线性代数重要公式

线性代数重要公式(总9页)

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【线性代数重要公式】 1、行列式 1. n行列式共有n个元素，展开后有n!项，可分解为2行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、A和a的大小无关； 2nijij②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A； ijijijijijij3. 代数余子式和余子式的关系：M(1)AA(1)M 4. 设n行列式D： 将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D，则D(1)11n(n1)2DD； ； 将D顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为D，则D232(1)n(n1)2将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为D，则D将D主副角线翻转后，所得行列式为D，则D443D； D； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)④、◤和◢：副对角元素的乘积(1)A⑤、拉普拉斯展开式：COACABBOBn(n1)2n(n1)2； ③、上、下三角行列式（◥◣）：主对角元素的乘积； ； AOA(1)mnABOBC、CB ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n阶行列式A，恒有：EA(1)nnk1kSknk，其中S为k阶主子k式； 7. 证明A0的方法： ①、AA； 1 ②、反证法； ③、构造齐次方程组Ax0，证明其有非零解； ④、利用秩，证明r(A)n； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A是n阶可逆矩阵： A0（是非奇异矩阵）； r(A)nA（是满秩矩阵） 的行（列）向量组线性无关； ，Axb总有唯一解； 齐次方程组Ax0有非零解； 与E等价； 可表示成若干个初等矩阵的乘积； 的特征值全不为0； 是正定矩阵； nnbRnAAATAAAA的行（列）向量组是R的一组基； 是R中某两组基的过渡矩阵； **2. 对于n阶矩阵A：AAAAAE 无条件恒成立； (A)(A)(A)(A) 3. (A)(A)(AB)BA(AB)BA(AB)BA 1**11TT1*TT*TTT***1114. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和； 5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆： 若A1AA2AsA2As，则： Ⅰ、AA1； 2 Ⅱ、②、③、④、⑤、

A111A11A2As1OB1B1O；

A1AOOBOOOA1BOAA1ACOBO111；（主对角分块） ；（副对角分块） ；（拉普拉斯） ；（拉普拉斯）

A1CB1B1OB1A1AO11CBBCA3、矩阵的初等变换与线性方程组

1. 一个mn矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯

EO一确定的：F； OOrmn等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵； 对于同型矩阵A、B，若r(A)r(B)A2. 行最简形矩阵：

①、只能通过初等行变换获得； ②、每行首个非0元素必须为1；

③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；

3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）

①、 若(A,E)(E,X)，则A可逆，且XA；

②、对矩阵(A,B)做初等行变化，当A变为E时，B就变成AB，

r11B；

即：(A,B)(E,Acr1B)；

③、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Axb，如果

(A,b)(E,x)，则A可逆，且xAb；

14. 初等矩阵和对角矩阵的概念：

①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初

3 等行矩阵、右乘为初等列矩阵； ②、12n，左乘矩阵A，乘A的各行元素；右乘，乘Aii的各列元素； ③、对调两行或两列，符号1111111E(i,j)，且E(i,j)1E(i,j)，例如：； E(i(k))④、倍乘某行或某列，符号111k1，且1E(i(k))1E(i())k，例如：1k(k0)1； E(ij(k))⑤、倍加某行或某列，符号kk1111(k0)111,且E(ij(k))1E(ij(k))，如：； 5. 矩阵秩的基本性质： ①、0r(A)min(m,n)； mn②、r(A)r(A)； T③、若A阵的秩） B，则r(A)r(B)； ④、若P、Q可逆，则r(A)r(PA)r(AQ)r(PAQ)；（可逆矩阵不影响矩⑤、max(r(A),r(B))r(A,B)r(A)r(B)；（※） ⑥、r(AB)r(A)r(B)；（※） ⑦、r(AB)min(r(A),r(B))；（※） ⑧、如果A是mn矩阵，B是ns矩阵，且AB0，则：（※） Ⅰ、B的列向量全部是齐次方程组AX0解（转置运算后的结论）； Ⅱ、r(A)r(B)n 4 ⑨、若A、B均为n阶方阵，则r(AB)r(A)r(B)n； 6. 三种特殊矩阵的方幂： ①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式，再采用结合律； ②、型如1ac01b001的矩阵：利用二项展开式； n 二项展开式：(ab)nCaCab0nn1nn11CamnnmbmCn11n1nabmmnmCbCnabnnnm0n； 注：Ⅰ、(ab)展开后有n1项； Ⅱ、Cmnn(n1)(nm1)n!123mm!(nm)!mn0nCnCn1 m1nⅢ、组合的性质：CCnmnCmn1CCmn Cr0nrn2nrr1rCnnCn1； ③、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵： ①、伴随矩阵的秩：nr(A*)10r(A)nr(A)n1r(A)n1*； AA②、伴随矩阵的特征值：(AXX,AAA1A*XX)； ③、A*AA1、A*An1 8. 关于A矩阵秩的描述： ①、r(A)n，A中有n阶子式不为0，n1阶子式全部为0；（两句话） ②、r(A)n，A中有n阶子式全部为0； ③、r(A)n，A中有n阶子式不为0； 9. 线性方程组：Axb，其中A为mn矩阵，则： ①、m与方程的个数相同，即方程组Axb有m个方程； ②、n与方程组得未知数个数相同，方程组Axb为n元方程； 10. 线性方程组Axb的求解： ①、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）； ②、齐次解为对应齐次方程组的解； 5 ③、特解：自由变量赋初值后求得；

