二次函数求解析式

最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况： （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

（2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式； （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。 与X轴交点的情况

当△=b2-4ac>0时，函数图像与x轴有两个交点。(x1,0), (x2,0); 当△=b2-4ac=0时，函数图像与x轴只有一个交点。(-b/2a，0)。 Δ=b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。

 二次函数解释式的求法：

就一般式y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c为常数，且a≠0）而言，其中含有三个待定的系数a ，b ，c．求二次函数的一般式时，必须要有三个独立的定量条件，来建立关于a ，b ，c 的方程，联立求解，再把求出的a ，b ，c 的值反代回原函数解析式，即可得到所求的二次函数解析式。

1.巧取交点式法：

知识归纳：二次函数交点式：y＝a(x－x1)(x－x2) （a≠0）x1，x2分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标。

已知抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时，用交点式比较简便。

①典型例题一：告诉抛物线与x轴的两个交点的横坐标，和第三个点，可求出函数的交点式。 例：已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1 ，且通过点（2，8），求二次函数的解析式。

点拨：

解设函数的解析式为y＝a(x+2)(x-1)， ∵过点（2，8）， ∴8＝a(2+2)(2-1)。 解得a=2，

∴抛物线的解析式为： y＝2(x+2)(x-1)， 即y＝2x2+2x-4。

②典型例题二：告诉抛物线与x轴的两个交点之间的距离和对称轴，可利用抛物线的对称性求解。

例：已知二次函数的顶点坐标为（3，-2），并且图象与x轴两交点间的距离为4，求二次函数的解析式。 点拨：

在已知抛物线与x轴两交点的距离和顶点坐标的情况下，问题比较容易解决．由顶点坐标为（3，-2）的条件，易知其对称轴为x＝3，再利用抛物线的对称性，可知图象与x轴两交点的坐标分别为（1，0）和（5，0）。此时，可使用二次函数的交点式，得出函数解析式。

2.巧用顶点式：

顶点式y=a(x－h)2+k（a≠0），其中（h，k）是抛物线的顶点。当已知抛物线顶点坐标或对称轴，或能够先求出抛物线顶点时，设顶点式解题十分简洁，因为其中只有一个未知数a。在此类问题中，常和对称轴，最大值或最小值结合起来命题。在应用题中，涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时，一般用顶点式方便．

①典型例题一：告诉顶点坐标和另一个点的坐标，直接可以解出函数顶点式。

例：已知抛物线的顶点坐标为（-1，-2），且通过点（1，10），求此二次函数的解析式。 点拨：

解∵顶点坐标为（-1，-2），

故设二次函数解析式为y=a(x+1)2-2 （a≠0）。 把点（1，10）代入上式，得10=a·(1+1)2-2。 ∴a=3。

∴二次函数的解析式为y=3(x+1)2-2，即y=3x2+6x+1。

②典型例题二：

如果a>0，那么当 时，y有最小值且y最小=；

如果a<0，那么，当时，y有最大值，且y最大=。

告诉最大值或最小值，实际上也是告诉了顶点坐标，同样也可以求出顶点式。

例：已知二次函数当x＝4时有最小值－3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式。 点拨：

析解∵二次函数当x＝4时有最小值－3，∴顶点坐标为（4，-3），对称轴为直线x＝4，抛物线开口向上。

由于图象与x轴两交点间的距离为6，根据图象的对称性就可以得到图象与x轴两交点的坐标是（1，0）和（7，0）。

∴抛物线的顶点为（4，-3）且过点（1，0）。

故可设函数解析式为y＝a(x－4)2－3。

将（1，0）代入得0＝a(1－4)2－3, 解得a＝13． ∴y＝13(x－4)2-3，即y＝13x2－83x＋73。

③典型例题三：告诉对称轴，相当于告诉了顶点的横坐标，综合其他条件，也可解出。 例如：

（1）已知二次函数的图象经过点A（3，-2）和B（1，0），且对称轴是直线x＝3．求这个二次函数的解析式.

（2）已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1，图象交y轴于点（0，2），且过点（-1，0），求这个二次函数的解析式.

（3）已知抛物线的对称轴为直线x=2，且通过点（1，4）和点（5，0），求此抛物线的解析式.

