2024年山东省烟台市中考数学试题+答案详解

（试题部分）

注意事项：

1．本试卷共8页，共120分；考试时间120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．

2．答题前，务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡规定的位置上．

3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．

4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效． 6．考试过程中允许考生进行剪、拼、折叠等实验．

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的．

1. 下列实数中的无理数是（ ） A.

2 3B. 3.14 C.

15 D.

364

2. 下列运算结果为a6的是（ ） A. a2a3

B. a12a2

C. a3+a3

D. a2()

33. 下图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，使新几何体的左视图既是轴对称图形又是中心对称图形，则应取走（ ）

A. ① B. ② C. ③ D. ④

4. 实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）

A. b+c3

B. a−c0

C. ac

D. −2a−2b

5. 目前全球最薄的手撕钢产自中国，厚度只有0.015毫米，约是A4纸厚度的六分之一，已知1毫米=1百万纳米，0.015毫米等于多少纳米？将结果用科学记数法表示为（ ） A. 0.15103纳米

B. 1.5104纳米

C. 1510−5纳米

D. 1.510−6纳米

226. 射击运动队进行射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如下图，其成绩的方差分别记为S甲和S乙，则

22S甲和S乙的大小关系是（ ）

A. S甲S乙

2222B. S甲S乙 22C. S甲=S乙

D. 无法确定

7. 某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线OP为AOB的平分线的有（ ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

8. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为对角线BD，AC的三等分点，连接AE并延长交CD于点G，连接EF，FG，若AGF=，则FAG用含α的代数式表示为（ ）

A.

45− 2B.

90− 2C.

45+ 2D.

 29. 《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织，问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同．第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，30天完工，问一共织了多少布？

A. 45尺 B. 88尺 C. 90尺 D. 98尺

10. 如图，水平放置的矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，菱形EFGH的顶点E，G在同一水平线上，点G与AB的中点重合，EF=23cm，E=60，现将菱形EFGH以1cm/s的速度沿BC方向匀速运动，当点E运动到CD上时停止，在这个运动过程中，菱形EFGH与矩形ABCD重叠部分的面积Scm(2)与运动时间t(s)之间的函数关系图象大致是（ ）

A. B.

C. D.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）

11. 若代数式3在实数范围内有意义，则x的取值范围为________． x−112. 关于x的不等式m−x1−x有正数解，m的值可以是______（写出一个即可）． 213. 若一元二次方程2x2−4x−1=0的两根为m，n，则3m2−4m+n2的值为________．

14. 如图，在边长为6的正六边形ABCDEF中，以点F为圆心，以FB的长为半径作BD，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为________．

15. 如图，在YABCD中，C=120，AB=8，BC=10．E为边CD的中点，F为边AD上的一动点，将DEF沿EF翻折得DEF，连接AD，BD，则△ABD面积的最小值为________．

16. 已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：

x y −4 0 −3 5 −1 1 5 −27 9 5 下列结论：①abc0；②关于x的一元二次方程ax2+bx+c=9有两个相等的实数根；③当

−4x1时，y的取值范围为0y5；④若点(m,y1)，(−m−2,y2)均在二次函数图象上，则

y1=y2；⑤满足ax2+(b+1)x+c2的x的取值范围是x<−2或x3．其中正确结论的序号为

______．

三、解答题（本大题共8个小题，满分72分）

17. 利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下：

，若m是其显示结果的

平方根，先化简：7m−44−2mm+，再求值． 2m−39−mm+318. “山海同行，舰回烟台”．2024年4月23日，烟台舰与家乡人民共庆人民海军成立75周年．值此，某学校开展了“奋进万亿新征程，共筑强国强军梦”的主题研学活动，为了解学生参与情况，随机抽取部分学生对研学活动时长（用t表示，单位：h）进行调查．经过整理，将数据分成四组（A组：0t2；B组：2t4；C组：4t6；D组：6t8），并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．

（1）请补全条形统计图；

（2）扇形统计图中，a的值为_____，D组对应的扇形圆心角的度数为______；

（3）D组中有男、女生各两人，现从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率． 19. 根据收集的素材，探索完成任务． 探究太阳能热水器的安装 太阳能热水器是利用绿色能源造福人素材一 类的一项发明．某品牌热水器主要部件太阳能板需要安装在每天都可以有太阳光照射到的地方，才能保证使用效果，否则不予安装． sin140.24，cos140.97，tan140.25 某市位于北半球，太阳光线与水平线素的夹角为α，冬至日时，材二 sin290.48，cos290.87，tan290.55 1429；夏至日时，4376． sin430.68，cos430.73，tan430.93 sin760.97，cos760.24，tan764.01 如图，该市甲楼位于乙楼正南方向，两楼东西两侧都无法获得太阳光照射．现准备在乙楼南面墙上安装该品素牌太阳能板．已知两楼间距为54材米，甲楼AB共11层，乙楼CD共三 15层，一层从地面起，每层楼高皆为3.3米，AE为某时刻的太阳光线． 问题解决 要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳任能板，应选择________日（填冬至或夏务一 确定使用数据 至）时，α为________（填14，29， 43，76中的一个）进行计算． 利用任务一中选择的数据进行计算，确定探究安装范围 乙楼中哪些楼层不能安装该品牌太阳能热水器． 任务二 20. 每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元．

