＜0，∴h（t）＞h（1）=0

即，又，

∴f'（x0）=

＜0．

【点评】本题在导数的综合应用中属于难题，题目中的两个小问都有需要注意之处，如（1）中，在对0＜a＜1进行研究时，一定要注意到f（x）的取值范围，才能确定零点的个数，否则不能确定．（2）中，代数运算比较复杂，特别是计算过程中，令生的综合能力有比较高的要求．

22．【答案】

【解析】【知识点】样本的数据特征古典概型

【试题解析】（Ⅰ）由折线图，知样本中体育成绩大于或等于70分的学生有

人，

的化简和换元，使得原本比较复杂的式子变得简单化而可解，这对学

所以该校高一年级学生中，“体育良好”的学生人数大约有

人． （

Ⅱ）设 “至少有1人体育成绩在”为事件，

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记体育成绩在的数据为，，体育成绩在的数据为，，，．

，

，

则从这两组数据中随机抽取2个，所有可能的结果有10种，它们是：

，

而事件

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

的结果有7种，它们是：，，，

因此事件的概率． （Ⅲ）a，b，c的值分别是为，23．【答案】

【解析】解：（1）∵f（x）≤m， ∴|x﹣a|≤m， 即a﹣m≤x≤a+m，

∵f（x）≤m的解集为{x|﹣1≤x≤5}， ∴

，解得a=2，m=3．

，．

（2）当a=2时，函数f（x）=|x﹣2|，

则不等式f（x）+t≥f（x+2）等价为|x﹣2|+t≥|x|． 当x≥2时，x﹣2+t≥x，即t≥2与条件0≤t＜2矛盾． 当0≤x＜2时，2﹣x+t≥x，即0

，成立．

当x＜0时，2﹣x+t≥﹣x，即t≥﹣2恒成立． 综上不等式的解集为（﹣∞，

]．

【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，要求熟练掌握绝对值的化简技巧．

24．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）由已知条件，直线l的方程为， 代入椭圆方程得整理得

． ①

，

．

直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q，等价于①的判别式△= 解得

或

．即k的取值范围为

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（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则由方程①，又而所以

与

共线等价于

． ，

将②③代入上式，解得由（Ⅰ）知

或

． ② ． ③

．

，

，

故没有符合题意的常数k．

【点评】本题主要考查直线和椭圆相交的性质，2个向量共线的条件，体现了转化的数学而思想，属于中档题．

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