2019年初升高数学衔接辅导之分解因式(含答案)

因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．

高中必备知识点1：十字相乘法

要点一、十字相乘法

利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项

pqc2式xbxc，若存在 ，则xbxcxpxq.

pqb2要点诠释：（1）在对x2bxc分解因式时，要先从常数项c的正、负入手，若c0， 则

p、q同号(若c0，则p、q异号)，然后依据一次项系数b的正负再确定p、q的符号；

（2）若x2bxc中的b、c为整数时，要先将c分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于b，直到凑对为止. 要点二、首项系数不为1的十字相乘法

在二次三项式ax2bxc(a≠0)中，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即

aa1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即cc1c2，把a1，a2，c1，c2排列如下：

2按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2a2c1，若它正好等于二次三项式axbxc的一次

a2c1b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1xc1与a2xc2之项系数b，即ac12积，即axbxca1xc1a2xc2.

2要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间”

（2）二次项系数a一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号 里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.

典型考题

【典型例题】

阅读与思考：将式子

分解因式．

法一：整式乘法与因式分解是方向相反的变形. 由

分析：这个式子的常数项所以解：

法二：配方的思想.

.

请仿照上面的方法，解答下列问题： （1）用两种方法分解因式：（2）任选一种方法分解因式：

；

.

.

，一次项系数

.

，； ，

【变式训练】

2

阅读材料题：在因式分解中，有一类形如x+（m+n）x+mn的多项式，其常数项是两个因数2

的积，而它的一次项系数恰是这两个因数的和，则我们可以把它分解成x+（m+n）x+mn＝

（x+m）（x+n）．

22

3＝（x+2）例如：x+5x+6＝x+（2+3）x+2×（x+3）．

运用上述方法分解因式：

2

（1）x+6x+8； 2

（2）x﹣x﹣6； 22

（3）x﹣5xy+6y；

32

（4）请你结合上述的方法，对多项式x﹣2x﹣3x进行分解因式．

【能力提升】

2

由多项式的乘法：(x＋a)(x＋b)＝x＋(a＋b)x＋ab，将该式从右到左使用，即可得到用“十字

相乘法”进行因式分解的公式： x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)．

22

3＝(x＋2)(x＋3)． 实例 分解因式：x＋5x＋6＝x＋(2＋3)x＋2×

(1)尝试 分解因式：x2＋6x＋8；

(2)应用 请用上述方法解方程：x2－3x－4＝0.

高中必备知识点2：提取公因式法与分组分解法

1.提取公因式法：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外面，把多项式转化成公因式与另一个多项式的积的形，这种因式分解的方法叫做提公因式法。 2.符号语言：mambmcm(abc) 3.提公因式的步骤：

（1）确定公因式 （2）提出公因式并确定另一个因式（依据多项式除以单项式） 另一个因式原多项式

公因式4.注意事项：因式分解一定要彻底

典型考题

【典型例题】

阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：

1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)] =(1+x)2(1+x) =(1+x)3

(1)上述分解因式的方法是 ，共应用了 次.

(2)若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)2004，则需应用上述方法 次，结果是 . (3)分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)n(n为正整数).

【变式训练】

因式分解：

22（1）16a﹣4b 32

（2）x﹣2x+x

222

（3）（a﹣2b）﹣（1﹣2b）

【能力提升】

分解因式： （1）（2）（3）（4）（5）

，求

的值

高中必备知识点3：关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解

若关于x的方程ax2bxc0(a0)的两个实数根是x1、x2，则二次三项式

ax2bxc(a0)就可分解为a(xx1)(xx2).

典型考题

【典型例题】

因式分解：

【变式训练】

分解因式：

．

【能力提升】

阅读材料：

22222

对于多项式x＋2ax＋a可以直接用公式法分解为(x＋a)的形式．但对于多项式x＋2ax－3a222就不能直接用公式法了，我们可以根据多项式的特点，在x＋2ax－3a中先加上一项a，2

再减去a这项，使整个式子的值不变．

解题过程如下： x2＋2ax－3a2

2222

＝x＋2ax－3a＋a－a(第一步) 2222

＝x＋2ax＋a－a－3a(第二步) 22

＝(x＋a)－(2a)(第三步)