（1）求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ （2）全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 21. 如图，正比例函数y=x与反比例函数y=k的图象交于点Ax(6,a，将正比例函数图象向下平移

)n(n0)个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点B，C，与x轴，y轴交于点D，E，且满足

BE:CE=3:2．过点B作BF⊥x轴，垂足为点F，G为x轴上一点，直线BC与BG关于直线BF成

轴对称，连接CG．

（1）求反比例函数的表达式； （2）求n的值及BCG的面积．

22. 在等腰直角ABC中，ACB=90，AC=BC，D为直线BC上任意一点，连接AD．将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90得线段ED，连接BE．

【尝试发现】

（1）如图1，当点D在线段BC上时，线段BE与CD的数量关系为________； 【类比探究】

（2）当点D在线段BC的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段BE与CD的数量关系并证明； 【联系拓广】

（3）若AC=BC=1，CD=2，请直接写出sinECD的值． 23. 如图，AB是

O的直径，ABC内接于O，点I为ABC的内心，连接CI并延长交O于点D，

E是BC上任意一点，连接AD，BD，BE，CE．

（1）若ABC=25，求CEB的度数； （2）找出图中所有与DI相等的线段，并证明；

（3）若CI=22，DI=132，求ABC的周长． 2224. 如图，抛物线y1=ax+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OC=OA，AB=4，对

称轴为直线l1:x=−1，将抛物线y1绕点O旋转180后得到新抛物线y2，抛物线y2与y轴交于点D，顶点为E，对称轴为直线l2．

（1）分别求抛物线y1和y2的表达式；

（2）如图1，点F的坐标为(−6,0)，动点M在直线l1上，过点M作MN∥x轴与直线l2交于点N，连接FM，DN．求FM+MN+DN的最小值；

（3）如图2，点H的坐标为(0,−2)，动点P在抛物线y2上，试探究是否存在点P，使

PEH=2DHE若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2024年山东省烟台市中考数学试题+答案详解

（答案详解）

注意事项：

1．本试卷共8页，共120分；考试时间120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．

2．答题前，务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡规定的位置上．

3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．

4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效． 6．考试过程中允许考生进行剪、拼、折叠等实验．

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的．

1. 下列实数中的无理数是（ ） A.

2 3B. 3.14 C.

15 D.

364

【答案】C 【解析】

【分析】本题考查无理数，根据无理数的定义：无限不循环小数，叫做无理数，进行判断即可． 【详解】解：A、

2是有理数，不符合题意； 3B、3.14是有理数，不符合题意； C、15是无理数，符合题意； D、364=4是有理数，不符合题意； 故选C．

2. 下列运算结果为a6的是（ ） A. a2a3 【答案】D

B. a12a2

C. a3+a3

D. a2()

3【解析】

【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，解题的关键是熟练掌握以上运算法则；

根据同底数幂的乘法同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，运算法则计算即可 【详解】A．a2a3=a2+3=a5，故选项不符合题意； B． a12a2=a12−2=a10，故选项不符合题意； C．a3+a3=2a3，故选项不符合题意； D．a2()3=a23=a6，故选项符合题意；

故选：D．

3. 下图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，使新几何体的左视图既是轴对称图形又是中心对称图形，则应取走（ ）

A. ① 【答案】A 【解析】

B. ② C. ③ D. ④

【分析】本题考查几何体的三视图，熟练掌握三视图的画法是解题的关键．分别画出各选项得出的左视图，再判断即可．

【详解】解：A、取走①时，左视图为意；

，既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项A符合题

B、取走②时，左视图为 ，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项B不符合题意；

C、取走③时，左视图为 ，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项C不符合题意；

D、取走④时，左视图为 ，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项D不符合题意；

故选：A．

4. 实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）

A. b+c3 【答案】B 【解析】

【分析】本题考查了数轴，绝对值，不等式的性质，根据数轴分别判断a，b，c的正负，然后判断即可，解题的关键是结合数轴判断判a，b，c的正负．

【详解】由数轴可得，−3a−2，−2b−1，3c4，

B. a−c0

C. ac

D. −2a−2b

A、b+c3，原选项判断错误，不符合题意， B、a−c0，原选项判断正确，符合题意，

C、根据数轴可知：ac，原选项判断错误，不符合题意，

D、根据数轴可知：ab，则−2a−2b，原选项判断错误，不符合题意，

故选：B．

5. 目前全球最薄的手撕钢产自中国，厚度只有0.015毫米，约是A4纸厚度的六分之一，已知1毫米=1百万纳米，0.015毫米等于多少纳米？将结果用科学记数法表示为（ ） A. 0.15103纳米 【答案】B 【解析】

【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：a10,1a10,n为整数进行表示即可． 【详解】解：0.015毫米=0.0151000000=1.5104纳米； 故选B．

6. 射击运动队进行射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如下图，其成绩的方差分别记为S甲和S乙，则