（4）二次函数的图象的对称轴x=-4，且过原点，它的顶点到x轴的距离为4，求此函数的解析式．

④典型例题四：利用函数的顶点式，解图像的平移等问题非常方便。

例：把抛物线y=ax2+bx+c的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位, 所得图像的解析式是y=x2-3x+5, 则函数的解析式为_______。 点拨：

解先将y=x2-3x+5化为y=(x-32)2+5-94, 即y=(x-32)2+114。 ∵它是由抛物线的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位得到的， ∴原抛物线的解析式是y=(x-32+3)2+114+2=(x+32)2+194=x2+3x+7。

二次函数解析式的三种形式

（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； （2）顶点式：y=a（x-h)2+k（a，h，k是常数，a≠0）

（3）交点式：y=a(x-x1)(x-x2)当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。 求二次函数解析式的方法

最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况： (1)已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式;

(2)已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值，一般选用顶点式; (3)已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式; (4)已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。

直线y=x与抛物线y=x2-2的两个交点的坐标分别是（ A. （2，2），（1，1）  B. （2，2），（-1，-1）  C. （-2，-2），（1，1）  D. （-2，-2），（-l，-1）

直线y=x+2与抛物线y=x2+2x的交点坐标是（ ） A. （1，3）  B. （-2，0）

 C. （1，3）或（-2，0）  D. 以上都不是

直线y=2x-1与抛物线y=x2的交点坐标是（ ）

 A. （0，0），（1，1）  B. （1，1）

 C. （0，1），（1，0）

）

 D. （0，-1），（-1，0）

二次函数的图象变换 二次函数解析式

例:如图抛物线y=ax2-5ax+4a与x轴相交于点A、B，且过点C(5，4)．

(1)求a的值和该抛物线顶点P的坐标．

(2)请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．

2

已知抛物线y=ax+bx+c与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，且过点C(0，-3)． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y=-x上，并写出平移后抛物线的解析式．

查看答案

解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0）， 可设抛物线解析式为y=a（x-1）（x-3）， 把C（0，-3）代入得：3a=-3， 解得：a=-1，

故抛物线解析式为y=-（x-1）（x-3），

2

即y=-x+4x-3，

22

∵y=-x+4x-3=-（x-2）+1， ∴顶点坐标（2，1）；

2

（2）先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为y=-x，平移后抛物线的顶点为（0，0）落在直线y=-x上．

解析：

（1）利用交点式得出y=a（x-1）（x-3），进而得出a求出的值，再利用配方法求出顶点坐标即可；

2

（2）根据左加右减得出抛物线的解析式为y=-x，进而得出答案．

二次函数的图象变换 二次函数解析式

已知一个三角形的两边长分别为2和9，第三边的长为一元二次方程x2-14x+48=0的一个根，则这个三角形的周长为______．

三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2-7x+12=0的根，则该三角形的周长为（ ）

A．10 B．11 C．10或11 D．以上都不对

一个三角形的两边长为8和6，第三边的边长是方程（x-2）（x-4）=0的根，则这个三角形的周长是（ ）

A．16 B．16或18 C．18 D．24

∵第三边的边长是方程（x-2）（x-4）=0的根， ∴x1=2，x2=4，

∵三角形的两边长为8和6， ∴第三边的取值范围是：2＜x＜14， ∴第三边x=4，

∴这个三角形的周长是：6+8+4=18． 故选C．

若一元二次方程2x2-7x+5=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为______．

方程x2-9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为______． 答案

x2-9x+18=0， ∴（x-3）（x-6）=0，

∴x-3=0，x-6=0， ∴x1=3，x2=6，

当等腰三角形的三边是3，3，6时，3+3=6，不符合三角形的三边关系定理， ∴此时不能组成三角形，

当等腰三角形的三边是3，6，6时，此时符合三角形的三边关系定理，周长是3+6+6=15， 故答案为：15．

一个三角形两边长分别为3cm和7cm，第三边长为a cm，且整数a满足a2-10a+21=0，求三角形的周长．

由已知可得4＜a＜10，则a可取5，6，7，8，9．（第一步）

当a=5时，代入a2-10a+21=52-10×5+21≠0，故a=5不是方程的根． 同理可知a=6，a=8，a=9都不是方程的根． ∴a=7是方程的根．（第二步） ∴△ABC的周长是3+7+7=17（cm）．

上述过程中，第一步是根据______，第二步应用了______数学思想，确定a的值的大小是根据______．

由已知可得4＜a＜10，则a可取5，6，7，8，9．（第一步）

当a=5时，代入a2-10a+21=52-10×5+21≠0，故a=5不是方程的根． 同理可知a=6，a=8，a=9都不是方程的根． ∴a=7是方程的根．（第二步） ∴△ABC的周长是3+7+7=17（cm）．

上述过程中，第一步是根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，第二步应用了 分类讨论数学思想，确定a的值的大小是根据 方程根的定义．

故答案为：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，分类讨论，方程根的定义．

.如果自变量的取值范围是全体实数，则当a>0时，抛物线开口向上，有最低点，那么函数

在处取得最小值y最小值=；

当a<0时，抛物线开口向下，有最高点，即当时，函数取得最大值，y最大值=

。

也即是：如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），

即当时，。

2.如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围

内，若在此范围内，则当x=

则需要考虑函数在则当x=x2 时，

时，；若不在此范围内，

范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，

，当x=x1 时

；如果在此范围，当x=x2时

内，y随x的增大而减小，则当x=x1时，

。