基本公式排列组合二项式定理及概率统计

基本公式·排列组合二项式定理及概率统计

n！Anmn(n1)(nm1)(nm)！n151排列数公式 ：==(，m∈N*，且mn）．规定0!1 154组合数的两个性质：（1）

mCn=

nmCn ;(2）

mCn+

m1Cn=

Cnm1规定0Cn1 155组合恒等式

mnm1(3）CnmCn1; （5）

(6）

(7）

n（4）Crnr0=2n；

CrCrrCrr1rr1Cr2nCn1

C0C12rnnnCnCnCn2n

135024CnCnCnCnCnCn2n1

(8）

123nCn2Cn3CnnCnn2n1

（9）

r0r110rrrCmCnCmCnCmCnCmn

（10）

021222n2n(Cn)(Cn)(Cn)(Cn)C2n

mmAnm！Cn156排列数与组合数的关系:

157．单条件排列(以下各条的大前提是从n个元素中取m个元素的排列)

(1）“在位”与“不在位”

①某(特）元必在某位有

m1m1An1Am1An1m1An1种；②某（特)元不在某位有

mm1AnAn1（补集思想)

1m1An1An1（着眼位置）

（着眼元素）种 (2)紧贴与插空（即相邻与不相邻）

①定位紧贴:k(kmn)个元在固定位的排列有AkAnk种 kmk②浮动紧贴：n个元素的全排列把k个元排在一起的排法有

nk1kAnk1Ak种 注：此类问题常用捆绑法;

③插空：两组元素分别有k、h个(kh1），把它们合在一起来作全排列，k个的一组互不能挨近的所有排列数有

hkAhAh1种 (3）两组元素各相同的插空

m个大球n个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法?

nAmn1Cm1nAnm1nm1n当时，无解;当时，有种排法 （4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为

nCmn

158．分配问题

（1）(平均分组有归属问题)将相异的mn个物件等分给m个人，各得n件,其分配方法数共有

(mn)!(n!)m

nnnnnNCmnCmnCCCnmn2n2nn （2）（平均分组无归属问题)将相异的mn个物体等分为无记号或无顺序的m堆，其分配方法数共有

nnnnnCmnCmn(mn)!nCmn2n...C2nCnNm!m!(n!)m

(3）（非平均分组有归属问题)将相异的P(P=n1+n2++nm)个物体分给m个人，物件必须被分完，分

别得到n1,n2，…，nm件，且n1,n2，…，nm这m个数彼此不相等，则其分配方法数共有

p!m!n1!n2!...nm!nmn1n2NCpCpn1...Cnmm!

（4）（非完全平均分组有归属问题）将相异的P(P=n1+n2++nm)个物体分给m个人，物件必须被分完，分别得到n1，n2，…，nm件，且n1，n2,…,nm这m个数中分别有a、b、c、…个相等，则其分配方

法数有

nmn1n2CpCpn1...Cnmm!Na!b!c!...

p!m!n1!n2!...nm!(a!b!c!...) （5)(非平均分组无归属问题)将相异的P(P=n1+n2++nm)个物体分为任意的n1,n2,…,nm件无记号的

m堆,且n1，n2，…，nm这m个数彼此不相等,则其分配方法数有

Np!n1!n2!...nm! （6)(非完全平均分组无归属问题)将相异的P(P=n1+n2++nm)个物体分为任意的n1，n2，…，nm件无记号的m堆，且n1，n2,…，nm这m个数中分别有a、b、c、…个相等,则其分配方法数有

p!n1!n2!...nm!(a!b!c!...)N

（7）(限定分组有归属问题)将相异的p（pn1+n2++nm）个物体分给甲、乙、丙，……等m个人，物体必须被分完，如果指定甲得n1件,乙得n2件，丙得n3件，…时，则无论n1，n2，…,nm等m个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有

p!n1!n2!...nm!nmn1n2NCpCp...Cn1nm

159．“错位问题\"及其推广

①信2封信与2个信封全部错位有1种排法；

②信3封信与3个信封全部错位有2种排法;

③信4封信与4个信封全部错位有9种排法;

④信5封信与5个信封全部错位有44种排法；

160．不定方程x1+x2++xnm的解的个数

（1）方程

x1+x2++xnm（n,mN)的正整数解有Cm1个 n1(2) 方程

x1+x2++xnm1Cnnn,mN（）的非负整数解有 m1个 (3) 方程个 x1+x2++xnmn,mN（）满足条件xik（kN，2in1)的非负整数解有Cm1(n2)(k1)n1rnrrTr1Cnab(r0，1，2，n) 161 二项展开式的通项公式

f(x)(axb)na0a1xa2x2anxn

的展开式的系数关系：

a0a1a2anf(1)

；

a0a1a2(1)nanf(1)

;a0f(0) 167n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率：

kkPn(k)CnP(1P)nk.

187f(x)在x0处的导数（或变化率或微商）

f(x0)yxx0limf(x0x)f(x0)ylimx0xx0x

188瞬时速度：

s(t)limss(tt)s(t)limt0tt0t

dydfdxdx

190f(x)在(a,b)的导数：

f(x)y

limyf(xx)f(x)limx0xx0x

191 函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义

函数yf(x)在点x0处的导数是曲线yf(x)在P(x0,f(x0))处的切线的斜率f(x0)，相应的切线方程是yy0f(x0)(xx0) 192几种常见函数的导数

(xn)nxn1(nQ)C0（1) (C为常数）(2） (3) (sinx)cosx (4) (cosx)sinx (5)

(lnx)11(logax)logaex；x xxxx(a)alna (e)e（6) ；

193导数的运算法则

u'u'vuv'()(v0)''''''2(uv)uv(uv)uvuvvv（1）(2）（3) 194复合函数的求导法则

设函数u(x)在点x处有导数ux(x)，函数yf(u)在点x处的对应点U处有导数yuf(u)，则

复合函数yf((x))在点x处有导数,且yxyuux，或写作fx((x))f(u)(x) 195常用的近似计算公式（当x充分小时）

（1）

1x11n11x1x1x1x(1x)1x(R)2;n；（2）； 1x;

x（3)e1x；(4)ln(1x)x;（5)sinxx（x为弧度）；

(6）tanxx(x为弧度）；（7)arctanxx（x为弧度）

196判别f(x0)是极大(小）值的方法

当函数f(x)在点x0处连续时，

（1）如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则f(x0)是极大值；

(2）如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则f(x0)是极小值 BDBA204三角形的内角平分线性质：在ABC中，A的平分线交边BC于D，则DCAC (三角形的外角平分线也有同样的性质）