特殊平行四边形拔高题含答案

一、解答题（题型注释）

1．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为a．直线y=bx+c交x轴于E，交y轴于F，且a、b、c分别满足-(a-4)2≥0，cb22b8

（1）求直线y=bx+c的解析式并直接写出正方形OABC的对角线的交点D的坐标；

（2）直线y=bx+c沿x轴正方向以每秒移动1个单位长度的速度平移，设平移的时间为t秒，问是否存在t的值，使直线EF平分正方形OABC的面积若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由； 点P为正方形OABC的对角线AC上的动点（端点A、C除外），PM⊥PO，交直线AB于M，求

PC的值 BM

2．如图，矩形OABC摆放在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=3，OC=2，P是BC边上一点且不与B重合，连结AP，过点P作∠CPD=∠APB，交x轴于点D，交y轴于点E，过点E作EF∥AP交x轴于点F．

（1）若△APD为等腰直角三角形，求点P的坐标；

（2）若以A，P，E，F为顶点的四边形是平行四边形，求直线PE的解析式．

3．把一个含45°角的直角三角板BEF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点B重合，联结DF，点M，N分别为DF，EF的中点，联结MA，MN．

（1）如图1，点E，F分别在正方形的边CB，AB上，请判断MA，MN的数量关系和位置关系，直接 写出结论；

（2）如图2，点E，F分别在正方形的边CB，AB的延长线上，其他条件不变，那么你在（1）中得到的两个结论还成立吗若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．

ADAFNBEMDENCBMCF

图1 图2

4．如图，已知正方形ABCD，AC、BD相交于点O，E为AC上一点，AH⊥EB交EB于点H，AH交BD于点F． （1）若点E在图1的位置，判断OE与OF的数量关系，并证明你的结论；

（2）若点E在AC的延长线上，请在图2中按题目要求补全图形，判断OE与OF的数量关系，并证明你的结论．

5．已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP=t．

（Ⅰ）如图①，当∠BOP=30°时，求点P的坐标；

（Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ=m，试用含有t的式子表示m；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）． 6．阅读下列材料：

已知：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，P为AC边上的一动点，以PB，PA为边构造□APBQ，求对角线PQ的最小值及此时

AP的值是多少． AC

在解决这个问题时，小明联想到在学习平行线间的距离时所了解的知识：端点分别在两条平行线上的所有线段中，垂直于平行线的线段最短．进而，小明构造出了如图2的辅助线，并求得PQ的最小值为3．参考小明的做法，解决以下问题：

（1）继续完成阅读材料中的问题：当PQ的长度最小时，

AP= ； AC（2）如图3，延长PA到点E，使AE=nPA（n为大于0的常数）．以PE，PB为边作□PBQE，那么对角线PQ的最小值为 ，此时

AP= ； ACAP= ． AC（3）如图4，如果P为AB边上的一动点，延长PA到点E，使AE=nPA（n为大于0的常数），以PE，PC为边作□PCQE，那么对角线PQ的最小值为 ，此时

7．在图1、图2、图3、图4中，点P在线段BC上移动（不与B、C重合），M在BC的延长线上． （1）如图1，△ABC和△APE均为正三角形，连接CE． ①求证：△ABP≌△ACE．

②∠ECM的度数为 °．

（2）①如图2，若四边形ABCD和四边形APEF均为正方形，连接CE．则∠ECM的度数为 °． ②如图3，若五边形ABCDF和五边形APEGH均为正五边形，连接CE．则∠ECM的度数为 °．

（3）如图4，n边形ABC…和n边形APE…均为正n边形，连接CE，请你探索并猜想∠ECM的度数与正多边形边数n的数量关系（用含n的式子表示∠ECM的度数），并利用图4（放大后的局部图形）证明你的结论．

8．已知O是坐标原点，点A的坐标是（5，0），点B是y轴正半轴上一动点，以OB，OA为边作矩形OBCA，点

E，H分别在边BC和边OA上，将△BOE沿着OE对折，使点B落在OC上的F点处，将△ACH沿着CH对折，使点A落在OC上的G点处。

（1）求证：四边形OECH是平行四边形；

（2）当点B运动到使得点F，G重合时，求点B的坐标，并判断四边形OECH是什么四边形说明理由； （3）当点B运动到使得点F，G将对角线OC三等分时，求点B的坐标。

