多金属矿选矿生产指标统计计算方法探讨

张亮

（江西贵溪鲍家矿业有限公司）

摘要：多金属矿选矿有两种以上精矿产品，生产指标统计计算相当繁琐，计算工作量大。由于样品误差的存在，传统计算方法所得的结果往往与实际不相符，计算误差较大，产品金属量难以平衡。通过建立更加科学的数学模型，对传统的多金属选矿生产指标统计计算方法进行改进，得出更符合实际的结果，分析各品位子样观测值误差产生的环节和原因，使生产指标的计算更加准确、可靠和更具有代表性。

关键词：多金属选矿；生产指标；方法改进；最或然值；平差计算

Disscusion of polymetallic ore dressing production index

statistics calculation method

Zhang Liang

(Jiangxi Guixi Baojia Mining Co. Ltd.)

Abstract: Polymetallic ore has more than two kinds of minerals concentrate production, the production index statistics calculation is quite complicated, computing workload is big. Because of sample error, the traditional calculation method results are often not consistent with the actual, calculation error is bigger, the product quantity of metal is hard to balance. By establishing the mathematical model of a more scientific, the traditional calculation method of the polymetallic ore dressing production index statistics is improved, more accord with the actual results, analysis of each grade of the sample observation error of links and causes, to make production index calculation more accurate, reliable, and more representative.

Keywords: Multi metal ore dressing; Production index; Method improvement; The most probable value; Adjustment calculation

1 问题提出

贵溪鲍家矿业有限公司（2004年贵溪银矿改制企业）选厂，年处理量24万吨，以银、铅、锌为主要产品的多金属选矿厂，采用混合浮选工艺生产，精矿产品为铅银精矿和锌银精矿。选矿金属平衡报表统计计算是采用传统的计算方法，当化验数据存在较大误差时，统计计算有时会出现银的回收率超过100%，有的高达110%，这显然是不合理的，选矿生产指标计算失真，与实际相差较大，这也说明传统的计算方法存在缺陷。为了解决这一问题，使生产统计结果更加符合实际、更具有代表性，通过建立更加科学的数学模型和计算方法，对传统的多金属选矿生产指标统计的计算方法加以改进，得出更科学、更符合实际的统计计算结果，以指导选矿生产。

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2 选矿指标的构成

表1 多金属选矿指标构成

产品 Pb品位（%） Zn品位（%） Ag品位（g/t） 矿量 （t） Pb 金属量 Zn 金属量 Ag 金属量 Pb 回收率(%) Zn Ag 原矿 铅银精矿 锌银精矿 尾矿 a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 c c1 c2 c3 Q Q1 Q2 Q3 Ma Ma1 Ma2 Ma3 Mb Mb1 Mb2 Mb3 Mc Mc1 Mc2 Mc3 Pa Pb Pc Pa1 Pb1 Pc1 Pa2 Pb2 Pc2 Pa3 Pb3 Pc3 注：表1中已知条件：a-a3、b-b3、c-c3为各种产品品位（化验得出），Q为原矿矿量。 需要计算的指标：Q1-Q3为铅银精矿、锌银精矿和尾矿的产量；MX为各产品中的金属量；Pa、Pb、Pc为各金属总回收率；PX为各产品中各种金属量的回收率。

3 传统统计计算方法简述

传统的计算方法的联立方程如下，通过方程组来解算各产品的产量，再通过金属量平衡调整，计算出各种生产指标。

┄┄ ⑴Q1Q2Q3Q ┄┄┄ ⑵ a1 Q 1a2 Q 2a3 Q3a Q ┄方程组：┄┄ ⑶ b1 Q 1b2 Q 2b3 Q 3b Q ┄┄┄ ⑷c1 Q 1c2 Q 2c3 Q 3c Q ┄方程组中，4个方程有3个未知数。取其中任意3个方程所组成的方程组即可解出铅银精矿、锌银精矿和尾矿的产量Q1、Q2和Q3。在方程⑴、⑵、⑶、⑷中任选择3个方程组成方程组进行求解，就会有4组解，理论上4组解出的Q1、Q2和Q3应当是一致的，但在实际工作中，由于采样、样品加工和化验取得的品位子样数值（这里称品位子样观测值）的误差，使得4组解不一致。传统的统计方法常常选择4组中的一组而舍弃其他3组，再做金属平衡调整，这样做虽然基本上能够满足生产统计的需要，但还是存在较大的计算误差，不能计算各子样的误差大小，更不能分析各品位子样观测值取样和化验误差产生的环节和原因。为了提高生产指标统计计算的准确性，减少错误判断，提高生产指导性，必须采用更合理、更科学的计算方法。

4 计算方法改进

由于矿量称重和品位子样的采样、加工、化验误差的存在，上述方程组各方程式并不相等，存在偏差值，为了求解最优产量Q1、Q2、Q3和各子样观测值的误差改正值，这就需要采

