一．解答题（共8小题）
1．如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB=a，E是棱PC的中点． （1）求证：PC⊥BD；
（2）求直线BE与PA所成角的余弦值．
2．如图，已知△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且∠BAC=∠BCD=90°，AB=AC，CB=CD，点E，F分别在线段BD，CD上，沿直线EF将△EFD向上翻折使得D与A重合 （Ⅰ）求证：AB⊥CF；
（Ⅱ）求直线AE与平面ABC所成角．
第1页（共15页）
3．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=5，BB1=BC=6，D，E分别是AA1和B1C的中点．
（1）求证：DE⊥BC；
（2）求三棱锥E﹣BCD的体积．
4．如图：ABCD是平行四边形，AP⊥平面ABCD，BE∥AP，AB=AP=2，BE=BC=1，∠CBA=60° （1）求证：EC∥平面PAD； （2）求证：平面PAC⊥平面EBC；
（3）求直线PC与平面PABE所成角的正弦值．
5．如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是
第2页（共15页）
AB、PC的中点，PA=AD=1，AB=2． （1）求证：MN∥平面PAD； （2）求证：平面PMC⊥平面PCD； （3）求点D到平面PMC的距离．
6．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2．
（Ⅰ）求异面直线AP与BC所成角的余弦值； （Ⅱ）求证：PD⊥平面PBC；
（Ⅲ）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．
7．如图，已知三棱锥P﹣ABC，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°，∠BAC=60°，PA=AC，M为
第3页（共15页）
PB的中点．
（Ⅰ）求证：PC⊥BC．
（Ⅱ）求二面角M﹣AC﹣B的大小．
8．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，且底面ABCD为平行四边形，若∠DAB=60°，AB=2，AD=1． （1）求证：PA⊥BD；
（2）若∠PCD=45°，求点D到平面PBC的距离h．
第4页（共15页）
立体几何求角
一．解答题（共8小题）
1．如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB=a，E是棱PC的中点． （1）求证：PC⊥BD；
（2）求直线BE与PA所成角的余弦值．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，且PA=AB=a， ∴△PBC，△PDC都是等边三角形，…（2分） ∵E是棱PC的中点，
∴BE⊥PC，DE⊥PC，又 BE∩DE=E， ∴PC⊥平面BDE…（5分） 又BD⊂平面BDE， ∴PC⊥BD…（6分）
解：（2）连接AC，交BD于点O，连OE． 四边形ABCD为正方形，∴O是AC的中点…（8分） 又E是PC的中点
∴OE为△ACP的中位线，∴AP∥OE
∴∠BEO即为BE与PA所成的角 …（10分）
第5页（共15页）
在Rt△BOE中，BE=∴cos∠BEO=
．
，EO=，…（12分）
∴直线BE与PA所成角的余弦值为．…（14分）
2．如图，已知△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且∠BAC=∠BCD=90°，AB=AC，CB=CD，点E，F分别在线段BD，CD上，沿直线EF将△EFD向上翻折使得D与A重合 （Ⅰ）求证：AB⊥CF；
（Ⅱ）求直线AE与平面ABC所成角．
【解答】解：（1）面ABC⊥面BCD，面ABC∩面BCD=BC，∠BCD=90° ⇒CF⊥BC， ⇒FC⊥面ABC， ⇒AB⊥CF…（5分） （2）设
，设BE=t，则ED=EA=2﹣t，
第6页（共15页）
取BC的中点H，连接HE，AH， 又
…（7分）
又AH⊥面BCD，AE2=AH2+EH2，∴（2﹣t）2=+t2﹣t+， ∴
，∴点E是BD的中点，…（10分）
HE∥BC，∴HE⊥面ABC，∠BEA为所求角的线面角…（12分）
…（14分）
∴
…（15分）．
所以直线AE与平面ABC所成角为
3．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=5，BB1=BC=6，D，E分别是AA1和B1C的中点．
（1）求证：DE⊥BC；
（2）求三棱锥E﹣BCD的体积．
第7页（共15页）
【解答】证明：（1）取BC中点F，连结EF，AF，则EF△BCB1的中位线，∴EF∥BB1，EF=BB1， ∵AD∥BB1，AD=BB1，∴EF∥AD，EF=AD，∴四边形ADEF是平行四边形，∴DE∥AF， ∵AB=AC，F是BC的中点，∴AF⊥BC，∴DE⊥BC． （2）∵BB1⊥平面ABC，AF⊂平面ABC，∴BB1⊥AF，
又∵AF⊥BC，BC⊂平面BCC1B1，BB1⊂平面BCC1B1，BC∩BB1=B， ∴AF⊥平面BCC1B1，∴DE⊥平面BCC1B1， ∵AC=5，BC=6，∴CF=∵BC=BB1=6，∴S△BCE=
=3，∴AF==9．
=12．
=4，∴DE=AF=4
∴三棱锥E﹣BCD的体积V=S△BCE•DE=
4．如图：ABCD是平行四边形，AP⊥平面ABCD，BE∥AP，AB=AP=2，BE=BC=1，∠CBA=60° （1）求证：EC∥平面PAD； （2）求证：平面PAC⊥平面EBC；
第8页（共15页）
（3）求直线PC与平面PABE所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：因为BE∥PA， BE⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，
