《振动力学》习题集(含问题详解)

1.1 质量为m的质点由长度为l、质量为m1的均质细杆约束在铅锤平面作微幅摆动，如图E1.1所示。求系统的固有频率。

l x m1 m

图E1.1

解： 系统的动能为：

T

其中I为杆关于铰点的转动惯量：

112l2Ix mx22lmlm1I1dxx21x2dxm1l2

00l3l 则有：

1112m1l2x23mm1l2x2 Tml2x266

系统的势能为：

Umgl1cosxm1gl1cosx2

111 mglx2m1glx22mm1glx2244

nx和TU可得： 利用xn

32mm1g

23mm1l1.2 质量为m、半径为R的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a的A点系有两根弹性刚度系数为k的水平弹簧，如图E1.2所示。求系统的固有频率。

k k A a R C 

图E1.2

解：

如图，令为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：

T1211232 IBmR2mR2mR22224122U2kRakRa2

2和TU可得： 利用n4kRaRa4k n23mRR3m2

1.3 转动惯量为J的圆盘由三段抗扭刚度分别为k1，k2和k3的轴约束，如图E1.3所示。

求系统的固有频率。

J k1 k2 k3

图E1.3

解： 系统的动能为：

T

12J 2k2和k3相当于串联，则有：

23 , k22k33

以上两式联立可得：

2

系统的势能为：

k3k2 , 3

k2k3k2k312111k1k2k3k2k3222Uk1k22k33

2222k2k3

和TU可得： 利用nn

k2k3k1k2k3

Jk2k3

1.4 在图E1.4所示的系统中，已知ki i1,2,3, m, a 和 b，横杆质量不计。求固有

频率。

x1 k1 b k3 m k2 F1b mgaba x0 b x x2

a mg F2a mgab

图E1.4

答案图E1.4

解： 对m进行受力分析可得：

mgk3x3，即x3

如图可得：

mg k3x1F1mgbFmga, x22 k1abk1k2abk2ax2x1a2k1b2k2x0x1xx1mg

abab2k1k2a2k1b2k211xx0x3mgmg 2k0abk1k2k3

则等效弹簧刚度为：

2abk1k2k3 ke222ak1k3bk2k3abk1k2 则固有频率为：

kk1k2k3abne 222mmk1k2abk3k1ak2b2

1.7 质量m1在倾角为的光滑斜面上从高h处滑下无反弹碰撞质量m2，如图E1.7所

示。确定系统由此产生的自由振动。

m1 k m2 h x0

答案图E1.7

x12 x2 x

 图E1.7

解：

对m1由能量守恒可得（其中v1的方向为沿斜面向下）：

m1gh

对整个系统由动量守恒可得：

1m1v12，即v12gh 2m1m1m2m1v1m1m2v0，即v0

令m2引起的静变形为x2，则有：

2gh

m2gsinkx2，即x2令m1+m2引起的静变形为x12，同理有：

m2gsin kx12

得：

m1m2gsin

km1gsin k0xx0x12x2

则系统的自由振动可表示为：

xx0cosnt

其中系统的固有频率为：

nsinnt

n

k

m1m2注意到v0与x方向相反，得系统的自由振动为：

xx0cosntv0nsinnt

1.9 质量为m、长为l的均质杆和弹簧k及阻尼器c构成振动系统，如图E1.9所示。以杆偏角为广义坐标，建立系统的动力学方程，给出存在自由振动的条件。若在弹簧原长处立即释手，问杆的最大振幅是多少？发生在何时？最大角速度是多少？发生在何时？是否在过静平衡位置时？