11. 由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程： ①、

a11x1a12x2a1nxnb1axaxaxb2112222nn2am1x1am2x2anmxnbna11a12a21a22am1am2；

②、

a1nx1b1a2nx2b2Axbamnxmbm（向量方程，A为mn矩阵，m个方

程，n个未知数） ③、a1a2x1xan2xn22（全部按列分块，其中（线性表出）

b1b2bn）；

④、axax11anxn⑤、有解的充要条件：r(A)r(A,)n（n为未知数的个数或维数）

4、向量组的线性相关性

1. m个n维列向量所组成的向量组A(,,,)；

12mA

：,,12,m构成

nm矩阵；

m个n维行向量所组成的向量组B：T1T,2,T,m构成mn矩阵

1TTB2Tm含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；

2. ①、向量组的线性相关、无关 Ax0有、无非零解；（齐次线性方程组）

②、向量的线性表出 Axb是否有解；（线性方程组）

③、向量组的相互线性表示 AXB是否有解；（矩阵方程） 3. 矩阵A与B行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax0和Bx0同解；(P例14) 4. r(AA)r(A)；(P例15)

5. n维向量线性相关的几何意义： ①、线性相关 0；

mnln101T1016 ②、,线性相关 ③、,,线性相关

,坐标成比例或共线（平行）； 共面；

,,6. 线性相关与无关的两套定理：

若,,,线性相关，则,,,,必线性相关；

12s12ss1若,,12,s线性无关，则,,12,s1必线性无关；（向量的个数加加

减减，二者为对偶）

若r维向量组A的每个向量上添上nr个分量，构成n维向量组B： 若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关；（向量组的维数加加减减）

简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；

7. 向量组A（个数为r）能由向量组B（个数为s）线性表示，且A线性无关，则rs(二版P定理7)；

向量组A能由向量组B线性表示，则r(A)r(B)；（P定理3） 向量组A能由向量组B线性表示 AXB有解；

r(A)r(A,B)（P定理2）

向量组A能由向量组B等价r(A)r(B)r(A,B)（P定理2推论） 8. 方阵A可逆存在有限个初等矩阵P,P,,P，使APPP；

①、矩阵行等价：A~BPAB（左乘，P可逆）Ax0与Bx0同解 ②、矩阵列等价：A~BAQB（右乘，Q可逆）； ③、矩阵等价：A~BPAQB（P、Q可逆）； 9. 对于矩阵A与B：

①、若A与B行等价，则A与B的行秩相等；

②、若A与B行等价，则Ax0与Bx0同解，且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；

③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵A的行秩等于列秩； 10. 若ABC，则：

①、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵； ②、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，A为系数矩阵；

7486858512l12lrcmnlnmssnmnT7 （转置）

11. 齐次方程组Bx0的解一定是ABx0的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；

①、ABx0 只有零解Bx0只有零解；

②、Bx0 有非零解ABx0一定存在非零解；

12. 设向量组B:b,b,,b可由向量组A:a,a,,a线性表示为：（P题19结论）

(b,b,,b)(a,a,,a)K（BAK）

其中K为sr，且A线性无关，则B组线性无关r(K)r；（B与K的列向量组具有相同线性相关性）

（必要性：rr(B)r(AK)r(K),r(K)r,r(K)r；充分性：反证法）

nr12rns12s11012r12s 注：当rs时，K为方阵，可当作定理使用；

r(A)m、Q的列向量线性无13. ①、对矩阵A，存在Q，AQE

关；（P）

②、对矩阵A，存在P，PAE r(A)n、P的行向量线性无关；

14. ,,,线性相关

存在一组不全为0的数k,k,,k，使得kkk0成立；（定

mnnmm87mnnmn12s12s1122ss义）

(1,2,x1x,s)20xs,s)s有非零解，即Ax0有非零解；

r(1,2,，系数矩阵的秩小于未知数的个数；

15. 设mn的矩阵A的秩为r，则n元齐次线性方程组Ax0的解集S的秩为：r(S)nr；

16. 若为Axb的一个解，,,,为Ax0的一个基础解系，则,,,,线性无关；（P题33结论）

5、相似矩阵和二次型

*12nr*12nr1111. 正交矩阵AAE或AA（定义），性质：

①、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即

ij1aa(i,j1,2,n)； 0ijT1TTij8 ②、若A为正交矩阵，则AA也为正交阵，且A1； ③、若A、B正交阵，则AB也是正交阵； 注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化； 2. 施密特正交化：(a,a,,a) ba； 1T12r11b2a2[b1,a2]b1[b1,b1] [br1,ar]br1[br1,br1] brar[b1,ar][b,a]b12rb2[b1,b1][b2,b2]; 3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关； 对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交； 4. ①、A与B等价 A经过初等变换得到B； PAQB，P、Q可逆； r(A)r(B)，A、B同型； ②、A与B合同 CACB，其中可逆； xAx与xBx有相同的正、负惯性指数； ③、A与B相似 PAPB； 5. 相似一定合同、合同未必相似； 若C为正交矩阵，则CACBAB，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）； 6. A为对称阵，则A为二次型矩阵； 7. n元二次型xAx为正定： A的正惯性指数为n； A与E合同，即存在可逆矩阵C，使CACE； A的所有特征值均为正数； A的各阶顺序主子式均大于0； a0,A0；(必要条件) TTT1TTTii9