3压轴答案

考点：二次函数综合题。 专题：综合题。

2

分析：（1）设抛物线的解析式：y=ax，把B（﹣4，4）代入即可得到a的值；过点B作BE⊥y轴于E，过点C作CD⊥y轴于D，易证Rt△BAE≌Rt△ACD，得到AD=BE=4，CD=AE=OE﹣OA=4﹣1=3，即可得到C点坐标（3，5）；

12

a，又AF=OF41212

﹣OA=PH﹣OA=d1﹣1=a﹣1，PF=a，在Rt△PAF中，利用勾股定理得到PA=d2=a+1，

44（2）设P点坐标为（a，b），过P作PF⊥y轴于F，PH⊥x轴于H，则有d1=

即有结论d2=d1+1；

（3）△PAC的周长=PC+PA+5，由（2）得到△PAC的周长=PC+PH+6，要使PC+PH最小，则C、P、H三点共线，P点坐标为（3，

9），此时PC+PH=5，得到△PAC的周长的最小值=5+6=11． 42

解答：解：（1）设抛物线的解析式：y=ax， ∵拋物线经过点B（﹣4，4）， ∴4=a•4，解得a=

2

1， 412

x； 4E，过点

C

作

CD⊥y

轴于

D，如图，

所以抛物线的解析式为：y=过点

B

作

BE⊥y

轴于

∵点B绕点A顺时针方向90°得到点C， ∴Rt△BAE≌Rt△ACD，

∴AD=BE=4，CD=AE=OE﹣OA=4﹣1=3， ∴OD=AD+OA=5，

∴C点坐标为（3，5）；

（2）设P点坐标为（a，b），过P作PF⊥y轴于F，PH⊥x轴于H，如图， ∵点P在抛物线y=

12

x上， 412

a， 412

∴d1=a，

4∴b=

∵AF=OF﹣OA=PH﹣OA=d1﹣1=

12

a﹣1，PF=a， 4在Rt△PAF中，PA=d2=

11AF2PF2(a22)2a2=a2+1，

44∴d2=d1+1；

（3）由（1）得AC=5， ∴△PAC的周长=PC+PA+5 =PC+PH+6，

要使PC+PH最小，则C、P、H三点共线， ∴此时P点的横坐标为3，把x=3代入y=即P点坐标为（3，

129x，得到y=， 449），此时PC+PH=5， 4∴△PAC的周长的最小值=5+6=11． 点评：本题考查了点在抛物线上，点的横纵坐标满足二次函数的解析式和顶点在原点的二次

2

函数的解析式为：y=ax；也考查了旋转的性质、勾股定理以及两点之间线段最短．

40. （2011四川达州，23，10分）如图，已知抛物线与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），抛物线的顶点为P，连接AC． （1）求此抛物线的解析式；

（2）在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，且直线DC与x轴交于点Q，求点D的坐标； （3）抛物线对称轴上是否存在一点M，使得s△MAP=2s△ACP，若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由．

考点：二次函数综合题。

分析：（1）利用交点式将抛物线与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，代入y=a（x﹣x1）（x﹣x2），求出二次函数解析式即可；

（2）利用△QOC∽△COA，得出QO的长度，得出Q点的坐标，再求出直线DC的解析式，将两函数联立求出交点坐标即可； （3）首先求出二次函数顶点坐标，s四边形AEPC=s四边形OEPC+s△AOC，以及s四边形AEPC=s△AEP+s△ACP=得出使得s△MAP=2s△ACP点M的坐标．

解答：解：（1）设此抛物线的解析式为：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）， ∵抛物线与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点， ∴y=a（x﹣1）（x+3），