a O k c

ka

答案图E1.9

l c

图E1.9

解： 利用动量矩定理得：

kaacll， I

1Iml2

33cl23ka20， ml23ka2 n2ml

3cl23c12amk2， 1  cn2ml2mnl3

mg

lk0aa， 20mgl 2ka21.12 面积为S、质量为m的薄板连接于弹簧下端，在粘性流体中振动，如图E1.12所

示。作用于薄板的阻尼力为Fd2Sv，2S为薄板总面积，v为速度。若测得薄板无阻尼自由振动的周期为T0，在粘性流体中自由振动的周期为Td。求系数。

图E1.12

解： 平面在液体中上下振动时：

2Sxkx0 mx

n

k2， mT0dn122 Td2S22SS22n  ，  mmnk

k2S21

k2

22TdT0

k2S22mTd2T02 kST0Td2.1 图E2.2所示系统中，已知m，c，k1，k2，F0和。求系统动力学方程和稳态响

应。

k2 m x1 k1 c1 m k2 c2

c2 k2x x2 k1 c1 x1

 mxm  c2xx1 k1xx1 c1x

图E2.1 答案图E2.1(a) 答案图E2.1(b)

解：

等价于分别为x1和x2的响应之和。先考虑x1，此时右端固结，系统等价为图（a），受力为图（b），故：

k1k2xc1c2xk1xc1x mxcxkxk1A1sin1c1A11cos1t mxcc1c2，kk1k2，n（1）的解可参照释义（2.56），为：

（1）

k1k2 mcos1t1

（2）

Yt其中：

k1A1ksin1t11s2s222c1A11k1s2s222s112s，1tg 2n1s212s2c11kk122k1k22c1c2212k1k222

1s2s2212mc1c211kkkk1212 故（2）为：

k2c1c2121k2m1k1k22

2xtk1A1sin1t1c1A11cos1t1kk122kmcc12112122A1kck2m22121cc2122121

21sin1t122s1c1k1k21c1c211tgtgtg2 22m1skkm12111k1k212tg1

考虑到x2t的影响，则叠加后的xt为：

c11 k1xti12c1c2itg1cii1sinttg2i2222k1k2imki k1k2mic1c2iAiki2ci2i2

2.1 一弹簧质量系统沿光滑斜面作自由振动，如图T 2-1所示。已知，m = 1 kg，30，k = 49 N/cm，开始运动时弹簧无伸长，速度为零，求系统的运动规律。

k m x0  

mg 答案图 T 2-1

x



图 T 2-1

解：

mgsinkx0，x0mgsink19.849120.1cm

k49102n70rad/s

m1xx0cosnt0.1cos70tcm

2.2 如图T 2-2所示，重物W1悬挂在刚度为k的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物W2从高度为h处自由下落到W1上而无弹跳。求W2下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规律。

解：

动量守恒：

平衡位置：

故：

故：

k x1 x12 W2

x0 h 平衡位置 W1

x

图 T 2-2

答案图 T 2-2

W1W22h2gv22，v22gh W2W2gvW1W22gv12，v12W2gh 1W2WkxW111，x1k WWkxWW21212，x121k

x20x12x1Wk knWkg

1W2gW1W2xxx00cosntsinntn xv

120cosntsinntn

2.4 在图E2.4所示系统中，已知m，k1，k2，F0和，初始时物块静止且两弹簧均为

原长。求物块运动规律。

k1 k2 x1 m x2

k1x1

k2x2x1 k2x2x1 m F0sint 图E2.4

F0sint

答案图E2.4

2 mx

解：

取坐标轴x1和x2，对连接点A列平衡方程：

k1x1k2x2x1F0sint0

即：

k1k2x1k2x2F0sint

对m列运动微分方程：

（1）

2k2x2x1 mx

即：

2k2x2k2x1 mx

由（1），（2）消去x1得：

（2）

2mx

故：

k1k2Fkx202sint

k1k2k1k2 （3）

2nk1k2

mk1k2 由（3）得：

x2t

F0k2sintsintn 2mk1k2n2nv0，求系2.5在图E2.3所示系统中，已知m，c，k，F0和，且t=0时，xx0，x统响应。验证系统响应为对初值的响应和零初值下对激励力响应的叠加。

