1.1集合与集合的表示方法(学案)

1.1集合与集合的表示方法

一.课标解读

1.《普通高中数学课程标准》明确指出：“通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的”属于”关系；能选择自然语言.图形语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题感受集合语言的意义和作用.” 2.重点:集合的概念与表示方法.

3.难点:运用集合的两种常用表示法---列举法与描述法,正确表示一些简单的集合.

二.要点扫描

1.集合的概念

一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）；构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）。集合的元素可以是我们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到的各种各样的事物或者一些抽象符号。 2.集合元素的特征

由集合概念中的两个关键词“确定的”、“不同的”可以知道集合元素有两大特征性质： ⑴确定性特征：集合中的元素必须是明确的，不允许出现模棱两可、无法断定的陈述。

设集合A给定，若有一具体对象x，则x要么是A的元素，要么不是A的元素，二者必居其一，且只居其一。

⑵互异性特征：集合中的元素必须是互不相同的。设集合A给定，A的元素是指含于其中的互不相同的元素，相同的对象归于同一集合时只能算集合的一个元素。 3.集合与元素之间的关系

集合与元素之间只有“属于()”或“不属于()”。例如：a是集合A的元素，记作aA，读作“a属于A”；a不是集合A的元素，记作aA，读作“a不属于A”。 4.集合的分类

集合按照元素个数可以分为有限集和无限集。特殊地，不含任何元素的集合叫做空集，记作。 5.集合的表示方法

⑴列举法是把元素不重复、不计顺序的一一列举出来的方法，非常直观，一目了然。 ⑵特征性质描述法是用确定的条件描述集合内元素特点的集合表示方法。

例如：集合A可以用它的特征性质p(x)描述为{xIp(x)}，这表示在集合I中，属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有性质p(x)。

除此之外，集合还常用韦恩图来表示，韦恩图是用封闭曲线内部的点来表示集合的方法（有时，也用小写字母分别定出集合中的某些元素）。

三.知识精讲

知识点1.集合与元素

一个东西是集合还是元素并不是绝对的，很多情况下是相对的，集合是由元素组成的集合，元素是组成集合的元素。例如：你所在的班级是一个集合，是由几十个和你同龄的同学组成的集合，你相对于这个班级集合来说，是它的一个元素；而整个学校又是由许许多多个班级组成的集合，你所在的班级只是其中的一分子，是一个元素。班级相对于你是集合，相对于学校是元素，参照物不同，得到的结论也不同，可见，是集合还是元素，并不是绝对的。 知识点2.区分、{0}与{}

是空集，是不含任何元素的集合；{0}不是空集，它是以一个0为元素的单元素集合，而非不含任何元素，所以{0}；{}也不是空集，而是单元素集合，只有一个元素，可见{}，{}，这也体现了“是集合还是元素，并不是绝对的”。 知识点3.解集合问题的关键

解集合问题的关键：弄清集合是由哪些元素所构成的，也就是将抽象问题具体化、形象化，将特征性质描述法表示的集合用列举法来表示，或用韦恩图来表示抽象的集合，或用图形来表示集合，比如用数轴来表示集合，或是集合的元素为有序实数对时，可用平面直角坐标系中的图形表示相关的集合等。