又∵抛物线与y轴交于点C（0，3）， ∴a（0﹣1）（0+3）=3， ∴a=﹣3

∴y=﹣（x﹣1）（x+3），

2

即y=﹣x﹣2x+3， 用其他解法参照给分；

（2）∵点A（1，0），点C（0，3）， ∴OA=1，OC=3，

∵DC⊥AC，OC⊥x轴， ∴△QOC∽△COA， ∴

OQOCOQ3， ，即OCOA31∴OQ=9，，

又∵点Q在x轴的负半轴上， ∴Q（﹣9，0），

设直线DC的解析式为：y=mx+n，则n3，

9mn01m解之得：3，

n3∴直线DC的解析式为：y1x3， 3∵点D是抛物线与直线DC的交点，

1yx3∴， 3yx22x37xx2013解之得： （不合题意，应舍去），

20y32y19∴点D（,720）， 39用其他解法参照给分；

（3）如图，点M为直线x=﹣1上一点，连接AM，PC，PA， 设点M（﹣1，y），直线x=﹣1与x轴交于点E， ∴AE=2，

2

∵抛物线y=﹣x﹣2x+3的顶点为P，对称轴为x=﹣1， ∴P（﹣1，4）， ∴PE=4，

则PM=|4﹣y|，

∵s四边形AEPC=s四边形OEPC+s△AOC，

111(34)13， 221=(37)， 2=

=5，

又∵s四边形AEPC=s△AEP+s△ACP，

s△AEP=

11AEPE244， 22∴+s△ACP=5﹣4=1，

∵s△MAP=2s△ACP， ∴

114y21， 2∴|4﹣y|=2， ∴y1=2，y2=6，

故抛物线的对称轴上存在点M使s△MAP=2s△ACP， 点M（﹣1，2）或（﹣1，6）．

点评：此题主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合是这部分考查的重点也是难点同学们应重点掌握．

46.（2011四川眉山，26，11分）如图，在直角坐标系中，已知点A（0，1），B（﹣4，4），将点B绕点A顺时针方向90°得到点C；顶点在坐标原点的拋物线经过点B． （1）求抛物线的解析式和点C的坐标； （2）抛物线上一动点P，设点P到x轴的距离为d1，点P到点A的距离为d2，试说明d2=d1+1； （3）在（2）的条件下，请探究当点P位于何处时，△PAC的周长有最小值，并求出△PAC的周长的最小值．

考点：二次函数综合题。 专题：综合题。

2

分析：（1）设抛物线的解析式：y=ax，把B（﹣4，4）代入即可得到a的值；过点B作BE⊥y轴于E，过点C作CD⊥y轴于D，易证Rt△BAE≌Rt△ACD，得到AD=BE=4，CD=AE=OE﹣OA=4﹣1=3，即可得到C点坐标（3，5）；

12

a，又AF=OF41212

﹣OA=PH﹣OA=d1﹣1=a﹣1，PF=a，在Rt△PAF中，利用勾股定理得到PA=d2=a+1，

44（2）设P点坐标为（a，b），过P作PF⊥y轴于F，PH⊥x轴于H，则有d1=

即有结论d2=d1+1；

（3）△PAC的周长=PC+PA+5，由（2）得到△PAC的周长=PC+PH+6，要使PC+PH最小，则C、P、H三点共线，P点坐标为（3，

9），此时PC+PH=5，得到△PAC的周长的最小值=5+6=11． 42

解答：解：（1）设抛物线的解析式：y=ax， ∵拋物线经过点B（﹣4，4），

∴4=a•4，解得a=

2

1， 412

x； 4E，过点

C

作

CD⊥y

轴于

D，如图，

所以抛物线的解析式为：y=过点

B

作

BE⊥y

轴于

∵点B绕点A顺时针方向90°得到点C， ∴Rt△BAE≌Rt△ACD，

∴AD=BE=4，CD=AE=OE﹣OA=4﹣1=3， ∴OD=AD+OA=5，

∴C点坐标为（3，5）；

（2）设P点坐标为（a，b），过P作PF⊥y轴于F，PH⊥x轴于H，如图， ∵点P在抛物线y=

12

x上， 412

a， 412

∴d1=a，

4∴b=

∵AF=OF﹣OA=PH﹣OA=d1﹣1=

12

a﹣1，PF=a， 4在Rt△PAF中，PA=d2=

11AF2PF2(a22)2a2=a2+1，

44∴d2=d1+1；

（3）由（1）得AC=5， ∴△PAC的周长=PC+PA+5 =PC+PH+6，

要使PC+PH最小，则C、P、H三点共线， ∴此时P点的横坐标为3，把x=3代入y=即P点坐标为（3，

129x，得到y=， 449），此时PC+PH=5， 4∴△PAC的周长的最小值=5+6=11． 点评：本题考查了点在抛物线上，点的横纵坐标满足二次函数的解析式和顶点在原点的二次

函数的解析式为：y=ax；也考查了旋转的性质、勾股定理以及两点之间线段最短．.