＝(x＋3a)(x－a)．(第四步) 参照上述材料，回答下列问题：

(1)上述因式分解的过程，从第二步到第三步，用到了哪种因式分解的方法( ) A．提公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法 D．没有因式分解

(2)从第三步到第四步用到的是哪种因式分解的方法：__________； (3)请你参照上述方法把m2－6mn＋8n2因式分解．

专题验收测试题

1．下列分解因式正确的是（ ） A．m4﹣8m2+64=（m2﹣8）2

22

B．x4﹣y4=（x2+y2）（x﹣y）

C．4a2﹣4a+1=（2a﹣1）2

D．a（x﹣y）﹣b（y﹣x）=（x﹣y）（a﹣b）

2．将b3﹣4b分解因式，所得结果正确的是（ ） A．b（b2﹣4） C．b（b﹣2）2

3．下列各式因式分解正确的是( ) A．a2+4ab+4b2=(a+4b)2 C．3a2-12b2=3(a+4b)(a-4b) 4．下列运算结果正确的是（） A．

B．D．

C．

B．2a2-4ab+9b2=(2a-3b)2 D．a(2a-b)+b(b-2a)=(a-b)(2a-b) B．b（b﹣4）2 D．b（b+2）（b﹣2）

5．多项式3x2y﹣6y在实数范围内分解因式正确的是（ ） A．

C．y（3x2﹣6）

6．下列变形属于因式分解的是（ ） A．4x+x＝5x

C．x2+x+1＝x（x+1）+1

22B．（x+2）＝x+4x+4

B．3y（x2﹣2） D．

D．x2﹣3x＝x（x﹣3）

7．在实数范围内把二次三项式x2+x﹣1分解因式正确的是（ ） A．（x﹣C．（x+

）（x﹣）（x﹣

） ）

B．（x﹣D．（x+

）（x+）（x+

） ）

8．下列分解因式正确的是 A．C．

B．D．

9．下列各式中，不是多项式2x2﹣4x+2的因式的是（ ） A．2

B．2（x﹣1）

2C．（x﹣1）

D．2（x﹣2）

10．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a3＋ab2＋bc2＝b3＋a2b＋ac2，则△ABC的形状是( )

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形

11．因式分解：12．分解因式：

＝___. ______．

13．在实数范围内分解因式：xy2﹣3x＝_____． 14．分解因式：2a3b﹣8ab＝_____．

15．把多项式x36x29x分解因式的结果是__________． 16．分解因式：ab2﹣2a2b+a2＝___． 17．阅读下列材料，解决问题：

12345678987654321这个数有这样一个特点：各数位上的数字从左到右逐渐增大（由1到9，是连续的自然数），到数9时，达到顶峰，以后又逐渐减小（由9到1），它活像一只橄榄，我们不妨称它为橄榄数．记第一个橄榄数为a1＝1，第二个橄榄数为a2＝121，第三个橄榄