9．倡导研究性学习方式，着力教材研究，习题研究，是学生跳出题海，提高学习能力和创新能力的有效途径．下面是一案例，请同学们认真阅读、研究，完成“类比猜想”及后面的问题． 习题解答： 习题 如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，说明理由． 解答：∵正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠ADC=∠B=90°，

∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE′，点F、D、E′在一条直线上． ∴∠E′AF=90°﹣45°=45°=∠EAF， 又∵AE′=AE，AF=AF

∴△AE′F≌△AEF（SAS） ∴EF=E′F=DE′+DF=BE+DF． 习题研究 观察分析：观察图（1），由解答可知，该题有用的条件是①ABCD是四边形，点E、F分别在边BC、CD上；②AB=AD；③∠B=∠D=90°；④∠EAF=

1∠BAD． 2类比猜想：（1）在四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，当AB=AD，∠B=∠D时，还有EF=BE+DF吗 研究一个问题，常从特例入手，请同学们研究：如图（2），在菱形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，当∠BAD=120°，∠EAF=60°时，还有EF=BE+DF吗

（2）在四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，当AB=AD，∠B+∠D=180，∠EAF=

1∠BAD时，EF=BE+DF2吗

归纳概括：反思前面的解答，思考每个条件的作用，可以得到一个结论“EF=BE+DF”的一般命题： 在四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，当AB=AD，∠B+∠D=180，∠EAF=∠BAD时，则EF=BE+DF ．

10．提出问题：如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过

点B，另一条直角边交边DC与点E，求证：PB=PE

分析问题：学生甲：如图1，过点P作PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分别为M，N通过证明两三角形全等，进而证明两条线段相等．

学生乙：连接DP，如图2，很容易证明PD=PB，然后再通过“等角对等边”证明PE=PD，就可以证明PB=PE了． 解决问题：请你选择上述一种方法给予证明．

问题延伸：如图3，移动三角板，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交DC的延长线于点E，PB=PE还成立吗若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

11．操作发现

将一副直角三角板如图①摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合． 问题解决

将图①中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°，点C落在BF上，AC与BD交于点O，连接CD，如图②． （1）求证：△CDO是等腰三角形； （2）若DF=8，求AD的长．

12．我们知道平行四边形有很多性质.

现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现这其中还有更多的结论. 【发现与证明】YABCD中，AB≠BC，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连结B′D. 结论1：B′D∥AC；

结论2：△AB′C与YABCD重叠部分的图形是等腰三角形. ……

请利用图1证明结论1或结论2（只需证明一个结论）.

【应用与探究】在YABCD中，已知∠B=30°，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连结B′D. （1）如图1，若AB3, ABD750，则∠ACB= °，BC= ； （2）如图2，AB23，BC=1，AB′与边CD相交于点E，求△AEC的面积； （3）已知AB23，当BC长为多少时，是△AB′D直角三角形

13．如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE． （1）求证：CE=CF；

（2）在图1中，若G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗为什么 （3）根据你所学的知识，运用（1）、（2）解答中积累的经验，完成下列各题： ①如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC=12，E是AB的中点，且∠DCE=45°，求DE的长；

②如图3，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC，BD=2，CD=3，则△ABC的面积为 _________ （直接写出结果，不需要写出计算过程）．

14．如图，两个边长均为2的正方形ABCD和正方形CDEF，点B、C、F在同一直线上，一直角三角板的直角顶点放置在D点处，DP交AB于点M，DQ交BF于点N． （1）求证：△DBM≌△DFN；（4分）

（2）延长正方形的边CB和EF，分别与直角三角板的两边DP、DQ（或它们的延长线）交于点G和点H，试探究下列问题：

①线段BG与FH相等吗说明理由；（4分） ②当线段FN的长是方程x22x30的一根时，试求出NG的值．（4分）

NHA M G P B C N Q H F DE

15．如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．

（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE=CF；

（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．

16．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于点M，点N为DE的中点． （1）若AB=4，求△DNF的周长及sin∠DAF的值； （2）求证：2ADNF=DEDM．