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四.典题解悟

-------基础在线-------

[题型一]集合的判断

例1、“①难解的题目;②方程x10;③平面直角坐标系内第四象限的一些点;④很多多项式”中，能2组成集合的是( )。

A.② B.① ③ C.② ④ D.① ② ④ 例2、下列命题正确的个数为„„„„„„„( )。 ① 很小两实数可以构成集合；

② {y|yx21}与{(x,y)|yx21}是同一集合

③ 1,32,64,12,0.5这些数组成的集合有5个数； ④ 集合{(x,y)|xy0,x,yR}是指第二、四象限内的点集；

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

例3、xR,则{3,x,x22x}中的元素x应满足什么条件？

[题型二] 集合与元素之间的关系

例4、下列表述是否正确，说明理由。

⑴Z{全体整数} ⑵R{实数集}{R}

[题型三] 集合的表示方法

例5、⑴用列举法表示下列集合：

①{(x,y)|0x2,0y2,x,yZ} ；

②M{0,1,2},P{x|xab,a,bM,ab}___________; ⑵用特征性质描述法表示下列集合

①所有正偶数组成的集合 ； ②被9除余2的数组成的集合 。 例6、指出下列集合的元素：

⑴{xax2bxc0,a0,xR}； ⑵{ax2bxc0a0,b24ac0}；⑶{xy2x1}； ⑷{yy2x21}。

---------拓展一步---------

1．集合与方程。

例7、若方程ax25xc0的解集是{1,123},求a.c的值。

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2．用数形结合的思想解集合问题。

例8、求集合{x|x50}与集合{x|xa0,aR}有公共元素的a的取值范围。

3． 注意中集合元素形式的转化。

例9、若B{xR|xa2b,aZ,bZ}， 则1322 B。（填“”或“”）

-------错解点击------- 2xy60例10．方程组的解集是„„„„„( )。

xy30A.{(-3,0)} B.{-3,0} C.(-3,0) D.{(0,-3)}

例11．下列四个关系中，正确的是„„„„„„„( )。

A.{a} B.{0} C.{a}{a,b} D.{a}{{a},{b}} 例12．下列各题中M与P表示同一集合的是„„( )。

A.M{(1,3)},P{(3,1)} B.M,P{0}

C.M{y|yx21,xR},P{(x,y)|yx21,xR} D.M{y|yx21,xR},P{t|t(y1)21,yR} 五.同步自测

1. 下面四个命题正确的是（ ）

A.10以内的质数集合是{0,3,5,7} B.“个子较高的人”不能构成集合

C.方程x22x10的解集是{1,1} D.偶数集为 {x|x2k,xN}

2.下列关系正确的是 （ ）

A. Z∈Q B. (2,1)∈{(2,1)} C. NR D. 2∈{(2,1)} 3.已知A＝{x| x≤32,x∈R}，a=15, b=23, 则（ ）

A.a∈A且bA B.aA且b∈A C.a∈A且b∈A D.aA且bA 4.下列集合中，不同于另外三个的是（ ）

A.{x|x1} B.{y|(y1)20} C.{x1} D.{1}

5. 下面命题：① {2，3，4，2}是由四个元素组成的；②集合{0}表示仅一个数“零”组成的集合； ③集合{1，2，4}与{4，1，2}是同一集合；④集合{小于1的正有理数}是一个有限集。其中正确的是（ ） A.③④ B.②③ C.①② D.②

6.集合A面积为1的矩形，B面积为1的正三角形，则正确的是（ ） A.A,B都是无限集 B.A,B都是有限集

C.A是有限集B是无限集 D.B是有限集A是无限集

7.用列举法表示集合：x,y|2xy50,xN,yN ； 8.用描述法写出直角坐标系中，不在坐标轴上的点的坐标组成的集合 ； 9.设x,y都是非零的实数， 则

xyxy的值组成的集合的元素个数为 ； xyxy10. 集合1,x,xx中的元素x所应满足的条件是 ； 11.若集合{x|axx10}有且只有一个元素，则实数a的取值集合是 ； 12.设直线y2x3上的点集为P，则

，点（2，7）与P的关系为（2，7） P。

2213. 已知P{x|2xk,xN}，若集合P中恰有3个元素，求

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14. 已知

，

，

，求

15. 已知集合A={x|x=a+b2，a，b∈R}，判断下列元素x与集合A之间的关系： （1）x=0； （2）x=

16. 设下面8个关系式3R,0.2Q,QN,00，（ ） 0,0,0,0其中正确的个数是A.4个 B.3个 C.2个 D.1个

17. 集合M={(x，y)|xy≥0，x∈R，y∈R}的意义是（ ） A．第一象限的点 B．第三象限的点

C．第一和第三象限的点 D．不在第二象限也不在第四象限的点 18.下列各式中错误的是（ ） ．．A．-3xR|x2k1,kZ B．xN|x50,1,2,3,4 C．x,y|xy1,xy2,x,yR1,2 D．32Q 19.M{x|xab2,a.bQ},下列不属于M的是（ ）

121； （3）x=

132。

A.12 B.1162 C.1 D.

20.方程组122

xy10x1的解集可表示为①(1,2),②1,2, ③ x,y|x1,y2,④  ,

2xy40y2⑤ x,y|x1,y2,以上正确的个数是（ ）

A.5 个 B. 4个 C.3个 D. 2个

21.已知下列四个条件：①数轴上到原点距离大于3的点的全体；②大于10且小于100的全体素数； ③与3非常接近的实数的全体；④实数中不是无理数的所有数的全体。其中能够组成集合的是 ； 22. 关于x的方程axb0，当实数a,b满足条件 时，方程的解集是有限集；当实数a,b满足条件 时，方程的解集是无限集。

23.已知集合M{0,2,3,7}, P{x|xab,a,bM,ab}，用列举法表示P ； 24.用特征性质描述法表示直角坐标平面内的横坐标与纵坐标相等的点的集合是 ； 25.已知x{1,0,x}, 求实数x的值

26. 已知集合A{x|

212N,xZ},用列举法表示集合A。 5x27. 已知集合A=xR|ax3x20,aR，若A中元素至多只有一个，求实数a的取值范围。

2把毕生的爱倾注给孩子！ 4 咨询热线：27578099 27579798

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六.课后练习

一、选择题

1．下面四个命题正确的是（ ）

A．10以内的质数集合是{0，3，5，7} B．“个子较高的人”不能构成集合 C．方程x2x10的解集是{1，1} D．偶数集为x|x2k,xN 2．下面的结论正确的是（ ）

A．aQ，则aN B．aN，则a{自然数}

2 C．x10的解集是{-1，1} D．正偶数集是有限集

3．已知集合S={a,b,c}中的三个元素可构成ABC的三条边长，那么ABC一定不是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 二、填空题

4．设P=x|x15，m32，则m__________P。 5．0_______

6．1_________x|xa21,aN*。

7．设直线y2x3上的点集为P，则P=____________。点（2，7）与P的关系为（2，7）___________P。 8．集合x|8x12,xN，用列举法可表示为_____________。 三、解答题

9．已知A(x,y)|y2x1，B{(x,y)|yx3}，aA，aB，求a。

10．已知P{x|2xk,xN}，若集合P中恰有3个元素，求k。

11．已知集合M=2,3x3x4,xx4，若2M，求满足条件的实数x组成的集合。

12．用适当的方法表示下图中的阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合M。

222把毕生的爱倾注给孩子！ 5 咨询热线：27578099 27579798

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