222数为a3＝12321……有趣的是橄榄数还是一个平方数，如1＝1，121＝11，12321＝111，

1234321＝11112……而且，橄榄数可以变形成如下对称式：

111 12222

121333333……

1232112112321根据以上材料，回答下列问题

2

（1）1111111＝ ；将123454321变形为对称式：123454321＝ ．

（2）一个两位数（十位大于个位），交换其十位与个位上的数字，得到一个新的两位数，将原数和新数相加，就能得到橄榄数121，求这个两位数．

（3）证明任意两个橄榄数am，an的各数位之和的差能被m﹣n整除（m＝1，2…9，n＝1，2…9，m＞n）

18．如果x2+Ax+B＝（x﹣3）（x+5），求3A﹣B的值． 19．阅读例题，回答问题：

2

例题：已知二次三项式：x﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值． 222

解：设另一个因式为x+n，得x﹣4x+m＝(x+3)(x+n)，则x﹣4x+m＝x+(n+3)x+3n．

∴∴

∴另一个因式为x﹣7，m＝21． 仿照以上方法解答下面的问题：

2

已知二次三项式2x+3x+k有一个因式是2x﹣5，求另一个因式以及k的值．

20．仔细阅读下面例题，解答问题：

例题，已知二次三项式x－4x＋m有一个因式是(x＋3)，求另一个因式以及m的值．

2

解：设另一个因式为(x＋n)，得x－4x＋m＝(x＋3)(x＋n)，

2

则x－4x＋m＝x＋(n＋3)x＋3n. ∴

，

22

解得n＝－7，m＝－21，

∴另一个因式为(x－7)，m的值为－21. 问题：仿照以上方法解答下面问题：

2

已知二次三项式3x＋5x－m有一个因式是(3x－1)，求另一个因式以及m的值．

21．阅读下列材料，解答下列问题：

材料1．把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫分解因式．如果把整式的乘法看成一个变形过程，那么多项式的因式分解就是它的逆过程． 公式法（平方差公式、完全平方公式）是因式分解的一种基本方法．如对于二次三项式a2+2ab+b2，可以逆用乘法公式将它分解成（a+b）2的形式，我们称a2+2ab+b2为完全平方式．但是对于一般的二次三项式，就不能直接应用完全平方了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使其配成完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，于是有： x2+2ax﹣3a2

2222＝x+2ax+a﹣a﹣3a 22

＝（x+a）﹣（2a）

＝（x+3a）（x﹣a）

2材料2．因式分解：（x+y）+2（x+y）+1

解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则

22原式＝A+2A+1＝（A+1）

2

再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）．

上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：

2

（1）根据材料1，把c﹣6c+8分解因式；

（2）结合材料1和材料2完成下面小题：

2

①分解因式：（a﹣b）+2（a﹣b）+1；

②分解因式：（m+n）（m+n﹣4）+3．

22．已知x4+y4+2x2y2﹣2x2﹣2y2﹣15=0，求x2+y2的值．

专题02分解因式

因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．

高中必备知识点1：十字相乘法

要点一、十字相乘法

利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式x2bxc，若存在pqc2 ，则xbxcxpxq.

pqb2要点诠释：（1）在对xbxc分解因式时，要先从常数项c的正、负入手，若c0，

则

p、q同号(若c0，则p、q异号)，然后依据一次项系数b的正负再确定p、q的符号；

2（2）若xbxc中的b、c为整数时，要先将c分解成两个整数的积(要考虑到分解的各

种可能)，然后看这两个整数之和能否等于b，直到凑对为止.

要点二、首项系数不为1的十字相乘法

在二次三项式ax2bxc(a≠0)中，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即

aa1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即cc1c2，把a1，a2，c1，c2排列如下：

按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2a2c1，若它正好等于二次三项式ax2bxc的一次

a2c1b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1xc1与a2xc2之项系数b，即ac12积，即

ax2bxca1xc1a2xc2.

要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间”

（2）二次项系数a一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号 里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.

典型考题

【典型例题】

阅读与思考：将式子

分解因式．

法一：整式乘法与因式分解是方向相反的变形. 由

分析：这个式子的常数项所以解：

法二：配方的思想.

.

，一次项系数

.

，； ，

.

请仿照上面的方法，解答下列问题： （1）用两种方法分解因式：（2）任选一种方法分解因式：【答案】（1）【解析】 （1）法一：

,

法二：

,

（2）

.

或

；（2）

；

.

.

【变式训练】

2

阅读材料题：在因式分解中，有一类形如x+（m+n）x+mn的多项式，其常数项是两个因数2

的积，而它的一次项系数恰是这两个因数的和，则我们可以把它分解成x+（m+n）x+mn＝

（x+m）（x+n）．

22

3＝（x+2）例如：x+5x+6＝x+（2+3）x+2×（x+3）．

运用上述方法分解因式：

2

（1）x+6x+8； 2

（2）x﹣x﹣6； 22

（3）x﹣5xy+6y；

32

（4）请你结合上述的方法，对多项式x﹣2x﹣3x进行分解因式．

【答案】（1）【解析】 解：

（2）；（3）（4）.

；

；

； ．

故答案为：(1)(2)；(3)(4).

