二次函数图像与性质(提高)

初四•上册•第二单元▪二次函数-第二课时

二次函数概念及图象性质

知识点一 二次函数的概念

一、二次函数的定义

21. 一般地，形如yaxbxc（a,b,c为常数，a0）的函数称为x的二次函数，其中x为自

变量，y为因变量，a,b,c分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数.

2. 任何二次函数都可以整理成yaxbxc（a,b,c为常数，a0）的形式． 3. 判断函数是否为二次函数的方法： ① 含有一个变量，且自变量的最高次数为2； ② 二次项系数不等于0； ③ 等式两边都是整式．

4. 二次函数自变量x的取值范围是全体实数． 例1、下列函数中是二次函数的是（ ）

A．y21

x22x3B．y3x32x2

C．yx2x2

2D．yx2x2

练1、下列函数中，哪些是二次函数？并指出二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项．

⑴yx；⑵y2122yx(1x)y2xx1y(x1)(x1)(x1) ；⑶；⑷；⑸2x练2、下列说法正确的是（ ）

A．二次函数的自变量的取值范围是非零实数 B．圆的面积公式Sr2中，S是r的二次函数 C．y1x1x4不是二次函数 2D．y12x2中一次项系数为1 练3、已知函数ya1xa21a2x（a为常数）

⑴当a为何值时，此函数为二次函数？ ⑵当a为何值时，此函数为一次函数？

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练4、已知函数y（m1）Xm次函数的解析式是多少？

2-m，

（m2-2）X3当m是什么数时，函数是二次函数？这个二

知识点二

二次函数的图象性质

一、二次函数yax2（a0）的性质

1. 2.

抛物线yax的顶点是坐标原点（0，0），对称轴是x0（y 轴）. 函数yax的图象与a的符号关系.

① 当a0时抛物线开口向上顶点为其最低点； ② 当a0时抛物线开口向下顶点为其最高点.

22

二、二次函数yax2c(a0)的性质

1. 2.

抛物线yaxc的顶点是坐标原点（0，c），对称轴是x0（y 轴）. 函数yaxc的图象与a的符号关系.

① 当a0时抛物线开口向上顶点为其最低点； ② 当a0时抛物线开口向下顶点为其最高点.

3.

2函数yaxc的图象可以看做是由函数yax的图象向上或向下平移|c|个单位得到的.

222

三、二次函数yax2bxc（a0）的性质

1. 对称轴：xb 2ab4acb2,) 2. 顶点坐标：(2a4a3. 最值：

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图1图2

4acb2① a0时有最小值 （如图1）

4a4acb2② a0时有最大值 （如图2）

4a4. 单调性：二次函数yaxbxc（a0）的变化情况（增减性）

① 当a0时，对称轴左侧x2bb，y随着x的增大而减小，在对称轴的右侧x ，y随2a2abb， y随着x的增大而增大，在对称轴的右侧x，y随2a2ax的增大而增大；

② 当a0时，对称轴左侧xx的增大而减小；

四、二次函数ya(xh)2k（a0）的性质

1. 对称轴： xh 2. 顶点坐标： (h,k) 3. 最值：

图1图2

a0时有最小值k （如图1） a0时有最大值k；（如图2）

（a0）五、二次函数ya(xx1)(xx)的性质

21. 对称轴： x

x1x22

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2. 与x轴的交点坐标为(x1,0),(x2,0)

六、二次函数的图象与系数的关系

1.

a的符号决定抛物线的开口方向：

当a0时，抛物线开口向上； 当a0时，抛物线开口向下． 2.

a决定抛物线的开口大小： a越大，抛物线开口越小； a越小，抛物线开口越大．

3.

a和b共同决定抛物线对称轴的位置（抛物线的对称轴：xb） 2a当b0时，抛物线的对称轴为y轴； 当a、b同号时，对称轴在y轴的左侧； 当a、b异号时，对称轴在y轴的右侧．

简要概括为“左同右异” ． 4.

c的大小决定抛物线与y轴交点的位置（抛物线与y轴的交点坐标为0，c）

当c0时，抛物线与y轴的交点为原点； 当c0时，交点在y轴的正半轴； 当c0时，交点在y轴的负半轴．

七、根据二次函数的图象判断代数式符号

1.

b24ac决定了函数图象与x轴的交点情况：

当b24ac0，有两个交点； 当b24ac0，有一个交点； 当b24ac0，没有交点． 2.

当x1时，可以得到abc的值； 当x1时，可以得到abc的值

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二 二次函数yax2a0的图象与性质

【例1】 在同一平面直角坐标系中作出下列函数图象：y2x2；y2x2；y3x2；y3x2；并探究二

次函数开口大小与a之间的关系

【例2】 如图，四个二次函数的图象中，分别对应的是①yax2；②ybx2；③ycx2；④ydx2。则

a、b、c、d的大小关系为（ ）

y1ox342

A．abcd B．abdc

C．bacd D．badc

三 二次函数yax2ca0的图象与性质

【例3】 在同一平面直角坐标系中作出下列函数图象：y12x2；y22x22；y32x23；并回答下列

问题

①抛物线y1、y2、y3的形状是否发生改变？ ②对称轴是否发生改变？

③将抛物线y1向______平移________单位得到y2 ④将抛物线y2向______平移________单位得到y3

【例4】 函数y2x23的图象可以看做是函数y2x2的图象向______平移_______个单位得到的。 【例5】 二次函数y2x23的图象开口___________，当___________时，y随x的增大而减小；

二次函数y5x22的图象开口____________，当___________时，y随x的增大而增大； 二次函数y5x27的图象开口___________，当___________时，y随x的增大而增大。

【例6】 已知抛物线yax2b(a0)与x轴有两个交点，且开口向下，则a,b的取值范围分别是（ ）

A．a0，b0 B．a0，b0 C．a0，b0 D．a0，b0

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【例7】 已知函数yx25，当x取x1，x2(x1x2)时，函数值相等，则当x 取x1+x2时，函数值为

______．

①抛物线y1、y2、y3的形状是否发生改变？ ②对称轴是否发生改变？

③将抛物线y1向______平移________单位得到y2； ④将抛物线y2向______平移________单位得到y3。

【例8】 ⑴抛物线y2x5的顶点坐标是___________，对称轴是____________；

⑵抛物线y34x22的开口方向___________，顶点坐标___________，对称轴是___________，当_____________时，y随x的增大而增大。

24．如图，已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C （1）求点A，B，C的坐标；

（2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积； （3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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