猎犬追狐狸试题的多视角解析

许冬保

（九江市第一中学 江西 九江 332000）

1 试题

v1 第6届全国中学生物理竞赛预赛试题：如图1所示，有一只狐狸以

A F 不变速度v1沿着直线AB逃跑，一猎犬以不变的速率v2追击，其运动方向始终对准狐狸．某时刻狐狸在F处，猎犬在D处，FD⊥L，试求此时L 猎犬的加速度的大小．

v2 2 解析

D

图1 猎犬追狐狸 解析1：矢量方法分析[1]

狐狸、猎犬视为质点，猎犬作平面曲线运动，经极短时间t，速

度方向改变角度θ，可作出速度矢量三角形，如图2所示，由图中角度关系得

B 猎犬的加速度

v1tv， Lv2A F v1Δt B a解得

v tv1v2 LL Δv v2 v θ 2D 图2 猎犬追狐狸矢量图

a解析2：平面直角坐标系中分析

建立图3示的直角坐标系，经时间t速度方向改变角度为θ，将速度v2分解，有vxv2sin，vyv2cos．

且tany A F v1t．对时间t求导，得加速度 Lv1 B vvax12Lv1t1L322v1v2v1tv1t，ay1LLLv1v2 L322L

θ O v2 x 当t=0时加速度大小为

aax图3 猎犬追狐狸直角坐标系分析

解析3：平面极坐标系中分析

设D点为极点，DF为极轴，如图4所示，建立极坐标系．猎犬出发点计时，经极短时间t质点沿平面曲线运动到P处，在P处速度v2分解为沿径向及横向的分量v、vφ．由于时间极短，DP视为圆弧，则vv2cos，vv2sin．

且v1 A F L θ D图4猎犬追狐狸在极坐标系中分析

vρ v2 P vφ φ F B 2，tanv1tvt，于是1． L2LP处的加速度

a即

dvdvρ0vφ0 dtdt第 1 页 共 3 页

dvdddρ0dvdφ0avρ0vφ0ρvφvdt0dt0dt dtdtdtdφ0ddρdρ0，0φ0．因此，有 由于dtdtdtdtdvdvddaaρ0aφ0vρvdt0dtφ0 dtdt由此可得

dvdvvvvvv2sin1v2sin112sin dtdt2L2LLdvdvvvvavv2cos1v2cos112cos

dtdt2L2LLvv在极短时间内，0，得a0，a12．a即在D处的向心加速度．

La解析4：自然坐标系中分析

2v2猎犬的运动方向始终对准狐狸且速度大小不变，故作匀速率曲线运动，由向心力公式a，r为猎

r犬所在处的曲率半径．由于r不断变化，故猎犬的加速度大小、方向均在不断变化．题目要求猎犬在D处的加速度大小，由于v2大小不变，求出D点的曲率半径即可．

猎犬作匀速率曲线运动，在一段极短的时间t内，猎犬运动的轨迹可近似看成是一段圆弧，如图5所示，设其半径为r，则加速度为

2v2a，其方向与速度方向垂直．在t时间内，设狐狸与猎犬分别

rvt到达F与D，猎犬的速度转过的角度为θ，2

r而狐狸跑过的距离可近似为v1tL

v解得r2L

v1vv所以猎犬的加速度大小为a12．

L3 评议

v1 A F L θ v2 v2 D r θ D F B 图5 猎犬追狐狸在自然坐标系中分析

猎犬追狐狸，猎犬作平面曲线运动，对平面曲线运动的研究，有矢量方法及坐标系分析的方法．由以上解答可以看出，矢量方法是一个较简单的分析方法，但考生由于受到平时练习题的定势思维的影响，往往在坐标系中求解，对于平面直角坐标系及极坐标系，因运算过程烦琐，而未能求得最终结果．对于在自然坐标系中分析，难点在于如何求曲率半径？要求考生能用微元法（化曲为圆）及小角度运算的方法进行分析．

矢量运算及坐标系的选择是研究平面曲线运动的两大数学工具．质点的平面曲线运动，所涉及到的位移、速度、加速度均是矢量，矢量的运算是基础，有时利用矢量方法进行分析，会收到意想不到的功效．至于在具体问题的分析中，选择什么样的坐标v0 系，要依据问题的性质和研究的方便来确定．一般地，当加速度为常量（如R A 重力加速度），应选取直角坐标系；当加速度总指向空间一点时，选取极坐标O 系较方便；当质点的轨迹已知时（如限定在某曲线轨道上运动），可选用自然坐标系[2]．

附同类训练题：一只狼沿半径为R的圆形岛边缘以逆时针方向匀速跑动，如图6所示，狼过A点时，一只猎犬以相同的速率从O点去追击狼．若追击图6 猎犬追狼 过程中，狼、犬、O点始终在同一直线上，则猎犬是沿什么轨迹运动的？在何处追上狼？（答案：轨迹是以OD为直径的圆周，猎犬在D处追上狼．）

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＊［基金项目］中国教育学会物理教学专业委员会研究课题：物理习题教学及其评价的研究（编号yb15004）

参考文献

[1] 何述平．匀速圆周运动向心加速度的教学研究[J] ．物理教师 2011（12）：20～24 [2] 杨维纮．力学与理论力学（上册）[M]．北京：科学出版社，2008．24

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