【能力提升】

2

由多项式的乘法：(x＋a)(x＋b)＝x＋(a＋b)x＋ab，将该式从右到左使用，即可得到用“十字

相乘法”进行因式分解的公式： x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)．

22

3＝(x＋2)(x＋3)． 实例 分解因式：x＋5x＋6＝x＋(2＋3)x＋2×

(1)尝试 分解因式：x2＋6x＋8；

(2)应用 请用上述方法解方程：x2－3x－4＝0. 【答案】(1) (x+2)(x＋4)；(2) x＝4或x＝－1. 【解析】

(1)原式=(x+2)(x＋4)；

(2)x2－3x－4＝(x－4)(x＋1)＝0，所以x－4＝0或x＋1＝0，即x＝4或x＝－1.

高中必备知识点2：提取公因式法与分组分解法

1.提取公因式法：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外面，把多项式转化成公因式与另一个多项式的积的形，这种因式分解的方法叫做提公因式法。 2.符号语言：mambmcm(abc) 3.提公因式的步骤：

（2）确定公因式 （2）提出公因式并确定另一个因式（依据多项式除以单项式） 另一个因式原多项式

公因式4.注意事项：因式分解一定要彻底

典型考题

【典型例题】

阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： 1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)] =(1+x)2(1+x) =(1+x)3

(1)上述分解因式的方法是 ，共应用了 次.

(2)若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)2004，则需应用上述方法 次，结果是 . (3)分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)n(n为正整数).

【答案】（1）提公因式，两次；（2）2004次，（x＋1）2005；(3) (x＋1)n+1 【解析】

（1）上述分解因式的方法是：提公因式法，共应用了2次． 故答案为：提公因式法，2次；

22004

（2）1+x+x（x+1）+x（x+1）+…+ x(x+1)，

=（1+x）[1+x+x（1+x）+…+ x(x+1)2003] ⋯ =

(1x)2(1x)(1x)2003个(1x)(1x)

=（1+x）2005，

+x故分解1+x+x（x+1）（x+1）+…+ x(x+1)

2005

2

2004

，，则需应用上述方法2004次，结果是：（x+1）

．

nn+12

（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）…+x（x+1）（n为正整数）的结果是：（x+1）．

故答案为：（x+1）

n+1

．

【变式训练】

因式分解：

22（1）16a﹣4b 32

（2）x﹣2x+x

222

（3）（a﹣2b）﹣（1﹣2b）

22【答案】（1）4（2a+b）（2a﹣b）；（2）x（x﹣1）；（3）（a﹣4b+1）（a+1）（a﹣1）．

【解析】

解：（1）原式＝4（4a﹣b） ＝4（2a+b）（2a﹣b）；

32（2）x﹣2x+x 2

＝x（x﹣2x+1） 2

＝x（x﹣1）；

222

（3）（a﹣2b）﹣（1﹣2b） 22＝（a﹣2b+1﹣2b）（a﹣2b﹣1+2b） 2

＝（a﹣4b+1）（a+1）（a﹣1）．

2

2

【能力提升】

分解因式： （1）

（2）（3）（4）（5）

，求

的值

【答案】（1）-2b（2a+4b-5）；（2）（n-m）（2n-m）；（3）3y（a-b）[5a-5b+1]；（4）6（n-m）

2

（m-n-2）；（5）0

【解析】 （1）（2）（3）（4）（5）

= -2b（2a+4b-5）；

=（n-m）（2n-m）；

高中必备知识点3：关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解

若关于x的方程ax2bxc0(a0)的两个实数根是x1、x2，则二次三项式

ax2bxc(a0)就可分解为a(xx1)(xx2).

典型考题

【典型例题】

因式分解：【答案】【解析】

解：原式

【变式训练】

分解因式：

．

2

【答案】（x-x+3）（x+1）（x-2）．

【解析】

22原式=（x-x+3）（x-x-2）

=（x2-x+3）（x+1）（x-2）．

【能力提升】

阅读材料：

22222对于多项式x＋2ax＋a可以直接用公式法分解为(x＋a)的形式．但对于多项式x＋2ax－3a222就不能直接用公式法了，我们可以根据多项式的特点，在x＋2ax－3a中先加上一项a，2

再减去a这项，使整个式子的值不变．

解题过程如下： x2＋2ax－3a2

2222

＝x＋2ax－3a＋a－a(第一步) 2222

＝x＋2ax＋a－a－3a(第二步) 22

＝(x＋a)－(2a)(第三步)