22S甲和S乙的大小关系是（ ）

22nB. 1.5104纳米 C. 1510−5纳米 D. 1.510−6纳米

A. S甲S乙 【答案】A 【解析】

2222B. S甲S乙 22C. S甲=S乙

D. 无法确定

【分析】本题考查比较方差的大小，根据折线图，得到乙选手的成绩波动较小，即可得出结果． 【详解】解：∵方差表示数据的离散程度，方差越大，数据波动越大，方差越小，数据波动越小，由折线图可知乙选手的成绩波动较小， ∴S甲S乙； 故选A．

7. 某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线OP为AOB的平分线的有（ ）

22

A. 1个 【答案】D 【解析】

B. 2个 C. 3个 D. 4个

【分析】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，中垂线的性质和判定，根据作图痕迹，逐一进行判断即可．

【详解】解：第一个图为尺规作角平分线的方法，OP为AOB的平分线； 第二个图，由作图可知：OC=OD,OA=OB， ∴AC=BD， ∵AOD=BOC， ∴△AOD≌△BOC， ∴OAD=OBC，

∵AC=BD，BPD=APC，

∴BPD≌APC， ∴AP=BP，

∵OA=OB,OP=OP， ∴△AOP≌△BOP， ∴AOP=BOP， ∴OP为AOB的平分线；

第三个图，由作图可知ACP=AOB,OC=CP， ∴CP∥BO，COP=CPO， ∴CPO?BOP

∴COP=BOP， ∴OP为AOB的平分线；

第四个图，由作图可知：OP⊥CD，OC=OD， ∴OP为AOB的平分线； 故选D．

8. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为对角线BD，AC的三等分点，连接AE并延长交CD于点G，连接EF，FG，若AGF=，则FAG用含α的代数式表示为（ ）

A.

45− 2B.

90− 2C.

45+ 2D.

 2【答案】B 【解析】

【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质．证明△EOF∽△DOC，求得OFE=45，证明ABE∽GDE，证得DG=1CD=CG，推出2DEG≌CFG(SAS)，得到GE=GF，据此求解即可．

【详解】解：∵正方形ABCD中，点E，F分别为对角线BD，AC的三等分点，

∴OD=OC，ODC=OCD=45，DE=CF， ∴OE=OF， ∵EOF=DOC，

OEOF=， ODOC∴△EOF∽△DOC， ∴OFE=OCD=45，

∵点E，F分别为对角线BD，AC的三等分点， ∴

DE1=， BE2∵正方形ABCD， ∴AB∥CD， ∴ABE∽GDE，

DGDE1==， ABBE21∴DG=CD=CG，

2∴

∴DEG≌CFG(SAS)， ∴GE=GF，

11180−AGF=90−， ()221190−∴FAG=GEF−AFE=90−−45=45−=，

222∴GEF=故选：B．

9. 《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织，问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同．第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，30天完工，问一共织了多少布？

A. 45尺 【答案】C 【解析】

B. 88尺 C. 90尺 D. 98尺

【分析】本题考查了数字的变化规律，由题意可知每天减少的量一样，由数的规律求和可，读懂题意，找出规律是解题的关键．

【详解】解：由题意得，第一天织布5尺，第30天织布1尺， ∴一共织布

1(1+5)30即21， (1+5)30=90（尺）

2故选：C．

10. 如图，水平放置的矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，菱形EFGH的顶点E，G在同一水平线上，点G与AB的中点重合，EF=23cm，E=60，现将菱形EFGH以1cm/s的速度沿BC方向匀速运动，当点E运动到CD上时停止，在这个运动过程中，菱形EFGH与矩形ABCD重叠部分的面积Scm(2)与运动时间t(s)之间的函数关系图象大致是（ ）

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了解直角三角形的应用，菱形的性质，动点问题的函数图象，二次函数的图象的性质，先求得菱形的面积为63，进而分三种情形讨论，重合部分为三角形，重合部分为五边形，重合部分为菱形，分别求得面积与运动时间的函数关系式，结合选项，即可求解． 【详解】解：如图所示，设EG,HF交于点O，

∵菱形EFGH，E=60， ∴HG=GF 又∵E=60， ∴HFG是等边三角形，

∵EF=23cm，HEF=60， ∴OEF=30

∴EG=2EO=2EFcos30=3EF=6 ∴S菱形EFGH=11EGFH=623=63 22当0x3时，重合部分为MNG， 如图所示，

依题意，MNG为等边三角形， 运动时间为t，则NG=t23=t，

cos3032132332∴S=NGNGsin60=t=t 2433当3x6时，如图所示，

依题意，EM=EG−t=6−t，则

EK=EM6−t23==(6−t)

sin60332∴SEKJ=1123322EJEM=(6−t)=(6−t) 2233EKJ∴S=S菱形EFGH−S

=6−332(6−t)=−t2+43t−123+6 33∵EG=6BC

∴当6x8时，S=63 当8x11时，同理可得，S=6−32(t−8) 3

当11x14时，同理可得，S=2332 6−t−8=14−t()()33

综上所述，当0x3时，函数图象为开口向上的一段抛物线，当3x6时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当6x8时，函数图象为一条线段，当8x11时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当

11x14时，函数图象为开口向上的一段抛物线；

故选：D．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）

11. 若代数式3在实数范围内有意义，则x的取值范围为________． x−1【答案】x1##1x 【解析】

【分析】本题考查代数式有意义，根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可．【详解】解：由题意，得：x−10， 解得：x1； 故答案为：x1． 12. 关于x的不等式m−x1−x有正数解，m的值可以是______（写出一个即可）． 2【答案】0（答案不唯一） 【解析】