k m c

图E2.3

F0cost

解：

xte0tCcosdtDsindtAcost

AF0k11s2s222，tg12s 21sx0x0CAcos  Cx0Acos

t0e0tCcosdtDsindtx e0tCdsindtDdcosdtAsintv00C

0v00CDdAsin  Dx

求出C，D后，代入上面第一个方程即可得。

dAsind

2.7 由一对带偏心质量的等速反向旋转齿轮构成的振动机械安装在弹簧和阻尼器构成的支承上，如图E2.7所示。当齿轮转动角速度为时，偏心质量惯性力在垂直方向大小为

me2sint。已知偏心重W = 125.5 N，偏心距e = 15.0 cm，支承弹簧总刚度系数k = 967.7

N/cm，测得垂直方向共振振幅Xm1.07cm，远离共振时垂直振幅趋近常值X00.32cm。求支承阻尼器的阻尼比及在300rmin运行时机器的垂直振幅。

me2sint 1me2 21me2 2

图E2.7

解：

mextM

s=1时共振，振幅为：

s21s2s222sint，tg12s 1s2X1

远离共振点时，振幅为：

me11.07cm M2 （1）

X2

由（2）Mme0.32cm M （2）

me X2

由（1）me1me1X20.15 M2X1meX22X12X1300rmin，0

故：

k，s0

1MmeXM

s21s2s2223.8103m

2.7 求图T 2-7中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是k1及k3，悬臂梁的质量忽

略不计。

k1 k1 k3 k2 k2 k3 无质量 k4

k4 m

图 T 2-7

m

答案图 T 2-7

解：

k1和k2为串联，等效刚度为：k12k1k2。（因为总变形为求和）

k1k2

k12和k3为并联（因为k12的变形等于k3的变形），则：

k123k12k3k1k2kkkkk2k3k31213

k1k2k1k2

k123和k4为串联（因为总变形为求和），故：

ke

故：

k123k4k1k2k4k1k3k4k2k3k4

k123k4k1k2k1k3k2k3k1k4k2k4nke m 2.9 如图T 2-9所示，一质量m连接在一刚性杆上，杆的质量忽略不计，求下列情况系统作垂直振动的固有频率： （1）振动过程中杆被约束保持水平位置；

（2）杆可以在铅锤平面微幅转动；

（3）比较上述两种情况中哪种的固有频率较高，并说明理由。

x1 l1 x l2 x2

lx k1 k2 F12lmg1l2m mg l1 l2

图 T 2-9

答案图 T 2-9

解： （1）保持水平位置：k1k2nm

（2）微幅转动：

xx1xF1kx2x1l11l1l2 l2mglll1l1l2mg12k1l1l2l1l2k2l1l2k1 l2mgl1l1k1l2k2lllmg

12k1l1l21l2k1k2l2 2k2l1l2l1k1l1l2k2l2mg1l2k1k2 l221k1l2k2l2kmg1l21k2 故：

kell212k1k2l2l2 1k12k2kenm

2.10求图T 2-10所示系统的固有频率，刚性杆的质量忽略不计。

F2l1llmg12

F1 k1 a l m mg k2 x1

xA

图 T 2-10

答案图 T 2-10

解：

m的位置：xx2xAmgxA k2mglmgl，x1

aka1mglF1a，F1x1aamgl2，xAx12 xAllak1mgmgl21l2xx2xA22mgk2ak1k2ak1

22ak1lk2 mga2k1k2kea2k1k2， ke2n2mak1lk2

2.11 图T 2-11所示是一个倒置的摆。摆球质量为m，刚杆质量可忽略，每个弹簧的刚

度为

k。 2（1）求倒摆作微幅振动时的固有频率；

（2）摆球质量m为0.9 kg时，测得频率fn为1.5 Hz，m为1.8 kg时，测得频率为0.75

Hz，问摆球质量为多少千克时恰使系统处于不稳定平衡状态？

m k/2 k/2 l a 零平衡位置

 lcos

零平衡位置

图 T 2-1

答案图 T 2-11(2)

答案图 T 2-11(1)

解：（1）

T12122Iml 22112U2kamgl1cos22

111 ka22mgl2ka2mgl2222

 利用TmaxUmax，maxnmaxka2mglka2gn22mlmllgka21 lmgl----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

（2）

若取下面为平衡位置，求解如下：

T12122Iml 221112U2kamglcoska22mgl12sin22222 111 ka22mglmgl2ka2mgl2mgl222d2ka2mgl0 TU0，2ml2dtka2mgl0 ml2ka2mgl nml2