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用平差的方法进行救解，其误差方程式为：

v1a1 Q1a2 Q2a3 Q3－aQ  ┄┄┄┄┄⑸

v2b1 Q1b2 Q2b3 Q3－bQv3c1 Q1c2 Q2c3 Q3－cQ在⑸式中a-a3、b-b3、c-c3品位子样观测值视为等精度（这些子样采样都是取样机取样，从采样到化验操作程序和操作仪器都相同）。由于称重测量与品位采样程序不同，所以原矿称重量Q与a-a3、b-b3、c-c3品位子样观测精度不同。原矿称重量是采用皮带称来观测重量（精度较高），考虑到皮带称测重量精度高以及子样观测值误差处理烦琐，这里可以认为V=0，这样处理计算就更简单了。首先用附有条件的间接平差法求解最优产量Q1、Q2、Q3，以及铅、锌、银各金属量的偏差值v1、v2、v3，之后再用条件平差方法求出各子样观测值的最或然值，消除铅、锌、银各金属量的偏差值v1、v2、v3。

VQ1Q2Q3－Q 4.1 附有条件的间接平差法的基础方程

将⑸式写成为:

v1a1 Q1a2 Q2a3 Q3u1 v2b1 Q1b2 Q2b3 Q3u2 ┈┈┈┈┈⑹

v3c1 Q1c2 Q2c3 Q3u3Q1Q2Q3－Q0 ┈┈┈┈┈⑺

⑹式中u1aQ , u2-bQ , u3cQ

若记

a1a2a3v1u1 B=b1b2b3 V=v2 Uu2 Q3　3131313　c1c2c3v3u3 A111 WQ

13Q1Q2 Q311则⑹、⑺可写为： V=B33　113　3　13　Q+U ┈┈┈┈┈⑻

3

1　33　11　111　AQ+W=O ┈┈┈┈┈⑼

2按照求自由极值的方法，解出使[VV]=最小值（即v1v22v32最小值)的最优产

量Q1、Q2、Q3的最或然值，这样就可以解出铅、锌、银金属量不符值v1、v2、v3，根据最小二乘原理和求“条件极值”的要求，组成函数

VV2K(AQW)，式中K为联系数向量。

TT11将函数φ对Q求偏导数，并令其为零，即

ddVTT2VT2KTAO，即BVAKO ┈┈┈⑽ dQdQ上述⑻、⑼、⑽三组方程，称为附有条件的间接平差法的基础方程，其中⑼式为条件方程、⑽式为未知数方程。 4.2 最优产量的求解

将⑻式代入⑽式得

BTBQATKBTUO ┈┈┈⑾

AQ WO⑾式称为附有条件的间接平差法的法方程。若记

NTT NBB, WtBU, Ny AATQWt , Y , Wy，得

OKW1NQ1或YNyWy，

KAATOWt即可解出Q1、Q2、Q3、K。将Q1、，

WQ2、Q3入代⑹式即可求出各金属量偏差值v1、v2、v3。

4.3 条件平差法的基础方程

解出各金属量偏差值v1、v2、v3之后代入⑹式金属量平衡条件式方程，采用条件平差的方法求解子样观测值的最或然值。设各子样观测值的最或然值和改正数分别为：。 Lai,vai,Lbi,vbi,Lci,vci（i0,1,2,3）

有Laiaivai,Lbibivbi,Lcicivci

上述最或然值应满足下列条件方程式：

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La1 Q1La2 Q2La3 Q3－LaQ0 Lb1 Q1Lb2 Q2Lb3 Q3－LbQ0 将Laiaivai， Lbibivbi，

Lc1 Q1Lc2 Q2Lc3 Q3－LcQ0Lcicivci 代入整理可得：

QvaQ1va1 Q2va2Q3va3v10 －QvbQ1vb1 Q2vb2Q3vb3v20 ┈┈┈⑿

 －QvcQ1vc1 Q2vc2 Q3vc3v30 －若记

........QQ1Q2Q3A....QQ1Q2Q3...........QQ1Q2Q3.v1，Wv2v3T，

Vvava1va2va3vbvb1vb2vb3vcvc1vc2vc3则条件方程的矩阵形式为：AVWO ┈┈┈⒀

根据最小二乘原理和求“条件极值”的要求，组成函数



VTV2KT(AVW)，式中K为联系数向量。

将函数φ对V求偏导数，并令其为零，即

Td2VT2KTAO；转置后得：VAKO，亦即 dV VATK ┈┈┈⒁

⒀式、⒁式称为条件平差法的基础方程，⒁式为改正值方程。

4.4 求解子样观测值的最或然值

将⒁式代入⒀式可得AA 令NTKWO，

AAT，可得

KN1W ┈┈┈⒂

解出联系数K后，由改正值方程⒁式，可求得各子样观测值误差改正数V，亦即可求得各子样观测值的最或然值Laiaivai、Lbibivbi、Lcicivci。

5 品位调整及其它指标的计算

由改正值方程求得子样观测值误差改正数V后，就可求得各子样品位观测值的最或然值Lai, Lbi, Lci。则有

5

Q1Q2Q3Q La1 Q 1La2 Q 2La3 Q3La Q  关系式成立 Lb1 Q 1Lb2 Q 2Lb3 Q 3Lb Q Lc1 Q 1Lc2 Q 2Lc3 Q 3Lc Q 这样，求得铅银精矿、锌银精矿、尾矿的最优产量和各子样品位值的最或然值后，就可以进行其它指标的计算。