【分析】本题考查了一元一次不等式的求解，先求出不等式的解集，根据不等式有正数解可得关于m的一元一次不等式，即可求出m的取值范围，进而可得m的值，求出m的取值范围是解题的关键． 【详解】解：不等式移项合并同类项得，系数化为1得，x2−2m， ∵不等式m−1x1−m， 2x1−x有正数解， 2∴2−2m0， 解得m1， ∴m的值可以是0， 故答案为：0．

13. 若一元二次方程2x2−4x−1=0的两根为m，n，则3m2−4m+n2的值为________． 【答案】6 【解析】

【分析】本题考查了根与系数的关系及利用完全平方公式求解，若x1,x2是一元二次方程

ax2+bx+c=0(a0)的两根时，x1+x2=−,x1x2=bac，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题a关键．

根据根与系数的关系得m+n=2，mn=−1，2m2−4m=1，再把3m2−4m+n2变形为22m2−4m+m2+n2，然后利用整体代入的方法计算，再利用完全平方公式求解即可．

【详解】解：∵一元二次方程2x2−4x−1=0的两个根为m，n， ∴m+n=2，mn=−1，2m2−4m=1 2∴3m2−4m+n2

=2m2−4m+m2+n2 =m2+n2+1

=(m+n)2−2mn+1

1=22−2(−)+1

2=6

故答案为：6．

14. 如图，在边长为6的正六边形ABCDEF中，以点F为圆心，以FB的长为半径作BD，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为________．

【答案】3 【解析】

【分析】本题考查正多边形的性质，求圆锥的底面半径，先求出正六边形的一个内角的度数，进而求出扇形的圆心角的度数，过点A作AG⊥BF，求出BF的长，再利用圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，进行求解即可．

【详解】解：∵正六边形ABCDEF，

∴BAF=AFE=E=∴AFB=ABF=(6−2)180=120，AB=AF=EF=DE=6，

611180−120=30EFD=EDF=，()(180−120)=30， 22∴BFD=120−230=60，

过点A作AG⊥BF于点G，则：BF=2FG=2AFcos30=263=63， 2

设圆锥的底面圆的半径为r，则：2r=∴r=3； 故答案为：3．

6063， 18015. 如图，在YABCD中，C=120，AB=8，BC=10．E为边CD的中点，F为边AD上的一动点，将DEF沿EF翻折得DEF，连接AD，BD，则△ABD面积的最小值为________．

【答案】203−16##−16+203 【解析】

【分析】根据平行四边形的性质得到CD=AB=8，AB∥CD，ABC=60，由折叠性质得到

ED=DE=4，进而得到点D¢在以E为圆心，4为半径的圆上运动，如图，过E作EM⊥AB交AB延

长线于M，交圆E于D¢，此时D¢到边AB的距离最短，最小值为DM的长，即此时△ABD面积的最小，过C作CN⊥AB于N，根据平行线间的距离处处相等得到EM=CN，故只需利用锐角三角函数求得CN=53即可求解．

【详解】解：∵在YABCD中，BCD=120，AB=8， ∴CD=AB=8，AB∥CD，则ABC=180−BCD=60，

∵E为边CD的中点， ∴DE=CE=1CD=4， 2∵DEF沿EF翻折得DEF， ∴ED=DE=4，

∴点D¢在以E为圆心，4为半径的圆上运动，如图，过E作EM⊥AB交AB延长线于M，交圆E于D¢，此时D¢到边AB的距离最短，最小值为DM的长，即△ABD面积的最小，

过C作CN⊥AB于N， ∵AB∥CD， ∴EM=CN，

在RtBCN中，BC=10，CBN=60， ∴CN=BCsin60=103=53， 2∴DM=ME−ED=53−4， ∴△ABD面积的最小值为故答案为：203−16．

【点睛】本题考查平行四边形的性质、折叠性质、圆的有关性质以及直线与圆的位置关系、锐角三角函数等知识，综合性强的填空压轴题，得到点D¢的运动路线是解答的关键． 16. 已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：

1853−4=203−16， 2()x y −4 0 −3 5 −1 1 5 −27 9 5 下列结论：①abc0；②关于x的一元二次方程ax2+bx+c=9有两个相等的实数根；③当

−4x1时，y的取值范围为0y5；④若点(m,y1)，(−m−2,y2)均在二次函数图象上，则

y1=y2；⑤满足ax2+(b+1)x+c2的x的取值范围是x<−2或x3．其中正确结论的序号为

______． 【答案】①②④ 【解析】

【分析】本题考查了二次函数的图象和性质， 利用待定系数法求出a、b、c的值即可判断①；利用根的判别式即可判断②；利用二次函数的性质可判断③；利用对称性可判断④；画出函数图形可判断⑤；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．