17．在正方形ABCD 中，点F是BC延长线上一点，过点B作BE⊥DF于点E，交CD于点G，连接CE. （1）若正方形ABCD边长为3，DF=4，求CG的长； （2）求证：EF+EG=2CE. A D

G E

B

C

F

18．（1）图①是将线段AB向右平移1个单位长度，图②是将线段AB折一下再向右平移1个单位长度，请在图③中画出一条有两个折点的折线向右平移1个单位长度的图形﹒

（2）若长方形的长为a，宽为b，请分别写出三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积﹒

（3）如图④，在宽为10m，长为40m的长方形菜地上有一条弯曲的小路，小路宽为1m，求这块菜地的面积﹒

19．如图，在线段AE的同侧作正方形ABCD和正方形BEFG（BE＜AB），连接EG并延长交DC于点M，作MN⊥AB，垂足为N，MN交BD于点P，设正方形ABCD的边长为1． （1）证明：四边形MPBG是平行四边形；

（2）设BE=x，四边形MNBG的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）如果按题设作出的四边形BGMP是菱形，求BE的长．

20．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，BC=16cm，AD是斜边BC上的高，垂足为D，BE=1cm．点M从点B出发沿BC方向以1cm/s的速度运动，点N从点E出发，与点M同时同方向以相同的速度运动，以MN为边在BC的上方作正方形MNGH．点M到达点D时停止运动，点N到达点C时停止运动．设运动时间为t（s）． （1）当t为何值时，点G刚好落在线段AD上

（2）设正方形MNGH与Rt△ABC重叠部分的图形的面积为S，当重叠部分的图形是正方形时，求出S关于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围．

（3）设正方形MNGH的边NG所在直线与线段AC交于点P，连接DP，当t为何值时，△CPD是等腰三角形

参

1．（1）y=2x+8，D（2，2）；（2）存在，5；（3）

2. 22．（1）P（1，2）；（2）PE的解析式为：y=2x﹣2 3．（1）MA=MN，MA⊥MN；（2）成立，理由详见解析 4．（1）OE=OF,证明详见解析；（2）OE=OF仍然成立，证明详见解析； 5．(1)（23，6）．(2) m=6）． 6．（1）

111311131211．(3) （，6）或（，tt6（0＜t＜11）

3366112AP14.（2）3，；（3），． 25n2AC5n101807．(1)60；（2）45，36．（3）.

n8．（1）证明见解析；（2）点B的坐标是（0，

53）；四边形OECH是菱形．理由见解析；3（3）（0，

52）或（0，25）． 49．（1）当∠BAD=120°，∠EAF=60°时，EF=BE+DF不成立，EF＜BE+DF．理由见解析； （2）当AB=AD，∠B+∠D=180，∠EAF=

1∠BAD时，EF=BE+DF成立．理由见解析． 210．解决问题：证明见解析；问题延伸：成立，证明见解析. 11．(1)证明见解析；（2）12-43．

12．【发现与证明】证明见解析；【应用与探究】(1) 45，3. 13．（1）证明见解析；

（2）GE=BE+GD成立，理由见解析； （3）①DE=10；

②△ABC的面积为15． 14．（1）证明见解析；

（2）①BG=FH．理由见解析； ②

3373；（2）；（3）6,2, 4或2236NG5． NH15．（1）证明见解析；（2）四边形AECF的面积不变．43；△CEF的面积随△AEF面积的变化而变化，3.

16．（1）△DNF的周长3+5；sin∠DAF=（2）证明见解析 17．(1)

5； 57；(2)证明见解析.

18．（1）图形见解析；

（2）S1= ab﹣b，S2=ab﹣b，S3=ab﹣b； （3）菜地的面积是390m2． 19．（1）证明见解析；（2）y=

112；（3）BE=2﹣2． x（0＜x＜1）

223t41320．（1）3；（2）S；（3）t=9s或t=（15﹣63）s. 2t34