＝(x＋3a)(x－a)．(第四步) 参照上述材料，回答下列问题：

(1)上述因式分解的过程，从第二步到第三步，用到了哪种因式分解的方法( ) A．提公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法 D．没有因式分解

(2)从第三步到第四步用到的是哪种因式分解的方法：__________； (3)请你参照上述方法把m2－6mn＋8n2因式分解． 【答案】(1)C；(2)平方差公式法；(3)(m－2n)(m－4n)． 【解析】 (1)C；

(2)平方差公式法； (3)m2－6mn＋8n2

2222＝m－6mn＋8n＋n－n 222＝m－6mn＋9n－n 22

＝(m－3n)－n

＝(m－2n)(m－4n)．

专题验收测试题

1．下列分解因式正确的是（ ） A．m4﹣8m2+64=（m2﹣8）2

22

B．x4﹣y4=（x2+y2）（x﹣y）

C．4a2﹣4a+1=（2a﹣1）2

D．a（x﹣y）﹣b（y﹣x）=（x﹣y）（a﹣b） 【答案】C 【解析】

A. 原式不能合并，错误；

B. 原式=(x2+y2)(x2−y2)=(x2+y2)(x+y)(x−y)，错误； C. 原式=(2a−1)2，正确； D. 原式=(x−y)(a+b)，错误. 故答案选C.

2．将b3﹣4b分解因式，所得结果正确的是（ ） A．b（b2﹣4） C．b（b﹣2）2 【答案】D 【解析】

32

解：b﹣4b＝b（b﹣4）＝b（b+2）（b﹣2）．

B．b（b﹣4）2 D．b（b+2）（b﹣2）

故选：D．

3．下列各式因式分解正确的是( ) A．a2+4ab+4b2=(a+4b)2

B．2a2-4ab+9b2=(2a-3b)2

C．3a2-12b2=3(a+4b)(a-4b) 【答案】D 【解析】

a2+4ab+4b2=(a+2b)2，故选项A不正确；

D．a(2a-b)+b(b-2a)=(a-b)(2a-b)

2a2-4ab+9b2=(2a-3b)2不是因式分解，B不正确； 3a2-12b2=3(a+2b)(a-2b)，故选项C不正确； a(2a-b)+b(b-2a)=(a-b)(2a-b)是因式分解，D正确， 故选D．

4．下列运算结果正确的是（） A．

【答案】D 【解析】

232226

A选项：（a）=（a）•（a）•（a）=a，∴A选项的答案不对； 222B选项：先默写完全平方公式；（a-b）=a-2ab+b，∴B选项的答案不对；

B．D．

C．

C选项：提取公因数a2b；-3a2b-2a2b=（-2-3）a2b=-5a2b，∴C选项的答案正确； D选项：提取公因数a2；-a2b+a2=（-b+1）a2 ，∴D选项的答案不对； 故选：C．

5．多项式3x2y﹣6y在实数范围内分解因式正确的是（ ） A．

C．y（3x2﹣6） 【答案】A 【解析】

2

解：3xy﹣6y 2

＝3y（x﹣2）

B．3y（x2﹣2） D．

＝3y（x+故选：A．

）（x﹣）

6．下列变形属于因式分解的是（ ） A．4x+x＝5x

22

B．（x+2）＝x+4x+4

C．x2+x+1＝x（x+1）+1 【答案】D 【解析】

D．x2﹣3x＝x（x﹣3）

解：A、是整式的计算，不是因式分解，故本选项错误； B、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误； C、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误； D、符合因式分解的定义，故本选项正确． 故选：D．

7．在实数范围内把二次三项式x2+x﹣1分解因式正确的是（ ） A．（x﹣C．（x+【答案】D 【解析】 解：令x2+x-1=0， 解得：x1=则x2+x-1=（x+故选：D．

8．下列分解因式正确的是 A．C．【答案】C 【解析】

解：A、原式不能分解，错误； B、原式C、原式D、原式故选：C．

，错误；

，正确；

，错误．

B．D．

，x2=）．（x+

， ）

）（x﹣）（x﹣

） ）

B．（x﹣D．（x+

）（x+）（x+

） ）

9．下列各式中，不是多项式2x2﹣4x+2的因式的是（ ） A．2 【答案】D 【解析】

22

原式＝2（x﹣2x+1）＝2（x﹣1）。

B．2（x﹣1）

2

C．（x﹣1）

D．2（x﹣2）

故选：D．

10．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a3＋ab2＋bc2＝b3＋a2b＋ac2，则△ABC的形状是( )