2

112（2011湖北武汉，25，12分）如图1，抛物线y=ax+bx+3经过点A（﹣3，0），B（﹣1，0）两点，

（1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线的顶点为M，直线y=﹣2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D，现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上，若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；

（3）如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q（0，3）作不平行于x轴的直线交抛物线于E．F两点，问在y轴的负半轴上是否存在一点P，使△PEF的内心在y轴上，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

2

考点：二次函数综合题。

2

分析：（1）根据抛物线y=ax+bx+3经过点A（﹣3，0），B（﹣1，0）两点，代入解析式求出即可；

2

（2）由（1）配方得y=（x+2）﹣1，利用函数平移①当抛物线经过点C时，②当抛物线与直线CD只有一个公共点时，分别分析求出；

22

（3）由点E．F的坐标分别为（m，m），（n，n），得出m+n=km•n=﹣3，利用作点E关于y轴的对称点R（﹣m，m2），作直线FR交y轴于点P，

由对称性知∠EFP=∠FPQ，此时△PEF的内心在y轴上，求出即可．

2

解答：解：（1）抛物线y=ax+bx+3经过点A（﹣3，0），B（﹣1，0）两点，

9a3b30∴，

ab30解得a=1，b=4，

2

∴抛物线解析式为y=x+4x+3；

2

（2）由（1）配方得y=（x+2）﹣1 ∴抛物线的顶点M（﹣2，﹣1），

11x．于是设平移后的抛物线的顶点坐标为（h，h）， 2221∴平移后的抛物线解析式为y=（x﹣h）+h， 2直线OD的解析式为y=

①当抛物线经过点C时，∵C（0，9），

∴h+

2

11145h=9，解得h=， 24∴当11451145≤x＜时，平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点， 4412y(xh)h②当抛物线与直线CD只有一个公共点时，由方程组2，

y2x91h﹣9=0， 2221∴△=（﹣2h+2）﹣4（h+h﹣9）=0，

2得x+（﹣2h+2）x+h+

2

2

解得h=4，

2

此时抛物线y=（x﹣4）+2与射线CD只有唯一一个公共点为（3，3），符合题意， 综上所述，平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点时， 顶点横坐标h的取值范围为h=4或11451145≤x＜； 44

（3）设直线EF的解析式为y=kx+3（k≠0），

22

点E．F的坐标分别为（m，m），（n，n），

yx22由得x﹣kx﹣3=0， ykx3∴m+n=km•n=﹣3，

2

作点E关于y轴的对称点R（﹣m，m），作直线FR交y轴于点P， 由对称性知∠EFP=∠FPQ，此时△PEF的内心在y轴上， ∴点P即为所求的点．

由F，R的坐标可得直线FR的解析式为y=（n﹣m）x+mn记y=（n﹣m）x﹣3， 当x=0时，y=﹣3， ∴p（0，﹣3），

∴y轴的负半轴上存在点P（0，﹣3）使△PEF的内心在y轴上． 点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及三角形内心的特点，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合以及分类讨论是这部分考查的重点也是难点同学们应重点掌握．

113. （2011湖北孝感，25，14分）如图（1），矩形ABCD的一边BC在直接坐标系中x轴上，折叠边AD，使点D落在x轴上点F处，折痕为AE，已知AB=8，AD=10，并设点B坐标为（m，0），其中m＞0．

（1）求点E．F的坐标（用含的式子表示）；

（2）连接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值；

2

（3）如图（2），设抛物线y=a（x﹣m﹣6）+h经过A．E两点，其顶点为M，连接AM，若∠OAM=90°，求a．h．m的值．

考点：二次函数综合题。

分析：（1）根据四边形ABCD是矩形以及由折叠对称性得出AF=AD=10，EF=DE，进而求出BF的长，即可得出E，F点的坐标；

（2）分三种情况讨论：若AO=AF，OF=FA，AO=OF，利用勾股定理求出即可； （3）由E（m+10，3），A（m，8），代入二次函数解析式得出M点的坐标，再利用△AOB∽△AMG，求出m的值即可．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=CB=10，AB=DC=8，∠D=∠DCB=∠ABC=90°， 由折叠对称性：AF=AD=10，EF=DE， 在Rt△ABF中，BF=AF2AB2＝100＝6，