2.17 图T 2-17所示的系统中，四个弹簧均未受力，k1= k2= k3= k4= k，试问： （1）若将支承缓慢撤去，质量块将下落多少距离？

（2）若将支承突然撤去，质量块又将下落多少距离？

k1 k2 m k3 k4

图 T 2-17

解：

k23k2k32kk123k1234（1）mgk1234x0，x0k1k232k

k1k233k123k41kk123k422mg k4mg k（2）xtx0cosnt，xmax2x0

2.19 如图T 2-19所示，质量为m2的均质圆盘在水平面上可作无滑动的滚动，鼓轮绕轴的转动惯量为I，忽略绳子的弹性、质量及各轴承间的摩擦力，求此系统的固有频率。

I R2 R1  xm1 r m2 k2 k1

图 T 2-19

解：

系统动能为：

211x111x222Im2rTm1x2m2x22R22r221I32 mm212x2R2212 mex2系统动能为：

11R1Vk2x2k122R21R122 k2k12x2R2 根据：

x2

1kex22maxnxmax TmaxVmax，xR12k2k12R22 nI3m12m2R22

2.20 如图T 2-20所示，刚性曲臂绕支点的转动惯量为I0，求系统的固有频率。

m2 k2 k3 b a l m1 k1

图 T 2-20

解：

系统动能为：

T121a21ml2I0m12222

12 I0m1a2m2l22系统动能为：

V根据：

111222k1ak2lk3b222

1 k1a2k2l2k3b222 TmaxVmax，maxnmaxk1a2k2l2k3b2 I0m1a2m2l22n 2.24 一长度为l、质量为m的均匀刚性杆铰接于O点并以弹簧和粘性阻尼器支承，如图T 2-24所示。写出运动微分方程，并求临界阻尼系数和无阻尼固有频率的表达式。

k c O a l

图 T 2-24

ka l c

答案图 T 2-24

解： 利用动量矩方程，有：

kaacll，J1ml2 J33cl23ka20 ml23ka2 n2ml3cl22n，1 2ml223ka22amk cmnm233mll3 2.25 图T 2-25所示的系统中，刚杆质量不计，写出运动微分方程，并求临界阻尼系数及阻尼固有频率。

c m a k a b a cb l

图 T 2-25

kb l ml

答案图 T 2-25

解：

aakbb0 mllcca2kb20 ml2kb2bk n2mllmca2ca2ca2m2n， 22ml2mln2mlbkbkc2a4m12224dn114kmlbca 2222lm4mlbk2ml2由1c

2blmk 2a2.26 图T 2-26所示的系统中，m = 1 kg，k = 144 N / m，c = 48 N•s / m，l1 = l = 0.49 m，

l2 = 0.5 l， l3 = 0.25 l，不计刚杆质量，求无阻尼固有频率n及阻尼。

ml1

m m l1 l2  O l3 k cl3 kl2

c

图 T 2-26

答案图 T 2-25

解：

受力如答案图T 2-26。对O点取力矩平衡，有：

llkll0 ml1l1c3322cl2kl20 ml1232m11ck0 1642n1k36 4mn6 rad/s

1c162

nmc10.25 16m2n 4.7 两质量均为m的质点系于具有力F的弦上，如图E4.7所示。忽略振动过程中弦力的变化写出柔度矩阵，建立频率方程。求系统的固有频率和模态，并计算主质量、主刚度、简正模态，确定主坐标和简正坐标。

F F F 2 y2 F y1 3

答案图E4.7(1)

m l l m l

F 1 图E4.7

解：

sin11

y1yy1y，sin2，sin32232 lll根据m1和m2的自由体动力平衡关系，有：

y1yy1FF2y22y1 lllyy1yF2Fsin2Fsin3m2yF2y12y2 F2lll1Fsin1Fsin2m1yF故：

1F21y1ym100ml12y0 y222

当m1=m2时，令：

y1Y1sint，y2Y2sint，

代入矩阵方程，有：

2mlF

21Y112Y0 2211221130

21,21,3

12

FFF3F2，2 12mlmlmlml根据2Y1Y20得：

Y1Y11111 ，Y2Y2122122

-1.0 1.0 1.0 1.0

第一振型

第二振型

答案图E4.7(2)