【详解】解：把(−4,0)，(−1,9)，(1,5)代入y=ax2+bx+c得，

16a−4b+c=0， a−b+c=9a+b+c=5a=−1解得b=−2，

c=8∴abc0，故①正确； ∵a=−1，b=−2，c=8， ∴y=−x2−2x+8，

当y=9时，−x2−2x+8=9， ∴x2+2x+1=0， ∵=22−411=0，

∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=9有两个相等的实数根，故②正确； ∵抛物线的对称轴为直线x=−3+1=−1， 2∴抛物线的顶点坐标为(−1,9)， 又∵a0，

∴当x−1时，y随x的增大而增大，当x−1时，y随x的增大而减小，当x=−1时，函数取最大值

9，

∵x=−3与x=1时函数值相等，等于5，

∴当−4x1时， y的取值范围为0y9，故③错误；

∵

m+(−m−2)2=−1，

∴点(m,y1)，(−m−2,y2)关于对称轴x=−1对称， ∴y1=y2，故④正确；

由ax+(b+1)x+c2得ax2+bx+c−x+2，

2即−x2−2x+8−x+2，

画函数y=−x2−2x+8和y=−x+2图象如下：

由x1=2x2=−3y=−x+2，解得，， 2y=−x−2x+8y=0y=512∴A(2,0)，B(−3,5)，

由图形可得，当x−3或x2时，−x2−2x+8−x+2，即ax+(b+1)x+c2，故⑤错误；

2综上，正确的结论为①②④， 故答案为：①②④．

三、解答题（本大题共8个小题，满分72分）

17. 利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下：

，若m是其显示结果的

平方根，先化简：7m−44−2mm+，再求值． 2m−39−mm+3【答案】【解析】

m−22，−．

6−2m5【分析】本题考查了分式的化简求值，先利用分式的性质和运算法则对分式化简，然后根据题意求出m的值，把m的值代入到化简后的结果中计算即可求解，正确化简分式和求出m的值是解题的关键． 【详解】解：7m−44−2mm+ 2m−39−mm+37m−42(2−m)m=−2， m−3m−9m+3m(m+3)7m−4m+3=−， m+3m−3m+3m−322−m)()()()()(m2+3m7m−4m+3=−， m+3m−3m+3m−322−m()()()()()m2−4m+4m+3=， m+3m−322−m()()()(m−2)m+3， =(m+3)(m−3)−2(m−2)==2m−2，

−2(m−3)m−2，

6−2m∵32−5=4，

∴32−5的平方根为2， ∵4−2m0， ∴m2，

又∵m为32−5的平方根， ∴m=−2，

∴原式=−2−22=−．

6−2(−2)518. “山海同行，舰回烟台”．2024年4月23日，烟台舰与家乡人民共庆人民海军成立75周年．值此，某学校开展了“奋进万亿新征程，共筑强国强军梦”的主题研学活动，为了解学生参与情况，随机抽取部分学生对研学活动时长（用t表示，单位：h）进行调查．经过整理，将数据分成四组（A组：0t2；B组：2t4；C组：4t6；D组：6t8），并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．

（1）请补全条形统计图；

（2）扇形统计图中，a的值为_____，D组对应的扇形圆心角的度数为______；

（3）D组中有男、女生各两人，现从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）图见解析 （2）32,28.8 （3）

2 3【解析】

【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，列表法或树状图法求概率：

（1）A组人数除以所占的比例，求出总人数，进而求出C组人数，补全条形图即可； （2）用B组人数除以总数，求出a的值，D组人数所占的比例乘以360度求出圆心角的度数； （3）列出表格，再利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：1020%=50，

∴C组人数为：50−10−16−4=20； 补全条形图如图：

【小问2详解】

a%=16100%=32%， 50∴a=32，

D组对应的扇形圆心角的度数为360故答案为：32,28.8； 【小问3详解】 列表如下： 男1 男1 男2 男2，男1 女1 女1，男1 女1，男2 女2 女2，男1 女2，男2 女2，女1 共有12种等可能的结果，其中一男一女的结果有8种， ∴P=82=． 1234=28.8； 50男2 女1 女2 男1，男2 男1，女1 男1，女2 男2，女1 男2，女2 女1，女2 19. 根据收集的素材，探索完成任务． 探究太阳能热水器的安装 太阳能热水器是利用绿色能源造福人素材一 类的一项发明．某品牌热水器主要部件太阳能板需要安装在每天都可以有太阳光照射到的地方，才能保证使用效果，否则不予安装． sin140.24，cos140.97，tan140.25 某市位于北半球，太阳光线与水平线素的夹角为α，冬至日时，材二 sin290.48，cos290.87，tan290.55 1429；夏至日时，4376． sin430.68，cos430.73，tan430.93 sin760.97，cos760.24，tan764.01 如图，该市甲楼位于乙楼正南方向，两楼东西两侧都无法获得太阳光照射．现准备在乙楼南面墙上安装该品素牌太阳能板．已知两楼间距为54材三 15层，一层从地面起，每层楼高皆为3.3米，AE为某时刻的太阳光线． 问题解决 要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳任能板，应选择________日（填冬至或夏务一 确定使用数据 至）时，α为________（填14，29，米，甲楼AB共11层，乙楼CD共 43，76中的一个）进行计算． 任探究安装范围 务乙楼中哪些楼层不能安装该品牌太阳能热利用任务一中选择的数据进行计算，确定二 水器． 【答案】任务一：冬至，14；任务二：乙楼中7层（含7层）以下不能安装该品牌太阳能热水器 【解析】