∴CF=4，

设EF=x，则EC=8﹣x，

222

在Rt△ECF中，4+（8﹣x）=x， 解得：x=5， ∴CE=3，

∵B（m，0），

∴E（m+10，3），F（m+6，0）；

（2）分三种情况讨论： 若AO=AF， ∵AB⊥OF， ∴BO=BF=6，， ∴m=6，

若OF=FA，则m+6=10， 解得：m=4，

2222

若AO=OF，在Rt△AOB中，AO=OB+AB=m+，

22

∴（m+6）=m+，

7， 37∴m=6或4或；

3解得：m=

（3）由（1）知：E（m+10，3），A（m，8）．

2a(mm6)h8∴， 2a(m10m6)31a得4， h1∴M（m+6，﹣1）， 设对称轴交AD于G， ∴G（m+6，8），

∴AG=6，GM=8﹣（﹣1）=9，

∵∠OAB+∠BAM=90°，∠BAM+∠MAG=90°， ∴∠OAB=∠MAG，

∵∠ABO=∠MGA=90°， ∴△AOB∽△AMG，

OBAB=， MGMGm8即：＝

96∴∴m=12，

点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的判定与性质，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合以及分类讨论思想是这部分考查的重点也是难点同学们应重点掌握．

114. （2011湖南常德，26，10分）如图，已知抛物线过点A（0，6），B（2，0），C（7，

5）. 2 （1）求抛物线的解析式；

（2）若D是抛物线的顶点，E是抛物线的对称轴与直线AC的交点，F与E关于D对称，求证：∠CFE=∠AFE；

（3）在y轴上是否存在这样的点P，使△AFP与△FDC相似，若有，请求出所有合条件的点P的坐标；若没有，请说明理由.

考点：二次函数综合题。 专题：综合题。

2

分析：（1）设抛物线解析式为y=ax+bx+c，将A、B、C三点坐标代入，列方程组求抛物线解析式；

（2）求直线AC的解析式，确定E点坐标，根据对称性求F点坐标，分别求直线AF，CF的解析式，确定两直线与x轴的交点坐标，判断两个交点关于抛物线对称轴对称即可；

（3）存在．由∠CFE=∠AFE=∠FAP，△AFP与△FDC相似时，顶点A与顶点F对应，根据△AFP∽△FDC，△AFP∽△FCD，两种情况求P点坐标．

解答：（1）设经过A（0，6），B（2，0），C（7，）三点的抛物线的解析式为y=ax+bx+c，

522

c6则：4a2bc0

549a7bc2解得a1,b4,c6. 212x4x6 2∴ 此抛物线的解析式为 y（2）过点A作AM∥x轴，交FC于点M，交对称轴于点N. ∵抛物线的解析式y1212x4x6可变形为yx42 22∴抛物线对称轴是直线x =4，顶点D的坐标为（4，－2）.则AN=4. 设直线AC的解析式为yk1xb1,

b161k,b16. 则有，解得5127kb112∴ 直线AC的解析式为y1x6. 2当x=4时，y1464. 2∴点E的坐标为（4，4），

∵点F与E关于点D对称，则点F的坐标为（4，－8） 设直线FC的解析式为yk2xb2,

4k2b287则有5，解得k2,b222.

27k2b22∴ 直线FC的解析式为y7x22. 2∵AM与x轴平行，则点M的纵坐标为6. 当y=6时，则有

7x226,解得x=8. 2∴AM=8,MN=AM—MN=4 ∴AN=MN ∵FN⊥AM

∴∠ANF=∠MNF 又NF=NF

∴△ANF≌△MNF ∴∠CFE=∠AFE （3）∵C的坐标为（7，

25），F坐标为（4，－8） 235325∴CF874

22∵又A的坐标为（0，6），则FA又DF=6，

若△AFP∽△DEF

∵EF∥AO，则有∠PAF=∠AFE， 又由（2）可知∠DFC=∠AFE ∴∠PAF=∠DFC 若△AFP1∽△FCD 则

6842253，

2PAFPA2531A,即1,解得P1A=8. DFCF63532∴O P1=8－6=2

∴P1的坐标为（0，－2）. 若△AFP2∽△FDC

则

P2AAF53PA253,即2,解得P2A=. CFDF263532∴O P2=

5341－6=. 22∴P2的坐标为（0，－

41）. 241）. 2所以符合条件的点P的坐标有两个，分别是P1（0，－2），P2（0，－

点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据已知条件求抛物线解析式，根据抛物线的对称性，相似三角形的知识解题．