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【解析】

322322

解：∵a+ab+bc=b+ab+ac， 332222

∴a-b-ab+ab-ac+bc=0，

322322

∴（a-ab）+（ab-b）-（ac-bc）=0， 222

∴a（a-b）+b（a-b）-c（a-b）=0， 222

∴（a-b）（a+b-c）=0， 222

∴a-b=0或a+b-c=0． 222

∴a=b或a+b=c．

故△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形. 故选：C． 11．因式分解：【答案】【解析】

a2（a-b）-4（a-b）

2

=（a-b）（a-4）

＝___.

=（a-b）（a-2）（a+2）， 故答案为：（a-b）（a-2）（a+2）． 12．分解因式：

______．

【答案】【解析】 解：故答案为：

．

．

13．在实数范围内分解因式：xy2﹣3x＝_____． 【答案】x（y+3）（y﹣3） 【解析】

2

解：xy﹣3x 2

＝x（y﹣3） 2

＝x[y﹣(3)2]

＝x（y+3）（y﹣3）， 故填：x（y+3）（y﹣3）， 14．分解因式：2a3b﹣8ab＝_____． 【答案】2ab(a+2)(a﹣2) 【解析】

2

解：原式＝2ab(a﹣4)＝2ab(a+2)(a﹣2)，

故答案为：2ab(a+2)(a﹣2)．

15．把多项式x36x29x分解因式的结果是__________． 【答案】xx3 【解析】

2x36x29x=xx3x9=xx3

22故答案为：xx3

16．分解因式：ab2﹣2a2b+a2＝___．

2

【答案】a（b﹣2ab+a）．

2【解析】

22原式＝a（b﹣2ab+a）．故答案为：a（b﹣2ab+a）．

17．阅读下列材料，解决问题：

12345678987654321这个数有这样一个特点：各数位上的数字从左到右逐渐增大（由1到9，是连续的自然数），到数9时，达到顶峰，以后又逐渐减小（由9到1），它活像一只橄榄，我们不妨称它为橄榄数．记第一个橄榄数为a1＝1，第二个橄榄数为a2＝121，第三个橄榄