【分析】本题考查解直角三角形的应用，理解题意是解答的关键． 任务一：根据题意直接求解即可；

任务二：过E作EF⊥AB于F，利用正切定义求得

【详解】解：任务一：根据题意，要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，只需为冬至日时的最小角度，即=14， 故答案为：冬至，14；

任务二：过E作EF⊥AB于F，则AFE=90，EF=54米，BF=DF，

在RtAFE中，tan=AF， EF∴AF=EFtan14540.25=13.5（米）， ∵AB=113.3=36.3（米），

∴DE=BF=AB−AF=36.3−13.5=22.8（米）， ， 22.83.37（层）

答：乙楼中7层（含7层）以下不能安装该品牌太阳能热水器．

20. 每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元．

（1）求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ （2）全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 【答案】（1）y=−22x+20x+12000，每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为12240元 5（2）这天售出了64辆轮椅

【解析】

【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键：

（1）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质求最值即可； （2）令y=12160，得到关于x的一元二次方程，进行求解即可． 【小问1详解】

x22y=200−x60+4=−x+20x+12000； ()解：由题意，得：105∵每辆轮椅的利润不低于180元， ∴200−x180， ∴x20， ∵y=−2222x+20x+12000=−(x−25)+12250， 5522(20−25)+12250=12240元； 5∴当x25时，y随x的增大而增大， ∴当x=20时，每天的利润最大，为−答：每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为12240元； 【小问2详解】 当y=12160时，−22x+20x+12000=12160， 5解得：x1=10，x2=40（不合题意，舍去）； ∴60+104=64（辆）； 10答：这天售出了64辆轮椅．

21. 如图，正比例函数y=x与反比例函数y=k的图象交于点Ax(6,a，将正比例函数图象向下平移

)n(n0)个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点B，C，与x轴，y轴交于点D，E，且满足

BE:CE=3:2．过点B作BF⊥x轴，垂足为点F，G为x轴上一点，直线BC与BG关于直线BF成

轴对称，连接CG．

（1）求反比例函数的表达式； （2）求n的值及BCG的面积． 【答案】（1）y=（2）1，10 【解析】

【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用： （1）先求出a的值，进而求出反比例函数的解析式即可；

（2）根据平移规则，得到平移后的解析式y=x−n，联立两个解析式，表示出B,C的坐标，过点B，C作x轴的平行线交y轴于点M,N,根据BE:CE=3:2，进而求出n的值，进而根据对称性得出

6 xCBG=90，勾股定理求得BD，进而求得BG,BC的长，即可求解．

【小问1详解】

解：∵正比例函数y=x与反比例函数y=k的图象交于点Ax(6,a，

)∴a=6， ∴A(6,6，

)∴k=66=6； ∴y=6； x【小问2详解】 ∵A(6,6

)∴xA=yA

∴tanAOD=∴AOD=45

6=1 6∵将正比例函数图象向下平移n(n0)个单位， ∴平移后的解析式为：y=x−n，

如图所示，过点B，C作x轴的平行线交y轴于点M,N，则BME，CNE是等腰直角三角形，

BEM=CEN=45

∴BM∥CN ∴△BME∽△CNE ∴

BMBE3== CNCE22，则BM=3m m设B3m,∴CN=2m， ∴C−2m,−3， m∵B3m,23C−2m,−，，在y=x−n上 mm2=3m−nm ∴3−=−2m−nmm=1解得：（负值舍去）

n=1∴B(3,2),C(−2,−3)，

∴BC的解析式为y=x−1，BC=当y=0时，x=1，则D(1,0)， ∴BF(3+2)+(3+2)22=52 =DF=2，OE=OD=1，则DE=2

∵直线BC与BG关于直线BF成轴对称，BF⊥x轴， ∴DF=FG=2，△BFD和BFG是等腰直角三角形， ∴G(5,0)

∴BD=BG=22，

∵△BFD和BFG是等腰直角三角形，DBF=GBF=45 ∴DBG=90 ∴SBCG=11BGBC=2252=10 2222. 在等腰直角ABC中，ACB=90，AC=BC，D为直线BC上任意一点，连接AD．将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90得线段ED，连接BE．

【尝试发现】

（1）如图1，当点D在线段BC上时，线段BE与CD的数量关系为________； 【类比探究】

（2）当点D在线段BC的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段BE与CD的数量关系并证明； 【联系拓广】

（3）若AC=BC=1，CD=2，请直接写出sinECD的值． 【答案】（1）BE=（2）BE=2CD，补图及证明见解析；（3）sinECD=2CD；

213或13sinECD=【解析】

25 5【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，三角函数，掌握一线三垂直全等模型是解题的关键． （1）过点E作EM⊥CB延长线于点M，利用一线三垂直全等模型证明△ACD≌△DME，再证明