4.11 多自由度振动系统质量矩阵M和刚度矩阵K均为正定。对于模态xi和xj及自然

数n证明：

xiTMK1Mxj0，xiTKM1Kxj0

解：

1Kxj2jMxj，等号两边左乘KM

T12x，等号两边左乘 KM1Kxj2KMMxKxijjjjTxiTKM1Kxj2jxiKxj0，当ij时

 重复两次：

1KM1Kxj2jKxj，等号两边再左乘KM T1KM1KM1Kxj2jKMKxj，等号两边左乘xi

T1xiTKM1Kxj2jxiKMKxj0，当ij时

2 重复n次得到：

xiTKM1Kxj0

1Kxj2jMxj，等号两边左乘MK

n1MK1Kxj2jMKMxj

故：

T1x，等号两边左乘 Mxj2MKMxijjT1xiTMxj2jxiMKMxj0，当ij时

即xiMxj0，当ij时

重复运算：

1MK1Mxj2Mxj jMKT1xiTMK1Mxj2Mxj0，当ij时 jxiMKT22

重复n次。

2.10图T 4-11所示的均匀刚性杆质量为m1，求系统的频率方程。

k1 m1 b a m2 k2

图 T 4-11

解：

先求刚度矩阵。

令1，x0，得：

k1b m1 22k11k1bbk2aak1bk2a

 k11 k2a

k21k2a

令0，x1，得：

k21 答案图 T 4-11(1)

m2 x m1 k12k2a k22k2

k12 k21

m2 答案图 T 4-11(2) 答

k22

k1b2k2a2则刚度矩阵为：Kk2a再求质量矩阵。

k2a k21，0，得： 令xm1 1m11m1a2，m210

30，1，得： 令xm11 m2 答案图 T 4-11(3)

m21

m120，m22m2

1m1a2则质量矩阵为：M30故频率方程为：KM0

20 m25.1 质量m、长l、抗弯刚度EI的均匀悬臂梁基频为3.515(EI / ml3)1/2，在梁自由端放置

集中质量m1。用邓克利法计算横向振动的基频。 解：

~3.5151EI~，23ml3EI m1l311l3mm1~2~2EI12.3553 121211

5.2 不计质量的梁上有三个集中质量，如图E5.2所示。用邓克利法计算横向振动的基频。

6.088lEI

3m12.355m1lm m 3m l/4 l/4 l/4 l/4

图E5.2

解：

当系统中三个集中质量分别单独存在时：

9l/49l/416l/4f11，f22，f33 12EI12EI12EI33311113ml3 2~2~2~2mf11mf223mf331123192EI11

5.3 在图E5.3所示系统中，已知m和k。用瑞利法计算系统的基频。

3.843lEI l

k 2k k m 2m m

图E5.3

解：

近似选取假设模态为：

11.52.5T

系统的质量阵和刚度阵分别为：

3kMdiagm2mm，K2k0由瑞利商公式：

2k3kk0k kTK2.5kRT12

M11.75m10.461

5.9 在图E5.9所示系统中，已知k和J。用传递矩阵法计算系统的固有频率和模态。

J J/2 1 k (1)

图E5.9

k m2 k (2) 解：

两端边界条件为：

01RR固定端：X0，自由端：X2。

T01T20RR111k0k X1RS1X0R22J12JJ11kk212J112kkkRRkX2S2X1 2J2J2J2J2J2J11112k2kk22kk由自由端边界条件得频率方程：

2JJ2J1210

2k2kkkk，21.848 JJ10.765代入各单元状态变量的第一元素，即：

11k 2J222kk得到模态：

(1)11.414T，(2)11.414T

5.10 在图E5.10所示系统中，已知GIpi ( i = 1 , 2)，li ( i = 1 , 2)和Ji ( i = 1 , 2)。用传递矩阵法计算系统的固有频率和模态。