6 计算程序设计及算例

从上述求解过程可以看出，需要解算的未知数较多，有15个，计算工作量非常大，手工计算难以完成，须采用计算机来完成。考虑到EXCEL电子表格计算功能强大和普及使用，这里采用EXCEL电子表格配合EXCEL VBA语言编程来完成上述各方程组的解算。

限于篇幅，程序编制的具体内容就不一一述说，这里主要说明程序编制和解算的几个关键要点。如图1所示，程序设计主界面有“录入数据”、“计算结果”、“解算分析”、“平衡表”、“退出”和登录窗口。图2和图3分别为对应的“录入数据”和“计算结果”的窗口。“平衡表”（ 图4）为金属平衡表日报表，“解算分析”（ 图5）为方程组解算过程和解算结果表。

图1 计算程序设计主界面

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图2 数据录入窗体

图3 计算结果输出窗体

以（图2）某一日三班子样观测数据输入的数据为例，输完数据后点击“计算”按钮，即可完成（图3）中各项数据的计算，点击（图3）中的“保存到平衡表”按钮即可保存到（图4）金属平衡表日报表中，最后打印输出。

平衡表和解算表中常用数学公式很容易编辑，这里主要撑握解算表中矩阵转置函数、矩阵相乘函数和矩阵求逆阵函数的使用方法，现以矩阵转置函数为例来说明这些函数的使用方法：解算表（图7）中B与B互为转置，选定区域B15:D17(选定的矩阵区域必须与计结果矩阵区域行列相对应),点击编辑栏中

“插入函数”对话框，选择矩阵fx按钮，弹出（图6）

T

转置函数（TRANSPOSE），点击确定后出现图7函数参数对话框，选定区域B10:D12后按

7

Ctrl+Shift+Enter键即可求得B。同理可得，矩阵相乘函数（MMULT）和矩阵求逆阵函数（MINVERSE）的使用方法。

T

图4 金属平衡表日报表

图5 解算结果表

图6 插入矩阵转置函数对话框

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图7 矩阵转置函数参数对话框

7 结论与推广

在传统的计算方法中，多金属选矿生产指标的计算，由于样品误差的存在，使得所列方程组的计算结果难于确定，只能采用在方程⑴、⑵、⑶、⑷中选择3个方程组成方程组进行求解，再做金属平衡调整，这样做虽然基本上能够满足生产统计的需要，但具有一定的盲目性和偏面性。而通过本文的计算方法改进，建立更加科学的数学模型，解决了传统计算方法存在的问题，通过严密的数学平差计算后，使得⑴、⑵、⑶、⑷方程式成立，并计算出各金属量偏差值和各子样观测值的误差改正数，根据解算表中的计算数据，分析各品位子样观测值取样和化验误差产生的环节和原因（如铅金属量偏差值较大时，这说明铅化验结果存在较大误差，需作调整，可将铅金属改正后的品位值作为原始化验品位，再进行一次平差计算，这样通过两次平差计，基本可以消除子样误差），为多金属选矿生产指标的优化计算提供了科学的数学理论依据。

为了输入数据的方便，本文中采用了EXCEL VBA语言编程。如果不懂得EXCEL VBA语言编程的，可以不用编程，只要撑握EXCEL中矩阵函数的使用方法，在EXCEL电子表格中输入已知数据编辑计算同样可以求解计算,而且简单易行。

利用本文中编制好的解算程序，相关人员只要输入已知数据，点击程序中相关按钮，进行求解算，不需要再作平衡调整，即可打印输出结果，计算十分方便。也可以利用网络快速查看选矿各项生产指标。通过本文计算程序在选矿生产中的应用，降低了选矿生产指标的计算误差，提高了统计计算速度。文中的计算方法和计算程序编制，可以应用于多金属单精矿产品的统计计算，也可以推广应用于两种以上多金属精矿产品的选矿生产指标统计计算。

参考文献

[1] 同济大学教研室编.线性代数.高等教育出版社,1987. [2] 同济大学教研室主编.高等数学.高等教育出版社,1985. [3] 崔希璋,於宗俦,刘大杰.广义测量平差.测绘出版社,1988. 作者：张亮 男 高级工程师

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