所以BE∥平面PAD，同理BC∥平面PAD， 所以平面PAD∥平面EBC，
因为EC⊂平面EBC，所以EC∥平面PAD…（4分） （2）证明：因为AB=2，BC=1，∠CBA=60°， 由余弦定理得，AC=
，
所以由勾股定理逆定理∠BCA=90°，
所以AC⊥BC，又因为BE⊥平面ABCD，所以BE⊥AC， 则有AC⊥平面EBC，AC⊂平面PAC 所以平面BEC⊥平面PAC．…（8分） （3）解：作CH⊥AB于H，连结PH， 又因为CH⊥PA，所以CH⊥平面PABE， 所以∠HPC即为线面角， ∴
5．如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，PA=AD=1，AB=2．
第9页（共15页）
．…（13分）
（1）求证：MN∥平面PAD； （2）求证：平面PMC⊥平面PCD； （3）求点D到平面PMC的距离．
【解答】（1）证明：设PD的中点为E，连接AE、NE， 由N为PC的中点知EN平行且等于DC，
又ABCD是矩形，∴DC平行且等于AB，∴EN平行且等于AB 又M是AB的中点，∴EN平行且等于AM， ∴AMNE是平行四边形
∴MN∥AE，而AE⊂平面PAD，NM⊄平面PAD ∴MN∥平面PAD
（2）证明：∵PA=AD，∴AE⊥PD， 又∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD， ∴CD⊥PA，而CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD ∴CD⊥AE，∵PD∩CD=D，∴AE⊥平面PCD， ∵MN∥AE，∴MN⊥平面PCD， 又MN⊂平面PMC， ∴平面PMC⊥平面PCD．
（3）解：设点D到平面PMC的距离为h，则
，
第10页（共15页）
∴点D到平面PMC的距离h=．
6．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2．
（Ⅰ）求异面直线AP与BC所成角的余弦值； （Ⅱ）求证：PD⊥平面PBC；
（Ⅲ）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．
【解答】解：（Ⅰ）如图，由已知AD∥BC，
故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角． 因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD． 在Rt△PDA中，由已知，得故
．
． ，
所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为
证明：（Ⅱ）因为AD⊥平面PDC，直线PD⊂平面PDC， 所以AD⊥PD．
第11页（共15页）
又因为BC∥AD，所以PD⊥BC， 又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC．
解：（Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF， 则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角． 因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影， 所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角． 由于AD∥BC，DF∥AB，故BF=AD=1，
由已知，得CF=BC﹣BF=2．又AD⊥DC，故BC⊥DC， 在Rt△DCF中，可得
．
．
所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为
7．如图，已知三棱锥P﹣ABC，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°，∠BAC=60°，PA=AC，M为PB的中点．
（Ⅰ）求证：PC⊥BC．
（Ⅱ）求二面角M﹣AC﹣B的大小．
第12页（共15页）
【解答】解：（Ⅰ）证明：由PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC， 又因为∠ACB=90°，即BC⊥AC． ∴BC⊥面PAC，∴PC⊥BC．
（Ⅱ）取AB中点O，连结MO、过O作HO⊥AC于H，连结MH，因为M是PB的中点，所以MO∥PA，
又因为PA⊥面ABC，∴MO⊥面ABC．∴∠MHO为二面角M﹣AC﹣B的平面角． 设AC=2，则BC=2
，MO=1，OH=
．
，
在Rt△MHO中，tan∠MHO=二面角M﹣AC﹣B的大小为300．
8．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，且底面ABCD为平行四边形，若∠DAB=60°，AB=2，AD=1． （1）求证：PA⊥BD；
（2）若∠PCD=45°，求点D到平面PBC的距离h．
【解答】（1）证明：∵AD=1，AB=2，∠DAB=60°，
第13页（共15页）
∴BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cos60°=3， ∴AD2+BD2=AB2， ∴AD⊥BD，
∵PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD， ∴PD⊥BD，又AD∩PD=D， ∴BD⊥平面PAD， ∵PA⊂平面PAD， ∴BD⊥PA．
（2）解：由（1）可知BC⊥BD， ∴S△BCD=
=
，
∵∠PCD=45°，∴PD=CD=2， ∴VP﹣BCD=∵PC=
CD=2
=，PB=
．
=
，BC=1，
∴BC2+PB2=PC2，∴PB⊥BC， ∴S△BCP=∴VD﹣BCP=
又VP﹣BCD=VD﹣BCP，∴解得h=
． =
， =
=， ，
第14页（共15页）
谢谢观看!
欢迎您的下载，资料仅供参考,如有雷同纯属意外
第15页（共15页）
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容