J1 GIp1 GIp2 J2 l1 l2

图E5.10

解：

11LR两自由端的边界条件为：X1，X2。

T10T20LR0111X1RS1PX1L22 J110J1LX1R.5X1.51FRS1X102J1111

kk121J121J1RX2S2X1R.512J12J1211J1k21kk12 k441JJJJJ2212122J21222JJJ121kk2k21GIp1l1，k2其中：k1GIp2l2。

由自由端边界条件得频率方程：

4J1J2k14J1J2k22J12J2010，2J1J2Ip1l2Ip2l1GIp1Ip2J1J2

代入各单元状态变量的第一元素，即：

112J12J1 12k1k2得到模态：

T(1)11T，(2)

J11 J25.11 在图E5.11所示系统中悬臂梁质量不计，m、l和EI已知。用传递矩阵法计算系统的固有频率。

(0) EI l

图E5.11

(1) m 解：

引入无量纲量：

FSl2ml32yMly，M，FS，

EIEIlEI定义无量纲的状态变量：

Xy边界条件：

R左端固结：X00MFS

T0M

FS，右端自由：X1RyT00

T根据传递矩阵法，有：

X1RS1PS1FX0R

其中点传递矩阵和场传递矩阵分别为：

10S1P0得：

00100100010F，S010010111210100161 211MFS01M11F0

S26利用此齐次线性代数方程的非零解条件导出本征方程：

1121110 1363

13EI

lml

1

5.12 在图E5.12所示系统中梁质量不计，m、l和EI已知，支承弹簧刚度系数k = 6EI / l3。用传递矩阵法计算系统的固有频率。

(0) (0.5) EI k (1) m l l

图E5.12

解：

引入无量纲量：

yyMll，MEI，FF2Slml32SEI，EI 定义无量纲的状态变量：

XyMFST

边界条件：

左端铰支：XR000FTS，右端自由：XR1y根据传递矩阵法，有：

11112616FSXL0.5SFR1X01R01121001X01F2FS S0001FST在支承弹簧处：

XR0.516F1S2FSFSFS

111126XR1S1XR0.50111200XR0.5 11112612FFSSFS0F2

S注意到上式中为杆左端的转角，故在支承弹簧处的位移为：

ylFSl36EI

因此有：

2FEISkyl6l3FSFS6EIl2 FFSl2SEI6

FSF3

S2400T

12l3EI ml

6.3 图E6.3所示阶梯杆系统中已知m，ρ，S，E和k。求纵向振动的频率方程。

m ρ ES k

图E6.3

解：

模态函数的一般形式为：

xC1sin题设边界条件为：

xaC2cosxa

ul,t2ul,tmkul,t u0,t0，ES2xt边界条件可化作：

00，ESlm2lkl

导出C2 = 0及频率方程：

tan

laES，其中aam2kE

6.4 长为l、密度为ρ、抗扭刚度为GIp的的等直圆轴一端有转动惯量为J的圆盘，另一端连接抗扭刚度为k的弹簧，如图E6.4所示。求系统扭振的频率方程。

G,Ip k l

图E6.4

解：

模态函数的一般形式为：

xC1sinxaC2cosxa

题设边界条件为：

0,t20,tl,tGIpJ，GIkl,t pxt2x边界条件可化作：

GIp0J20，GIplkl

以上两式联立消去C1和C2得频率方程：

tan

laGIGIpakJ222p2，其中aakJG

6.5 长为l、单位长度质量为ρl的弦左端固定，右端连接在一质量弹簧系统的物块上，如图E6.5所示。物块质量为m，弹簧刚度系数为k，静平衡位置在y = 0处。弦线微幅振动，弦力F保持不变，求弦横向振动的频率方程。

y l,ρl m x

k

图E6.5

解：

模态函数的一般形式为：

xC1sin题设边界条件为：

xaC2cosxa

yl,t2yl,tmkyl,t y0,t0，F2xt边界条件可化作：

00，Flm2lkl

导出C2 = 0及频率方程：

tan

laam2kF，其中aFl