BM=EM即可；

（2）同（1）中方法证明△ACD≌△DME，再证明BM=EM即可；

（3）分两种情况讨论：过点E作EM⊥CB延长线于点M，求出EM，CE即可． 【详解】解：（1）如图，过点E作EM⊥CB延长线于点M，

由旋转得AD=DE，ADE=90， ∴ADC+EDM=90， ∵ACB=90，

∴ACD=DME，ADC+CAD=90， ∴CAD=EDM， ∴△ACD≌△DME， ∴CD=EM，AC=DM， ∵AC=BC，

∴BM=DM−BD=AC−BD=BC−BD=CD， ∴BM=EM， ∵EM⊥CB， ∴BE=2EM=2CD，

2CD；

故答案为：BE=（2）补全图形如图：

BE=2CD，理由如下：

过点E作EM⊥BC交BC于点M， 由旋转得AD=DE，ADE=90， ∴ADC+EDM=90， ∵ACB=90，

∴ACD=DME，ADC+CAD=90， ∴CAD=EDM， ∴△ACD≌△DME， ∴CD=EM，AC=DM， ∵AC=BC，

∴BM=BC−CM=DM−CM=CD， ∴BM=EM， ∵EM⊥CB， ∴BE=2EM=2CD；

（3）如图，当D在CB的延长线上时，过点E作EM⊥CB于点M，连接CE，

由（2）得DM=AC=1，EM=CD=2， ∴CM=CD+DM=3， ∴CE=CM2+EM2=13，

∴sinECD=EM2213． ==CE1313当D在BC的延长线上时，过点E作EM⊥CB于点M，如图，连接CE，

同理可得：△ACD≌△DME， ∴DM=AC=1，ME=CD=2， ∴CM=2−1=1， ∴CE=22+12=5，

∴sinECD=EM225； ==CE55综上：sinECD=23. 如图，AB是

25213 或sinECD=513O的直径，ABC内接于O，点I为ABC的内心，连接CI并延长交O于点D，

E是BC上任意一点，连接AD，BD，BE，CE．

（1）若ABC=25，求CEB的度数； （2）找出图中所有与DI相等的线段，并证明； （3）若CI=22，DI=【答案】（1）115

（2）DI=AD=BD，证明见解析

132，求ABC的周长． 2（3）30 【解析】

【分析】（1）利用圆周角定理得到ACB=90，再根据三角形的内角和定理求CAB=65，然后利用圆内接四边形的对角互补求解即可；

（2）连接AI，由三角形的内心性质得到内心，CAI=BAI，ACI=BCI，然后利用圆周角定理得到DAB=DCB=ACI，AD=BD，利用三角形的外角性质证得DAI=DIA，然后利用等角对等边可得结论；

（3）过I分别作IQ⊥AB，IF⊥AC，IP⊥BC，垂足分别为Q、F、P，根据内切圆的性质和和切线长定理得到AQ=AF，CF=CP，BQ=BP，利用解直角三角形求得CF=2=CP， AB=13，进而可求解． 【小问1详解】 解：∵AB是

O的直径，

∴ADB=ACB=90，又ABC=25， ∴CAB=90−25=65， ∵四边形ABEC是

O内接四边形，

∴CEB+CAB=180， ∴CEB=180−CAB=115； 【小问2详解】 解：DI=AD=BD， 证明：连接AI，

∵点I为ABC的内心，

∴CAI=BAI，ACI=BCI=∴AD=BD，

∴DAB=DCB=ACI，AD=BD，

∵DAI=DAB+BAI，DIA=ACI+CAI，

1ACB=45， 2∴DAI=DIA， ∴DI=AD=BD； 【小问3详解】

解：过I分别作IQ⊥AB，IF⊥AC，IP⊥BC，垂足分别为Q、F、P，

∵点I为ABC的内心，即为ABC的内切圆的圆心． ∴Q、F、P分别为该内切圆与ABC三边的切点， ∴AQ=AF，CF=CP，BQ=BP， ∵CI=22，IFC=90，ACI=45， ∴CF=CIcos45=2=CP， ∵DI=AD=BD，DI=∴AB=132，ADB=90， 2132=13， 2AD2+BD2=2∴ABC的周长为AB+AC+BC

=AB+AF+CF+CP+BP =AB+AQ+BQ+2CF

=2AB+2CF =213+22 =30．

【点睛】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质、三角形的内角和定理、三角形的内心性质、三角形的外角性质、等腰三角形的判定、切线长定理以及解直角三角形，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．

224. 如图，抛物线y1=ax+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OC=OA，AB=4，对

称轴为直线l1:x=−1，将抛物线y1绕点O旋转180后得到新抛物线y2，抛物线y2与y轴交于点D，顶点

为E，对称轴为直线l2．

（1）分别求抛物线y1和y2的表达式；

（2）如图1，点F的坐标为(−6,0)，动点M在直线l1上，过点M作MN∥x轴与直线l2交于点N，连接FM，DN．求FM+MN+DN的最小值；

（3）如图2，点H的坐标为(0,−2)，动点P在抛物线y2上，试探究是否存在点P，使

PEH=2DHE若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2【答案】（1）y1=−x−2x+3，y2=x−2x−3

2（2）2+35 （3）存在，P【解析】

【分析】（1）先求出点A、B、C坐标，再用待定系数法求出抛物线y1的表达式，求出其顶点坐标，由旋转 可知抛物线y2的二次项系数a为原来的相反数，顶点坐标与抛物线y1的顶点坐标关于原点对称，即可求解；（2）将点F向右平移2个单位至F，则FF=2，F(−4,0)，过点D作直线l2的对称点为D¢，连接