222数为a3＝12321……有趣的是橄榄数还是一个平方数，如1＝1，121＝11，12321＝111，

1234321＝11112……而且，橄榄数可以变形成如下对称式：

111 12222

121333333……

1232112112321根据以上材料，回答下列问题

2

（1）1111111＝ ；将123454321变形为对称式：123454321＝ ．

（2）一个两位数（十位大于个位），交换其十位与个位上的数字，得到一个新的两位数，将原数和新数相加，就能得到橄榄数121，求这个两位数．

（3）证明任意两个橄榄数am，an的各数位之和的差能被m﹣n整除（m＝1，2…9，n＝1，2…9，m＞n）

【答案】（1）1234567654321,5555555555；（2）65，74，83，92；（3）

123454321任意两个橄榄数am，an的各数位之和的差能被m﹣n整除． 【解析】

（1）根据题中给出的定义，直接可得： 11111112＝1234567654321，123454321＝

5555555555；

123454321（2）设十位数字是x，个位数字是y，x＞y， 10x+y+10y+x＝11（x+y）＝121， ∴x+y＝11，

∴这个两位数是65，74，83，92；

（3）am的各数位之和1+2+3+…+m+（m﹣1）+…+2+1＝

m(m1)m(m1)2

＝m， 22an的各数位之和1+2+3+…+m+（m﹣1）+…+2+1＝

n(n1)n(n1)2

＝n， 2222

∴am，an的各数位之和的差为m﹣n＝（m+n）（m﹣n），

∵m＞n，

22

∴m﹣n＝（m+n）（m﹣n）能被m﹣n整除，

∴任意两个橄榄数am，an的各数位之和的差能被m﹣n整除． 18．如果x2+Ax+B＝（x﹣3）（x+5），求3A﹣B的值． 【答案】21. 【解析】

22解：x+Ax+B＝（x﹣3）（x+5）＝x+2x﹣15，得

A＝2，B＝﹣15． 3A﹣B＝3×2+15＝21． 故答案为：21．

19．阅读例题，回答问题：

2

例题：已知二次三项式：x﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值． 222

解：设另一个因式为x+n，得x﹣4x+m＝(x+3)(x+n)，则x﹣4x+m＝x+(n+3)x+3n．

∴∴

∴另一个因式为x﹣7，m＝21． 仿照以上方法解答下面的问题：

2

已知二次三项式2x+3x+k有一个因式是2x﹣5，求另一个因式以及k的值．

【答案】另一个因式为(x+4)，k的值为20． 【解析】

22

解：设另一个因式为(x+n)，得2x+3x﹣k＝(2x﹣5)(x+n)＝2x+(2n﹣5)x﹣5n，

则

解得：n＝4，k＝20，

故另一个因式为(x+4)，k的值为20． 20．仔细阅读下面例题，解答问题：

例题，已知二次三项式x－4x＋m有一个因式是(x＋3)，求另一个因式以及m的值．

2

2

解：设另一个因式为(x＋n)，得x－4x＋m＝(x＋3)(x＋n)，

则x－4x＋m＝x＋(n＋3)x＋3n. ∴

，

22

解得n＝－7，m＝－21，

∴另一个因式为(x－7)，m的值为－21. 问题：仿照以上方法解答下面问题：

2

已知二次三项式3x＋5x－m有一个因式是(3x－1)，求另一个因式以及m的值．

【答案】另一个因式为(x＋2)，m的值为2. 【解析】

解：设另一个因式为(x＋n)，

2

则3x＋5x－m＝(3x－1)(x＋n)， 22

则3x＋5x－m＝3x＋(3n－1)x－n，

∴，

解得n＝2，m＝2，

∴另一个因式为(x＋2)，m的值为2. 21．阅读下列材料，解答下列问题：

材料1．把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫分解因式．如果把整式的乘法看成一个变形过程，那么多项式的因式分解就是它的逆过程． 公式法（平方差公式、完全平方公式）是因式分解的一种基本方法．如对于二次三项式a2+2ab+b2，可以逆用乘法公式将它分解成（a+b）2的形式，我们称a2+2ab+b2为完全平方式．但是对于一般的二次三项式，就不能直接应用完全平方了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使其配成完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，于是有： x2+2ax﹣3a2

2222＝x+2ax+a﹣a﹣3a 22

＝（x+a）﹣（2a）

＝（x+3a）（x﹣a）

2材料2．因式分解：（x+y）+2（x+y）+1

解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则

22原式＝A+2A+1＝（A+1）

2

再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）．

上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：

2

（1）根据材料1，把c﹣6c+8分解因式；

（2）结合材料1和材料2完成下面小题：

2

①分解因式：（a﹣b）+2（a﹣b）+1；

②分解因式：（m+n）（m+n﹣4）+3．

2【答案】（1）(c-4)(c-2)；（2）①（a-b+1）；②（m+n-1）（m+n-3）.

【解析】

2

（1）c-6c+8

=c2-6c+32-32+8 =（c-3）2-1 =（c-3+1）（c-3+1） =(c-4)(c-2)；

2

（2）①（a-b）+2（a-b）+1

设a-b=t，

22

则原式=t+2t+1=（t+1），

22

则（a-b）+2（a-b）+1=（a-b+1）；

②（m+n）（m+n-4）+3 设m+n=t， 则t（t-4）+3 =t2-4t+3 =t2-4t+22-22+3 =（t-2）2-1 =（t-2+1）（t-2-1） =（t-1）（t-3），

则（m+n）（m+n-4）+3=（m+n-1）（m+n-3）．

22．已知x4+y4+2x2y2﹣2x2﹣2y2﹣15=0，求x2+y2的值．

22

【答案】x+y=5．

【解析】

442222

∵x+y+2xy﹣2x﹣2y﹣15=0， 2222

（x+y）﹣2（x+y）﹣15=0 2222（x+y﹣5）（x+y+3）=0 2222

∴x+y﹣5=0，x+y+3=0，

2222

∴x+y=5，x+y=﹣3（不合题意，舍去）， 22

故x+y=5．