(3,0)或P,−

111219480FN,FD,ND，则四边形FFNM为平行四边形，则MF=NF，ND=ND，因此

FM+MN+DN=NF+2+ND2+FD，即可求解；

（3）当点P在直线l2右侧抛物线上时，可得1=2，作H关于直线l2的对称点H，则点H在直线

y=2x−6， 解得：x=3或x=1（舍），故PE上，可求直线PE的表达式为y=2x−6，联立2y=x−2x−32P(3,0)；当点P在直线l2左侧抛物线上时，延长EP交y轴于点N，作HN的垂直平分线交HE于点Q，

交y轴于点M，过点E作EK⊥y轴于点K，则QM∥EK，可得QH=QN，可证明出NQ=NE，由

QM∥EK，得△HMQ∽△HKE，设HM=2m,MQ=m，则MN=HM=2m，NK=2−4m，在

Rt△QMN和RtENK中，由勾股定理得m2+(2m)=(2−4m)+12，解得：m=225或m=1（舍），11242422429y=−x−y=−x−x=所以N0,−，可求直线表达式为：，联立，解得：或1111PE111111112y2=x−2x−3，故Px=1（舍）【小问1详解】

解：设对称轴与x轴交于点G，

4809,−． 11121

由题意得AG=BG=2， ∵对称轴为直线x=−1， ∴B(1,0),A(−3.0)， ∴OC=OA=3， ∴C(0,3)，

2将A、B、C分别代入y1=ax+bx+c，

a+b+c=0得：9a−3b+c=0，

c=3a=−1解得：b=−2，

c=3∴y1=−x−2x+3，

∴y1=−x−2x+3=−(x+1)+4，顶点为(−1,4)

222∵抛物线y1绕点O旋转180后得到新抛物线y2， ∴抛物线y2的a=1，顶点为(1,−4)，

2∴y2的表达式为：y2=(x−1)−4，即y2=x−2x−3

2【小问2详解】

解：将点F向右平移2个单位至F，则FF=2，F(−4,0)，过点D作直线l2的对称点为D¢，连接

FN,FD,ND，

∴ND=ND， ∵y2=(x−1)−4， ∴直线l2为直线x=1， ∵MN∥x轴， ∴MN=1−(−1)=2，

2对于抛物线y2=x−2x−3，令x=0，则y22=−3，

∴D(0,−3)，

∵点D与点D¢关于直线x=1对称， ∴点D(2,−3)，

∵MN∥x轴，FF=MN=2， ∴四边形FFNM为平行四边形， ∴MF=NF，

∴FM+MN+DN=NF+2+ND2+FD，

当点F,N,D三点共线时，取得最小值， 而FD=(−4−2)+(−3−0)22=35，

∴FM+MN+DN的最小值为2+35； 【小问3详解】

解：当点P在直线l2右侧抛物线上时，如图：

∵抛物线y2=(x−1)−4， ∴E(1,−4) ∵l2∥y轴， ∴DHE=1， ∵PEH=2DHE， ∴PEH=21=1+2， ∴1=2，

作H关于直线l2的对称点H，则点H在直线PE上， ∵点H的坐标为(0,−2)，直线l2：x=1， ∴H(2,−2)，

设直线PE的表达式为：y=kx+b(k0)， 代入H(2,−2)，E(1,−4),

2得：2k+b=−2，

k+b=−4k=2解得：，

b=−6∴直线PE的表达式为y=2x−6，

y=2x−6联立，得：x2−2x−3=2x−6， 2y2=x−2x−3解得：x=3或x=1（舍）， ∴P(3,0)；

②当点P在直线l2左侧抛物线上时，延长EP交y轴于点N，作HN的垂直平分线交HE于点Q，交y轴于点M，过点E作EK⊥y轴于点K，则QM∥EK，如图：

∵QM垂直平分HN， ∴QH=QN， ∴QHN=QNH， ∴NQE=2NHE， ∵PEH=2DHE ∴NQE=PEH， ∴NQ=NE，

由点H(0,−2),E(1,−4) 得：EK=1,KH=2，

∵QM∥EK， ∴△HMQ∽△HKE，

HMMQ=， HKKEHMMQ=∴， 21∴

设HM=2m,MQ=m，

∴MN=HM=2m，NK=2−4m，

在Rt△QMN和RtENK中，由勾股定理得QM2+MN2=NK2+KE2， ∴m+(2m)=(2−4m)+1，

2222解得：m=5或m=1（舍） 11202=， 1111242=∴ON=4−， 1111∴NK=2−∴N0,−42， 11设直线PE表达式为：y=a1x+b1(a10)， 代入点N，E，

a1+b1=−4得：42，

b1=−112a=−111 解得：42b=−111∴直线PE表达式为：y=−242x−， 1111242y=−x−联立1111，

2y2=x−2x−3得：−242x−=x2−2x−3， 1111整理得：11x2−20x+9=0 解得：x=∴P9或x=1（舍）， 114809,−， 111214809,−． 11121综上所述，P(3,0)或P【点睛】本题是一道二次函数与角度有关的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形三边关系求最值，平行四边形的判定与性质，中心对称图形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键．